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  • 解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题,设有数使将,代入,并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组,为即其系数行列式为当且时,方程组有惟一解,故可由线性表示,且表示惟一。当时,,...

    典型例题解析例1设向量问取何值时可由线性表示且表示

    典型例题解析

    例1 设向量。

    问取何值时 :

    (1)可由线性表示,且表示惟一。

    (2) 可由线性表示,但表示不惟一

    (3)不可由线性表示。

    解 本题是利用方程组解的理论解决向量线性关系的问题,设有数使

    将,代入,并比较两端对应分量得以为未知量的非齐次线性方程组,为

    其系数行列式为

    当且时,方程组有惟一解,故可由线性表示,且表示惟一。

    当时,,方程组有无穷多解,可由线性表示,但表示不惟一。

    当时,,方程组无解,故不可由线性表示。

    例2 :对方程组

    (1) 为何值时,方程组有解;

    (2) 方程组有解时,求导出组的基础解系;

    (3) 方程组有解时,求其通解.

    解 对方程组的增广距阵作初等行变换;

    故 (1) 当且即时4,方程组有解且有无穷多解

    (2) 与导出组同解的方程为

    易得导出组的基础解系为:

    (3) 当时,原非齐次方程组同解的方程组为

    令得非齐次方程组的特解:

    故原方程组的通解

    ++

    例3 求一个齐次线性方程,使它的基础解系为

    解 设所求齐次线性方程为。

    因 是4维的,故方程有4个未知元,即矩阵的列数等于4。另一方面,因基础解系含2个向量,故= 4 – 2 = 2,因此方程的个数可以是任意 个,这我们只须构造一个满足题设要求而行数最小距阵,也即是2 4距阵,且=2。 是的基础解系

    , 且=2(因 线性无关)

    ,且=2 , 这里,( )

    的两个列向量是方程组的解(向量),且线性无关

    的两个列向量是方程组的一个基础解系,(因 )

    具体计算如下:

    取基础解系为:

    故可取为:

    对应方程组为:

    注:由上面的分析知道,所求的方程组是不唯一的。若都是以

    为基础解系,则是同解的,因而之秩都为2,若是同型矩阵时,则可以经一个初等变换变为。

    例 4 设有四元齐次线性方程组

    I:

    又,已知某四元齐次线性方程组 的基础解系为:

    求:(1)方程组I的基础解系;(2)问方程组I与II是否有非零公共解? 若有,求出全部非零公共解;若没有,则说明理由。

    解 (1)对方程组 I 的系数距阵进行距阵的初等行变换:

    得到它的行蕞简行,从而可知它的秩是2,取基础解系为:

    于是方程组I的通解为:

    有兴趣的是问题(2)的解答,我们用三种方法:

    (2)方法1 方程组 II 的通解可写为:

    然后代如方程组 I ,得到:

    于是它们非零解:

    x= , (任意常数)

    方法2:从两方程组的通解表达式着手。

    方程组I的通解x=

    方程组II的通解 x=

    寻找两方程组的公共解就是寻找适当的数使得把它们分别入述两方程通解表达式后得到的是同一个向量,即应满足:

    =

    即 得

    于是它们非零解: x= , (任意常数)

    方法3:线性方两程组的公共解就是同时满足两线性方程组的解,如果给出线性方程组I和II的表达式,则可以将它们联立求成过解。为此,先求一个齐次线性方两程组,其基础解系为。用我们前面例介绍的方法,(具体如下)

    取对应齐次方程组基础解系: ,

    于是所求得方程:

    其通解为:

    于是方程组I和方程组II的公共解应满足

    易得通解 x=

    于是所求非零公共解为 ,

    例5 已知四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,又是它的三个解向量,其中

    试求的通解.

