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  • 向量 空 间 基 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 ...

    向量 空 间 基 和 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 。 定义 工 如果在 向量空 间 中有 个线性无关的 向量 , 但是没有更多数 目的线性无关 的向量 , 那 么 称为 维的 。 在 维向量空间 中, 个线性无关的向量 。 , 。 , 一 , 。。 , 称为 的一个基 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在 向量组 。 、 , 。 , ⋯ , 。。 , 使得 , , ⋯ , 。。线性无关 的每一个向量都 可以 由。 , 。 , ⋯ , 。。线性表示则称 “ , , 。 , ⋯。。 为 的一个基 。 向量空 间 的基所含向量的个数叫做 的维数 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在有限个向量 , , , ⋯ , 。 , 使得 的每 一 个 向 量都是这 个向量的线性组合 , 则称 为有限维向量空间 , , , , ⋯ , 叫做 的一组 生 成元 , 用符号 , , , ⋯ , 。 表示 。 向量空间 的一组线性无关的生成元 , 叫做 的一个基 。 非零有限维 向量空 间 的任一基所含向量的个数 , 称为 的维数 。 以上三种定义的等价性问题 , 就是要从一种定义推 出其充分必要条件为另一种定义 , 现分别加 以证 明 。 命题 工 乡 亚 证明 由定义 工知 , 维向量空间 有 个线性无关的向量 , , , ⋯ , 。。 , 任取日任 , 并且 日, , , 。 , ⋯ , “。线性相关 , 那么 , 日可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 从而得定义 亚 。 由定义 狂的条件 知 , 向量空 间 有 个线性无关的向量 。 , , 。 , ⋯ , 。。 , 在 中任取 十个向量 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , , 由条件 , 它们可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 如果它们线性 无关 那 么 , 由替换定理 , 有 簇 , 矛盾 , 故 日 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , 线性相关 , 从而得定义 。 命题 兀 乡 证 明 由定义 , 。 , , 。 , ⋯ , 。 线性无关 , 的每一个向量都可 由。 , 。 , ⋯ , ‘ 线性表 示 于是“ , , , ⋯ , “二 是 的线性无关生成元 , 得定义 。 由定义 贾 , 若。 , , 。 , ⋯ , 。。是向量空间 的线性无关生成元 , 那么。 , 。 , ⋯ , 。 线 性无关 且 中每一向量都可 由。 , 。 ⋯ , 。, 线性表示 , 从而得定义 。 由命题 和命题 立 即得到命题 受二令 工 下面讨论求非零有限锥 向量空间基和维数的方 法 设 。 , 是零空间 , 它没有基 , 维数是零云 设 等 是数域 上的有限维向量空 间 , 中至少有一个非零向量 钾 , 它 是线性无关的 , 若 中其余向量都可 由 , 线性表示 , 则 是 的基 , 是一维的 。 若 〔 , 且 不能 由 线性表示 , 那么 , 线性无关 , 如果 中其余向量都可由 , , 线性表示 , 那么 , , 是 的基 , 且 是二维的 。 如果还有 〔 , 且 。不能 由 , , 线性表示 , 类似地 , 可取 , , 。 为 的基 。 这样的过程继续进行下去 , 因为 是有限维的 , 总可 以找到这样一 个 正 整数 , 使 得 」 , , ⋯ , 。 线性无关冬 中每一个向量均可 由 , , ⋯ ,

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  • matlab纵向一维数据维数不一致合成两语音波形数据简单合成一试听播放sound(w,18000)sound(波形数据,采样频率)%两维度不一样的纵向数组波形文件合成一音轨%code by Xu__Jiayu%使用方法 假如这函数在空间...

    matlab

    纵向一维数据维数不一致合成

    两个语音波形数据简单合成一个

    试听播放

    sound(w,18000)

    sound(波形数据,采样频率)

    %两个维度不一样的纵向数组波形文件合成一个音轨

    %code by Xu__Jiayu

    %使用方法 假如这个函数在空间文件中名字为trackfun.m

    %>>w=trackfun(a,b)

    %a b 可以是不同维度的纵向数组

    %样例:

    %>>a1=[1;2;3;4;5]

    %>>a2=[1;3;6]

    %>>c=trackfun(a1,a2)

    function [ouw]=track_n_1(in1,in2)

    len1=size(in1);

    len2=size(in2);

    if len1(1,1)

    ouw=[in1;linspace(0,0,(len2(1,1)-len1(1,1)))']+in2;

    else

    ouw=[in2;linspace(0,0,(len1(1,1)-len2(1,1)))']+in1;

    end

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  • 线性空间的基和维数

    千次阅读 2020-12-19 12:50:01
    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.一. 域F上线性空间...

