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  • 原标题:立体几何:如何用空间向量方法求点到直线距离? 在立体几何中,空间点、直线平面之间的关系是学习的重点,点和直线的位置关系包括两种:点在直线上,点在直线外.当点在直线外时,点到直线距离的计算随之...

    原标题:立体几何:如何用空间向量方法求点到直线的距离?

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    在立体几何中,空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点,点和直线的位置关系包括两种:点在直线上,点在直线外.当点在直线外时,点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题,现在在立体几何的高考中似乎很少考到了,但空间的点P到直线AB的距离的求法,(在竞赛中)还是应该理解和掌握的。具体地说,就是过点P作直线AB的垂线PM,且与直线AB相交于点M.那么线段PM的长度,就是我们所要求的距离.但在实际操作中,有时我们往往很难找出我们所做的AB的垂线时的垂足具体在什么地方?既然所要求解的距离(线段)都难以作出来,那么求解就更加困难了。所以,在本文中,我们来给大家介绍一下:立体几何中,“用空间向量方法求点到直线的距离公式”。

    【公式推导过程】如图1所示,求点P到直线a的距离。

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    在直线a上任取一点A,连结PA;在直线a上另取一点B(不同于点A),把线段AB改写成向量AB,过点P作直线AB的垂线,与AB相交于一点N,则PN=h即为所求的距离(如图2),在实际运用中,我们并不需要作出垂线段PN,只需要像下面那样求出它的长度即可。

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    【公式的简单应用】

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  • 基础:单位向量:模等于1的向量,一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量向量的加减法:向量的...方向:与这两个向量所在的平面垂直,且遵守右手定则(或左手定则)。示例:红色的点为鼠标位置,蓝色的点(x0,...

    基础:

    • 单位向量:模等于1的向量,一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量。
    • 向量的加减法:

    • 向量的投影:设两个非零向量ab夹角为θ,则将|b|·cosθ 叫做向量b在向量a方向上的投影
    • 向量的点乘:

    • 向量的叉乘:

    模长:        ,即长度在数值上等于以向量ab、夹角θ组成的平行四边形的面积。

    方向:与这两个向量所在的平面垂直,且遵守右手定则(或左手定则)。

    示例:

    红色的点为鼠标位置,蓝色的点(x0,y0),(x1,y1)为直线上的两个点,求红色的点到直线的距离


    将问题进行一下转化:如下图所示


    点乘法:

    向量c为向量a在向量b上的投影向量,求得向量e的模即可求得最终结果。

    向量a已知,并且e=a-c,则问题转化为求向量c

    向量c的方向很容易确定,即b.normalized;而向量c的模|c|=|a|·cosθ,则求出cosθ即可。

    由向量的点乘很容易知道a·b|a||b|cosθ,则最终问题得以解决。

    叉乘法:

    |axb|等于它们所张开的平行四边形的面积S。S除以|b|即等于点到直线的距离。

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  • 向量 点积,加减什么的就不说了 叉积: 不嫌麻烦的可以将两个向量用坐标表示然后叉乘(那几个基底的叉积结果是知道的) ...共就是三个向量的混合积为零,然后以减少x,y,z出现为标准选出三个向量就行了 ...

    向量

    点积,加减什么的就不说了

    叉积:

    在这里插入图片描述
    这个是叉积结果与原来两个向量的方向与模长的关系,其中模长为两者模长相乘后乘以夹角的sin值,方向符合右手规则,即四指从第一个向量的方向以最小的角度转向第二个向量时的大拇指方向,这里区别第一个向量和第二个向量是因为叉积的结果与向量的顺序有关,于是有以下性质
    在这里插入图片描述

    然后是如果我们给定两个向量的坐标且已知个坐标的叉积结果,那么怎么求叉积结果的坐标,这里以三维空间为例:
    在这里插入图片描述
    结合前面的性质,我们很容易能将两个向量相乘的结果转化为坐标向量的叉积,那么对于正交的三维坐标系(两个坐标叉积结果与另一个共线),我们有一个有用的结论
    在这里插入图片描述

    有用的东西

    在这里插入图片描述
    叉积的结果刚好是两个向量三角区域的面积的两倍,这个可以帮助我们计算已知坐标的三角形面积的计算

    混合积

    在这里插入图片描述
    由几何意义得轮换(不是乱换)值不变
    坐标计算方法为:
    在这里插入图片描述
    由于ijk是单位向量相当于结果就是将ijk换成c的坐标,当然和这里给出的值是一样的,这里这样写我觉得就是方便记忆

    有用的东西

    在这里插入图片描述

    平面

    点法式

    在这里插入图片描述
    关键是求出平面上的所有点满足的方程,现在知道一个点还有法向量,那么在平面上取一个点用它和那个点组成向量,这个向量与法向量的点积为零,就求完了

    三点式

    在这里插入图片描述
    共面就是三个向量的混合积为零,然后以减少x,y,z出现为标准选出三个向量就行了

    截距式

    在这里插入图片描述
    平行与哪个轴,哪个轴对应的下面的数字就是无穷大,就是不存在这个数。

    直线

    一般式

    就是两个平面方程联立

    点向式(对称式)

    要写方程,关键是找到直线上的满足的方程,已知一个点和方向向量,那么直线上的点与已知点的向量与方向向量平行,得到
    在这里插入图片描述

    参数式

    可以由对称式快速转化过来。
    令三个=t,将x,y,z用t表示

    转化

    关键是对称式和一般式的相互转换
    一般式到对称式:两个平面叉积求出方向向量,然后再找一个点就行了。
    对称式到一般式:就是两个等号连接的三个式子,随便取两个组合成两组作为方程联立后就是一般式方程。

    补充

    直线系

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    类比二维中的直线系方程

    点到平面的距离

    思路是在平面上找一个点然后与外面那个点连成一个向量,这个向量在平面法向量上的投影就是点到平面的距离。记公式更好形式与二维中点到直线的距离公式形式差不多。
    在这里插入图片描述

    判断两直线是否是异面的,顺便求距离

    在这里插入图片描述
    就是这样,如果高是零就说明是共面的

    已知直线与直线外一点求过该点且与直线垂直相交的直线

    1. 在直线上设一点(用参数式这样自带两个方程)(相交条件限定),再利用直线外那点与设的点的向量与直线方向向量垂直解出那点的坐标,进而得到方向向量,得到直线方程。
      在这里插入图片描述
    2. 利用s1和p2得到直线的垂面,再利用P1P2和s1的叉积得到方向向量,再结合P1或P2点写出平面方程,这两个方程联立就是所求直线的方程。

    在这里插入图片描述
    3. 已经有了一个点了,还要方向向量,利用方向向量与s1垂直和方向向量与P1P2和s1的叉积垂直得到方向向量
    在这里插入图片描述

    异面直线的公垂线方程

    在这里插入图片描述
    方向向量很好求但是点很难找,所以我们采用平面联立的方式,两个平面已经在图中画出来了,他们分别过P1,P2点并且以方向向量与s1,s2的叉积为法向量。
    在这里插入图片描述
    求出红蓝平面的方程,他们的交线即为所求

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  • 使用向量叉积来求点到直线距离

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    使用向量叉积来求点到直线距离 向量 p(x, y) 直线上的两点的向量:a(x1, y1), b(x2, y2) 向量 ab = a - b 点 p 到直线 ab 的距离:|p x ab| / |ab| |p x ab|是 p 和 ab 形成的四边的面积,那么除以 底边|ab...
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    千次阅读 2021-05-02 11:16:57
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  • 到直线距离公式推导

    千次阅读 2020-02-13 18:16:12
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空空如也

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向量直线到平面的距离