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  • 向量的维数是什么意思
    千次阅读
    2020-12-02 09:47:34

    《AutoEmb: Automated Embedding Dimensionality Search in Streaming Recommendations》论文阅读笔记

    1. 背景:
      基于深度学习的推荐系统,能够有效获得用户项目之间的非线性关系,并学
      习他们的特征。主要由三部分组成:
      (1) 嵌入层:将用户项目特征从高维空间映射到低维空间中;
      (2) 隐藏层:对输入特征进行非线性变换;
      (3) 输出层:基于特征进行预测
    2. 已有研究:
      为用户,项目嵌入向量预定义一个固定统一的维数。重点关注隐藏层和输出层。
    3. 存在问题:
      (1) 实际中存在大量用户,项目,并且流行度会动态变化,因此嵌入向量大小的选择是RS中的问题。
      (2) 对于第一个隐藏层,很难处理嵌入层的不同维数。
    4. 本文:
      基于AutoML的端到端框架,以一种自动动态变化的方式根据流行度改变嵌入向量的维数。
      在这里插入图片描述
    5. 详细:
      规模小使用短的嵌入向量,随着规模的增加,使用长的嵌入向量。
      基本的处理方法:将不同的嵌入维数转换为相同的(使用全连接层),转换以后的嵌入向量变化很大(使用BatchNorm),最终RS只需要选择(软,加权)一部分转换以后的嵌入向量进行预测。
      嵌入向量大小的选择:使用AutoML
      输入:当前用户/项目流行度 + 上下文信息(如先前的超参数,损失等);
      输出:经过softmax函数,选择第n个嵌入空间的概率。
      在这里插入图片描述
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    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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    一、向量是什么

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)

    在这里,向量即一维数组,用 arange 函数创建向量是最简单的方式之一:

    arange函数也可以指定初始值、终止值和步长来创建一维数组:

    向量还能直接对每个元素进行运算:

    二、创建向量

    上面使用 arange 则是创建向量的一种方式,其实只要是数组创建的函数均可以创建向量,如:

    linspace() 函数

    前文介绍:linspace 通过制定初始值、终止值和元素个数创建等差数列向量,通过endpoint 参数指定是否包含终止值,默认为True

    logspace() 函数

    同linspace,创建等比数列,基数通过base参数指定,默认基数为10

    zeros() 函数和 ones() 函数

    这两个函数分别可以创建指定长度或形状的全0或全1的 ndarray 数组,比如:

    指定数据类型:

    empty() 函数

    这个函数可以创建一个没有任何具体值的 ndarray 数组,例如:

    random.randn() 函数

    randn 是 numpy.random 中生成正态分布随机数据的函数

    fromstring() 函数

    从字符串创建数组

    上面从字符串创建的数组,定义为整形8bit,创建出来的其实就是字符串的ASCII 码

    fromfunction() 函数

    从函数创建数组,是数据分析常见的方法

    可先定义一个从下标计算数值的函数,然后用fromfunction 创建数组

    fromfunction 第一个参数为计算每个数组元素的函数名,第二个参数指定数组的形状。因为它支持多维数组,所以第二个参数必须是一个序列。

    例如我创建一个九九乘法表:

    注意,fromfunction 函数中的第二个参数指定的是数组的下标,下标作为实参通过遍历的方式传递给函数的形参。

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    前面我们学习了行列式和矩阵,主要研究了:行列式的计算,包括:2,3阶行列式的计算,n阶行列式的计算;关于矩阵,主要包括:矩阵的线性运算,矩阵的乘法运算,矩阵的转置运算, 矩阵的秩,矩阵可逆的条件及逆阵的求法,分块矩阵及矩阵方程。 初等变换-----最重要和最经常使用的工具。梯形阵, 初等矩阵。

    目录

    1. n维向量及其线性运算

    2. 向量组的线性相关

    3. 相关性判定定理

    4. 相关性判定定理的证明

    5. 向量组的极大无关组和秩

    6. 向量组极大无关组与秩的求法

    7. 向量空间

    8. 向量组的正交性


    1. n维向量及其线性运算

    • 定义1

    由数a_1,a_2,...,a_n组成的有序数组,称为n维向量,简称为向量。向量通常用斜体希腊字母\alpha \beta \gamma等表示。

    • 定义2

    \alpha =(a_1,a_2,...,a_n),数值\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}称为向量\alpha的长度或范数或模,记为||\alpha ||

     

    • n维向量的线性运算

    • 线性组合

    • 向量组等价

    2. 向量组的线性相关

    • 定义

    让非零向量的系数为0,零向量的系数不为0,存在一组不全为0的数可以使得k_1\alpha_1+...+k_m\alpha_m=0,所以线性相关。

    • 讨论向量组的相关性

    系数行列式=0,线性相关:

    系数行列式\neq0,说明有唯一零解,线性无关:

     

    3. 相关性判定定理

    • 定理1

    下面证明唯一性:

    • 定理3

    在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关, 则整个向量组也必定线性相关,反之不成立。

    推论:一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。

    • 定理4

     

    我们已经用三种方法做过上面这个题了:

    1)用定义证明,若组合系数不全为0,则线性相关。

    2)其中的一个向量,可以用剩余的向量线性表示,则线性相关。

    3)将向量组排成矩阵(转换为梯形阵),由矩阵的秩决定。

    推论:

    • 定理5

    4. 相关性判定定理的证明

    • 定理4的证明

    前m-1行,每一行乘以-k_i,加到最后一行。

    r<m,r+1\leq m,m个向量中的部分向量(r+1)线性相关,那么m个向量也线性相关。 

    • 定理5的证明

     

     

    5. 向量组的极大无关组和秩

    • 极大无关组

    • 向量组的秩

     

    • 向量组的等价

     

    6. 向量组极大无关组与秩的求法

    • 向量组秩的求法

    • 极大无关组的求法

    列摆行变换(把向量组摆成矩阵的各个列)

    注意一定要列摆行变换,得到矩阵的秩就是向量组的秩。

    我们已经看到:用矩阵可以解决向量组的问题,实际上,用向量组也可以解决矩阵的问题。

    证明: 

    如果一个向量组中的每个向量可以由另一个向量组表示,那么该向量组的秩小于等于另一个向量组的秩。

    • 练习

    B的列向量线性无关 等价于 B的列向量组的秩为n 等价于 矩阵B的秩为n(列摆行变换)。

                     n = r(E_n) = r(AB) \leq min\{r(A),r(B)\}/r(B) \leq min\{m,n\}/n

                                                       n\leq r(B)\leq n,r(B)=n

    7. 向量空间

    • 向量空间及其子空间

    • 向量空间的基与维数

     

    • 向量在基下的坐标

    矩阵方程法:

    待定系数法:

     

    8. 向量组的正交性

    • 向量的内积

    • 向量的夹角

                                                 cos \theta = cos<\vec{\alpha},\vec{\beta}> \frac{\vec{\alpha}\vec{\beta}}{||\vec{\alpha}||||\vec{\beta}||}

    • 向量的正交性

    正交向量组一定线性无关向量组,反之不成立。

    • 向量组的正交规范化

    • 正交矩阵

    下面证明列向量组的情形:

     

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