    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.

    一. 域F上线性空间的定义及其简单性质

    定义1. 一个非空集合V,如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射),其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射),并满足下述8条运算法则

    1.

    2.

    3.V中有一个元素,记作0,它使得

    具有该性质的元素0称为V的零元;

    4.对于

    ,存在

    ,使得

    具有该性质的元素

    称为 V 的零元.

    5.

    其中 1 是 F 的单位元.

    6.

    7.

    8.

    那么称V是域F上的一个线性空间.

    从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质:

    性质1. V中的零元是唯一的.

    性质2. V中每个元素

    的负元是唯一的.

    性质3.

    性贾 4.

    性质 5.

    性质 6.

    二.向量集的线性相关与线性无关

    命题1. 在域F上的线性空间V中,如果向量组的一个部分组线性相关,那么这个向量组线性相关.

    命题2. 在域F上的线性空间V中,包含零向量的向量集是线性相关的.

    命题3. 在域F上的线性空间V中,元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.

    命题4. 在域F上的线性空间V中,设非零向量

    可以由向量集W线性表出,则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.

    命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组

    线性无关, 则向量

    可以由向量

    线性表出的充分必要条件为

    线性相关.

    三.基和维数

    定义2.设V是域F上的线性空间,V中的向量集S如果满足下述两个条件:

    1.向量集S是线性无关的;

    2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.

    定义3. 设V是域F上的线性空间,如果V有一个基是由有限多个向量组成,那么称V是有限维的;如果V有一个基含有无穷多个向量,那么称V是无限维的.

    定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的,那么V的任意两个基所含向量的个数相等.

    推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的,那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    证明: 假如V有一个基为

    那么可知V的任意一个基都含有n个向量,这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    定义4.设V是域F上的线性空间,如果V是有限维的,那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数,记作

    如果V是无限维的,那么记

    岩宝小提示:只含零向量的线性空间的维数为0.

    命题6. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n+1个向量都线性相关.

    命题7. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

    命题8.设V是域F上的n维线性空间,如果V中的每一个向量都可以由向量组

    线性表出,那么

    是 V 的一个基.

    命题9.设V是域F上的n维线性空间,则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设

    (1)证明:全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间,记为 C(A).

    (2)求C(A)的维数与基.

    证明 :(1)

    任意

    由于

    所以

    所以

    对任意的

    所以

    又因为矩阵都满足线性空间的运算律

    所以C(A)是R上的线性空间.

    (2)设

    且AB=BA,可得

    故可得

    为C(A)的一组基,从而

    岩宝小提示:当出现可交换矩阵的时候,一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域,

    表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合,对于矩阵的加法及数乘运算,

    是 P 上的线性空间,令

    求 V 的基.

    解:任取

    而 B 可由

    线性表示,而 c 的对角元满足

    其基础解系为

    故C可由

    线性表示,从而V的基为

    岩宝同步思考练习

    1.(2004 陕西师范大学)设

    矩阵,其中

    (1) 求 det(A).

    (2)设

    求 W 的维数及一组基.

    2.(2003武汉大学)设

    (1)求A的秩.

    (2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.

    3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数;

    (2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数

    4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组

    的解空间W是3维的,试求a,b的值,并求W的一组基,解空间有可能为2维空间吗?

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  • 线代有很难理解的知识点,即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重。 这结论是怎么来的呢?本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这知识点(结论推导所用的都是基础的线代知识,只是有些数学式子...

    线代有个很难理解的知识点,即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。 这个结论是怎么来的呢?本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点(结论推导所用的都是基础的线代知识,只是有些数学式子比较复杂,认真看完,理解很容易,相信自己!)。

    a.首先一起看下会用到的两个tips:

    tip 1:一定可以找到n个线性无关的n维向量,且它们可以表示任何一个n维向量

    比如2维向量:能找到 α 1 = ( 1 , 0 ) T 和 α 2 = ( 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0)^{T} 和 \alpha_{2}=(1,1)^{T} α1=(1,0)Tα2=(1,1)T
    两个线性无关的向量,能表示二维平面里面的所有向量。
    3维向量:能找到 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , 1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0,0)^{T} , \alpha_{2}=(1,1,0)^{T} ,\alpha_{3}=(0,1,1)^{T} α1=(1,0,0)Tα2=(1,1,0)Tα3=(0,1,1)T三个线性无关的向量,能表示三维立体空间里面的所有向量。