    解 关键是找出对应齐次方程组基础解系和非齐次线性方程组的一个特解,这可由方程组的性质得到.由于四元非齐次线性方程组的系数距阵的秩为3,故的基础解系含4-3=1个解向量.由解的性质知

    是的非零解向量,可以当作基础解系.又

    是的特解,故通解为,

    例6 设元非齐次线性方程组,是其个线性无关的解向量,证明:

    (1) 是的一个基础解系;

    (2)的任一解可表为,其中

    证 (1) 由于是的解向量,所以是的解向量.又所以的基础解系中含有个线性无关的解向量。因此,只要证明线性无关即可。

    设有个常数,使得,即。由于线性无关,所以,从而证得是线性无关的。

    (2)由(1)知,的通解可表为

    其中是任意常数。

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  • 向量线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...

    向量组线性相关

    定义

    向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,,αs(s1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,,ks,使

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2++ksαs=0


    例题

    判断下列向量组是否线性相关:
    α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=2534,α2=511310,α3=3716,α4=13301226,

    例题来源:《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

    k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

    即:

    { 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. 2k15k13k14k15k2+11k2+3k2+10k23k37k31k36k3+13k430k4+2k426k4=0=0=0=0

    写成矩阵形式即为:

    [ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 253451131037161330226k1k2k3k4=0000

    经过矩阵的初等行变换,我们得到上面的方程组与下面的方程组等价:

    [ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 10000100323100373500k1k2k3k4=0000

    显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

    如果题目只问向量组是否相关,可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

    方程的一般解为

    { x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. x1x2=32x337x4=31x3+35x4

    其中一个特解为

    k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=2,k3=1,k4=1

    从而:

    3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α12α2+α3α4=0


    总结:

    1. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0
    2. 把 1. 中的方程写成矩阵的形式,化成阶梯型行列式,即可判断是否存在非零解
    3. 求出一组非零解

    2021年1月4日19:26:01


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    2021年6月26日 有改动


    2021年12月13日23:03:53 排版有改动

    展开全文
  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......

    n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关


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    1 向量间的线性关系

    向量定义:n个数 a 1 , a 2 . . . a n a_{1},a_{2}...a_{n} a1,a2...an组成的有序数组 ( a 1 , a 2 . . . a n ) (a_{1},a_{2}...a_{n}) (a1,a2...an),按照表示的方式不同可以分为行向量和列向量

    线性组合: β , α 1 , α 2 . . . α n \beta,\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} β,α1,α2...αn是n维向量,若存在 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} β=k1α1+k2α2+...+knαn成立,则成 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn β \beta β的线性组合,或者成 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn线性表示,其中 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn被称作为组合系数,系数可以全取0,比如
    ( 0 0 ) = 0 ∗ ( 1 2 ) + 0 ∗ ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 0\\0\end{matrix}\right) = 0*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (00)=0(12)+0(10)

    向量性质:
    1)零向量可由任意向量组表示。只需要组合系数全部为0即可
    2)向量组中任一向量可由向量组进行表示。只需要该向量的组合系数取1,其他的系数取0即可
    3)任一向量都可由 ε 1 = ( 1 , 0 , . . . , 0 ) , ε 2 = ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , ε n = ( 0 , 0 , . . . , 1 ) \varepsilon_{1} =(1,0,...,0), \varepsilon_{2} =(0,1,...,0),...,\varepsilon_{n} =(0,0,...,1) ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)表示,这n个向量组被称作n维单位向量组或者n维基本单位向量组

    ( 1 2 3 ) = 1 ∗ ( 1 0 0 ) + 2 ∗ ( 0 1 0 ) + 3 ∗ ( 0 0 1 ) \left(\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\right) = 1*\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+2 *\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+3 *\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) 123=1100+2010+3001

    例题: β = ( − 3 , 2 , − 4 ) , α 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , α 2 = ( 2 , 1 , 0 ) , α 3 = ( − 1 , 1 , − 2 ) \beta = (-3,2,-4),\alpha_{1}=(1,0,1),\alpha_{2} = (2,1,0),\alpha_{3} = (-1,1,-2) β=(3,2,4),α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(1,1,2),请问 β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示?

