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  • 所谓代数重数,就是指矩阵的某个特征值的重数,而几何重数,就是指这个特征值对应的特征子空间的维数。考虑某个特征值λ0的特征子空间V',V'的维数就是λ0的几何重数m,再取V'的一组基(由m个线性无关的向量组成),...

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    GGLDDU__7474

    推荐于 2017.09.01

    矩阵A任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数,也就是矩阵的几何重数不超过代数重数。

    所谓代数重数,就是指矩阵的某个特征值的重数,而几何重数,就是指这个特征值对应的特征子空间的维数。

    考虑某个特征值λ0的特征子空间V',V'的维数就是λ0的几何重数m,再取V'的一组基(由m个线性无关的向量组成),扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子(λ-λ0)^m的,所以λ0就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”。

    这个结论也可以用Jordan理论来看:设λ0是矩阵A的一个特征值,那么λ0对应的Jordan块的阶数总和=λ0在A的特征多项式中的重数(代数重数);λ0对应的Jordan块的个数=A的属于λ0的特征子空间的维数(几何重数)。显然有几何重数不超过代数重数.

    并且由此也可推出当且仅当所有特征值的几何重数与代数重数相等时,A的Jordan标准型的所有Jordan块均是一阶的(为对角矩阵),即A可对角化。(这里引用“夏De夭”的说法)。

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  • matlab中常是什么意思

    千次阅读 2015-03-29 08:36:37
    加上点“.”后表示两个矩阵或向量对应位置进行运算, 这时候要求进行操作两个变量必须维数相同(与矩阵乘法对矩阵维数要求不同)

    加上点“.”后表示两个矩阵或向量对应位置进行运算,

    这时候要求进行操作的两个变量必须维数相同(与矩阵乘法对矩阵维数要求不同)

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  • 在数学家看来,向量是什么都行,只要能进行相加相乘运算就好。(其实我也没搞懂数学家到底想啥,大概就是真么个意思吧。) 在二空间中,一个数组对应一个二数组对应唯一维向量。反过来说一个...

    从不同的角度看待向量,你会得到不同的结果,不过他们在本质上是互相关联的。

    在物理学生看来,向量是具有长度和方向的箭头。

    在计算机学会看来,向量就是数字列表。是实体特征抽象后可计算的数字列表。

    在数学家看来,向量是什么都行,只要能进行相加相乘运算就好。(其实我也没搞懂数学家到底想的啥,大概就是真么个意思吧。)

     

    在二维空间中,一个数组对应一个二维数组对应唯一的二维向量。反过来说一个二维向量对应唯一的二维数组。

     

    那么向量相加是什么样的情况呢?

    思考一下,为什么不是这样呢?

    向量的加法可以理解为依照顺序前进,最后得到一个全新的向量。

    那么向量的乘法又是什么样的呢?

    当一个向量乘以2时,可以看做这个向量在原来的方向上被拉长了2倍:

    如果是乘以一个分数,比如1/3,那么这个向量在原来的方向上缩短到原来的1/3

    如果是乘以一个负数,比如负1.8,那么首先将这个向量的方向变成原来的反方向,并且将长度变为原来的1.8倍:

    以数组的方式,我们可以得到

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/guolaomao/p/7986677.html

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  • 现在,有一个分类问题:feature2维的向量目标类别有3种一共有4个样本: 我们准备用一个只有一层全连接神经网络来解决这个问题(使用多层神经网络推导太复杂,并且不利于理解,多层神经网络不是讲清此问题关键...

    fde97f7bf525b3e8a4d9691f89926661.png

    现在,有一个分类问题:

    • feature是2维的向量
    • 目标类别有3种
    • 一共有4个样本:

    我们准备用一个只有一层的全连接神经网络来解决这个问题(使用多层神经网络推导太复杂,并且不利于理解,多层神经网络不是讲清此问题的关键)。

    首先,我们需要使用one-hot来表示目标类别(为什么使用one-hot是另一个问题),所以,全连接神经网络的最后一层有三个数字。

    哎呀!样本数太多了写起来很复杂,在计算loss时,只是简单地对多个样本产生的损失求均值,所以下面我们改一下问题:假设只有一个样本,这个样本的特征为

    ,这个样本经过全连接神经网络之后输出为:
    ,真实值为

    不妨设这个样本的类别为1,它的one-hot真实向量为(1,0,0)。

    其实,在最后一层输出的时候,我们需要使用softmax把

    进行归一化。softmax的过程此处就省略了,
    就当
    已经是softmax之后的结果了吧(因为softmax不是解释此问题的关键)

    下面看平方误差:

    再看交叉熵误差:

    其中,

    表示真实值,
    表示预测值。三部分是完全相同的,它们反向传播时效果是相似的。所以,我们只分析
    对权值的影响,和
    有关的三个权值是
    ,别的权值不用看。我们只分析损失z对
    的影响。

    对于平方误差:

    我们想知道的是什么?我们想知道的是

    。也就是
    调整的幅度和绝对误差
    之间的关系。

    记绝对误差

    因为我们使用了one-hot,所以

    的真实值只能取0和1,而one-hot之后
    的值必然在0到1之间。

    时,
    ,代入
    得到

    此式中,

    是常量,不必关心,我们只看
    的形状

    这个函数长啥样子?

    import 

    8b8d30ff80445df2fc9248d64309acfb.png
    随着绝对误差的增大,权值需要调整的幅度先变大后变小,这就导致当绝对误差很大时,模型显得“自暴自弃”不肯学习

    随着绝对误差的增大,权值需要调整的幅度先变大后变小,这就导致当绝对误差很大时,模型显得“自暴自弃”不肯学习

    对于交叉熵误差:

    可以看到,使用交叉熵之后,绝对误差和需要调整的幅度成正比。

    我们回过头来比较平方损失和交叉熵损失的区别,会发现:

    • 平方损失的“罪魁祸首”是sigmoid函数求导之后变成
      ,平白无故让曲线变得非常复杂,如果前面能够产生一个
      把后面多余项“吃掉”多好
    • 交叉熵的优势就是:它求导之后只提供了一个
      去中和后面的导数。

    以上都只是理论推导,那么实际上到底是不是这么回事呢?我们可以做个实验:

    ,其中x=1,y=1。w始终在变化,b始终固定为0.2。在w变化过程中,我们记录下绝对误差和w的梯度。
    import 

    fa0d2aa56f950e1d7604b64fab39e3e2.png
    实验证明,理论推导是正确的:交叉熵使得梯度与绝对误差成正比,二范数导致梯度变得扭曲

    参考资料

    简单的交叉熵损失函数,你真的懂了吗?www.jianshu.com
    0fbe54e420b297e5d4fb136d5d52eeee.png
    红色石头:简单的交叉熵损失函数,你真的懂了吗?zhuanlan.zhihu.com
    bb20646f1b77e29e51b21e486a74ceac.png
    蔡杰:简单的交叉熵,你真的懂了吗?zhuanlan.zhihu.com
    cab61ce84a2d44622c980ba0b53de9dd.png
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向量的维数是什么意思