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  • 本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。

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    一、向量

    1.1、向量定义

    向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量,指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

    1. 在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。
    2. 一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如 :
      在这里插入图片描述
      也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。但由于输入法不支持,本文后面的向量表示就不输箭头,如直接叫向量a、b、c。

    定义
    n个有顺序的数a1,a2,…,an组成的数组:
    a=(a1,a2,…,an)
    叫做n维向量,a1,a2,…,an叫做a的分量,ai叫做a的第i个分量。分量都是0的向量叫零向量

    两个向量相等当且仅当它们分量数量相同,且各分量都相等。

    1.2、向量的模和范数

    向量的模就是向量的大小,也就是向量的长度,表示符号为在向量两侧各加一竖线,如向量AB记作:
    在这里插入图片描述
    为了输入方便,以后老猿记为|向量AB|

    对于二维平面向量(x,y),其模长即为原点到该点的距离,大小为:
    在这里插入图片描述
    对于三维立体空间的向量(x,y,z),其模长为:
    在这里插入图片描述
    对于n维空间向量x(V1,V2,…,Vn),其模长为:
    在这里插入图片描述

    模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。

    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。

    1.3、向量的属性及自由向量

    • 向量规定了方向和大小,常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。
    • 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b。 零向量与零向量相等。
    • 当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示相同向量。
    • 一个向量只要不改变它的大小和方向,它的起点和终点可以任意平行移动的向量,叫做自由向量。自由向量可以平移至空间任意点,这样一来,若已知向量的大小和方向,则向量就算给出。例如物体运动时的速度和加速度就是自由向量,在数学中把自由向量,简称为向量。数学中只研究自由向量。
    • 因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

    1.4、单位向量

    长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量。与a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量。一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量。记作:
    在这里插入图片描述

    关于等式右边的含义,请参考下节关于向量点积的介绍:《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112411742 人工智能数学基础-线性代数2:向量的点积、內积、数量积和外积》。

    1.5、负向量

    如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反,那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。

    1.6、零向量

    长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。

    规定:所有的零向量都相等。

    1.7、固定向量

    固定向量也叫做胶着向量。在数学上指的是确定方向与大小、以及起点位置的向量。力学中的作用力就是固定向量。数学上不研究固定向量,只研究自由向量。

    1.8、滑动向量

    凡有大小及方向且需沿某一特定直线作用之向量,称之为滑动向量。

    滑动向量的起点在空间内固定的一条直线上,而固定向量是起点位置固定,而自由向量则什么都没有固定。

    1.9、位置向量

    对于坐标平面(原点O)内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:向量P。

    1.10、方向向量

    方向向量(direction vector)是一个数学概念,空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。

    1.11、平行向量、共线向量

    方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量。向量a、b平行(共线),记作a∥b。零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定。我们规定:零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。

    1.12、 两向量共线

    两平行向量 a与 b,可以平移至同一条与它们平行的直线上,故称此二向量a与b共线,也称向量a与b线性相关,否则,即 a不平行于b 时,称a与b线性无关。

    1.13、共面向量

    平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。
    空间中的向量有且只有以下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。
    注意:只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。

    1.14、法向量

    法向量,是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。

    二、向量的加减法

    向量的加法、减法以及向量与数的乘法都称为向量的线性运算

    向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁,向量的加减则是用代数方法进行几何运算。向量的加减法有几种方法。

    2.1、分量加减法

    向量的加减法就是对向量各个分量进行加减,假设有向量A(a1,a2,…,an)、向量B(b1,b2,…,bn),则:

    向量A+向量B = (a1+b1,a2+b2,...,an+bn) 
    向量A-向量B = (a1-b1,a2-b2,...,an-bn)
    

    2.2、头尾相接法(三角形定则)

    对n维空间的向量A1、A2、…、An,各向量在n维空间表现为一原点到对应向量点的有向线段,起点为原点,终点为向量对应坐标点。当A1、A2、…、An各向量按顺序相加时,A1对应线段保持位置不变,其他向量对应线段的长度和方向保持不变,但将平移到其起点与前一向量线段的终点重合,如此将所有相加的向量首尾相接,最后构成的图形中,原点到最后一个向量终点的线段即为所有向量相加的结果。

