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  • 四元数与三维向量相乘运算法则 参考网站: ...通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w),以下q表示四元数,v表示向量,那么四元数和向量相乘的运算法则表示为: q x v = (q) x (v) x (q-1) 例: q = (√2/2

    四元数与三维向量相乘运算法则

    参考网站:
    https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html

    四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。
    例如:向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90°,得到新的向量是 c(10,0,0)。

    通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w),以下q表示四元数,v表示向量,那么四元数和向量相乘的运算法则表示为:
    q x v = (q) x (v) x (q-1)
    例: q = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0);
    这里需要将三维向量v扩充为四元数(0,v), 如c(0,0,10)变为c(0,0,0,10);
    q-1 是四元数q的逆,求逆过程如下:
    共轭四元数:q*=(w,-x,-y,-z) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)
    四元数的模:N(q) = √(x2 + y2 + z2+ w2 ),通常四元数表示为单位四元数,所以模等于1
    四元数的逆: q-1 = q*/N(q) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)

    四元数的乘法公式:
    四元数叉乘
    按照上述公式可得到新四元数(0,10,0,0),则旋转后新坐标为(10,0,0)
    按上述方法计算所得到的新四元数的首项一定等于0。

    上述方法 R语言实现:

    1. 计算共轭四元数
    q_star <- function(q){
      qstar <- c(q[1],-q[2],-q[3],-q[4])
      return(qstar)
    }
    
    1. 计算四元数模
    Nq <- function(q){
      N <- sqrt(q[1]^2+q[2]^2+q[3]^2+q[4]^2)
      return(N)
    }
    
    1. 计算四元数的逆
    q_reverse <- function(q){
      qreverse <- q_star(q)/Nq(q)
      return(qreverse)
    }
    
    1. 叉乘公式
    q_multiply <- function(a,b){
      w1 <- a[1]
      x1 <- a[2]
      y1 <- a[3]
      z1 <- a[4]
      w2 <- b[1]
      x2 <- b[2]
      y2 <- b[3]
      z2 <- b[4]
      amulb <- c((w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2),(w1*x2+x1*w2+y1*z2-z1*y2),
                 (w1*y2+y1*w2+z1*x2-x1*z2),(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2))
      return(amulb)
    }
    
    1. 四元数与三维向量相乘
    mul <- function(q,v){
      a <- q_multiply(q,v)
      b <- q_multiply(a, q_reverse(q))
      return(b)
    }
    
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  • 向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。点乘和叉乘的区别点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。向量a·...

    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    点乘和叉乘的区别

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    物理学中的应用

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

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  • a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0 分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积R3构成了一个李代数。 两个非零向量a和b平行,当且仅...

    ab=baa·b = b·a

    a(bc)(ab)ca(b·c)≠(a·b)c

    (a+b)c=ac+bc(a+b)·c = a·c+b·c

    a×b=b×aa×b = - b×a

    (ra)×b=a×(rb)=r(a×b),r(ra)×b=a×(rb)=r(a×b),其中r是标量

    (a+b)×c=a×c+b×c(a+b)×c = a×c+b×c

    (a×b)×c=b(ac)a(bc)(a×b)×c = b(a·c) - a(b·c)

    a×(b×c)=b(ac)c(ab)a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b)

    a×(b×c)(a×b)×ca×(b×c) ≠ (a×b)×c

    (a×b)(c×d)=a[b×(c×d)](a×b)·(c×d) = a·[b×(c×d)]

    a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

    a×(b×c)=(aTc)b(aTb)c=[aTccaT]ba×(b×c)=(a^{T}c)b-(a^{T}b)c=[a^{T}c-ca^{T}]b

    a×b=[0a3a2a30a1a2a10][b1b2b3]a \times b=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right]

    a×(b×c)=[0a3a2a30a1a2a10][0b3b2b30b1b2b10][c1c2c3]a \times(b \times c)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & -b_{3} & b_{2} \\ b_{3} & 0 & -b_{1} \\ -b_{2} & b_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}\right]


    • 代数规则
      1. 反交换律:a×b=b×aa×b=-b×a
      2. 加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c
      3. 与标量乘法兼容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)
      4. 不满足结合律,但满足雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0
      5. 分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
      6. 两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    验算:

    clear,clc;
    syms px py pz wx wy wz real;
    c = [px;py;pz]
    w = [wx;wy;wz]
    
    temp1 = c*c'*w-c'*c*diag([1 1 1])*w+cross(c,cross(w,c))
    simplify(temp1)
    
    temp2 = cross(c,cross(w,cross(w,c))) + cross(w,c*c'*w)-cross(w,c'*c*diag([1 1 1])*w)
    simplify(temp2)
    
    
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  • 向量运算

    万次阅读 2018-07-27 21:51:06
    第1节:零向量 1.零向量的概念  对于任意向量x,都有x+y=x,则x被称为零向量。例如,3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊,因为它是...2.负向量的运算法则    将此法则应用到2D,3D,4D中,则  -[x y] = [...

