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  • 行列式的几何意义、计算公式

    千次阅读 2021-03-21 21:03:41
    近期回顾了下行列式计算方法,以及其几何意义,本文是作者的一点浅薄理解。欢迎朋友们一起交流。 线性代数系列文章见专栏,下面是往期内容: 为什么要学线性代数 (点击蓝色字体进入查看) 正题: 每一个线性...

    近期回顾了下行列式的计算方法,以及其几何意义,本文是作者的一点浅薄理解。欢迎朋友们一起交流。
     线性代数系列文章见专栏,下面是往期内容:

    为什么要学线性代数

    (点击蓝色字体进入查看)

    正题:

    每一个线性变换都对应着一个变换矩阵,被变换后的空间,相对之前来说也发生了一定的形变,而行列式的意义则是线性变换前后,空间形变的倍数。

    以二维空间为例,旋转变换就是一种线性变换(不了解旋转变换的请看上条推送),其对应的矩阵叫旋转矩阵:

    å¾ç

    该变换作用在二维空间的任一个向量,相当于将该向量逆时针旋转θ角度,于是该变换可以把整个二维空间旋转θ角度。

    因为只是单纯的旋转,面积不发生变化,所以形变的倍数为1,正如该矩阵的行列式,cos^2+sin^2=1。

    其他的一些变换,有的将空间伸展,有的将空间挤压,此时形变倍数就不为1了。假设有线性变换矩阵:

    å¾ç

    该矩阵将二维空间沿着水平方向伸展3倍,垂直方向不变。还是用上一篇推送的例子,假设有如下图形:

    å¾ç

    可知面积为5,将线性变换矩阵作用于图中的三个向量,比如[-1  3]T

    å¾ç

    如下图,绿色向量正是由蓝色向量沿水平方向伸展3倍垂直方向不变得到的向量。

    (因为横坐标是负数,所以向左伸展,若是正数则向右伸展,比如向量[3  1]T)

    å¾ç

    经过该矩阵的作用,上述三角形变为图下所示:

    å¾ç

    其面积为15,正好是蓝色三角形面积的3倍,而此变换矩阵的行列式等于3,这就验证了之前的结论,即行列式的意义:线性变换后,空间形变的倍数。

    取个极端情况:上述矩阵的行列式等于0 ,那么它的意义就是将该二维平面挤压至一条线甚至一个点,面积自然为零。

    笔者为了做图方便,只举了水平方向伸展的例子,向其他方向伸展、挤压的情况朋友们可自行画图摸索、证明。

    1.低阶行列式

    二阶行列式比较简单,记住它的计算方法即可:主对角乘积 减去 副对角乘积,如下式:

    å¾ç

    三阶行列式计算公式为:

    å¾ç

    此公式可用下图来记其规律,实线相连的数相乘,系数为1,虚线相连的数相乘,系数为-1:

    å¾ç

    (图取自同济教材)

    在实际计算中,如果行列式中0元素比较多,可以用按行(列)展开(此方法后面讲),不必记上面的公式。而且,上式也可用展开法得出。

    2.全排列和逆序数

    在三阶行列式的计算公式中,右侧有六项,每一项都是三个不同行、不同列的元素之积,且每一项的系数有正有负,那么他们之间有什么规律呢?这就涉及到了全排列和逆序数的知识。

    全排列:

    由高中数学的排列组合可知,n个元素的排列种数为n的阶乘。比如三个数1、2、3,则有六种组合:123、132、231、213、321、312。

    逆序数:

    对于n个不同的元素,规定一个标准次序(比如从小到大),于是在这n个元素的排列中,当某个元素的先后次序与标准次序不同,就构成1个逆序,一个排列的所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

    逆序数为奇数的排列叫做奇排列,为偶数则叫做偶排列

    上面是课本上的定义,对于大一的同学或者之前没好好学但是想考研的同学,初次看这个定义可能不太好理解,有点懵,那么看下面计算逆序数的方法和几个例子就容易理解了:

    假设1~n这n个自然数,规定从小到大为标准次序,对于任意一个元素x(x在1到n之间),如果比x大且排在x前面的元素有t个,那么就说x的逆序数是t,这n个数的逆序数之和为这个排列的逆序数。

    例1:求32514这个排列的逆序数。(同济例题)

    解:

    对于3,排在第一位,它的前面没有比它大的数,所以其逆序数为0

    对于2,2的前面比它大的数只有一个3,所以其逆序数为1

    对于5,它排在第三位,前面的3和2都比它小,所以其逆序数为0

    对于1,它排在第四位,前面的3、2、5都比它大,所以其逆序数为3

    对于4,它排在最后一位,前面比它大的数只有5,所以其逆序数为1

    于是,这个排列的逆序数为0+1+0+3+1=5。

    上面的解法是看该元素前面有几个比它大的数,还有另一种解法,看该元素后面有几个比它小的数,还是上个题,可以这样算:

    对于3,其后面有两个数比它小,分别是1、2,所以其逆序数为2;

    对于2,其后面只有一个数比它小,所以其逆序数为1;

    对于5,其后面有两个数1、4比它小,所以其逆序数为2;

    对于1和4,其逆序数均为0;

    于是,这个排列的逆序数等于2+1+2+0+0等于5。

    (注意,上述都是基于标准次序从小到大顺序来计算的)

    了解了逆序数的计算方法后,我们来看行列式的计算公式与逆序数有什么关系,此处以三阶为例,为了方便,下面再贴出三阶行列式的公式:

    å¾ç

    可以看出,右侧的每一项,除了系数外,都可写为

    å¾ç

    其中第一个下标(行标)是标准次序123,p1、p2、p3 是1、2、3的某个排列,前文提到,这三个数的排列有六种,所以得出上式右侧的六个乘积项,而系数的计算方法为:

    p1、p2、p3为偶排列时,系数为1;

    p1、p2、p3为奇排列时,系数为-1;

    可以验证,系数为1的三个项,列标分别为123、231、312,其逆序数分别为0、2、2,是偶数;系数为-1的三个项,读者自行验证。

    所以,各项的系数可以表示为(-1)t ,其中t是该项各元素列标排列的逆序数。

    本文以三阶为例,高阶的依此类推。

    (关于逆序数和行列式的关系,某一年考研中考过,具体哪年忘记了...)

    本文首发于微信公众号:数字自修

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  • 向量行列式笔记

    千次阅读 2020-01-12 22:56:26
    python实现 1,向量行列式一,向量1,向量的表示2,维度和分量3,零向量和单位向量 向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量 标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量 箭头的方向表示...

    在这里插入图片描述

    向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量
    标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量
    在这里插入图片描述
    箭头的方向表示向量的方向,线段则表示向量的大小
    向量的众多特性可以是很多概念得到简化

    一,向量

    1,向量的表示

    • 直角坐标系表示:带箭头的线段
    • 印刷体表示:粗体字母 ,如abD
    • 手写体表示:字母上加一个向右的箭头,如 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b D ⃗ \vec{D} D
    • 代数表示: a = < x 1 , x 2 > = ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 x 2 ) = [ x 1 x 2 ] a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} a=<x1,x2>=(x1,x2)=(x1x2)=[x1x2]
    • 模的表示: ∣ a ∣ = x 1 2 + x 2 2 |a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2} a=x12+x22

    2,维度和分量

    首先这里可以打开思路,有人问我,你能想象四维的空间吗?不能想象就别乱说了。我的确想象不出来,的确我也不能再平面上画出一个四维的空间,但是这里的维度是 数 学 层 面 \color{red}{数学层面} 的!
    每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物,这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义!

    • 每个维度中的内容:数字、文字或是其他符号都可以
    • 不同维度的表示: n n n维空间用 R n R^n Rn表示,如二维空间 R 2 R^2 R2、三维空间 R 3 R^3 R3
    • 维度的分量:向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量,如 R 3 R^3 R3空间的向量 a ⃗ = ( 1 , 2 , 9 ) \vec{a}=(1,2,9) a =(1,2,9),那么 a ⃗ \vec{a} a 再三个维度的分量分别是1,2,9

    3,零向量和单位向量

    • 零向量:长度为零的向量,与任何向量平行,可记作 O O O Z Z Z(zero), O = [ 0 0 0 ] , O ∈ R 3 O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix},O\in R^3 O=000,OR3
    • 单位向量:一个非零向量除以它的模,得到单位向量, N = a ∣ a ∣ N= \frac {a} {|a|} N=aa

    二,向量的运算

    1,加减法

    ①加法

    向量的加法很简单,将相同维度的向量依次相加就行了

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a + b = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,a+b=a1+b1a2+b2a3+b3

    ②减法

    和加法一样简单,把相同维度的向量依次相减即可

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a − b = [ a 1 − b 1 a 2 − b 2 a 3 − b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1b1a2b2a3b3