    如果是二维空间,则向量A1+向量A2+向量A3的过程及结果如下图左边:
    在这里插入图片描述

    如果只有两个向量相加,则两个相加的向量和最终的结果向量构成一个三角形,如上图右边。因此这种方法又叫三角形定则。当超出三个的多个向量相加时,可以采用先将第一个和第二个向量相加得到的结果再与第三个向量相加,然后其结果再与第四个向量相加,…,以此类推,直到获得最后的结果。

    以上方法,似乎只能用于求向量和,无法求向量差,其实向量减法也可以通过上述方法进行,将减去某个向量看成加上某个负向量,负向量与原向量的线段相同,只是箭头方向相反,即起点和终点相反,下图是 向量A1+向量A2向量A1-向量A2 三角形定则法计算过程及结果图:
    在这里插入图片描述

    2.3、平行四边形定则

    平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

    平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果为公共起点的对角线。下图为两个向量相加的三角形定则和平行四边形定则的对比,可以看到结果相同。
    在这里插入图片描述

    平行四边形定则解决向量减法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。下图为向量加减法的三角形定则法和平行四边形定则法的运算过程及结果对比:
    在这里插入图片描述
    当将以上两个图中右边图形的线条改成虚线,将二者原点重合,可以得到如下图:
    在这里插入图片描述
    可以看到两种方法得到的加法结果向量完全重叠,而减法向量为平行四边形的对边,只是起点不同。

    三、向量数乘

    3.1、定义

    数乘向量(scalar multiplication of vectors)是与一个实数和一个向量有关的一种向量运算,即数量与向量的乘法运算。n个相等的非零向量a相加所得的和向量,叫作正整数n与向量a的积,记为na。

    数乘向量的定义:一个数m乘一个向量a,结果是一个向量ma,称为数乘向量的积,其模是|m||a|,当m>0时,ma与a同向,当m<0时,ma与a反向,当m=0时,0a=0。

    这个定义可以形象地理解为,把向量a伸缩|m|倍,再由m的符号确定是否调向。

    3.2、相关规则

    • 向量的数乘实际上是加法的乘法表示,因此向量数乘m等于向量的各分量都乘以m
    • 对于任意向量a、b和任意实数λ,μ,有如下规则:
    1. 结合律:λ(μa) = (λμ)a
    2. 第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa
    3. 第二分配律:λ(a+b)=λa+λb。

    四、小结

    本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。

    参考资料:

    百度百科向量介绍

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  • 线性代数 向量

    千次阅读 2021-06-02 16:22:38
    向量运算 很简单的计算,考试也不会重点考 线性组合,线性表出 向量组的线性组合 这里的k是可以为0的。 线性表出 β能被线性组α线性表出 向量线性相关,线性无关(非常重要) 线性相关 满足上式且k是一...

    向量的定义

    在这里插入图片描述
    维数:向量中数的个数。
    这里的a都是数字。
    在这里插入图片描述
    这是一个矩阵,和上述向量有本质的区别。

    向量的运算

    很简单的计算,考试也不会重点考
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    线性组合,线性表出

    1. 向量组的线性组合

    在这里插入图片描述
    这里的k是可以为0的。

    • 线性表出
      在这里插入图片描述
      β能被线性组α线性表出

    向量组线性相关,线性无关(非常重要)

    1. 线性相关
      在这里插入图片描述
      满足上式且k是一组不全为0的数,则称α1,…αn线性相关。

    向量组α1,…αn线性相关的充要条件

    • 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出
    • 矩阵A=(α1,…αn)的秩 r(A)<n

    齐次方程组

    证明如下:
    (1) 因为线性相关,则当k1不为零时 必然有
    在这里插入图片描述
    即α1可以由其余向量线性表出
    (2) 因为线性相关,则某一向量可由其余向量线性表出,假设αn可以由其余向量线性表出。
    那么
    在这里插入图片描述
    (3) 因为线性相关,根据线性相关的定义,x1…xn不全为零,即存在非零解。
    在这里插入图片描述
    其他性质
    在这里插入图片描述

    证明过程如下:

    (2) 因为n个n维向量线性相关,那么这n个n维向量构成的方阵的秩必然小于n,即至少存在一行全为0,那么行列式的值为0

    (3) n+1个n维向量组成的矩阵维n行,n+1列,根据矩阵秩的性质,矩阵的秩小于等于min(m,n),即
    在这里插入图片描述
    向量够成的矩阵小于向量个数,即向量组线性相关。

