目录
 
奇异矩阵和非奇异矩阵
 
行列式矩阵简单理解
 
一、代数意义
 
二、几何意义

 
1-向量和行列式简介
 
一，向量
1,向量的表示
2,维度和分量
3,零向量和单位向量
  
二，向量的运算
1,加减法
①加法
②减法
   
2,数乘
3,点积
4,叉积
  
三，行列式
1,组成
2,性质
3，意义
4，计算
  
四，代数余子式
1，代数余子式公式：
  
五，结束语：以上内容如有错误或不妥欢迎指出，谢谢！

 
 
 
 
向量是指具有大小和方向的量，在物理学中，通常将向量称为矢量
 标量是指只有大小的量，在物理学中，也叫做标量
 
 箭头的方向表示向量的方向，线段则表示向量的大小
 向量的众多特性可以是很多概念得到简化
 
 
一，向量
 
1,向量的表示
 
直角坐标系表示：带箭头的线段
印刷体表示：粗体字母 ，如a、b、D
手写体表示：字母上加一个向右的箭头，如$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{D}$
代数表示：$a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$
模的表示：$|a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$
 
2,维度和分量
 
首先这里可以打开思路，有人问我，你能想象四维的空间吗？不能想象就别乱说了。我的确想象不出来，的确我也不能再平面上画出一个四维的空间，但是这里的维度是$数学层面$的！
 每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物，这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义！
 
每个维度中的内容：数字、文字或是其他符号都可以
不同维度的表示：$n$维空间用$R^n$表示，如二维空间$R^2$、三维空间$R^3$
维度的分量：向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量，如$R^3$空间的向量$\vec{a}=(1,2,9)$,那么$\vec{a}$再三个维度的分量分别是1,2,9
 
3,零向量和单位向量
 
零向量：长度为零的向量，与任何向量平行，可记作$O$或$Z$(zero),$O=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],O\in R^3$
单位向量：一个非零向量除以它的模，得到单位向量，$N=\frac{a}{|a|}$
 
二，向量的运算
 
1,加减法
 
①加法
 
 
 
向量的加法很简单，将相同维度的向量依次相加就行了
 
 
简单举个例子：
 
$a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b3\end{array}\right],a+b=\left[\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right]$
 
②减法
 
 
 
和加法一样简单，把相同维度的向量依次相减即可
 
 
简单举个例子：
 
$a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b3\end{array}\right],a-b=\left[\begin{array}{c}{a}_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right]$
 
2,数乘
 
 
 
向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算
 
 
简单举个例子：
 $v=\left[\begin{array}{c}7\\ 9\end{array}\right]，v\times 2=\left[\begin{array}{c}14\\ 18\end{array}\right]，v\times -6=\left[\begin{array}{c}-42\\ -54\end{array}\right]$
 
3,点积
 
 
 
从向量角度看， 对应点对应积的和就是点积运算，点积的结果是标量
 
 
简单举个例子：
 $a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right],a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3={\sum }_{i=1}^3{a}_i{b}_i$
 
 
 
从几何角度看，对应的模乘夹角余弦
 
 
$a\cdot b=|a||b|cos\theta$
 
4,叉积
 
 
 
二维空间中，叉积的定义如下
 
 
$a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right]$
 $a\times b=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1$
 叉积的结果是向量
 
 
 
从几何角度看，叉积的模等于对应的模乘夹角正弦
 
 
$a\times b=|a||b|sin\theta$
 
三，行列式
 
1,组成
 
 
 
行列式是由向量组成的式子，是一种运算，结果为向量
 
 
如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式：
 
$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$
 
2,性质
 
单位矩阵的行列式为1
如果$D_n=det(A)$中某行的元素全为0，那么$D_n=0$
如果$D_n=det(A)$中某两行元素对应成比例，那么$D_n=0$
如果$D_n=det(A)$中某两行互换，那么互换后的行列式编号，即$det(A)=-det(A)$
倍乘性质：$det(k{A}_{n\times n})=k^{n}det(A_{n\times n})$
倍加性质：$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1+k{a}_1& b_2+k{a}_1\end{array}\right|$
单行(列)可拆(加)性:$\left|\begin{array}{ccc}\ast & & \\ a_1& a_2& a_3\\ \ast & & \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\ast & & \\ b_1& b_2& b_3\\ \ast & & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\ast & & \\ a_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ \ast & & \end{array}\right|$
两个矩阵相乘的行列式，等于这两个矩阵的行列式相乘：$det(A^2)=(det(A){)}^2$
 
3，意义
 
 
 
线性代数研究向量之间的关系，最重要的关系就是独立或不独立，行列式等于0即向量独立，即对应方程组有唯一解
 
 
4，计算
 
 
 
上（下）三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积
 
 
计算原则：利用行列式的性质化简成上（下）三角矩阵的样子，然后计算乘积
 
通过公式：
 $$det(A)=\sum _{n!}\pm a_{1\alpha }{a}_{2\beta }{a}_{3\gamma }\cdot \cdot \cdot a_{n\omega }$$
 
四，代数余子式
 
 
 
代数余子式优点像俄罗斯套娃，可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶（一个数）
 
 
 
什么是代数余子式，举个例子：
 三阶行列式的计算公式如下
 $$det(A)=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})-a_{12}(a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31})$$
 
1，代数余子式公式：
 
$$det(A)=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}{C}_{1n}=\sum _{i=1}^n{a}_{1i}{C}_{1i}$$
 
