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  • 运动学(Kinematics) 1.基础部分(叉乘相关知识) 2. 推导坐标系变换的公式

    运动学(Kinematics)

    1.基础部分(叉乘相关知识)

    2. 推导坐标系变换的公式

                                                                     

                              

                                                   

                                    

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  • 设两向量分别为 α 和 β, ... 通过公式我们可以发现,两个向量的数量就是一个数量。  数量又称为点或者内。  ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),  ...

    设两向量分别为 αβ

    • 数量积

        α • β = |α| |β| cosθ   (θ 为向量 αβ 的夹角)

        通过公式我们可以发现,两个向量的数量积就是一个数量

        数量积又称为点积或者内积

        ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

          α • β = (a1i + a2j + a3k)  (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3

          即两向量的数量积之和等于它们对应坐标的乘积之和。

     

    • 向量积

        向量积是一个向量,通常表示为 α χ β

        1. 它的(即长度)为 |α χ β| = |α| |β| sinθ   (θ 为向量 αβ 的夹角)

        2. 方向垂直于向量 αβ,且 (α, β, α χ β) 构成右手系。

        向量积又称为叉积外积

         ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

          α χ β = (a1i + a2j + a3kχ (b1i + b2j + b3k)

             = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

          行列式表示为

            

          即

            

      

    • 混合积

        向量α β 向量积,再与向量 γ 数量积,其结果为一个数量,称这个数量

        三向量的 α, β, γ 混合积,记为 (α, β, γ), 即

          (α, β, γ) = (α χ β) γ

        1. 三向量共面的充要条件为 (α, β, γ) = 0

        2. (空间向量基本定理)任意给定空间中三个不共面向量 α, β, γ,则空间中任一

          向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一线性表示,即存在唯一一组实数 x, y, z 使

            ν = xα + yβ + zγ

         ex: 空间向量运算

          在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),

        γ = (c1, c2, c3)

          

          即

          

        

        

    转载于:https://www.cnblogs.com/openxyz/p/6789184.html

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  • 六维空间向量表示法目录1、运动和力2、空间速度和空间力3、加法运算和模乘4、点积(内积)5、坐标变换6、叉积(向量积,外积)7、微分8、加速度9、空间动量10、空间惯量11、空间运动方程 目前对机器人动力学还没有一套...


    目前对机器人动力学还没有一套标准的表示法,比如有3D向量、齐次矩阵、六维空间向量等。其中最有效的是六维空间向量( Spatial Vector Notation),本文是我看《Handbook of robotics》的笔记,其中看起来弯弯曲曲的字母vfv f表示3维向量,看起来直直的v f 表示六维空间向量。

    1、运动和力

    为了区分刚体的运动(motion)和施加在刚体上的力(force),分别用运动六维向量空间M6M^6和力六维向量空间F6F^6来表示。两个空间及其各自的基向量如下图所示
    在这里插入图片描述
    两个空间共有12个基向量,6个用来描述运动,6个用来描述力。

    在运动六维空间,对于一个坐标系OxyzO_{xyz},三个描述分别绕坐标轴OxO_xOyO_yOzO_z进行旋转的基向量dOxd_{Ox}dOyd_{Oy}dOzd_{Oz};三个描述分别沿着坐标轴OxO_xOyO_yOzO_z进行平移的基向量dxd_{x}dyd_{y}dzd_{z}

    在力六维空间,对于一个坐标系OxyzO_{xyz},三个描述分别绕坐标轴OxO_xOyO_yOzO_z进行旋转的基向量eOxe_{Ox}eOye_{Oy}eOze_{Oz};三个描述分别沿着坐标轴OxO_xOyO_yOzO_z进行平移的基向量exe_{x}eye_{y}eze_{z}

    2、空间速度和空间力

    任意给定一个参考点OO,刚体的速度可以用一对3维向量来表示:沿三个轴的线速度v=(vOx,vOy,vOz)v=(v_{Ox},v_{Oy},v_{Oz})、绕三个轴旋转的角速度w=(wx,wy,wz)w=(w_x,w_y,w_z)。那么该运动的六维空间表示法为
    在这里插入图片描述
    相应的其普吕克坐标表示为
    在这里插入图片描述
    关于力是相似的。刚体受到力ff和扭矩nOn_O的作用,则该受力情况的六维空间向量表示法为
    在这里插入图片描述
    相应的其普吕克坐标表示为
    在这里插入图片描述

    3、加法运算和模乘

    如果刚体同时受到两个力f1_1和f2_2的作用,那么这两个力的合力为f1_1+f2_2

    如果刚体1的速度为v1_1,刚体2的速度为v2_2,那么刚体2相对于刚体1的运动速度为v2_2-v1_1

    如果刚体受到力f1_1的作用,其大小为1N,那个ααf1_1表示在该方向上大小为ααN的力。

    4、点积(内积)

    六维空间向量的点积定义为该物体的运动m∈M6^6和力f∈F6^6的点积——f·m或者m·f。

    m·m和f·f是无定义的。

    如果m和f是用同一坐标系来表示的,那么m·f=mT^Tf。

    5、坐标变换

    定义AABB是两个坐标系,在AA坐标系下的运动和力分别表示为mA_A和fA_A;在BB坐标系下的运动和力分别表示为mB_B和fB_B
    那么从AA坐标系下的运动变换到BB坐标系下的方程为
    在这里插入图片描述
    相应的力的变换为
    在这里插入图片描述
    其中BXA^BX_ABXAF^BX_A^F分别是从坐标系AA到坐标系BB的运动变换矩阵和力变换矩阵。并且二者满足如下关系,也就是从力变换矩阵到运动变换矩阵的变换(或者反过来)是先求逆再转置(求逆和转置可交换)。
    在这里插入图片描述
    假设坐标系AA相对于坐标系BB的位置向量为BpA^Bp_A,旋转变换矩阵为BRA^BR_A,那么BXA^BX_A可以表示为
    在这里插入图片描述