    (4)
    在这里插入图片描述
    所以存在一组不是全部为0的x值,使得上式成立,α1,…αn线性相关,即若部分相关,则整体相关。
    根据逆否命题,还可以得到 若整体无关,则部分无关。

    (5) 这条定理显然成立。
    延申是只在列向量组的下方添加几行,在行向量组的右方添加几列。
    在这里插入图片描述
    上式说明存在一组非零的k(k不是全部为0)使得列向量组线性相关,那么下式也成立。

    在这里插入图片描述
    这便是 延伸组线性相关,原向量组也线性相关。

    有同学会混淆 这条结论和上一条结论,认为这不就说明整体线性相关推出部分线性相关了吗?其实要注意我所说的整体相关是在列向量组的右方增加了若干列向量,而延伸组是在列向量组的下方增加了若干行向量。

    同样根据逆否命题可以得出,向量组线性无关,那么他的延伸组也线性无关。

    • 线性无关
      在这里插入图片描述
      只有当所有的k为0时上式成立,则称α1,…αn线性无关。

    线性无关的充要条件

    • 任一向量αi都不能由其余的向量线性表出
    • 矩阵A=(α1,…αn)的秩 r(A)=n

    在这里插入图片描述

    证明上述结论:
    (1) 根据向量组线性无关的概念,所有的k都为0,那么由于分母不能为零,向量αi不能由其余的向量线性表出

    (2) 线性无关,那么不能经过初等变换,是某一行元素全部为0。所以向量组构成的矩阵的秩=向量的个数n。

    (3) 在这里插入图片描述
    方程组只有零解时,根据线性无关的概念,向量组线性无关。

    在这里插入图片描述
    这两条结论也很常用,在上述证明向量组线性相关时已说明,可自行查阅。

    向量与向量组的线性表出

    在这里插入图片描述
    根据向量组线性相关和无关的充要条件,可以得出
    在这里插入图片描述
    这说明β可由向量组α线性表出。
    表示法唯一可由反证法证明,假设有两种表示法。
    在这里插入图片描述
    根据α向量组线性无关,那么x等于k,即β只有一种表示法。

    在这里插入图片描述
    第二条很容易理解,根据初等变换不改变秩的性质。
    充分性证明:
    在这里插入图片描述
    必要性证明:

    第三条定理:
    在这里插入图片描述

    如有错误,请在评论区指出。

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  • 答:数字的加、减、乘、除的基本运算同理,上一篇学习了什么是向量之后,我们接着来学习向量的基本运算我们先来看一个东西,如下图相信,很多人都不会陌生,我们高中学习物理的时候,都学习过平行四边形定则。...

    我们在小学的时候,学完了什么是数字之后,接下来学习的是什么呢?

    答:数字的加、减、乘、除的基本运算

    同理,上一篇学习了什么是向量之后,我们接着来学习向量的基本运算

    我们先来看一个东西,如下图

    相信,很多人都不会陌生,我们高中学习物理的时候,都学习过平行四边形定则。两个力合成时,以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形,这个平行四边形的对角线就表示合力的大小和方向,这就叫做平行四边形定则(Parallelogram law)。

    但是为什么会这样啊?大家想过没有??

    虽然可以从不同的角度,不同的学科来解释,但是这里数学的几何来直观的解释:

    我们知道力是矢量,也就是向量,既有大小又有方向

    我们使用下面数学的这个例子来说明平行四边形法则:

    我们可以理解为:

    从原点出发,先走到(5,2)这个位置,再从(5,2)这个位置出发,再走(2,5)这个向量所对应的这么多的位移,最终我们到达的这个位置就是向量加法的结果最终的结果相当于从(0,0)这个位置到达了(7,7)这个位置的位移

    连接起点(0,0)和终点(7,7)就有一个三角形的形状,这不就是我们物理中学习的三角形定则吗?

    其实;三角形定则是平行四边形定则的简化。平行四边形定则的实质是一样的 ,都是矢量运算法则的表述方式。

    如果我们在三角形的另外一侧相应的补上和这两个向量平行的两条边的话,就出现了平行四边形

    总结这个过程:

    从原点(0,0)出发,先向x轴方向移动了5个单位,再向y轴移动了2个单位,这个就是(5,2)这个向量表示的含义

    接着,从(5,2)这个坐标点,先向x轴移动2个单位,再向y轴移动5个单位,(2,5)向量表示的含义

    最终我们从原点(0,0),总共向x轴移动了7个单位,总共向y轴移动了7个单位,这就是我们得到的向量(7,7)

    总结出结论:

    抽象,从2维扩展到3维:

    同样扩展到n维:

    这里向量的减法就不做说明和演示了,因为减法的本质其实可以理解为加法,因为“减去一个数相当于加上这个数的相反数”

    向量的数量乘法:

    总结:

    下面使用Python来实现向量的基本运算:

    class Vector:

    def __init__(self, lst):

    self._values = list(lst)

    def __add__(self, another):

    """向量加法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in adding. Length of vectors must be same."