    例图

    tip 2:来计算一下某种行列式的值

    n阶行列式:
    在这里插入图片描述
    以5阶为例,一起来找规律。
    找规律
    由此可见,其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。

    于是我们将此规律扩展到n维:
    在这里插入图片描述

    拓展到n维(为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
    至此两个需要用到的tips讲完了,接着开始证明。

    b.准备就绪,开始证明:

    设A为n阶矩阵, λ 1 \lambda_{1} λ1 是它特征值(重根), α 1   α m \alpha_{1} ~ \alpha_{m} α1 αm 分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m

    证明:
    1.构造一个n阶可逆矩阵P:

    由于 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α m \alpha_{m} αm 为n维向量,所以一定能找到 α m + 1 \alpha_{m+1} αm+1 ~ α n \alpha_{n} αn,使 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性无关且可以表示任何一个n维向量(根据前面tip 1得到的)
    因此可以构造出一个n阶可逆矩阵
    P = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … , α n ) P=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right) P=(α1,α2,,αm,αm+1,αn)

    2.A左乘可逆矩阵P:

    A P = ( A α 1 , A α 2 , … , A α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( A\alpha_{1} ,A\alpha_{2} ,…,A\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(Aα1,Aα2,,Aαm,Aαm+1,Aαn)
    由特征值与特征向量的关系: A α i = λ 1 α i A\alpha_{i}=\lambda_{1}\alpha_{i} Aαi=λ1αi (其中i=1,2,……,m)得
    A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,Aαm+1,Aαn)
    又因为: A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果为n维向量(i=m+1,m+2,…,n)
    所以 A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果可以用 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性表示出来(根据tip 1得到的),即:
    A α i = a 1 i α 1 + a 2 i α 2 + … + a n i α n = ∑ k = 1 n a k i α k ( i = m + 1 , m + 2 , … , n ) A\alpha_{i}=a_{1i}\alpha_{1}+a_{2i}\alpha_{2}+…+a_{ni}\alpha_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}\alpha_{ k}} (i=m+1,m+2,…,n) Aαi=a1iα1+a2iα2++aniαn=k=1nakiαki=m+1m+2n

    2.把AP的结果用矩阵表示:

    A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,Aαm+1,Aαn)
    ⇒ A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , ∑ k = 1 n a k ( m + 1 ) α k , … , ∑ k = 1 n a k n α k ) \Rightarrow AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,\sum_{k=1}^{n}{a_{k(m+1)}\alpha_{ k}} ,…,\sum_{k=1}^{n}{a_{kn}\alpha_{ k}} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,k=1nak(m+1)αk,k=1naknαk)
    ⇒ A p = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … , α n ) \Rightarrow Ap=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right) Ap=(α1,α2,,αm,αm+1,αn)· ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nann
    所以就有: P − 1 A P = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} P1AP=λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nann

    3.减去 λ E \lambda E λE后,取行列式 :

    P − 1 A P − λ E = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) − λ E P^{-1}AP-\lambda E= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} -\lambda E P1APλE=λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nannλE
    左边: P − 1 A P − λ E = P − 1 A P − λ P − 1 P = P − 1 ( A − λ E ) P P^{-1}AP-\lambda E=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}(A-\lambda E)P P1APλE=P1APλP1P=P1AλEP
    右边: ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} λ1λ00λ1λ00λ1λ00 (为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
    即得: P − 1 ( A − λ E ) P = ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) P^{-1}(A-\lambda E)P= \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} P1AλEP=λ1λ00λ1λ00λ1λ00
    最后取行列式得:
    左边: ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ = ∣ A − λ E ∣ |P^{-1}(A-\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E| P1AλEP=P1AλEP=AλE
    右边:根据之前的tip 2得: ( λ 1 − λ ) m ( 一 堆 式 子 ) (\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) (λ1λ)m()
    即得: ∣ A − λ E ∣ = ( λ 1 − λ ) m ( 一 堆 式 子 ) |A-\lambda E|=(\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) AλE=(λ1λ)m()
    所以可以得到 λ 1 \lambda_{1} λ1 至少为m重根,为什么至少呢?因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个 ( λ 1 − λ ) (\lambda_{1}-\lambda) (λ1λ) 出来,所以用至少这个词。
    到此为止,我们得到想证的 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m,命题成立。

    到此结束~
    我是煜神学长,考研我们一起加油!!!

