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  • 8.1 向量及其线性运算

    2020-11-30 20:14:18
    二、向量的线性运算 向量加法 ①平行四边形法则 如图,两个向量相加,做两个向量的平行向量组成平行四边形,即可得到结果向量 ②三角形法则 从向量OA起点指向向量AB终点的向量即为两个向量之和 向量加法的符合...

    本篇开始进行向量代数和空间解析几何的内容的总结。

    一、定义

    1. 向量:既有大小又有方向的量称为向量,又叫矢量。
      向量由大小(长度)和方向唯一确定的,与起点和位置无关,这样的向量称为自由向量。

    2. 向量相等:向量相等有两个条件,大小(长度)相等,方向相同。

    3. 向量的模
      在这里插入图片描述

    4. 向量的夹角在这里插入图片描述

    二、向量的线性运算

    1. 向量加法
      ①平行四边形法则
      在这里插入图片描述
      如图,两个向量相加,做两个向量的平行向量组成平行四边形,即可得到结果向量

    ②三角形法则
    在这里插入图片描述

    从向量OA起点指向向量AB终点的向量即为两个向量之和

    向量加法的符合加法交换律,这里就不说了,中学知识。

    1. 向量减法
      在这里插入图片描述
      从减向量终点指向被减向量终点的向量即为二者之差

    2. 数与向量的乘法
      `

    三、空间直角坐标系

    在这里插入图片描述
    第Ⅰ卦限:x>0;y>0;z>0
    第Ⅱ卦限:x<0;y>0;z>0
    第Ⅲ卦限:x<0;y<0;z>0
    第Ⅳ卦限:x>0;y<0;z>0
    第Ⅴ卦限:x>0;y>0;z<0
    第Ⅵ卦限:x<0;y>0;z<0
    第Ⅶ卦限:x<0;y<0;z<0
    第Ⅷ卦限:x>0;y<0;z<在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    四、向量线性运算的代数描述

    在这里插入图片描述

    五、向量的模、方向角与方向余弦、投影

    • 向量的模,即为向量的长度在这里插入图片描述
      参考上图可得,向量的模为分量的平方和开根号。
      两点之间的距离,实际上也就是两点所成向量的模长。
      在这里插入图片描述
    • 方向角与方向余弦
      在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    a向量与x、y、z轴的正方向的夹角称为向量a的方向角,记作α、β、γ
    称cos α、cos β、cos γ 为a向量的方向余弦在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例1在这里插入图片描述


    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    本篇完。

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  • 1. 向量加法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则) 2.向量减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则) ...3. 向量相加再投影等于投影后再相加 ...4. 向量相加的多边形法则 ...7. 向量的单位向量的定义 ...

     

    1. 向量加法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)

     

    2. 向量减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)

     

    3. 向量相加再投影等于投影后再相加

     

    4. 向量相加的多边形法则

     

    5. 向量加法的应用示例(求四边形对角线长度)

     

    6. 向量数乘的几何意义(向量的平行等于对应分量比例相等)

     

    7. 向量的单位向量的定义

     

    8. 向量线性运算(加法与数乘)在几何证明中的应用示例1

     

    9. 向量线性运算(加法与数乘)在几何证明中的应用示例2

     

    10. 空间两点间的距离公式

     

    11.向量的定比分点坐标公式

     

     

     

     

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  • 向量的基本运算专题

    2019-10-08 19:36:12
    在OIOIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标...

    关于向量

    高中数学必修44说:

    几何向量是线性空间中有大小与方向的量。

    放图理解一下:

    如上图所示,向量可以形象的用一根箭头表示。箭头所指代表向量的方向,线段的长度代表向量的大小。

    OIOI中,我们简化了一下向量的存储方式及运算法则,我们定义向量为起点为(0,0)(0,0)的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向,一般不考虑具体位置,故我们将向量平移至坐标系原点处以简化运算。

    所以,在之后的讲解中,我们默认向量和点已经被存在了一个结构体里面(向量和点记录的东西都是一个坐标):

    struct Point{
    	double x,y;  //注意这个double
    };
    

    如果想分清楚具体是点还是向量,那么只需要在结构体后加入一句:

    typedef Point Vector;
    

    这样我们就可以只开一个结构体而做到存储两种量。

    tips:如果您觉得只用Point即可,那么请将后文的Vector全部视为Point(这样写出来也没有任何问题)

    向量的运算法则(具体原理请查阅数学必修44

    前置:模长

    A|A|表示向量AA的长度,为一个数。

    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y);
    }
    
    前置:向量的方向


    (请暂且忽略BB以及βγ\beta和\gamma,后面要用)
    我们设向量AA(x,y)(x,y),那么
    cos(α)=sin(90α)=xAcos(\alpha)=sin(90^。-\alpha)=\frac{x}{|A|}
    sin(α)=cos(90α)=yAsin(\alpha)=cos(90^。-\alpha)=\frac{y}{|A|}
    那么,我们定义向量AA的方向为w(cos(α),sin(α))w(cos(\alpha),sin(\alpha))。

    点±向量=点
    //所有的重载运算符都定义在结构体外部,如果不重载运算符的话会很麻烦
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Point operator - (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    
    点-点=向量
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    