    # return Vector([a + b for a, b in zip(self._values, another._values)])

    return Vector([a + b for a, b in zip(self, another)])

    def __sub__(self, another):

    """向量减法,返回结果向量"""

    assert len(self) == len(another), \

    "Error in subtracting. Length of vectors must be same."

    return Vector([a - b for a, b in zip(self, another)])

    def __mul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:self * k"""

    return Vector([k * e for e in self])

    def __rmul__(self, k):

    """返回数量乘法的结果向量:k * self"""

    return self * k

    def __pos__(self):

    """返回向量取正的结果向量"""

    return 1 * self

    def __neg__(self):

    """返回向量取负的结果向量"""

    return -1 * self

    def __iter__(self):

    """返回向量的迭代器"""

    return self._values.__iter__()

    def __getitem__(self, index):

    """取向量的第index个元素"""

    return self._values[index]

    def __len__(self):

    """返回向量长度(有多少个元素)"""

    return len(self._values)

    def __repr__(self):

    return "Vector({})".format(self._values)

    def __str__(self):

    return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values))

    测试代码:

    from playLA.Vector import Vector

    if __name__ == "__main__":

    vec = Vector([5, 2])

    print(vec)

    print("len(vec) ={}".format(len(vec)))

    print("vec[0] ={}, vec[1] ={}".format(vec[0], vec[1]))

    vec2 = Vector([3, 1])

    print("{}+{}={}".format(vec, vec2, vec + vec2))

    print("{}-{}={}".format(vec, vec2, vec - vec2))

    print("{}*{}={}".format(vec, 3, vec * 3))

    print("{}*{}={}".format(3, vec, 3 * vec))

    print("+{}={}".format(vec, +vec))

    print("-{}={}".format(vec, -vec))

    运行结果:

    向量运算的基本性质:

    回忆我们⼩学时学习的数的运算,我们也要先有数的运算的相关性质,之后才敢进⾏更加复杂的运算

    ⽐如:加法交换律,乘法交换律,加法结合律,乘法结合律,等等

    对于向量运算,我们也要这么做

    零向量

    Python实现零向量:

    只需要在我们的Vector方法中添加一个这样的类方法:

    @classmethod

    def zero(cls, dim):

    """返回一个dim维的零向量"""

    return cls([0] * dim)

    测试效果:

    总结:

    两个视角看待了向量:有向的线段

    高维空间中的数据点

    两个视角可以相互转换

    展开全文
  • 3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关) (1)两个二维向量张成的空间 (2)两个三维向量张成的空间 (3)三个三维向量张成的空间 4. 向量和点的关系 一、什么是向量 1. 向量的表达方式 给定两个矩阵,我们...

    课程地址:【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集

    目录

    一、什么是向量

    1. 向量的表达方式

    2. 向量的加法

    3. 向量的数乘

    二、线性组合、张成的空间和基

    1. 坐标系的基

    2. 线性组合

    3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)

    (1)两个二维向量张成的空间

     (2)两个三维向量张成的空间

    (3)三个三维向量张成的空间

    4. 向量和点的关系


    一、什么是向量

    1. 向量的表达方式

    给定两个矩阵,我们很容易就能算出它的结果,但是他的几何意义是什么呢?