    解:直接设 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \beta = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} β=k1α1+k2α2+k3α3,然后将向量带入
    ( − 3 , 2 , − 4 ) = k 1 ( 1 , 0 , 1 ) + k 2 ( 2 , 1 , 0 ) + k 3 ( − 1 , 1 , − 2 ) ⇒ { k 1 + 2 k 2 − k 3 = − 3 k 2 + k 3 = 2 k 1 − 2 k 3 = − 4 ⇒ { k 1 = 2 k 2 = − 1 k 3 = 3 (-3,2,-4) = k_{1} (1,0,1) + k_{2} (2,1,0) + k_{3} (-1,1,-2) \Rightarrow \begin{cases} k_{1} +2k_{2}-k_{3} =-3 \\ k_{2} +k_{3} =2\\ k_{1} -2k_{3} = -4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} =2 \\ k_{2}=-1\\ k_{3} = 3 \end{cases} (3,2,4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(1,1,2)k1+2k2k3=3k2+k3=2k12k3=4k1=2k2=1k3=3 β = 2 α 1 − α 2 + 3 α 3 \beta = 2\alpha_{1}-\alpha_{2}+3\alpha_{3} β=2α1α2+3α3

    规律:通过上面的例题,发现不管给出的向量是行还是列, α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn按列均作为方程组的系数, β \beta β按列作为右端常数项(对比一下上面的方程组)

    进一步发现: β \beta β 能否使用 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} α1,α2,α3进行表示 就变成了 方程组是否有解

    2 向量组的等价

    前面针对于矩阵的等价是指:矩阵A经过初等变换后可以变成矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价(矩阵的秩为:非零子式的最高阶数)
    向量组等价: α 1 , α 2 . . . α m \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m} α1,α2...αm β 1 , β 2 . . . β n \beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n} β1,β2...βn同维,若两个向量组可以相互线性表示,则称两个向量组等价,记作 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn}

    1)反身性: { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff\{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {α1,α2...αm}{α1,α2...αm}
    2)对应性: 若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn},则 { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { α 1 , α 2 . . . α m } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} {β1,β2...βn}{α1,α2...αm}
    3)传递性:若 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { β 1 , β 2 . . . β n } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\} {α1,α2...αm}{β1,β2...βn} { β 1 , β 2 . . . β n }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\beta_{1},\beta_{2}...\beta_{n}\}\iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {β1,β2...βn}{γ1,γ2...γs},则可推出 { α 1 , α 2 . . . α m }    ⟺    { γ 1 , γ 2 . . . γ s } \{\alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{m}\} \iff \{\gamma_{1},\gamma_{2}...\gamma_{s}\} {α1,α2...αm}{γ1,γ2...γs}

    3 线性相关与线性无关

    α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是n个m维向量,若存在一组不全为0 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{n}\alpha_{n} = 0 k1α1+k2α2+...+knαn=0 ,则称 α 1 , α 2 . . . α n \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{n} α1,α2...αn是线性相关

    线性无关:1)不是相关;2)找不到一组不全为0的 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn,3)若上述的等式成立,则说明 k 1 , k 2 , . . . k n k_{1},k_{2},...k_{n} k1,k2,...kn必全为0

