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  • Efficient PyTorch Hessian eigendecomposition using the Hessian-vector product and stochastic power iteration
  • 对于运动学逆解或者姿态求解过程中存在的矩阵的计算的一部分内容点,斜对称阵,叉乘
  • 向量积

    千次阅读 2017-12-19 12:35:13
    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观...

    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观描述一般都是通过图例来实现的,这里就不免俗了,毕竟存在的就是合理的。

    1. 直观描述
      所谓图例说明,也就是用二维或者三维空间的东西来表示通用的概念。那么我们看下图。



      如图所示,三维空间中,向量a、b,夹角是θ,则向量积a×b的结果为一个向量,该向量的模为:
      |a×b|=|a||b|sinθ

      向量的方向遵守“右手定则”,即四指延向量积第一向量向第二向量劣角(小于180度的角)方向旋转,拇指伸直方向即为结果向量方向。上图中给出了a×b和b×a的结果向量,可见二者模相同,方向相反。
    2. 数学描述
      用一般化数学语言描述向量积,以三维空间为例,设在三个坐标轴上的单位向量分别为i、j、k,向量a表达式为(x,y,z),向量b的表达式为(p,q,r),则向量积可以表示为以下行列式的形式。
      a×b=ixpjyqkzr

      对于二维空间(平面)上的向量,在计算向量积时,需要将其扩展到三维空间(即第三维补0),即可应用以上公式计算。
    3. 向量积的性质

      • 模:三维空间中,向量积的模即为两个向量组成平行四边形的面积。
      • 代数规则:
        反交换律:a×b=-b×a
        加法分配率:a×(b+c) = a×b+a×c
        兼容标量乘法:(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)
        雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0
        拉格朗日公式:(a×b)×c = b(a∙c)-a(b∙c) ; a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)
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  • 平面向量的坐标表示及向量积.doc
  • 两向量的向量积

    千次阅读 2021-01-26 22:09:34
    两向量的向量积 两向量 a 与 b 的向量积(外积)是一个向量,记做 a×b\mathbf{a}\times \mathbf{b}a×b 或 [ab][\mathbf{a}\mathbf{b}][ab],它的模是 ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡∠(a,b) |\mathbf{a}\times \mathbf{...

    在这里插入图片描述

    两向量的向量积

    两向量 ab 的向量积(外积)是一个向量,记做 a × b \mathbf{a}\times \mathbf{b} a×b [ a b ] [\mathbf{a}\mathbf{b}] [ab],它的模是
    ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ∠ ( a , b ) |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) a×b=absin(a,b)
    它的方向与 ab 都垂直,并且按 a, b, a × b \mathbf{a}\times\mathbf{b} a×b 这个顺序构成右手标架 { O ; a , b , a × b } \{O;\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}\} {O;a,b,a×b}

    • 两个不共线向量 ab 的向量积的模,等于以 ab 为边所构成的平行四边形的面积
      在这里插入图片描述

    • 两向量 ab 共线的充分必要条件是 a × b = 0 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0} a×b=0
      ab 共线时, sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0或者至少一个为零向量; 当 sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0时或者其至少一个为零向量,ab 共线

    • 向量积是 反交换 的: a × b = − ( b × a ) \mathbf{a}\times\mathbf{b} = - (\mathbf{b}\times\mathbf{a}) a×b=(b×a)

    • 向量积满足关于数因子的结合律: λ ( a b ) = ( λ a ) × b = a × ( λ b ) \lambda(\mathbf{a}\mathbf{b}) = (\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) λ(ab)=(λa)×b=a×(λb)

    • 向量积满足分配律: ( a + b ) × c = a × c + b × c (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} (a+b)×c=a×c+b×c

      c × ( a + b ) = a × c + b × c \mathbf{c}\times(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} c×(a+b)=a×c+b×c同样成立


      先证明 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      利用作图将 c 0 \mathbf{c}^{\mathbf{0}} c0ab a × c 0 \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} a×c0 b × c 0 \mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} b×c0 a + b \mathbf{a}+\mathbf{b} a+b ( a + b ) × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0的图像画出容易得出 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      再两边乘以 ∣ c ∣ |\mathbf{c}| c即可得出