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  • 叉乘的集合意义是已知道N空间中的N-1基向,可以求出与这N-1向量正交的另一向量吧.有的书上说叉乘只在3上有定义,就是vec1vec2相乘得:(vec1.y * vec2.z - vec1.z * vec2.y,vec1.z * vec2.x - vec1.x * ...
  • 本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。
  • np.arang()是 生成一向量,在pythonR 中都默认是行向量的,因此求其shape其实第二可以省略。
  • 线性无关、基、维数 线性无关 Independence 假定有 \(m\times n\) 的矩阵 \(A\) ,以列向量形式表示:\(\begin{bmatrix}v_1 & v_2 & \cdots & v_n\end{bmatrix}\)。 如果 \(Ac=0\) 只有零解 \(c=0\)...
  • 文章目录pytorch中的一数组,是列向量还是行向量?理解其他 pytorch中的一数组,是列向量还是行向量? 理解 从表示的结果上看是以行的形式展现的(看起来就是一行);从数学的习惯表达上看,它是列向量 pytorch...
  • 向量的点乘叉乘

    千次阅读 2021-03-07 10:36:29
    结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。点乘叉乘的区别点乘是向量的内积,叉乘是向量的外积。点乘:点乘的结果是一实数a·b=|a|·|b|·cos叉乘:叉乘的结果是一个向量几何意义点乘的几何意义可以用来表征或计算...
  • n,那么方程Ax=0Ax=0Ax=0(未知大于方程)存在非零解,因为通过消元算法,这种情况存在nnn变量,而主元最多只有mmm,至少存在n−mn-mn−m自由变量,我们可以对自由变量取非零值,回代求得主变量后的解必然...
  • MATLAB可在同时执行数个命令,只要以逗号或分号将命令隔开: x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10, z = 7.5000 若一个数学运算是太长,可用三个句点将其延伸到下一行: z = 10*sin(pi/3)* ... sin(pi/3); 若要检视...
  • 并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一标量。二、应用不同:1、点乘:平面向量的数量积a·b是一非常重要的概念,利用它可以很容易地证明...
  • 线性空间维数与基的求法,求子空间的基和维数,线性空间的维数,线性空间维数,向量空间的基与维数,什么叫线性的维数和秩,matlab求矩阵的维数,matlab求矩阵维数,基和维数,cao法求嵌入维数线性空间维数与基的求法王康...
  • python 创建一的0向量实例

    千次阅读 2020-12-30 13:07:08
    python 创建一的0向量实例第一种方法:A=[0]*8第二种方法:import numpy as npA=np.zeros(8)以上这篇python 创建一的0向量实例就是小编分享给大家的全部内容了,希望能给大家一参考,也希望大家多多支持我们。...
  • 维数组合成2维数组 1、使用zip函数 zip() 函数用于将可迭代的对象作为参数,将对象中对应的元素打包成一个个元组,然后返回由这些元组组成的对象,这样做的好处是节约了不少的内存。 我们可以使用 list() 转换...
  • 文章目录线性空间线性空间的基本性质线性相关、线性无关线性相关,线性无关性质向量组的秩与极大线性无关组的概念基和维数参考 线性空间 即向量空间 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}定义...
  • Eigen, 矩阵和向量

    2021-02-01 02:54:49
    在Eigen中,所有矩阵和向量都是Matrix模板类的对象。向量只是矩阵的一种特殊情况,有1行或1列。参见官网内容,以下内容为谷歌翻译出来的,最好参见官网内容。Matrix的前三模板参数该矩阵类需要六月模板参数,但...
  • 零空间维数的几何意义

    千次阅读 2021-07-15 10:55:06
    1.零空间维数也叫零度,本文写的也就是零度的几何意义 2.假设零度为0,那么他的几何意义代表的就是一点。 3.零度为1,代表一条线。 4.零度为2,代表一平面。 5.零度为3,代表一空间。 作为工程人员,记下能...
  • 展开全部不等价。在代数中,矩阵等价和向量组...假设有4线性无关的4维列向量,a1,a2,a3,a4,第一个向量组取a1,a2,a3 第二个向量组取a2,a3,a4显然它们满足你说的条件,但是它们不能相互线性表出,所以不是等...
  • C++中关于二维向量的部分删除系统时间的获取问题1. 二维向量删除行2. 若程序中使用多线程,如何记录准确的时间。 1. 二维向量删除行 关于删除向量中的元素,可用方法有容器的clear() 方法 迭代器 iterator方法。...

空空如也

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向量的维数和个数是什么