    性质:
    1) 向量组中两向量成比例,则向量组是线性相关。按照比例将成比例的两个向量值化为0,其余的组合系数为0即可
    − 1 ∗ ( 1 2 ) + 1 2 ∗ ( 2 4 ) + 0 ∗ ( 0 1 ) + 0 ∗ ( 3 4 ) = 0 -1*\left(\begin{matrix} 1\\2\end{matrix}\right)+\frac{1}{2} *\left(\begin{matrix} 2\\4\end{matrix}\right)+0 *\left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) + 0* \left(\begin{matrix} 3\\4\end{matrix}\right)= 0 1(12)+21(24)+0(01)+0(34)=02)含有零向量的任一向量组必线性相关。 0 α 1 + 0 α 2 + . . . + 1 ∗ 0 = 0 0\alpha_{1}+0\alpha_{2}+...+1*0 = 0 0α1+0α2+...+10=0
    3)一个零向量必线性相关
    4) 一个非零向量必线性无关
    5)一个向量 α \alpha α如果线性相关    ⟺    α = 0 \iff \alpha = 0 α=0

    例题,若 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关,证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关

    解: 已知 α 1 , α 2 . . . α r \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r} α1,α2...αr线性相关    ⟺    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r = 0 \iff k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{r}\alpha_{r} = 0 k1α1+k2α2+...+krαr=0,其中 k 1 , k 2 , . . . k r k_{1},k_{2},...k_{r} k1,k2,...kr不全为0,

    预证明 α 1 , α 2 . . . α r , α r + 1 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{s} α1,α2...αr,αr+1,...,αs也是线性相关,则需要
    k 1 α 1 + k 2 α 2 . . . k r α r + k r + 1 α r + 1 , . . . , + k s α s = 0 , k 1 , k 2 , . . . k r , k r + 1 , . . . , k s 不 全 为 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}...k_{r}\alpha_{r}+k_{r+1}\alpha_{r+1},...,+k_{s}\alpha_{s} = 0, k_{1},k_{2},...k_{r},k_{r+1},...,k_{s}不全为0 k1α1+k2α2...krαr+kr+1αr+1,...,+ksαs=0,k1,k2,...kr,kr+1,...,ks0只需要将下标在r后的k值全都赋值等于0即可

    6)上述例子可以推出:部分组线性相关 ⇒ \Rightarrow 全部组线性相关;全体组线性无关 ⇒ \Rightarrow 部分组线性无关
    7) 无关的向量组,接长向量组也是线性无关的;接长向量组是线性相关的,那么截短的向量组也是线性相关的
    8) n个n维向量(向量的个数等于向量的维数),若构成的行列式 D ≠ 0 D \not=0 D=0,可得出向量组线性无关; D = 0 D =0 D=0,向量组线性相关
    ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ⇒ ∣ 1 0 3 1 1 1 1 1 0 ∣ (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0) \Rightarrow \begin{vmatrix}1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1&1 & 0 \end{vmatrix} (1,0,3),(2,1,1),(1,1,0)111011310
    9)n个单位向量组线性无关

    例题,判断向量组$(1,0,-1),(-1,-1,2),(2,3,-5)是否线性相关?

    解:直接按照定义,假设存在 k 1 , k 2 , k 3 k_{1},k_{2},k_{3} k1,k2,k3,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3} = 0 k1α1+k2α2+k3α3=0,然后带入向量组数组,就变成解方程组了
    { k 1 − k 2 + 2 k 3 = 0 − k 2 + 3 k 3 = 0 − k 1 + 2 k 2 − 5 k 3 = 0 ⇒ { k 1 = k 3 k 2 = 3 k 3 , 假 定 k = 1 , 则 说 明 存 在 不 全 为 0 的 值 使 得 式 子 为 0 ⇒ 线 性 相 关 \begin{cases} k_{1} -k_{2} + 2 k_{3} =0 \\ -k_{2} + 3k_{3} =0\\ -k_{1} + 2 k_{2} -5k_{3} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k_{1} = k_{3} \\ k_{2} =3k_{3} \end{cases},假定k=1,则说明存在不全为0的值使得式子为0 \Rightarrow 线性相关 k1k2+2k3=0k2+3k3=0k1+2k25k3=0{k1=k3k2=3k3,k=1,0使0线
    可以发现这里判断向量组线性相关还是线性无关的条件就变成了判断方程是够有非零解的问题,对照前面刚好也有一个类似的判定,是用来判定一个向量是否可以由其它向量组进行表示。

