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  • 向量夹角(求两个向量的夹角公式)

    万次阅读 2021-01-30 16:12:45
    向量的夹角就是向量两条向量所成角 其范围是在0到180度 而向量夹角的余弦值等于= 向量的乘积/向量模的积 即cos=ab/ (|a|·|b|)两向量夹角怎么求???给的是坐标,要求步骤详细点,多谢夹角为α=arccos...

    最低0.27元/天开通百度文库会员,可在文库查看完整内容> 原发布者:design_ycl ?两个向量的夹角的定义:对于非零向量,,作称为向量,的夹角,当=0时,,同向,当.

    向量的夹角就是向量两条向量所成角 其范围是在0到180度 而向量夹角的余弦值等于= 向量的乘积/向量模的积 即cos=ab/ (|a|·|b|)

    两向量夹角怎么求???给的是坐标,要求步骤详细点,多谢

    夹角为α=arccos(∑(xiyi)/sqrt((∑(xixi)∑(yiyi))) 即:cos夹角=两个向量的内积/向量的模(“长度”)的乘积 另:两个向量应当是同一个空间里的,也就是m和n应该相等。

    虚数 a+bi的向量是什么? 他和a-bi向量的夹角怎么求?

    在虚数数轴中:a+bi即表示向量:(a,b) cos角=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

    向量夹角的定义:两相交直线所成的锐角或直角为两直线夹角。向量都有方向,两个向量正向的夹角就是平面向量的夹角,如∠aob=60°,就是指向量oa与ob夹角为60°,.

    两个向量的夹角怎么算

    假设两个向量是a与b,夹角是θ则cosθ=(a,b的向量积)/(a的模*b的模)然后由余弦值反求夹角θ。如果是坐标形式;a=(x1,y1)b=(x2,y2)a*b=x1x2+y1y2|a|=√(x1^2+y1^2)|b|=√(x2.

    知道两向量 如 :a(1,2) b(2,3) 求 a和b

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  • 一、对ΔABC重心O来讲有 OA⇀+OB⇀+OC⇀=0\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\...根据A、D、B三点共线公式 OD⇀=mOA⇀+nOB⇀\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}=m

    一、对ΔABC重心O来讲有
    O A ⇀ + O B ⇀ + O C ⇀ = 0 ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} OA+OB+OC=0
    证明:延长CO与线段 A B ‾ \overline{AB} AB交于点D
    根据ADB三点共线公式
    O D ⇀ = m O A ⇀ + n O B ⇀ \mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}=m\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+n\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup} OD=mOA+nOB(其中m+n=1),因为D是线段 A B ‾ \overline{AB} AB的中点,所以有
    O A ⇀ + O B ⇀ = 2 O D ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup} OA+OB=2OD
    又因 O C ⇀ = 2 D O ⇀ \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=2\mathop{DO}\limits ^{\rightharpoonup} OC=2DO
    所以 O A ⇀ + O B ⇀ + O C ⇀ = 0 ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} OA+OB+OC=0,得证。
    反过来,如果
    O A ⇀ + O B ⇀ + O C ⇀ = 0 ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} OA+OB+OC=0
    O A ⇀ + O B ⇀ + O C ⇀ = ( O D ⇀ + D A ⇀ ) + ( O D ⇀ + D B ⇀ ) + O C ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup})+(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})+\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup} OA+OB+OC=(OD+DA)+(OD+DB)+OC
    = ( O C ⇀ + 2 O D ⇀ ) + ( D A ⇀ + D B ⇀ ) =(\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup})+(\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup}) =(OC+2OD)+(DA+DB)
    = m O D ⇀ + n D A ⇀ = 0 ⇀ =m\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+n\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} =mOD+nDA=0
    O D ⇀ \mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup} OD D A ⇀ \mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup} DA线性无关,所以上式要取得 0 ⇀ \mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} 0只有

    O C ⇀ + 2 O D ⇀ = 0 ⇀ \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+2\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} OC+2OD=0并且 D A ⇀ + D B ⇀ = 0 ⇀ \mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} DA+DB=0
    可得 D A ‾ \overline{DA} DA= B D ‾ \overline{BD} BD,以及 C O ‾ \overline{CO} CO=2 O D ‾ \overline{OD} OD,即D是线段 A B ‾ \overline{AB} AB的中点,O为ΔABC的重心。

    二、对ΔABC内心O来讲有
    a O A ⇀ + b O B ⇀ + c O C ⇀ = 0 ⇀ a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} aOA+bOB+cOC=0
    证明:延长CO与线段 A B ‾ \overline{AB} AB交于点D

    因为 C D ‾ \overline{CD} CD是∠ACB的角平分线,
    根据角平分线性质,线段
    O A ‾ / O B ‾ = C A ‾ / C B ‾ = D A ‾ / D B ‾ = b / a \overline{OA}/\overline{OB}=\overline{CA}/\overline{CB}=\overline{DA}/\overline{DB}=b/a OA/OB=CA/CB=DA/DB=b/a
    并且
    C O ‾ / O D ‾ = C A ‾ / A D ‾ = C B ‾ / B D ‾ = ( C A ‾ + C B ‾ ) / ( A D ‾ + B D ‾ ) = ( a + b ) / c \overline{CO}/\overline{OD}=\overline{CA}/\overline{AD}=\overline{CB}/\overline{BD}=(\overline{CA}+\overline{CB})/(\overline{AD}+\overline{BD})=(a+b)/c CO/OD=CA/AD=CB/BD=(CA+CB)/(AD+BD)=(a+b)/c
    C O ‾ \overline{CO} CO O D ‾ \overline{OD} OD共线,长度比为 ( a + b ) / c (a+b)/c (a+b)/c,故
    ( a + b ) O D ⇀ + c O C ⇀ = 0 ⇀ (a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} (a+b)OD+cOC=0
    再根据A、D、B三点共线性质有
    a O A ⇀ + b O B ⇀ = ( a + b ) O D ⇀ a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup} aOA+bOB=(a+b)OD,所以