    其逆矩阵为
    在这里插入图片描述
    其中S(p)S(p)pp的斜对称矩阵
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    6、叉积(向量积,外积)

    六维空间向量的叉积有两种形式,一种是运动和运动做叉积
    在这里插入图片描述
    第二种是运动和力做叉积
    在这里插入图片描述
    在此定义一个叉积算子
    在这里插入图片描述
    所以运动和运动的叉积表示为m1_1×m2_2=S(m1_1)m2_2

    但是运动和力的叉积表示为m×f= - S(m)T^Tf

    可见S(m)将运动向量映射为运动向量,S(m)T^T将力向量映射为力向量。

    7、微分

    六维空间向量的微分定义为
    在这里插入图片描述
    对于一个运动的坐标系AA,任意的六维空间向量s,该空间向量的微分表示为
    在这里插入图片描述

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    8、加速度

    六维空间向量的加速度和经典的刚体的加速度是不一样的。
    在这里插入图片描述
    上式中,左式为空间向量的加速度,右式为经典的刚体加速度,两者之间存在如下关系
    在这里插入图片描述
    如果r是某一个刚体相对于任意一个固定点的位置向量,那么存在如下关系
    在这里插入图片描述
    上式中,第一个式子是刚体的速度,第二个式子是刚体的经典加速度,第三个式子是刚体在向量空间的加速度,可见式子(3.21)依然是成立的。
    如果刚体B1B_1和刚体B2B_2的速度分别是v1_1和v2_2,刚体B1B_1相对于刚体B2B_2的速度为vrelrel,那么v2_2=v1_1+vrel_{rel}
    他们之间的加速度满足如下关系
    在这里插入图片描述

    9、空间动量

    假设一个刚体的质量为mm,质心为C,绕过C的直线的转动惯量为IcmI^{cm}。如果刚体的空间速度为vc=(wTvcT)T_c=(w^Tv_c^T)^T,那么
    线动量为h=mvch=mv_c
    角动量为hC=Icmwh_C=I^{cm}w
    该刚体绕着某一个点OO的动量为hO=hC+c×hh_O=h_C+c×h,其中,c=OCc=\vec{OC},即存在如下关系
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    10、空间惯量

    刚体的空间动量是其空间惯量和速度的点积h=IvIv
    用在C处的普吕克坐标来表示为
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述
    上式是对一个质心在C处的刚体的空间惯量的一般表示方式。
    但是对于另一点O来说,该刚体的动量表示为
    在这里插入图片描述
    但是该式仍然满足hC_C=ICvCI_Cv_C的形式,所以可得
    在这里插入图片描述
    我们继而写成如下形式
    在这里插入图片描述
    其中,
    在这里插入图片描述
    空间惯量矩阵是对称矩阵,也是正定矩阵。要表示空间惯量矩阵需要21个变量,但是刚体的惯量矩阵实际上只有10个参数:质量(1)、质心坐标(3)、IOI_O或者IcmI^{cm}的六个独立参数(6)。
    对于不同的坐标系AABB,惯量矩阵之间的变换矩阵为
    在这里插入图片描述
    故而下式也成立。
    在这里插入图片描述
    如果两个刚体的惯量分别是I1I_1i2i_2,务必注意他俩相对于同一个旋转轴,那么总惯量为Itot=I1+I2I_{tot}=I_1+I_2
    其动能为
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    11、空间运动方程

    刚体的受力等于其动量的变化率,故而
    在这里插入图片描述
    再故而
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  • 向量的内和外

    2021-02-06 08:07:43
    目录: 一、向量的内积和几何意义 二、向量的外积和几何意义 ...两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量...

    目录:

    一、向量的内积和几何意义

    二、向量的外积和几何意义

     

    一、向量的内积和几何意义(点乘)

    对于向量a和向量b:

    1、a和b的内积公式为:

     

     

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    2、内积的几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。

    二、向量的外积和几何意义(叉乘)

    两个向量的外积,又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    对于向量a和向量b:

     

    1、a和b的外积公式为:

     

     

    其中:

     

    根据i、j、k间关系,有:

     


    2、叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

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  • 向量的外和内

    2020-09-07 09:43:14
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  • 向量

    2020-03-24 16:01:42
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  • 高等数学(总结7--解析向量空间)

    千次阅读 2015-02-08 16:00:38
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  • 两个向量的夹角解法--VC

    千次阅读 2012-11-29 10:09:03
    解析几何(一)两个向量的夹角解法 最近在项目中需要判断点和四边形关系,我的算法中涉及...使用向量夹角公式 cos = 两向量 / 两向量模的乘积 = arccos( 两向量 / 两向量模的乘积 )   1 #inclu
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  • 欧拉四面体公式

    2014-03-20 13:49:00
    【转载】关于欧拉四面体公式的推导及证明过程 1,建议x,y,z直角坐标系。设A、B、C少拿点的坐标分别为(a1,b,1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b3,c3),四面体O-...3,根据矢量数量坐标表达式及数量的定义得 又...
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