    区别:

    • 线性组合    ⟺    \iff 方程有解
    • 不是线性组合    ⟺    \iff 方程无解
    • 向量组线性相关    ⟺    \iff 方程有非零解
    • 向量组线性无关    ⟺    \iff 方程只有零解

    4 定理

    1) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关    ⟺    \iff 至少一个向量可由其余向量表示
    2) α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关, α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则 β \beta β可由 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs唯一线性表示

    证明:

    先证可线性表示
    α 1 , α 2 . . . α s , β \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s},\beta α1,α2...αs,β线性相关,则存在不全为零的 k 1 , k 2 , . . . k s + 1 k_{1},k_{2},...k_{s+1} k1,k2,...ks+1,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s + k s + 1 β = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} + k_{s+1}\beta= 0 k1α1+k2α2+...+ksαs+ks+1β=0假使这里的 k s + 1 = 0 k_{s+1} = 0 ks+1=0,则得到 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s = 0 k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+...+k_{s}\alpha_{s} = 0 k1α1+k2α2+...+ksαs=0,则 k 1 , k 2 , . . . k s k_{1},k_{2},...k_{s} k1,k2,...ks中必存在一个不为0的数,然而却又和 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关相矛盾,所以拒绝假使,只能是 k s + 1 ≠ 0 k_{s+1} \not= 0 ks+1=0,这时候同时除于这个不为0的系数后,将 β \beta β移到另一边就实现了 β \beta β α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性表示

    再证唯一性
    假设存在两组系数使得 β = m 1 α 1 + m 2 α 2 + . . . + m s α s ; β = n 1 α 1 + n 2 α 2 + . . . + n s α s \beta = m_{1}\alpha_{1}+m_{2}\alpha_{2}+...+m_{s}\alpha_{s};\beta = n_{1}\alpha_{1}+n_{2}\alpha_{2}+...+n_{s}\alpha_{s} β=m1α1+m2α2+...+msαs;β=n1α1+n2α2+...+nsαs,两式子相减就得到 ( m 1 − n 1 ) α 1 + ( m 2 − n 2 ) α 2 + . . . + ( m s − n s ) α s = 0 (m_{1}-n_{1})\alpha_{1}+(m_{2}-n_{2})\alpha_{2}+...+(m_{s}-n_{s})\alpha_{s}=0 (m1n1)α1+(m2n2)α2+...+(msns)αs=0,根据 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,所以可推出 m i − n i = 0 ⇒ m i = n i m_{i} - n_{i} = 0 \Rightarrow m_{i} = n_{i} mini=0mi=ni,故只存在唯一值

    3)替换定理: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性无关,可由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,则 s < = t s <= t s<=t

    这里举的例子就是小王、小李、小张的问题,都拿出他们爸爸的照片,如果说都拿出对应父亲的照片,那么自然他们的父亲就可以来代替儿子,如果一旦说只有两张不同,小张发现小王的爸爸老王的照片竟然和自己的父亲一样,问题就大了,所以不能小于,可以等于也可以大于,这个大于的理解是可以拿出多张父亲的照片也可以把母亲的照片也拿上。这个例子就可以很容易的理解这个替换定理

    4) 替换定理的逆否命题: α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs可以由 β 1 , . . . , β t \beta_{1},...,\beta_{t} β1,...,βt表示,且 s > t s > t s>t,则 α 1 , α 2 . . . α s \alpha_{1},\alpha_{2}...\alpha_{s} α1,α2...αs线性相关

    5)推论:若m>n(向量的个数大于向量的维数), m个线性n维向量组线性相关;n+1个n维向量一定线性相关

    6)推论:等价的线性无关组含向量的个数是相同的。相当于是 s < = t s <= t s<=t s > = t s >= t s>=t ,最后推出 s = t s= t s=t

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向量的线性表示例题