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  • N阶行列式的超平行多面体的几何图形是由行(或列)向量张成的,而且这个n维超平行多面体与一个n维超长方体等体积。 一、代数意义 矩阵乘法规则看起来比较复杂,不容易理解其乘法规则背后隐含的意义。现举一个...
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  • 向量行列式笔记

    千次阅读 2020-01-12 22:56:26
    python实现 1,向量行列式一,向量1,向量的表示2,维度和分量3,零向量和单位向量 向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量 标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量 箭头的方向表示...

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    向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量
    标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量
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    箭头的方向表示向量的方向,线段则表示向量的大小
    向量的众多特性可以是很多概念得到简化

    一,向量

    1,向量的表示

    • 直角坐标系表示:带箭头的线段
    • 印刷体表示:粗体字母 ,如abD
    • 手写体表示:字母上加一个向右的箭头,如 a ⃗ \vec{a} a b ⃗ \vec{b} b D ⃗ \vec{D} D
    • 代数表示: a = < x 1 , x 2 > = ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 x 2 ) = [ x 1 x 2 ] a=<x_1,x_2>=(x_1,x_2)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} a=<x1,x2>=(x1,x2)=(x1x2)=[x1x2]
    • 模的表示: ∣ a ∣ = x 1 2 + x 2 2 |a|=\sqrt{x_1^2+x_2^2} a=x12+x22

    2,维度和分量

    首先这里可以打开思路,有人问我,你能想象四维的空间吗?不能想象就别乱说了。我的确想象不出来,的确我也不能再平面上画出一个四维的空间,但是这里的维度是 数 学 层 面 \color{red}{数学层面} 的!
    每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物,这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义!

    • 每个维度中的内容:数字、文字或是其他符号都可以
    • 不同维度的表示: n n n维空间用 R n R^n Rn表示,如二维空间 R 2 R^2 R2、三维空间 R 3 R^3 R3
    • 维度的分量:向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量,如 R 3 R^3 R3空间的向量 a ⃗ = ( 1 , 2 , 9 ) \vec{a}=(1,2,9) a =(1,2,9),那么 a ⃗ \vec{a} a 再三个维度的分量分别是1,2,9

    3,零向量和单位向量

    • 零向量:长度为零的向量,与任何向量平行,可记作 O O O Z Z Z(zero), O = [ 0 0 0 ] , O ∈ R 3 O=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0\end{bmatrix},O\in R^3 O=000,OR3
    • 单位向量:一个非零向量除以它的模,得到单位向量, N = a ∣ a ∣ N= \frac {a} {|a|} N=aa

    二,向量的运算

    1,加减法

    ①加法

    向量的加法很简单,将相同维度的向量依次相加就行了

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a + b = [ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,a+b=a1+b1a2+b2a3+b3

    ②减法

    和加法一样简单,把相同维度的向量依次相减即可

    简单举个例子:

    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a − b = [ a 1 − b 1 a 2 − b 2 a 3 − b 3 ] a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b3\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3\end{bmatrix} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1b1a2b2a3b3

    2,数乘

    向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算

    简单举个例子:
    v = [ 7 9 ] , v × 2 = [ 14 18 ] , v × − 6 = [ − 42 − 54 ] v=\begin{bmatrix}7\\9\end{bmatrix},v\times2=\begin{bmatrix}14\\18\end{bmatrix},v\times-6=\begin{bmatrix}-42\\-54\end{bmatrix} v=[79]v×2=[1418]v×6=[4254]

    3,点积

    从向量角度看, 对应点对应积的和就是点积运算,点积的结果是标量

    简单举个例子:
    a = [ a 1 a 2 a 3 ] , b = [ b 1 b 2 b 3 ] , a ⋅ b = a 1 × b 1 + a 2 × b 2 + a 3 × b 3 = ∑ i = 1 3 a i b i a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix},a\cdot b=a_1\times b_1+a_2\times b_2+a_3\times b_3=\sum_{i=1}^3 {a_ib_i} a=a1a2a3,b=b1b2b3,ab=a1×b1+a2×b2+a3×b3=i=13aibi

    从几何角度看,对应的模乘夹角余弦

    a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ a\cdot b=|a||b|cos\theta ab=abcosθ

    4,叉积

    二维空间中,叉积的定义如下

    a = [ a 1 a 2 ] , b = [ b 1 b 2 ] a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix} a=[a1a2],b=[b1b2]
    a × b = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 a\times b=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1 a×b=a1b1a2b2=a1b2a2b1
    叉积的结果是向量