    a O A ⇀ + b O B ⇀ + c O C ⇀ = ( a + b ) O D ⇀ + c O C ⇀ = 0 ⇀ a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=(a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} aOA+bOB+cOC=(a+b)OD+cOC=0,得证。
    反之,若已知 a O A ⇀ + b O B ⇀ + c O C ⇀ = 0 ⇀ a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} aOA+bOB+cOC=0,则
    a O A ⇀ + b O B ⇀ + c O C ⇀ = a\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}= aOA+bOB+cOC=
    a ( O D ⇀ + D A ⇀ ) + b ( O D ⇀ + D B ⇀ ) + c ( O D ⇀ + D C ⇀ ) = a(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup})+b(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})+c(\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+\mathop{DC}\limits ^{\rightharpoonup})= a(OD+DA)+b(OD+DB)+c(OD+DC)=
    ( a + b + c ) O D ⇀ + c D C ⇀ + ( a D A ⇀ + b D B ⇀ ) = (a+b+c)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{DC}\limits ^{\rightharpoonup}+(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})= (a+b+c)OD+cDC+(aDA+bDB)=
    ( a + b ) O D ⇀ + c O C ⇀ + ( a D A ⇀ + b D B ⇀ ) = 0 ⇀ (a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}+(a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} (a+b)OD+cOC+(aDA+bDB)=0
    因向量 ( ( a + b ) O D ⇀ + c O C ⇀ ) ((a+b)\mathop{OD}\limits ^{\rightharpoonup}+c\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}) ((a+b)OD+cOC) ( a D A ⇀ + b D B ⇀ ) (a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup}) (aDA+bDB)线性无关,所以上式要取得 0 ⇀ \mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} 0,只有
    ( a D A ⇀ + b D B ⇀ ) = 0 ⇀ (a\mathop{DA}\limits ^{\rightharpoonup}+b\mathop{DB}\limits ^{\rightharpoonup})=\mathop{0}\limits ^{\rightharpoonup} (aDA+bDB)=0,再由 D A ‾ \overline{DA} DA B D ‾ \overline{BD} BD共线,
    可得 A D ‾ / D B ‾ = A C ‾ / C B ‾ = b / a \overline{AD}/\overline{DB}=\overline{AC}/\overline{CB}=b/a AD/DB=AC/CB=b/a,即线段 C D ‾ \overline{CD} CD是∠ACB的角平分线,同理可证另两条角平分线 A O ‾ \overline{AO} AO B O ‾ \overline{BO} BOO为ΔABC的内心。另外,
    O C ‾ / O D ‾ = ( a + b ) / c \overline{OC}/\overline{OD}=(a+b)/c OC/OD=(a+b)/c
    三、对ΔABC外心O来讲有
    O A ⇀ 2 = O B ⇀ 2 = O C ⇀ 2 {\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}}^2={\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}}^2={\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}}^2 OA2=OB2=OC2
    证明:线段 O A ‾ \overline{OA} OA O B ‾ \overline{OB} OB O C ‾ \overline{OC} OC为外接圆的半径,所以等长,向量 O A ⇀ 2 {\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}}^2 OA2内积为长度的平方。
    四、对ΔABC垂心O来讲有
    O A ⇀ ⋅ O B ⇀ = O B ⇀ ⋅ O C ⇀ = O C ⇀ ⋅ O A ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup} OAOB=OBOC=OCOA
    证明:因为线段 A B ‾ ⊥ C O ‾ \overline{AB}⊥\overline{CO} ABCO,所以
    O C ⇀ ⋅ A B ⇀ = 0 \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{AB}\limits ^{\rightharpoonup}=0 OCAB=0,因
    A B ⇀ = A O ⇀ − B O ⇀ \mathop{AB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}-\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup} AB=AOBO,所以
    O C ⇀ ⋅ ( A O ⇀ − B O ⇀ ) = 0 \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·(\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}-\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup})=0 OC(AOBO)=0,化简得
    O C ⇀ ⋅ A O ⇀ = O C ⇀ ⋅ B O ⇀ \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{AO}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{BO}\limits ^{\rightharpoonup} OCAO=OCBO,即
    O C ⇀ ⋅ O A ⇀ = O B ⇀ ⋅ O C ⇀ \mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup} OCOA=OBOC,同理可证
    O A ⇀ ⋅ O B ⇀ = O B ⇀ ⋅ O C ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup} OAOB=OBOC,即
    O A ⇀ ⋅ O B ⇀ = O B ⇀ ⋅ O C ⇀ = O C ⇀ ⋅ O A ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup} OAOB=OBOC=OCOA
    反之也可证,当
    O A ⇀ ⋅ O B ⇀ = O B ⇀ ⋅ O C ⇀ = O C ⇀ ⋅ O A ⇀ \mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OB}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}=\mathop{OC}\limits ^{\rightharpoonup}·\mathop{OA}\limits ^{\rightharpoonup} OAOB=OBOC=OCOA时,O为ΔABC垂心。

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  • 得出结论长度乘以一个向量等于一个向量(投影长度乘以单位向量等于投影向量)

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    得出结论长度乘以一个向量等于一个向量(投影长度乘以单位向量等于投影向量)
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  • 向量积坐标表示公式

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    展开全部表示方法两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。定义向量积可以被定义为:。模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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