    友情提示:两个减的操作只需要写一个,如果实在看不顺眼,那么就讲其中一个减号改为另外一个不相冲突的符号。

    点+点无意义
    向量*常数=向量
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    									  //double很重要!!!
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    
    向量/常数=向量
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    
    向量±向量=向量

    代码同点±向量

    向量的点积

    令向量X=(x1,x2),Y=(y1,y2),X=(x_1,x_2),Y=(y_1,y_2),则有:

    定义式:XY=XYcos(γ)X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma),其中γ\gammaX,YX,Y的夹角

    但更通用的是这样一个式子:XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    
    几何意义:A在B所在方向的投影的模长和B的模长的乘积
    tips:如果向量A,BA,B的点积为00,则A,BA,B垂直

    证明如下:

    我们有上面讲到的向量的方向可知,
    cos(α)=x1X,sin(α)=x2Ycos(\alpha)=\frac{x_1}{|X|},sin(\alpha)=\frac{x_2}{|Y|}
    cos(β)=y1X,sin(β)=y2Ycos(\beta)=\frac{y_1}{|X|},sin(\beta)=\frac{y_2}{|Y|}
    γ=αβ\gamma=\alpha-\beta得:
    cos(γ)=cos(αβ)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)
    由数学必修4上一个著名公式得:
    cos(γ)=cos(αβ)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)=cos(\beta)cos(\alpha)+sin(\beta)sin(\alpha)
    cos(γ)=x1X×y1Y+x2X×y2Ycos(\gamma)=\frac{x_1}{|X|}\times\frac{y_1}{|Y|}+\frac{x_2}{|X|}\times\frac{y_2}{|Y|}
    cos(γ)=x1y1+x2y2XYcos(\gamma)=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{|X||Y|}
    XY=XYcos(γ)=x1y1+x2y2X\cdot Y=|X||Y|cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2

    向量的叉积

    定义式:XY=XYsin(γ)X*Y=|X||Y|sin(\gamma)

    通用的式子:XY=XYsin(γ)=x1y2x2y1X*Y=|X||Y|sin(\gamma)=x_1y_2-x_2y_1

    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    

    证明大体同上,需要用到另一个著名的式子:

    sin(αβ)=sin(α)cos(β)cos(α)sin(β)sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)

    几何意义:A转到B所夹平行四边形的有向面积

    简单地解释一下:

    A,BA,B不共线的情况下,如果AABB上面,那么它们的叉积就小于0,0,反之则大于00

    如果A,BA,B共线,那么它们的叉积就等于00

    基础运算完整代码

    struct Point{
    	double x,y;
    };
    typedef Point Vector; 
    Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
    	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
    }
    Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
    	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
    }
    Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
    }
    Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
    	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
    }
    double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.x+p.y*q.y;
    }
    double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
    	return p.x*q.y-q.x*p.y;
    }
    double Length(const Vector &p){
    	return sqrt(Dot(p,p));
    }
    
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  • 向量运算

    2020-02-29 15:09:26
    2.向量的模的运算法则线性代数中,向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示,如||v||,表示向量v的模。向量的模的计算公式如下: 对于2D,3D向量的如下 3. 标准化向量   对于许多向量,我们不需要...

    1. 零向量

    零向量每一维都是零,大小为零没有方向

    2. 向量的大小(模)

    1.向量的模的概念
      所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。

    2.向量的模的运算法则

    在线性代数中,向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示,如||v||,表示向量v的模。向量的模的计算公式如下:
    在这里插入图片描述
    对于2D,3D向量的如下
    在这里插入图片描述

    3. 标准化向量

      对于许多向量,我们不需要关注它的大小只需要关心它的方向,这种情况下使用单位向量将会非常方便。单位向量就是大小为1的向量,单位向量也被称为标准化向量。
      对于任意非零向量v,都能计算出一个和v方向相同的单位向量n,这个过程被称作为向量的“标准化”,要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可。
      在这里插入图片描述

    4.向量加减法

    1.向量的加法和减法的前提

      如果两个向量的维数相同,那么他们能够相加减,运算结果的向量的维数和原向量相同。

    2.运算法则

      向量的加法等于两个向量的分量相加,向量的减法相当于加上一个负向量。
      在这里插入图片描述

    5. 向量点乘

    定义
      向量点乘又被称为内积,即每个维度成绩的和。
      在这里插入图片描述
    几何解释
      点乘的结果描述了两个向量的相似程度,点乘结果越大,两个向量月相似。
      点乘等于向量大小与向量夹角的cos值的乘积;
      在这里插入图片描述
    向量投影
    在这里插入图片描述
    投影
    在这里插入图片描述
    法线
    在这里插入图片描述

    6. 向量的叉乘

    1.基本概念

    两个向量的叉乘得到是向量,且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。

      在这里插入图片描述

    2.数学运算公式

      在这里插入图片描述

    3.几何运算公式

      向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关,且成正弦函数关系,如果向量a和b是平行关系,则叉乘的结果为0,因为sin0为0
      在这里插入图片描述
    4.向量叉乘方向的判断

      向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手,四指弯曲符合向量叉乘的顺序,那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb,右手四指弯曲方向从a到b,大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。  
      在这里插入图片描述

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