    2,数乘

    向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算

    简单举个例子:
    v = [ 7 9 ] , v × 2 = [ 14 18 ] , v × − 6 = [ − 42 − 54 ] v=\begin{bmatrix}7\\9\end{bmatrix},v\times2=\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix},v\times-6=\begin{bmatrix}-42\\-54\end{bmatrix} v=[79]v×2=[1418]v×6=[4254]

    3,点积

    从向量角度看, 对应点对应积的和就是点积运算,点积的结果是标量

    简单举个例子:
    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a ⋅ b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 = ∑ i = 1 3 a i b i a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=\sum_{i=1}^3 {a_ib_i} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1×b1+a2×b2+a3×b3=i=13aibi

    从几何角度看,对应的模乘夹角余弦

    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a\cdot b=|a||b|cos\theta ab=abcosθ

    4,叉积

    二维空间中,叉积的定义如下

    a = [ a 1 a 2 ] , b = [ b 1 b 2 ] a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix} a=[a1a2],b=[b1b2]
    a × b = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 a\times b=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1 a×b=a1b1a2b2=a1b2a2b1
    叉积的结果是向量

    从几何角度看,叉积的模等于对应的模乘夹角正弦

    a × b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ a\times b=|a||b|sin\theta a×b=absinθ

    三,行列式

    1,组成

    行列式是由向量组成的式子,是一种运算,结果为向量

    如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式:

    ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix} a1b1a2b2

    2,性质

    1. 单位矩阵的行列式为1
    2. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某行的元素全为0,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    3. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行元素对应成比例,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    4. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行互换,那么互换后的行列式编号,即 d e t ( A ) = − d e t ( A ) det(A)=-det(A) det(A)=det(A)
    5. 倍乘性质: d e t ( k A n × n ) = k n d e t ( A n × n ) det(kA_{n\times n})=k^ndet(A_{n\times n}) det(kAn×n)=kndet(An×n)
    6. 倍加性质: ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 + k a 1 b 2 + k a 1 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1+ka_1&b_2+ka_1\end{vmatrix} a1b1a2b2=a1b1+ka1a2b2+ka1
    7. 单行(列)可拆(加)性: ∣ ∗ a 1 a 2 a 3 ∗ ∣ + ∣ ∗ b 1 b 2 b 3 ∗ ∣ = ∣ ∗ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ∗ ∣ \begin{vmatrix}*\\a_1&a_2&a_3\\* \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}*\\b_1&b_2&b_3\\* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\* \end{vmatrix} a1a2a3+b1b2b3=a1+b1a2+b2a3+b3
    8. 两个矩阵相乘的行列式,等于这两个矩阵的行列式相乘: d e t ( A 2 ) = ( d e t ( A ) ) 2 det(A^2)=(det(A))^2 det(A2)=(det(A))2

    3,意义

    线性代数研究向量之间的关系,最重要的关系就是独立或不独立,行列式等于0即向量独立,即对应方程组有唯一解

    4,计算

    上(下)三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积

    计算原则:利用行列式的性质化简成上(下)三角矩阵的样子,然后计算乘积

    通过公式:
    d e t ( A ) = ∑ n ! ± a 1 α a 2 β a 3 γ ⋅ ⋅ ⋅ a n ω det(A)=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdot \cdot \cdot a_{n\omega} det(A)=n!±a1αa2βa3γanω

    四,代数余子式

    代数余子式优点像俄罗斯套娃,可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶(一个数)
    在这里插入图片描述

    什么是代数余子式,举个例子:
    三阶行列式的计算公式如下
    d e t ( A ) = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) det(A)=a11(a22a33a23a32)a12(a21a33a23a31)+a13(a21a32a22a31)

    1,代数余子式公式:

    d e t ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 n C 1 n = ∑ i = 1 n a 1 i C 1 i det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}a_{1i}C_{1i} det(A)=a11C11+a12C12++a1nC1n=i=1na1iC1i

    C x y C_{xy} Cxy就是 a x y a_{xy} axy的代数余子式,若 x + y x+y x+y为奇数, a x y a_{xy} axy为负数

    五,结束语:以上内容如有错误或不妥欢迎指出,谢谢!

    小白学识有限,难免无不妥之处,欢迎批评指正!

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  • 行列式公式

    千次阅读 2019-05-06 22:14:49
    n*n矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用 Cij = (-1)i+j det Aij 式给出的余因子写法可写成: det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 +…+ainCin 按第j列的余因子展开式为: detA = a1jC1j + a2jC2j +...