    从几何角度看,叉积的模等于对应的模乘夹角正弦

    a × b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ a\times b=|a||b|sin\theta a×b=absinθ

    三,行列式

    1,组成

    行列式是由向量组成的式子,是一种运算,结果为向量

    如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式:

    ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix} a1b1a2b2

    2,性质

    1. 单位矩阵的行列式为1
    2. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某行的元素全为0,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    3. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行元素对应成比例,那么 D n = 0 D_n=0 Dn=0
    4. 如果 D n = d e t ( A ) D_n=det(A) Dn=det(A)中某两行互换,那么互换后的行列式编号,即 d e t ( A ) = − d e t ( A ) det(A)=-det(A) det(A)=det(A)
    5. 倍乘性质: d e t ( k A n × n ) = k n d e t ( A n × n ) det(kA_{n\times n})=k^ndet(A_{n\times n}) det(kAn×n)=kndet(An×n)
    6. 倍加性质: ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = ∣ a 1 a 2 b 1 + k a 1 b 2 + k a 1 ∣ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1+ka_1&b_2+ka_1\end{vmatrix} a1b1a2b2=a1b1+ka1a2b2+ka1
    7. 单行(列)可拆(加)性: ∣ ∗ a 1 a 2 a 3 ∗ ∣ + ∣ ∗ b 1 b 2 b 3 ∗ ∣ = ∣ ∗ a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ∗ ∣ \begin{vmatrix}*\\a_1&a_2&a_3\\* \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}*\\b_1&b_2&b_3\\* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}*\\a_1+b_1&a_2+b_2&a_3+b_3\\* \end{vmatrix} a1a2a3+b1b2b3=a1+b1a2+b2a3+b3
    8. 两个矩阵相乘的行列式,等于这两个矩阵的行列式相乘: d e t ( A 2 ) = ( d e t ( A ) ) 2 det(A^2)=(det(A))^2 det(A2)=(det(A))2

    3,意义

    线性代数研究向量之间的关系,最重要的关系就是独立或不独立,行列式等于0即向量独立,即对应方程组有唯一解

    4,计算

    上(下)三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积

    计算原则:利用行列式的性质化简成上(下)三角矩阵的样子,然后计算乘积

    通过公式:
    d e t ( A ) = ∑ n ! ± a 1 α a 2 β a 3 γ ⋅ ⋅ ⋅ a n ω det(A)=\sum_{n!}\pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdot \cdot \cdot a_{n\omega} det(A)=n!±a1αa2βa3γanω

    四,代数余子式

    代数余子式优点像俄罗斯套娃,可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶(一个数)
    在这里插入图片描述

    什么是代数余子式,举个例子:
    三阶行列式的计算公式如下
    d e t ( A ) = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) det(A)=a11(a22a33a23a32)a12(a21a33a23a31)+a13(a21a32a22a31)

    1,代数余子式公式:

    d e t ( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a 1 n C 1 n = ∑ i = 1 n a 1 i C 1 i det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_{1n}C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}a_{1i}C_{1i} det(A)=a11C11+a12C12++a1nC1n=i=1na1iC1i

    C x y C_{xy} Cxy就是 a x y a_{xy} axy的代数余子式,若 x + y x+y x+y为奇数, a x y a_{xy} axy为负数

    五,结束语:以上内容如有错误或不妥欢迎指出,谢谢!

    小白学识有限,难免无不妥之处,欢迎批评指正!

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  • 前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~   自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称:海轰 标签:程序猿|C++选手|学生 简介:因C语言结识编程,随后转入计算机...二阶行列

    前言

    Hello!小伙伴!
    非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~
     
    自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
    昵称:海轰
    标签:程序猿|C++选手|学生
    简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
    学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语!
     
    机器学习小白阶段
    文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
    知其然 知其所以然!

    二阶与三阶行列式

    二阶行列式

    记作

    ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 ∗ a 22 − a 12 ∗ a 21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21} a11a21a12a22=a11a22a12a21

    定义

    主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差,即: a 11 ∗ a 22 − a 12 ∗ a 21 a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21} a11a22a12a21

    注:行列式本质是一个数值,比如 ∣ 1 2 3 4 ∣ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix} 1324代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

    举例

    ∣ 3 − 2 2 1 ∣ = ? \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ? 3221=

    答:

    ∣ 3 − 2 2 1 ∣ = 3 ∗ 1 − ( − 2 ) ∗ 2 = 3 − ( − 4 ) = 7 \begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7 3221=31(2)2=3(4)=7

    三阶行列式

    记作

    ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 + a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 + a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 − a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 − a 12 ∗ a 21 ∗ a 33 − a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31} a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