    第1节:零向量

    1.零向量的概念

      对于任意向量x,都有x+y=x,则x被称为零向量。例如,3D零向量为[0 0 0]。零向量非常特殊,因为它是唯一大小为零的向量,并且唯一一个没有方向的向量。

    第2节:负向量

    1.负向量的概念

      对于向量x,如果x+(-x)=0,则-x就是负向量。

    2.负向量的运算法则

      

      将此法则应用到2D,3D,4D中,则

      -[x y] = [-x -y]

      -[x y z] = [-x -y -z]

      -[w x y z] = [-w -x -y -z]

    3.负向量的几何解释

      向量为负表示将得到一个和原向量大小相等,方向相反的向量。

    第3节:向量的模

    1.向量的模的概念

      所谓的向量的模就是指向量的大小或者说长度。

    2.向量的模的运算法则

      在线性代数中,向量的模通常用在向量两边各加两条竖线的方式表示,如||v||,表示向量v的模。向量的模的计算公式如下:

      

      对于2D,3D向量的如下

        

    第4节:标量与向量的运算

    1.运算法则

      虽然标量与向量不能相加减,但是可以相乘,至于标量与向量的除法可以看做乘以倒数。

      

      对于2D,3D向量的如下

      

    2.几何解释

      向量乘以标量或者除以标量,相当于以因子k来缩放向量的长度。

    第5节:标准化向量

    1.标准化向量的概念

      所谓的标准化向量就是单位向量,就是向量的长度为1的向量。有时候也称作为法线。

    2.运算法则

      对于任意非零向量v,都能计算出一个和v方向相同的单位向量n,这个过程被称作为向量的“标准化”,要标准化向量,将向量除以它的大小(模)即可。

      

    第6节:向量的加法和减法

    1.向量的加法和减法的前提

      如果两个向量的维数相同,那么他们能够相加减,运算结果的向量的维数和原向量相同。

    2.运算法则

      向量的加法等于两个向量的分量相加,向量的减法相当于加上一个负向量。

      

    3.几何解释

      向量的加法和减法引导出了三角形法则,即将向量的首尾相连就会得到加法的结果,如下

      

    第7节:距离公式

    1.距离公式的推导

      通过上面的三角形原则,我们可以发现,通过两个向量的加减可以得到第三个向量,我们将这个过程逆置,如果知道了两点的距离,如何求出其距离,我们可以利用向量的减法实现。

    2.运算公式

      在3D中,已知两点a,b,求两点之间的距离d?我们可以将a,b两点看做向量,然后b-a就是向量d,然后我们再计算向量d的模就是两点间的距离

      

      求出向量d后,再求d的模就是两点的距离

      

    第8节:向量的点乘

    1.基本概念

      标量可以和向量相乘,向量也可以和向量向量相乘,这就叫点乘,也叫做内积。标量与向量相乘不可以写点,向量与向量相乘必须要写点,向量的点乘优先级高于向量的加减法。注意:向量点乘后的结果是标量

    2.运算法则

      注意:向量点乘后的结果是标量,不再是向量。

      

      应用到2D,3D中为

      a·b = axbx + ayby

      a·b = axbx + ayby+ azbz

    3.几何解释

      向量的点乘描述的是两个向量的相似程度,即两个向量之间的夹角的大小

      向量的点乘的集合运算法如下,向量的点乘结果与cos函数有关,当两个向量垂直时,向量的点乘结果为0

      

    第9节:向量的投影

    1.基本概念

      给定两个向量v和n,能将v分解成两个分量,一个是垂直于向量n,一个平行于向量n,平行于向量n的向量我们称为在向量n上的投影。

      

    2.投影的求解

      因为向量n平行于投影向量,所以可以求出向量n的单位向量再乘以投影的模,就可以得到投影向量,如下

      

      我们接下来求投影的模即可,我们可以根据三角函数的余弦公式来求出投影的模

      

      代入投影的模就可以求出投影向量

      

    3.垂直向量的求解

      根据三角形法则,可以轻易求出垂直的向量

      

    第10节:向量的叉乘

    1.基本概念

      两个向量的叉乘得到是向量,且这个向量垂直于原来的两个向量。向量的叉乘只可以运用在3D向量中。

      

    2.数学运算公式

      

    3.几何运算公式

      向量叉乘的结果向量的长度与两个向量的夹角有关,且成正弦函数关系,如果向量a和b是平行关系,则叉乘的结果为0,因为sin0为0

      

    4.向量叉乘方向的判断

      向量的叉乘是通过右手定则来判断结果向量的方向的。伸出右手,四指弯曲符合向量叉乘的顺序,那么大拇指就是叉乘后结果向量的方向。如下图axb,右手四指弯曲方向从a到b,大拇指方向向上就是叉乘结果向量的方向。

      

      

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向量的运算法则