    • 如果 a = X 1 i + Y 1 j + Z 1 k b = X 2 i + Y 2 j + Z 2 k \mathbf{a} = X_{1}\mathbf{i} + Y_{1}\mathbf{j}+Z_{1}\mathbf{k}\quad\mathbf{b} = X_{2}\mathbf{i} + Y_{2}\mathbf{j}+Z_{2}\mathbf{k} a=X1i+Y1j+Z1kb=X2i+Y2j+Z2k,那么
      a × b = ∣ Y 1 Z 1 Y 2 Z 2 ∣ i + ∣ Z 1 X 1 Z 2 X 2 ∣ j + ∣ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ∣ k \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{cc} Y_{1} & Z_{1} \\ Y_{2} & Z_{2} \end{array} \right|\mathbf{i} + \left| \begin{array}{cc} Z_{1} & X_{1} \\ Z_{2} & X_{2} \end{array} \right|\mathbf{j} + \left| \begin{array}{cc} X_{1} & Y_{1} \\ X_{2} & Y_{2} \end{array} \right|\mathbf{k} a×b=Y1Y2Z1Z2i+Z1Z2X1X2j+X1X2Y1Y2k
      或则写成
      a × b = ∣ i j k X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 ∣ \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X_{1} & Y_{1}& Z_{1}\\ X_{2} & Y_{2}& Z_{2} \end{array} \right| a×b=iX1X2jY1Y2kZ1Z2

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  • 混合积与双重向量积

    2021-01-30 15:17:17
    我们定义空间上三个向量 a,b,c ,先作 a 和 b 的向量积,用所得向量再与 c 作数量积,所得结果称为三向量的混合积,记作 (a×b)⋅c(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}(a×b)⋅c 或者 (a,b,c)(\mathbf{a}...

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    三向量的混合积

    我们定义空间上三个向量 abc ,先作 ab 的向量积,用所得向量再与 c 作数量积,所得结果称为三向量的混合积,记作 ( a × b ) ⋅ c (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} (a×b)c 或者 ( a , b , c ) (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) (a,b,c) 或者 ( a b c ) (\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}) (abc)

    • 设以abc 为棱的平行六边体的体积为 V V V ,则 ∣ ( a b c ) ∣ = V |(\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c})| = V (abc)=V,并且 ( a b c ) = ε V (\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}) = \varepsilon V (abc)=εV,当 abc 构成右手系时 ε = 1 \varepsilon = 1 ε=1,当 abc 构成左手系时 ε = − 1 \varepsilon = -1 ε=1

    • 三向量abc 共面的充分必要条件是 ( a b c ) = 0 (\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}) = 0 (abc)=0

    • 轮换混合积的三个因子,不改变它的值,对调任何两个因子要改变乘积符号
      ( a b c ) = ( b c a ) = ( c a b ) = − ( a c b ) = − ( c b a ) = − ( b a c ) (\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}) = (\mathbf{b}\mathbf{c}\mathbf{a}) = (\mathbf{c}\mathbf{a}\mathbf{b}) = -(\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\mathbf{b}\mathbf{a}) = -(\mathbf{b}\mathbf{a}\mathbf{c}) (abc)=(bca)=(cab)=(acb)=(cba)=(bac)


      轮换因子不会将右手系变为左手系,也不会将左手系变为右手系,
      对调因子会改变。


      由此可以推出
      ( a × b ) ⋅ c = a ⋅ ( b × c ) (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} = \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) (a×b)c=a(b×c)

