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  • 向量的维度是什么意思
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    2019-01-07 10:07:57


    参考来源: 知乎

    维度

    英文解释

    dimension: an aspect, or way of looking at or thinking about sth 即方面;侧面
    例句:
    Her job added a new dimension to her life.
    the social dimension of unemployment.

    维度内涵

    n维其实就是n dimension,也就可以理解为n个方面。

    向量

    n维向量其实是维度(n维)的一个集合,把这n个方面放到了一起{x1,x2,xn}。
    一个n维向量是一个n维欧式空间(元素是n维向量)的一个点。
    比如对于n维向量{x1,x2,…,xn}=x1{1,0,…,0}+…+xn{0,0,1}
    其实在n维空间上就是由
    n个基构成的一个线性组合

    换句话说,它也是其在n维直角坐标系中的一个点。
    当然,这里的直角的含义是,n基两两正交。

    空间

    空间,更好的理解方式应该是一个范围,一个集合(n维向量的集合),一个包含了一堆有联系的东西

    n维空间(维度空间)

    不同的方面的集合,在一个空间中,不同的方面有联系(可以理解为因为在一个空间中)

    示例

    描述一个手机可以利用n维向量:
    n维:颜色、大小、运行速度、像素、安卓系统、重量…(手机的各个方面)(亦是n维向量)
    描述所有的手机可以用n维空间:
    里面有n维向量(n*n矩阵)

    总结

    重点:
    空间中若干个向量
    向量有n维元素
    共同组成了(m*n矩阵)

    n维向量是一种工具或语言,n维空间并不是现实空间。
    就像你怎么想象中文或者英语或者法语呢,也许你可以想到一本字典,你可以想到一篇文章,但是没理由把它们想象成空间吧。
    n维向量也一样,你可以把它想成一种语言吧,然后矩阵就是一篇文章啦,这篇文章记录了你需要的n个方面的各种信息。

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    1.定义:

    维度(dimensionality),又称为维数,是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内,指独立的时空坐标的数目。0维是一个无限小的点,没有长度。1维是一条无限长的直线,只有长度。2维是一个平面,是由长度和宽度(或部分曲线)组成面积。3维是2维加上高度组成体积。4维分为时间上和空间上的4维,人们说的4维通常是指关于物体在时间线上的转移。

    (4维准确来说有两种。1.四维时空,是指三维空间加一维时间。2.四维空间,只指四个维度的空间。)四维运动产生了五维。

    哲学上,维度相当于“角度”,指的是人们思考看待问题的切入点,例如,人们观察与思考“月亮”这个事物,可以从月亮的“内容、时间、空间”三个思维角度去描述。

    2.理解: 

    数学上:

    通常的理解是:“点是0维、直线是1维、平面是2维、体是3维”。实际上这种说法中提到的概念是“前提”而不是“被描述对象”,被描述对象均是“点”。故其完整表述应为“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。

    再进一步解释,在点上描述(定位)一个点就是点本身,不需要参数;在直线上描述(定位)一个点,需要1个参数(坐标值);在平面上描述(定位)一个点,需要2个参数(坐标值);在体上描述(定位)一个点,需要3个参数(坐标值)。

    如果我们改变“对象”就会得到不同的结论,如:“直线基于平面是4维、直线基于体是6维、平面基于体是9维”。进一步解释,两点可确定一条直线,所以描述(定位)一条直线在平面上需要2×2个参数(坐标值)、在体上需要2×3个参数(坐标值);不共线的三点可确定一个平面,所以在体上描述(定位)一个平面需要3×3个参数(坐标值)。

    向量中:

    n个有次序的数 a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n} 所组成的数组称为 n 维向量,这 n 个数称为该 n 维向量的 n 个分量,第 i 个数 a_{i} 称为第 i 个分量。

    向量既可以是行向量也可以是列向量,但不管是行向量还是列向量,都把向量中的分量的总个数称为向量的维度,也就是说,向量的维度理解为向量的长度

    几何中:

    “空间”通常是作为点的集合,即构成“空间” 元素是点,这样的空间称为点空间,我们把3维向量的全体集合:

