运动学（Kinematics）




1.基础部分（叉乘相关知识）

2. 推导坐标系变换的公式

                                                                 

                          

                                               

                                

    
设两向量分别为 α 和 β，
数量积
　　　　α • β = |α| |β| cosθ 　　（θ 为向量 α 和 β 的夹角）
　　　　通过公式我们可以发现，两个向量的数量积就是一个数量。
　　　　数量积又称为点积或者内积。
　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
 　　　　　α • β = (a1i + a2j + a3k) • (b1i + b2j + b3k) = a1b1 + a2b2 + a3b3
　　　　　　即两向量的数量积之和等于它们对应坐标的乘积之和。
 
向量积
　　　　向量积是一个向量，通常表示为 α χ β ，
　　　　1. 它的模(即长度)为 |α χ β| = |α| |β| sinθ 　　（θ 为向量 α 和 β 的夹角）
　　　　2. 方向垂直于向量 α 和 β，且 (α, β, α χ β) 构成右手系。
　　　　向量积又称为叉积和外积。
 　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
　　　　　　α χ β = (a1i + a2j + a3k) χ (b1i + b2j + b3k)
　　　　　　　　　= (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k
　　　　　　行列式表示为
　　　　　　　　
　　　　　　即
　　　　　　　　
　　
混合积
　　　　向量α 与 β 的向量积，再与向量 γ 作数量积，其结果为一个数量，称这个数量为
　　　　三向量的 α, β, γ 的混合积，记为 (α, β, γ), 即
　　　　　　(α, β, γ) = (α χ β) • γ
　　　　1. 三向量共面的充要条件为 (α, β, γ) = 0
　　　　2. （空间向量基本定理）任意给定空间中三个不共面向量 α, β, γ，则空间中任一
　　　　　　向量 ν 可以用 α, β, γ 唯一线性表示，即存在唯一一组实数 x, y, z 使
　　　　　　　　ν = xα + yβ + zγ
 　　　 ex: 空间向量运算
　　　　　　在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),
　　　　γ = (c1, c2, c3)
　　　　　　
　　　　　　即
　　　　　　
　　　　
　　　　

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六维空间向量表示法目录
1、运动和力
2、空间速度和空间力
3、加法运算和模乘
4、点积(内积)
5、坐标变换
6、叉积(向量积，外积)
7、微分
8、加速度
9、空间动量
10、空间惯量
11、空间运动方程


目前对机器人动力学还没有一套标准的表示法，比如有3D向量、齐次矩阵、六维空间向量等。其中最有效的是六维空间向量（ Spatial Vector Notation），本文是我看《Handbook of robotics》的笔记，其中看起来弯弯曲曲的字母$v f$表示3维向量，看起来直直的v f 表示六维空间向量。

1、运动和力
为了区分刚体的运动（motion）和施加在刚体上的力（force），分别用运动六维向量空间$M^6$和力六维向量空间$F^6$来表示。两个空间及其各自的基向量如下图所示



两个空间共有12个基向量，6个用来描述运动，6个用来描述力。
在运动六维空间，对于一个坐标系$O_{xyz}$，三个描述分别绕坐标轴$O_x$，$O_y$，$O_z$进行旋转的基向量$d_{Ox}$，$d_{Oy}$，$d_{Oz}$；三个描述分别沿着坐标轴$O_x$，$O_y$，$O_z$进行平移的基向量$d_{x}$，$d_{y}$，$d_{z}$。
在力六维空间，对于一个坐标系$O_{xyz}$，三个描述分别绕坐标轴$O_x$，$O_y$，$O_z$进行旋转的基向量$e_{Ox}$，$e_{Oy}$，$e_{Oz}$；三个描述分别沿着坐标轴$O_x$，$O_y$，$O_z$进行平移的基向量$e_{x}$，$e_{y}$，$e_{z}$。
2、空间速度和空间力
任意给定一个参考点$O$，刚体的速度可以用一对3维向量来表示：沿三个轴的线速度$v=(v_{Ox},v_{Oy},v_{Oz})$、绕三个轴旋转的角速度$w=(w_x,w_y,w_z)$。那么该运动的六维空间表示法为