    • 如果 a = X 1 i + Y 1 j + Z 1 k , b = X 2 i + Y 2 j + Z 2 k , c = X 3 i + Y 3 j + Z 3 k \mathbf{a} = X_{1}\mathbf{i} + Y_{1}\mathbf{j} + Z_{1}\mathbf{k},\quad \mathbf{b} = X_{2}\mathbf{i} + Y_{2}\mathbf{j} + Z_{2}\mathbf{k},\quad \mathbf{c} = X_{3}\mathbf{i} + Y_{3}\mathbf{j} + Z_{3}\mathbf{k} a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k,c=X3i+Y3j+Z3k,那么
      ( a b c ) = ∣ X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 X 3 Y 3 Z 3 ∣ (\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}) = \left| \begin{array}{ccc} X_{1} & Y_{1}& Z_{1}\\ X_{2} & Y_{2}& Z_{2}\\ X_{3} & Y_{3}& Z_{3} \end{array} \right| (abc)=X1X2X3Y1Y2Y3Z1Z2Z3

    三向量的双重向量积

    给定空间三向量,先作其中两个向量的向量积,用所得向量与第三个向量再作向量积,所得向量称为所给向量的双重向量积

    • ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} (a×b)×c=(ac)b(bc)a

      证明: 若 abc 中有一个为零向量,或 ab 共线,或 cab 都垂直,两边全为零,显然成立。

      反之,我们先设 c = a \mathbf{c}=\mathbf{a} c=a ( a × b ) × a = ( a 2 ) b − ( b ⋅ a ) a (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a} = (\mathbf{a}^{2})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})\mathbf{a} (a×b)×a=(a2)b(ba)a可以设
      ( a × b ) × a = λ a + μ b (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a} = \lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{b} (a×b)×a=λa+μb
      先后与 ab 作数量积得
      λ ( a 2 ) + μ ( a ⋅ b ) = 0 λ ( a ⋅ b ) + μ ( b 2 ) = ( a × b ) 2 \begin{aligned} \lambda(\mathbf{a}^{2}) + \mu(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) &= 0\\ \lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}) + \mu(\mathbf{b}^{2}) & = (\mathbf{a}\times\mathbf{b})^{2} \end{aligned} λ(a2)+μ(ab)λ(ab)+μ(b2)=0=(a×b)2

      利用 ( a × b ) 2 + ( a ⋅ b ) 2 = a 2 b 2 (\mathbf{a}\times\mathbf{b})^{2} + (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^{2} = \mathbf{a}^{2}\mathbf{b}^{2} (a×b)2+(ab)2=a2b2,可以解出 λ = − a ⋅ b , μ = a 2 \lambda = -\mathbf{a}\cdot\mathbf{b},\quad \mu = \mathbf{a}^{2} λ=abμ=a2 ,代入即可证明成立。

      对于任意向量 c,我们可以设
      c = α a + β b + γ ( a × b ) \mathbf{c} = \alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) c=αa+βb+γ(a×b)
      得出
      ( a × b ) × c = ( a × b ) × ( α a + β b + γ ( a × b ) ) = α ( a × b ) × a − β ( b × a ) × b = α [ ( a 2 ) b − ( b ⋅ a ) a ] − β [ ( b 2 ) a − ( a ⋅ b ) a ] = [ α ( a 2 ) + β ( a ⋅ b ) ] a − [ α ( a ⋅ b ) + β ( b 2 ) ] b = [ a ( α a + β b + γ ( a × b ) ) ] b − [ b ( α a + β b + γ ( a × b ) ) ] a = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a \begin{aligned} (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} &= (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times(\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma(\mathbf{a}\times\mathbf{b}))\\ &= \alpha(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{a} - \beta(\mathbf{b}\times\mathbf{a})\times\mathbf{b} \\ & = \alpha[(\mathbf{a}^{2})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{a})\mathbf{a}] - \beta\left[(\mathbf{b}^{2})\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a}\right]\\ &= \left[\alpha(\mathbf{a}^{2})+\beta(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\right]\mathbf{a}-\left[\alpha(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})+\beta(\mathbf{b}^{2})\right]\mathbf{b}\\ & = [\mathbf{a}(\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma(\mathbf{a}\times\mathbf{b}))]\mathbf{b} - [\mathbf{b}(\alpha\mathbf{a} + \beta\mathbf{b} + \gamma(\mathbf{a}\times\mathbf{b}))]\mathbf{a}\\ & = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a} \end{aligned} (a×b)×c=(a×b)×(αa+βb+γ(a×b))=α(a×b)×aβ(b×a)×b=α[(a2)b(ba)a]β[(b2)a(ab)a]=[α(a2)+β(ab)]a[α(ab)+β(b2)]b=[a(αa+βb+γ(a×b))]b[b(αa+βb+γ(a×b))]a=(ac)b(bc)a