    行列式
    定理1:
    n*n矩阵A的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算。按第i行展开用
    Cij = (-1)i+j det Aij 式给出的余因子写法可写成:
    det A = ai1Ci1 + ai2Ci2 +…+ainCin
    按第j列的余因子展开式为:
    detA = a1jC1j + a2jC2j +… + anjCnj
    (i,j)位置的余因子中加号或减号取决于aij在矩阵中的位置,而与aij本身的符号无关。因子(-1)i+j 可确定符号正负

    定理2
    若A为三角阵,则detA等于A的对角线上元素的乘积。

    定理3 (行变换)
    令A是一个方阵
    a 若A的某一行的倍数加到另一行得矩阵B,则detB = detA
    b 若A的两行互换得矩阵B,则detB = -detA
    c 若A的某行乘以k倍得到矩阵B,则detB = kdetA

    定理4
    方阵A是可逆的,当且仅当detA不等于0
    一个有用的推论是:如果detA=0,则线性相关

    公式1:
    detA = (-1)n(U的主元乘积) 当A可逆
    0 当A不可逆

    n*n的行列式利用行变换展开大约需要2n3/3次运算

    定理5:
    若A为n*n矩阵,则detAT =detA

    定理6:
    若A和B均为n*n矩阵,则detAB = (detA)(detB)
    (ps det(A+B) 不等于 detA+ detB)

    行列式的一个线性性质:
    若A为n*n的矩阵,可以将detA看成是A中n个列向量的函数。
    A = [a1 a2 a3…x… an]
    则有Rn到R的变换T为:
    T(x) = det[a1 a2 … x… an]
    则有:
    T(cx) = cT(x)
    T(u+v) = T(u) + T(v)

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    万次阅读 多人点赞 2019-02-15 12:23:26
    1,Jacobian matrix and determinant ...如果这个矩阵为方阵,那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。 2,雅可比矩阵数学定义 假设函数f可以将一个n维向量n⃗\vec{n}n(n∈Rnn\in R^nn∈Rn)变成一个...
  • 雅可比行列式【1】定义及一些推导

    千次阅读 2020-12-23 10:00:31
    最近在做应用多元统计的学习的时候再一次遇到了雅可比矩阵这个东西,发现完全想不起来这是什么东西,只记得学习高代和概率论的时候背过这个公式。学数学分析的时候也没有好好学习向量微积分的知识。今天跑步的时候...
  • 行列式的几何意义

    万次阅读 多人点赞 2015-09-17 02:26:38
    三、行列式的几何意义: ...行列式的定义: ...行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然,如果行列式中...矩阵只是一个数表,行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个
  • 行列式点过程要解决的是,从一个候选集合中挑选出即相关又多的推荐集合,其中候选集合的元素由两部分组成,一部分是和用户的相关性由一个数字表示,另一部分恩是一个embedding或者向量代表候选是候选集合元素的...
  • 第十九课时:行列式公式和代数余子式 本讲目的是找出行列式的求解公式,代数余子式的概念。 对于2×2的方阵,利用三大性质,特别是线性性质可得到推导方法,这种方法是一次取一行进行变换。 对于3×3的矩阵,...
  • 本科生毕业论文开题报告书题目行列式计算学生姓名学号系别数学与应用数学系专业数学与应用数学指导教师 XX年11月25日行列式计算方法比较及其应用毕业设计开题报告毕业设计开题报告毕业设计开题报告湖北文理学院...
  • ●LU 分解法在已经完成LU分解之后也可以利用LU分解进行计算。这里采用Crout分解法把系数矩阵分解为 A = LU其中 L 为下三角矩阵, U 为单位上三角矩阵,进而有det(A)= det(L)det(U)●高斯消去法按照高斯消去法将矩阵A...
  • 通过这个计算过程,对矩阵的伴随矩阵乘以一个矩阵行列式的倒数就得到了矩阵的逆矩阵,这个方法仅仅是在理论上推导出了一个计算逆矩阵的方法,同时也证明了只有矩阵行列式不为0时才可能取其倒数最终计算矩阵的逆矩阵...
  • 文章目录一、行列式发展史1. 行列式2. 从行列式到矩阵二、从线性方程组讲起1. 线性方程组和系数行列式 一、行列式发展史 1. 行列式 行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,在很长一段时间内,...

空空如也

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向量的行列式计算公式