相应的其普吕克坐标表示为



关于力是相似的。刚体受到力$f$和扭矩$n_O$的作用，则该受力情况的六维空间向量表示法为



相应的其普吕克坐标表示为


3、加法运算和模乘
如果刚体同时受到两个力f$_1$和f$_2$的作用，那么这两个力的合力为f$_1$+f$_2$；
如果刚体1的速度为v$_1$，刚体2的速度为v$_2$，那么刚体2相对于刚体1的运动速度为v$_2$-v$_1$；
如果刚体受到力f$_1$的作用，其大小为1N，那个$α$f$_1$表示在该方向上大小为$α$N的力。
4、点积(内积)
六维空间向量的点积定义为该物体的运动m∈M$^6$和力f∈F$^6$的点积——f·m或者m·f。
m·m和f·f是无定义的。
如果m和f是用同一坐标系来表示的，那么m·f=m$^T$f。
5、坐标变换
定义$A$和$B$是两个坐标系，在$A$坐标系下的运动和力分别表示为m$_A$和f$_A$；在$B$坐标系下的运动和力分别表示为m$_B$和f$_B$。

那么从$A$坐标系下的运动变换到$B$坐标系下的方程为



相应的力的变换为



其中$^BX_A$和$^BX_A^F$分别是从坐标系$A$到坐标系$B$的运动变换矩阵和力变换矩阵。并且二者满足如下关系，也就是从力变换矩阵到运动变换矩阵的变换(或者反过来)是先求逆再转置(求逆和转置可交换)。



假设坐标系$A$相对于坐标系$B$的位置向量为$^Bp_A$，旋转变换矩阵为$^BR_A$，那么$^BX_A$可以表示为


其逆矩阵为



其中$S(p)$为$p$的斜对称矩阵


6、叉积(向量积，外积)
六维空间向量的叉积有两种形式，一种是运动和运动做叉积



第二种是运动和力做叉积



在此定义一个叉积算子



所以运动和运动的叉积表示为m$_1$×m$_2$=S(m$_1$)m$_2$
但是运动和力的叉积表示为m×f= - S(m)$^T$f
可见S(m)将运动向量映射为运动向量，S(m)$^T$将力向量映射为力向量。
7、微分
六维空间向量的微分定义为



对于一个运动的坐标系$A$，任意的六维空间向量s，该空间向量的微分表示为



且


8、加速度
六维空间向量的加速度和经典的刚体的加速度是不一样的。



上式中，左式为空间向量的加速度，右式为经典的刚体加速度，两者之间存在如下关系



如果r是某一个刚体相对于任意一个固定点的位置向量，那么存在如下关系



上式中，第一个式子是刚体的速度，第二个式子是刚体的经典加速度，第三个式子是刚体在向量空间的加速度，可见式子(3.21)依然是成立的。

如果刚体$B_1$和刚体$B_2$的速度分别是v$_1$和v$_2$，刚体$B_1$相对于刚体$B_2$的速度为v$rel$，那么v$_2$=v$_1$+v$_{rel}$

他们之间的加速度满足如下关系


9、空间动量
假设一个刚体的质量为$m$，质心为C，绕过C的直线的转动惯量为$I^{cm}$。如果刚体的空间速度为v$_c=(w^Tv_c^T)^T$，那么

线动量为$h=mv_c$

角动量为$h_C=I^{cm}w$

该刚体绕着某一个点$O$的动量为$h_O=h_C+c×h$，其中，$c=\vec{OC}$，即存在如下关系


10、空间惯量
刚体的空间动量是其空间惯量和速度的点积h=$Iv$。

用在C处的普吕克坐标来表示为



其中，



上式是对一个质心在C处的刚体的空间惯量的一般表示方式。

但是对于另一点O来说，该刚体的动量表示为



但是该式仍然满足h$_C$=$I_Cv_C$的形式，所以可得



我们继而写成如下形式



其中，



空间惯量矩阵是对称矩阵，也是正定矩阵。要表示空间惯量矩阵需要21个变量，但是刚体的惯量矩阵实际上只有10个参数：质量(1)、质心坐标(3)、$I_O$或者$I^{cm}$的六个独立参数(6)。

对于不同的坐标系$A$和$B$，惯量矩阵之间的变换矩阵为



故而下式也成立。



如果两个刚体的惯量分别是$I_1$和$i_2$，务必注意他俩相对于同一个旋转轴，那么总惯量为$I_{tot}=I_1+I_2$，

其动能为


11、空间运动方程
刚体的受力等于其动量的变化率，故而



再故而

目录：

一、向量的内积和几何意义

二、向量的外积和几何意义

 

一、向量的内积和几何意义（点乘）

对于向量a和向量b：





1、a和b的内积公式为：

 



 

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

2、内积的几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影。

二、向量的外积和几何意义（叉乘）

两个向量的外积，又叫向量积、叉乘等。外积的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量a和向量b：



 

1、a和b的外积公式为：

 



 

其中：



 

根据i、j、k间关系，有：



 



2、叉乘几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。