    • 拉格朗日(Lagrange)恒等式
      ( a × b ) ⋅ ( a ′ × b ′ ) = ∣ a ⋅ a ′ a ⋅ b ′ b ⋅ a ′ b ⋅ b ′ ∣ (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}'\times\mathbf{b}') = \left| \begin{array}{cc} \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}' & \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}' \\ \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}' & \mathbf{b}\cdot\mathbf{b}' \end{array} \right| (a×b)(a×b)=aabaabbb

    • 雅可比(Jacobi)恒等式
      ( a × b ) × c + ( b × c ) × a + ( c × a ) × b = 0 (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}+(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\times\mathbf{a} + (\mathbf{c}\times\mathbf{a})\times\mathbf{b} = 0 (a×b)×c+(b×c)×a+(c×a)×b=0

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  • 数量积、向量积与混合积

    千次阅读 2018-03-27 23:30:17
    对两个向量a→a→\overrightarrow a和b→b→\overrightarrow b进行运算,运算的结果是一个数,这个数等于|a→|、|b→||a→|、|b→||\overrightarrow a|、|\overrightarrow b|及它们的夹角θθ\theta的余弦的乘积,则...

    数量积

    对两个向量 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 进行运算,运算的结果是一个数,这个数等于 ∣ a → ∣ 、 ∣ b → ∣ |\overrightarrow a|、|\overrightarrow b| a b 及它们的夹角 θ \theta θ的余弦的乘积,则这个数称作数量积,记做: a → ⋅ b → \overrightarrow a ·\overrightarrow b a b

    定义式
    a → ⋅ b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ cos ⁡ θ \overrightarrow a · \overrightarrow b = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos \theta a b =a b cosθ

    坐标表达式(空间坐标系):
    a → ⋅ b → = a x b x + a y b y + a z b z \overrightarrow a · \overrightarrow b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z a b =axbx+ayby+azbz
    由定义式和坐标表达式可以求得两向量夹角 θ \theta θ的余弦的乘积
    cos ⁡ θ = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2 \cos \theta = \frac{\overrightarrow a · \overrightarrow b}{ |\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}} cosθ=a b a b =ax2+ay2+az2 bx2+by2+bz2 axbx+ayby+azbz

    数量积的特点

    • a → ⋅ a → = ∣ a → ∣ 2 cos ⁡ 0 = ∣ a → ∣ 2 \overrightarrow a · \overrightarrow a = |\overrightarrow a|^2 \cos 0 = |\overrightarrow a|^2 a a =a 2cos0=a 2
    • 向量 a → ⊥ b → \overrightarrow a \bot \overrightarrow b a b 的充要条件是 a → ⋅ b → = 0 \overrightarrow a · \overrightarrow b = 0 a b =0
    • 两个向量数量积的结果是一个数

    数量积的运算规律

    • 交换律: a → ⋅ b → = b → ⋅ a → \overrightarrow a · \overrightarrow b = \overrightarrow b · \overrightarrow a a b =b a
    • 分配律: ( a → + b → ) ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → (\overrightarrow a + \overrightarrow b)· \overrightarrow c = \overrightarrow a · \overrightarrow c + \overrightarrow b · \overrightarrow c (a +b )c =a c +b c
    • 常数结合律: ( λ a → ) ⋅ b → = λ ( a → ⋅ b → ) ; λ 为 常 数 (\lambda \overrightarrow a)· \overrightarrow b = \lambda(\overrightarrow a · \overrightarrow b);\lambda 为常数 (λa )b =λ(a b );λ

    向量积

    c → \overrightarrow c c a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 按下列方式定义出:

    1. ∣ c → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ sin ⁡ θ |\overrightarrow c| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \sin \theta c =a b sinθ,其中 θ \theta θ a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 之间的夹角
    2. c → \overrightarrow c c 的垂直于 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 所决定的平面
    3. c → \overrightarrow c c 的指向按"向量右手规则"从 a → \overrightarrow a a 转向 b → 来 确 定 \overrightarrow b来确定 b

    向量右手规则
    假设已经在平面上确定了x和y轴,若想再建立一个z轴将平面扩充成空间,且z轴既垂直于x轴,也垂直于y轴(即垂直于已有的平面)。因为数轴存在方向,所以可以有两条(正负各一条),但是数轴必须要有一个正方向,所以必须从两条里面选一条做正方向,因此,有了
    向量右手规则*:把右手伸出来,摊开,四指先指向x的方向,然后自然弯曲90度,如果此时四指刚好指向y的方向,那么大拇指的指向就是z的正方向了。

    c → \overrightarrow c c 叫做 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 的向量积,记做 a → × b → \overrightarrow a × \overrightarrow b a ×b

    定义式
    c → = a → × b → \overrightarrow c = \overrightarrow a × \overrightarrow b c =a ×b

    坐标表达式
    a → × b → = ∣ 1 1 1 a x a y a z b x b y b z ∣ \overrightarrow a × \overrightarrow b = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{vmatrix} a ×b =1axbx1ayby1azbz

    向量积的特点

    • ∣ a → × a → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ a → ∣ sin ⁡ 0 = 0 |\overrightarrow a × \overrightarrow a| = |\overrightarrow a||\overrightarrow a|\sin 0 = 0 a ×a =a a sin0=0
    • a → / / b → \overrightarrow a // \overrightarrow b a //b 的充要条件是 a → × b → = 0 \overrightarrow a × \overrightarrow b = 0 a ×b =0
    • a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b 在同一平面内,则该平面的法向量 n → = a → × b → \overrightarrow n = \overrightarrow a×\overrightarrow b n =a ×b
    • ∣ c → ∣ = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ sin ⁡ θ |\overrightarrow c| = |\overrightarrow a||\overrightarrow b| \sin \theta c =a b sinθ可以知道,向量积的大小等于以 ∣ a → ∣ 、 ∣ b → ∣ |\overrightarrow a|、|\overrightarrow b| a b 为边长的平行四边形面积的大小
    • 两个向量向量积的结果是一个向量

    向量积的运算规律

    • a → × b → = − b → × a → \overrightarrow a × \overrightarrow b = - \overrightarrow b × \overrightarrow a a ×b =b ×a ,原因是右向量右手规则会得出两个大小相同方向相反的向量
    • 分配律: ( a → + b → ) × c → = a → × c → + b → × c → (\overrightarrow a + \overrightarrow b) × \overrightarrow c = \overrightarrow a × \overrightarrow c + \overrightarrow b × \overrightarrow c (a +b )×c =a ×c +b ×c
    • 常数结合律: ( λ a → ) × b → = a → × ( λ b → ) = λ ( a → × b → ) (\lambda \overrightarrow a) × \overrightarrow b = \overrightarrow a × (\lambda \overrightarrow b) = \lambda (\overrightarrow a × \overrightarrow b) (λa )×b =a ×(λb )=λ(a ×b )

    混合积

    设已知三个向量 a → 、 b → \overrightarrow a、\overrightarrow b a b c → \overrightarrow c c 。先作两向量 a → \overrightarrow a a b → \overrightarrow b b 的向量积 a → × b → \overrightarrow a × \overrightarrow b a ×b ,把所得的向量积与 c → \overrightarrow c c 再做数量积,这样得到的数量就叫 a → 、 b → 、 c → \overrightarrow a、\overrightarrow b 、 \overrightarrow c a b c 的混合积,记做 [ a → b → c → ] [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] [a b c ]

    定义式
    [ a → b → c → ] = ( a → × b → ) ⋅ c → = ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] = (\overrightarrow a × \overrightarrow b) · \overrightarrow c = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix} [a b c ]=(a ×b )c =axbxcxaybycyazbzcz

