向量的点乘：（1）等于各分量相乘再相加，

                      （2）两个向量的模相乘再乘以两个向量的夹角的余弦值





 



两个向量点乘：



三角形的边长公式： 

1.在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦 几何语言：在△ABC中,a²=b²+c²-2bc×cosA 此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）÷2bc

 转移到两个向量可知：两个向量相减 等于 





向量点乘的几何意义：在二维空间中两个向量相乘等于把其中一个向量在另一个向量上的投影大小乘以另一个向量的模。

如下图所示：



如上图向量点乘两种表示，一种是数值表示一种是集合表示，第一种是将两个向量映射到坐标轴上，由于坐标轴上的Y方向 和X方向之间互不影响（两者之间不做贡献）并分别将两个轴上的数值进行相乘在相加 。第二种是将两个向量在方向上 进行统一，在将两者的模相乘。

向量专题在全国卷高考中并不属于难题，压轴题也极少出现向量的题目，在全国卷中单纯的向量题目多半以相对简单的计算为主，在大题中也可能引用向量的形式解决某些问题，如若向量出现的位置较为靠后，则考查的题型一般是求与向量有关的最值问题，在非全国卷中，向量极有可能出现相对较难的选填压轴题目。
向量的计算包括三类基础性运算(几何运算，点运算，一般运算)，数量积运算，模长运算等，排除掉无脑直接算的题目，在考试中较为常见的是向量的几何运算，这里的几何运算多半以平面向量基本定理为出题点，考查向量的转化，系数的求值以及系数的最值，这里又能引申出两个考点----等和线问题和四心问题。
等和线问题源自于平面向量基本定理，解题时可利用等和线确定最值的情况或直接建系设点运算求出最值，难度并不大；四心问题在每年高考备考中均被列入重难点，但实际上考到的可能性小之又小。
向量中的重难点是与向量有关的最值问题，方法很明晰，常用的方法有以下几种：
1.建系设点，利用不等式/函数/三角函数求解最值。
2.利用极化恒等式处理特定数量积最值问题
无论采取哪种方法，合理的建系是解决此类问题的关键所在。
题目只要合理建系，基本上都能选得出来，值得注意的是最后的黑体字部分，不可以直接利用两个不等式的加或减得到所需的不等式，这样会把真实的结果放大。
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题目如果没有思路可以找一种最极端的情况，即四边形ABCD为等腰梯形，此时P，Q两点交于一点，零向量与向量相乘结果为零，在本题目中出现了中点，可能会用到向量几何运算中的加法形式或中位线，由于本题目中的三个向量之间并不存在直接的转化关系，此时更要注意向量的共线或垂直。
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建系设点，出现了圆或椭圆，可将点坐标设成含有角度的形式，最后利用三角函数有界性求出最值即可。
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解题方法同上，这里需要重点注意的是我们根据圆的方程设圆上点的坐标时，其中的角度表示的是什么意思，是点与原点以及x轴正半轴的夹角还是点与圆心以及与x轴平行的夹角？注意是后者，所以在本题目中M,N两点的坐标千万不能设成相同角度的形式。
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本题目依旧利用有界性处理，但是若题目中的条件稍有不对称，则本题目就不可以再这样解了，以上几个题目均为利用三角函数有界性求解最值。
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这是一个很不错的题目，很明显需要用到不等式来求解余弦值的最小值，如上面红框的部分并不能直接把分子部分全部转化为只含有x²和y²的形式，分子中的15很多余，可以根据条件|x+y|≤1转化为(x+y)²≤1，从而把15转化为15≥15(x+y)²，统一分子后再利用不等式即可。
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以上两个题目都是利用极化恒等式求最值，极化恒等式只是适用于特定数量积的最值问题中，从同一点出发的两个向量的乘积等于中线长度的平方减去四分之一倍的对边的平方，由于涉及两个变量，要保证其中一个为定值才可求出最值，极化恒等式在公众号中有专门的讲解，自己可以往前翻翻。
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以上三题为利用等和线求系数最值的问题，可参考思维训练33.并不神奇的向量等和线
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向量与三角形四心问题结合时，既要清楚已知的“心”有什么用，例如重心可能会涉及共线，垂心会涉及数量积为零，外心兼而有之，内心经常涉及向量的单位化，更要清楚根据条件判断出是什么“心”，四心问题可参考：向量与三角形“四心”问题结合的证明
考前训练2：向量与三角形的四心问题解析
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以上两个题目是相同类型的问题，都可以转化为方程根的个数，所不同的是第14题为标准的二次方程有两个实数根，可利用根的分布来求解，第15题由于方程是二元二次方程，且根的个数较多，观察到x,y最高次的系数一致，所以可根据其包含的几何意义进行处理。

向量 v 中的元素 v1, v2, v3, …, vn，下式给出其幅度：

|v| = √(v12 + v22 + v32 + … + vn2)

MATLAB中需要采按照下述步骤进行向量的模的计算：


	
采取的矢量及自身的积，使用数组相乘（*）。这将产生一个向量sv，其元素是向量的元素的平方和V.

	
sv = v.*v;
	
	

	
使用求和函数得到 v。这也被称为矢量的点积向量的元素的平方的总和V.

	
dp= sum(sv);
	
	

	
使用sqrt函数得到的总和的平方根，这也是该矢量的大小V.

	
mag = sqrt(s);
	
详细例子

在MATLAB中建立一个脚本文件，代码如下：

v = [1: 2: 20];
sv = v.* v;     %the vector with elements 
                % as square of v's elements
dp = sum(sv);    % sum of squares -- the dot product
mag = sqrt(dp);  % magnitude
disp('Magnitude:'); disp(mag);

运行该文件，显示结果如下：

Magnitude:
   36.4692

文章目录
1. 向量
1.1 点乘
1.2 叉乘
2. 矩阵
3. 齐次坐标

1. 向量
1.1 点乘
两个n维向量点乘：

二维向量的点乘：向量的模长相乘再乘以夹角余弦值。


点乘的结果是一个数值（标量）。
几何意义：b向量再a向量上的投影长度。

1.2 叉乘


结果：是一个向量（矢量）。
几何意义：向量a和向量b叉乘的得到的向量是同时垂直于向量a和向量b的向量。

2. 矩阵
2.1 矩阵乘法

n维矩阵的乘法运算。

举例：

3. 齐次坐标


齐次坐标就是图形变换过程中为了方便计算产生的概念。齐次坐标是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。


例如：二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出，一个点的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4,2)。


向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量，我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题，因为w分量通常是1.0。


如果一个向量的齐次坐标是0，这个坐标就是方向向量(Direction Vector)，因为w坐标是0，这个向量就不能位移（译注：这也就是我们说的不能位移一个方向）。 它可以理解为一个无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。


使用齐次坐标有几点好处：它允许我们在3D向量上进行位移（如果没有w分量我们是不能位移向量的）