    举例

    ∣ 1 2 − 4 − 2 2 1 − 3 4 − 2 ∣ = ? \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ? 123224412=

    答:

    ∣ 1 2 − 4 − 2 2 1 − 3 4 − 2 ∣ = 1 ∗ 2 ∗ ( − 2 ) + 2 ∗ 1 ∗ ( − 3 ) + ( − 4 ) ∗ ( − 2 ) ∗ 4 − 1 ∗ 1 ∗ 4 − 2 ∗ ( − 2 ) ∗ ( − 2 ) − ( − 4 ) ∗ 2 ∗ ( − 3 ) = − 14 \begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14 123224412=12(2)+21(3)+(4)(2)41142(2)(2)(4)2(3)=14

    全排列及其逆序数

    全排列

    定义

    从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

    当m=n时所有的排列情况叫全排列。

    公式

    全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

    举例

    用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

    答:3×2×1=6种。

    假设先放百位,有三种可能,再放十位,有两种可能,最后放个位,只有一种可能了。

    故为3×2×1=6种

    从上面例子可以发现:

    当有n个不同数字进行排列时

    第一个位置有(n)选择,第二个位置有(n-1)种选择…第n个位置有1种选择,一共有n*(n-1)(n-2)21种可能,也就是n!种排列方式。

    我们用 P n P_{n} Pn表示n种不同元素的所有排列的种数,则

    P n = n ∗ ( n − 1 ) ∗ ( n − 2 ) ∗ . . . ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = n ! P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n! Pn=n(n1)(n2)...321=n!

    逆序数

    概念

    • 标准次序:n个不同的数字,我们可以规定从小到大为标准次序
    • 逆序:与标准排列次序相反(比如两个元素排序是从大到小,与标准次序相反,则视为逆序)
    • 排列的逆序数:一个排列中所有逆序的总数

    计算排列的逆序数的方法

    n个元素(依次为1,2,3…n-1,n),规定从小到大为标准次序

    p 1 p 2 . . . p n p_1p_2...p_n p1p2...pn为这n个元素的一个排列,对于元素 p i p_i pi(i=1,2…,n),如果比 p i p_i pi大的且排在 p i p_i pi前面的元素有 t i t_i ti个,那么就说 p i p_i pi这个元素的逆序数是 t i t_i ti

    全体元素的逆序数总和为t,那么

    t = t 2 + t 2 + . . . + t n = ∑ t = 1 n t i t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i t=t2+t2+...+tn=t=1nti

    即是这个排列的逆序数。

    举例

    求排列32514的逆序数

    答:3在第一位,前面没有数,逆序数为0

    2在第二位,前面的数中,有一个数3比2大,所以逆序数为1

    5的前面没有比5的数,逆序数为0

    1的前面比1大的数有:3、2、5,所以逆序数为3

    4的前面比4大的只有5,所以逆序数为1

    综上,该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

    补充概念

    • 齐排列:逆序数为奇数的排列
    • 偶排列:逆序数为偶数的排列

    结语

    文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

    希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

    我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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  • 1 ,矩阵的转置 :定义 定义 :行变列,列变行 例如 : ...二阶行列式 : 遵守对角线法则 三阶行列式 :遵守对角线法则 n 阶行列式 : 1 ,计算 : 每行出一个元,符号有可能正或者负,结果求和 2 ,例

    1 ,矩阵的转置 :定义

    1. 定义 :行变列,列变行
    2. 例如 :
      在这里插入图片描述

    2 ,转置后的计算结果 :

    1. (AT)T = A
    2. (A+B)T = AT + BT
    3. (xA)t = XAT
    4. 注意 : 内积
      (AB)T = ATBT
    5. 如图 :
      在这里插入图片描述

    3 ,矩阵的行列式 : 前提 ( 方阵 )

    1. 前提 : 矩阵必须是方阵,行列式才有意义

    4 ,行列式的结果计算 : 代数运算

    1. 二阶行列式 : 遵守对角线法则
      在这里插入图片描述
    2. 三阶行列式 :遵守对角线法则
      在这里插入图片描述
    3. n 阶行列式 :
      1 ,计算 : 每行出一个元,符号有可能正或者负,结果求和
      2 ,例如 :

    5 ,行列式 : 几何意义

    1. 2 阶行列式的值 :
      两个向量之间的有向面积 ( 平行四边形 )
    2. 3 阶行列式的值 :
      两个向量之间的有向体积 ( 平行8面体 )
    3. n 阶行列式的值 :
      多维有向体
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空空如也

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向量积二阶行列式