     对于向量的认识,我们其实在高中阶段就已经接触过,在不同学科有不同的表达方式:

     物理学:向量有大小和方向。处于平面中的向量是二维的,我们所生活的空间中的向量是三维的。

      

     

    计算机:向量是数字列表,比如对房价进行建模,共有面积和价格两个特征,他们就可以组成二维向量。

      

           

    数学:向量可以是任何东西,只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。

    在物理学中,向量可以在任何位置(向量是空间中的箭头);但是在线性代数中,向量经常以原点作为起点。

    向量是有序的数字列表:我们可以利用坐标系来理解这个概念。

    三维空间中的向量有三个数来表达,2:代表这个数沿着平行x轴走多远,1:代表这个数沿着平行y轴走的距离; 3:代表这个数沿着z轴走的距离。每一个向量恰好对应唯一的一个三元数组。

    2. 向量的加法

    向量的加法符合三角形法则。

        

         

     

    为什么向量的加法要这样定义呢?其实二维平面向量的加法运算可以看为在数轴上运算的拓展。

    如下图所示,先向右移动2步,再向右移动5步的总体效果与向右移动7步一样。

    类比到二维空间。第一个向量的坐标是(1,2),第二个向量的坐标是(3,-1),当你用向量首尾连接的方法计算向量之和时,向量之和可以把它看做一个从原点出发,到第二个向量终点的四步运动。可以看做先沿着x轴走了4步,然后沿着y轴走了1步。

          

          

      所以向量之和相加的结果就是对应的x向量相加,以及对应的y向量相加。

    3. 向量的数乘

     比如一个向量前面乘以1/3,相当于这个向量的长度缩短为原来的1/3。如果是与-1.8相乘,相乘后的结果是这个向量首先反向,然后伸长为原来的1.8倍。

    这种拉伸或者压缩,有时又使向量反向的过程称为“缩放”。几何角度看是缩放,实际上就是数乘。这个数字就叫标量。

        

        

    数字与向量相乘,相当于将其每个分量都分别与数字相乘。

      

         

    线性代数围绕两种基本运算:向量的加法与向量的数乘。

    二、线性组合、张成的空间和基

    1. 坐标系的基

    i和j向量长度都为1.

         

         

       如果我们任意选择两个向量为基向量,我们可以根据这两个向量得到空间中任何向量。

    当我们使用数字描述向量时,他是依赖于我们正在使用的基。不同的基向量的表达数字也不一样。

    2. 线性组合

    线性组合:两个数乘向量的组合被称为这两个向量的线性组合。

    如果固定一个标量,让另一个标量自由变化,所产生的向量的重点会描出一条直线。下图是分别固定w和v向量的标量后的变化情况。

       

          

    3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关)

    (1)两个二维向量张成的空间

    向量张成的空间通俗的解释:仅通过向量的加法与向量的数乘这两种基础运算,你能获得的所有可能的向量集合是什么?

    比如如果v和w向量不共线,他们向量张成的空间就是一个二维平面。通过加法和数乘运算后的向量的终点可能在二维平面的任意位置。

    如果v和w向量共线,那他们向量张成的空间就是一条直线。终点始终落在一条直线上。

    对大部分二维向量对来说,他们张成的空间是整个无限大的二维平面。但是如果贡献,他们张成的空间就是一条直线。

      

          

     (2)两个三维向量张成的空间

    两个三维向量张成的空间是什么样的呢?

    (这两个向量张成的空间就是它们所有可能的线性组合,也就是缩放再相加之后的所有可能得到的向量)

    最终得到的向量的终点会画出三维空间中某个过原点的平面。这个平面就是这两个三维向量张成的空间。换句话说,所有终点落在这个平面上的向量的几何是这两个向量张成的空间。

    (3)三个三维向量张成的空间

    那么三个三维向量张成的空间是什么样的呢?(选择三个标量,对三个向量分别进行缩放,然后再相加)

     

        

    一共有两种情况:

    [1] 如果第三个向量恰好落在前面两个向量所张成的平面上,或者其中有两个向量刚好共线。即一组向量中至少有一个是多余的,没有对张成空间做出任何贡献。你有多个向量,并且可以移除其中一个而不减小张成的空间,这种情况下,我们称他们为线性相关的。这个向量可以表示为其他向量的线性组合,因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。

    [2] 如果向量都给张成的空间增添了新的维度,它们就被称之为“线性无关”的

    4. 向量和点的关系

    当我们在二维平面用向量的方式表达时,当所有的二维向量铺满平面时,你会觉得非常拥挤。为了应付这种情况,通常我们就用向量的终点代表该向量(起点仍然位于原点)。

    实际上,你就不必考虑所有的箭头了,只需要考虑无限大的二维平面本身即可。

      

       

     当你只用考虑一个向量时,可以把它看做一个箭头;当考虑多个向量时,可以把它看做点。

    向量中一组基的严格定义:张成该空间的一个线性无关向量集。

     

     

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