    \mathbb{R}^{^{3}}=\left | \mathbf{\mathbf{r}}=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})^{T}|\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in \mathbb{R}) \right |

    叫做3维向量空间。

    类似地,n 维向量的全体组成的集合:

    \mathbb{R}^{^{n}}=\left | \mathbf{\mathbf{r}}=(\mathbf{1},\mathbf{2},\cdots \mathbf{n})^{T}|\mathbf{1},\mathbf{2},\cdots \mathbf{n}\in \mathbb{R}) \right |

    叫做 n 维向量空间。

          

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    1. 对于数组和Series来说

    对于数组和Series来说,维度就是功能shape返回的结果,shape中返回了几个数字,就是几维。索引以外的数据,不分行列的叫一维(此时shape返回唯一的维度上的数据个数),有行列之分叫二维(shape返回行x列),也称为表。一张表最多二维,复数的表构成了更高的维度。当一个数组中存在2张3行4列的表时,shape返回的是(更高维,行,列)。当数组中存在2组2张3行4列的表时,数据就是4维,shape返回(2,2,3,4)。

     

    数组中的每一张表,都可以是一个特征矩阵或一个DataFrame,这些结构永远只有一张表,所以一定有行列,其中行是样本,列是特征。针对每一张表,维度指的是样本的数量或特征的数量,一般无特别说明,指的都是特征的数量。除了索引之外,一个特征是一维,两个特征是二维,n个特征是n维。

     

    2. 对于图像来说

    对图像来说,维度就是图像中特征向量的数量。特征向量可以理解为是坐标轴,一个特征向量定义一条直线,是一维,两个相互垂直的特征向量定义一个平面,即一个直角坐标系,就是二维,三个相互垂直的特征向量定义一个空间,即一个立体直角坐标系,就是三维。三个以上的特征向量相互垂直,定义人眼无法看见,也无法想象的高维空间。

     

    3. 降维算法中的“降维”

    降维算法中的”降维“,指的是降低特征矩阵中特征的数量。上周的课中我们说过,降维的目的是为了让算法运算更快,效果更好,但其实还有另一种需求:数据可视化。从上面的图我们其实可以看得出,图像和特征矩阵的维度是可以相互对应的,即一个特征对应一个特征向量,对应一条坐标轴。所以,三维及以下的特征矩阵,是可以被可视化的,这可以帮助我们很快地理解数据的分布,而三维以上特征矩阵的则不能被可视化,数据的性质也就比较难理解。

     

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    《AutoEmb: Automated Embedding Dimensionality Search in Streaming Recommendations》论文阅读笔记

    1. 背景:
      基于深度学习的推荐系统,能够有效获得用户项目之间的非线性关系,并学
      习他们的特征。主要由三部分组成:
      (1) 嵌入层:将用户项目特征从高维空间映射到低维空间中;
      (2) 隐藏层:对输入特征进行非线性变换;
      (3) 输出层:基于特征进行预测
    2. 已有研究:
      为用户,项目嵌入向量预定义一个固定统一的维数。重点关注隐藏层和输出层。
    3. 存在问题:
      (1) 实际中存在大量用户,项目,并且流行度会动态变化,因此嵌入向量大小的选择是RS中的问题。
      (2) 对于第一个隐藏层,很难处理嵌入层的不同维数。
    4. 本文:
      基于AutoML的端到端框架,以一种自动动态变化的方式根据流行度改变嵌入向量的维数。
      在这里插入图片描述
    5. 详细:
      规模小使用短的嵌入向量,随着规模的增加,使用长的嵌入向量。
      基本的处理方法:将不同的嵌入维数转换为相同的(使用全连接层),转换以后的嵌入向量变化很大(使用BatchNorm),最终RS只需要选择(软,加权)一部分转换以后的嵌入向量进行预测。
      嵌入向量大小的选择:使用AutoML
      输入:当前用户/项目流行度 + 上下文信息(如先前的超参数,损失等);
      输出:经过softmax函数,选择第n个嵌入空间的概率。
      在这里插入图片描述
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