    混合积的特点

    • [ a → b → c → ] = 0 [\overrightarrow a \overrightarrow b \overrightarrow c] = 0 [a b c ]=0,则 a → 、 b → 、 c → \overrightarrow a、 \overrightarrow b、 \overrightarrow c a b c 共面
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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b: ...
  • 支持向量积【SVM】

    千次阅读 2019-03-16 16:33:26
    支持向量积根据数据的情况分为三种。如果数据是线性可分的,则用线性可分支持向量积。如果数据是近似线性可分的,则用线性支持向量积。如果数据是不可分的,则用非线性支持向量积。 一、线性可分支持向量积 1.1 ...
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  • python实现向量积运算

    2021-07-19 21:22:06
    即list1[0]乘以list2[0]然后相加并且以此类推 ist1 = [111,222,333,444,555,666,777,888,999] list2 = [999,777,555,333,111,888] count = 0 for i in range(100): #为了防止两个列表长度不一致 ...
  • 叉乘是向量积,记作a×b,a×b=|a|·|b|sinθ,其中|a|、|b|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).以上a与b均为向量。 |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 向量c的方向与a
  • 本篇内容依然是向量的运算,只不过不属于线性运算,内容包括向量的数量积与向量积。 一、向量的数量积(内积、点乘,参与运算的是向量,结果是数) (一)问题产生的背景与表达 (二)向量数量积定义(几何) 向量...
  • 向量积计算三角形面积

    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。 向量积可以被定义为: 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所...
  • 例子:两个向量A和B,求交叉。已知 A=[x1,y1,z1], B=[x2,y2,z2] 则A和B的交叉运算方法:C=[y1z2-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1]。 其中: y1z2-y2z1部分标记如下: A=[x1,y1,z1], B=[x2,y2,z2] x2z1-x1z2...
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛,通常应用于...
  • 对于a=(x1,y1,z1)和b=(x2,y2,z2) 数量积:(x1*x2,y1*y2,z1*z2) 向量积:(y1*z2-z1*y2,z1*z2-z1*z2,x1*y2-y1*x2) 即求矩阵
  • 向量积求三角形面积

    千次阅读 2019-07-21 13:09:01
    向量积可以求三角形面积,进而求多边形面积。 向量AB=(x1,y1); 向量AC=(x2,y2); area=0.5 * | ( x1y2-x2y1 ) | 例题:HDU2036
  • 向量积 和 它的计算_7

    千次阅读 2019-03-03 19:08:44
    什么是向量积向量积的定义 向量积的计算 什么是向量积? 还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间...
  • 向量积是一个向量,此向量垂直于相乘的两个向量。处于与z轴方向平行。 如果 res<0,说明结果向量垂直于屏幕向里,也就是指向Z轴的负方向,P点在直线的下侧。 如果res>0,说明结果向量垂直于屏幕向外,也...
  • 运用C语言实现向量积

    千次阅读 2019-06-16 22:43:17
    今天久违的高中同学给我打了个电话,他的对象也是小学妹学的计算机,刚接触做一道简答算法题:用C语言实现向量积。哎,勉为其难的动手了。 首先自然是找公式啊,高数放弃已久只能百度: 已知:向量:u=Xu*i+Yu*j...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...
  • 向量的数量积和向量的向量积

    千次阅读 2018-02-22 12:03:20
  • 文章目录向量积的定义与性质向量积的几何意义向量积的性质用坐标计算向量积二重外积参考 引例:力作用在杠杆上的力矩 设 OOO 为 杜杆 LLL 的支点, 力 F\boldsymbol{F}F 作用于 这杠杆的点 PPP 处, F\boldsymbol{F}F...
  • 数学 向量积 叉乘

    2019-08-29 23:07:17
    向量积,在数学中称为外积,叉积,物理中称为矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量得二元运算。与点积不同的是它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量得叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛。通常...
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  • 向量积的形式和表示一、内积(向量点乘)1.定义2.点乘3.点乘的几何意义4.基本性质二、外积(叉乘、向量积)1.定义2.叉乘公式3.外积的几何意义4.基本性质 今天在学习SVM算法的时候,涉及到了向量的运算,所以我在这里...
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空空如也

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向量积