$C_{xy}$就是$a_{xy}$的代数余子式，若$x+y$为奇数，$a_{xy}$为负数
 
五，结束语：以上内容如有错误或不妥欢迎指出，谢谢！
 
小白学识有限，难免无不妥之处，欢迎批评指正！

 
文章目录
 
前言
二阶与三阶行列式
二阶行列式
三阶行列式
  
全排列及其逆序数
全排列
逆序数
  
结语

 
前言
 
 
 
Hello！小伙伴！
 非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
  
 自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
 昵称：海轰
 标签：程序猿｜C++选手｜学生
 简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
  
 机器学习小白阶段
 文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
 知其然 知其所以然！
 
 
二阶与三阶行列式
 
二阶行列式
 
记作
 
$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}-a_{12}\ast a_{21}$
 
定义
 
主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差，即：$a_{11}\ast a_{22}-a_{12}\ast a_{21}$
 
注：行列式本质是一个数值，比如$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$代表的就是数值(-2=1×4-2×3)
 
举例
 
$\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=？$
 
 
 
答：
 
 
$\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=3\ast 1-(-2)\ast 2=3-(-4)=7$
 
 
三阶行列式
 
记作
 
$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}\ast a_{33}+a_{12}\ast a_{23}\ast a_{31}+a_{13}\ast a_{21}\ast a_{32}-a_{11}\ast a_{23}\ast a_{32}-a_{12}\ast a_{21}\ast a_{33}-a_{13}\ast a_{22}\ast a_{31}$
 
举例
 
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ -2& 2& 1\\ -3& 4& -2\end{array}\right|=？$
 
 
 
答：
 
 
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ -2& 2& 1\\ -3& 4& -2\end{array}\right|=1\ast 2\ast (-2)+2\ast 1\ast (-3)+(-4)\ast (-2)\ast 4-1\ast 1\ast 4-2\ast (-2)\ast (-2)-(-4)\ast 2\ast (-3)=-14$
 
 
全排列及其逆序数
 
全排列
 
定义
 
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
 
当m=n时所有的排列情况叫全排列。
 
公式
 
全排列数f(n)=n!(定义0!=1)
 
举例
 
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?
 
 
 
答：3×2×1=6种。
 
 
假设先放百位，有三种可能，再放十位，有两种可能，最后放个位，只有一种可能了。
 
 
故为3×2×1=6种
 
 
从上面例子可以发现：
 
 
 
当有n个不同数字进行排列时
 
 
第一个位置有(n)选择，第二个位置有(n-1)种选择…第n个位置有1种选择，一共有n*(n-1)(n-2)…21种可能，也就是n!种排列方式。
 
 
我们用$P_n$表示n种不同元素的所有排列的种数，则
 
$P_n=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast ...\ast 3\ast 2\ast 1=n!$
 
逆序数
 
概念
 
标准次序：n个不同的数字，我们可以规定从小到大为标准次序
逆序：与标准排列次序相反（比如两个元素排序是从大到小，与标准次序相反，则视为逆序）
排列的逆序数：一个排列中所有逆序的总数
 
计算排列的逆序数的方法
 
n个元素（依次为1,2,3…n-1,n），规定从小到大为标准次序
 
设$p_1{p}_2...p_n$为这n个元素的一个排列，对于元素$p_i$(i=1,2…,n)，如果比$p_i$大的且排在$p_i$前面的元素有$t_i$个，那么就说$p_i$这个元素的逆序数是$t_i$。
 
全体元素的逆序数总和为t，那么
 
$t=t_2+t_2+...+t_n={\sum }_{t=1}^n{t}_i$
 
即是这个排列的逆序数。
 
举例
 
求排列32514的逆序数
 
 
 
答：3在第一位，前面没有数，逆序数为0
 
 
2在第二位，前面的数中，有一个数3比2大，所以逆序数为1
 
 
5的前面没有比5的数，逆序数为0
 
 
1的前面比1大的数有：3、2、5，所以逆序数为3
 
 
4的前面比4大的只有5，所以逆序数为1
 
 
综上，该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5
 
 
补充概念
 
齐排列：逆序数为奇数的排列
偶排列：逆序数为偶数的排列
 
结语
 
文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程
 
希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～
 
我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
 
如果您觉得写得可以的话，请点个赞吧
 
谢谢支持 ❤️
 

1 ，矩阵的转置 ：定义
 
定义 ：行变列，列变行
例如 ：
 
 
2 ，转置后的计算结果 ：
 
(AT)T = A
(A+B)T = AT + BT
(xA)t = XAT
注意 ： 内积
 (AB)T = ATBT
如图 ：
 
 
3 ，矩阵的行列式 ： 前提 ( 方阵 )
 
前提 ： 矩阵必须是方阵，行列式才有意义
 
4 ，行列式的结果计算 ： 代数运算
 
二阶行列式 ： 遵守对角线法则
 
三阶行列式 ：遵守对角线法则
 
n 阶行列式 ：
 1 ，计算 ： 每行出一个元，符号有可能正或者负，结果求和
 2 ，例如 ：
 
 
5 ，行列式 ： 几何意义
 
2 阶行列式的值 ：
 两个向量之间的有向面积 ( 平行四边形 )
3 阶行列式的值 ：
 两个向量之间的有向体积 ( 平行8面体 )
n 阶行列式的值 ：
 多维有向体