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  • 2022-05-22 19:41:50

    平面向量数量积坐标公式推导

    a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合律,以及垂直时为零。

    (x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]
    =x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+x1y2+x2y1=x1x2+y1y2

    [i,j 是 x 轴。y 轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0]

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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    向量积的坐标运及度量公式

    * * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高: 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴ =60o. θ 三.典型例题 例 1 已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), (1)求a·b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a·b=1×(–2)+√3×2√3=4; (2) a =√12+(√3 )2=2, b =√(– 2)2+(2√3 )2 =4, cos = = = , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ 变式1: 练习A 1(4). A 3. x 0 y 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习: B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求∠DAB的大小. (1) 证明: AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵ AB = 2DC, x A B C D y ∴ AB⊥BC. ∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴ AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵ AB≠DC, x A B C D y (2)解: |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB = = = , AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos . √10 10

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    a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合

    律,以及垂直时为零。

    ∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

    =x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.

    [ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]

    看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

    向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

    三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质,以代数方法证明。

    下面把向量外积定义为:

    a

    ×

    b

    =

    |a|·|b|·Sin

    b>.

    分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

    下面给出代数方法。我们假定已经知道了:

    1)外积的反对称性:

    a

    ×

    b

    =

    -

    b

    ×

    a.

    这由外积的定义是显然的。

    2)内积(即数积、点积)的分配律:

    a·(b

    +

    c)

    =

    a·b

    +

    a·c,

    (a

    +

    b)·c

    =

    a·c

    +

    b·c.

    这由内积的定义a·b

    =

    |a|·|b|·Cos

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