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  • 高数中的知识,忘了差不多了呢,一下内容来自于网络整理:向量的点积即数量积,叉积又称向量积或矢量积。点积、叉积甚至两者的混合积在场论中是极其基本的运算。MATLAB是用函数实现向量点、叉积运算的。1. 点积运算...

    高数中的知识,忘了差不多了呢,一下内容来自于网络整理:

    向量的点积即数量积,叉积又称向量积或矢量积。点积、叉积甚至两者的混合积在场论中是极其基本的运算。MATLAB是用函数实现向量点、叉积运算的。

    1. 点积运算

    点积运算(A·B)的定义是参与运算的两向量各对应位置上元素相乘后,再将各乘积相加。所以向量点积的结果是一标量而非向量。

    点积运算函数是:dot(A,B),A、B是维数相同的两向量。

    2. 叉积运算

    在数学描述中,向量A、B的叉积是一新向量C,C的方向垂直于A与B所决定的平面。用三维坐标表示时A=Ax·i + Ay·j +

    Az·kB=Bx·i + By·j + Bz·kC=A×B=(Ay·Bz-Az·By)i +

    (Az·Bx -Ax·Bz )j + (Ax·By-Ay·Bx )k

    叉积运算的函数是:cross(A,B),该函数计算的是A、B 叉积后各分量的元素值,且A、B 只能是三维向量。

    3. 混合积运算

    综合运用上述两个函数就可实现点积和叉积的混合运算,该运算也只能发生在三维向量之间。

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  • 向量积坐标表示公式

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    定义向量积可以被定义为:。模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直...

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    表示方法

    两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b,避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。

    定义

    向量积可以被定义为:。

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    方向:a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时,竖起的大拇指指向是c的方向。)

    也可以这样定义(等效):

    向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin

    即c的长度在数值上等于以a,b,夹角为θ组成的平行四边形的面积。

    而c的方向垂直于a与b所决定的平面,c的指向按右手定则从a转向b来确定。

    扩展资料:

    证明

    为了更好地推导,加入三个轴对齐的单位向量i,j,k。

    i,j,k满足以下特点:

    i=jxk;j=kxi;k=ixj;

    kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;

    ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)

    由此可知,i,j,k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。

    对于处于i,j,k构成的坐标系中的向量u,v我们可以如下表示:

    u=Xu*i+Yu*j+Zu*k;

    v=Xv*i+Yv*j+Zv*k;

    那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)

    =Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)

    由于上面的i,j,k三个向量的特点,所以,最后的结果可以简化为

    uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

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  • 两向量的向量积

    千次阅读 2021-01-26 22:09:34
    两向量的向量积 两向量 a 与 b 的向量积(外积)是一个向量,记做 a×b\mathbf{a}\times \mathbf{b}a×b 或 [ab][\mathbf{a}\mathbf{b}][ab],它的模是 ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡∠(a,b) |\mathbf{a}\times \mathbf{...

    在这里插入图片描述

    两向量的向量积

    两向量 ab 的向量积(外积)是一个向量,记做 a × b \mathbf{a}\times \mathbf{b} a×b [ a b ] [\mathbf{a}\mathbf{b}] [ab],它的模是
    ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ∠ ( a , b ) |\mathbf{a}\times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) a×b=absin(a,b)
    它的方向与 ab 都垂直,并且按 a, b, a × b \mathbf{a}\times\mathbf{b} a×b 这个顺序构成右手标架 { O ; a , b , a × b } \{O;\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}\times\mathbf{b}\} {O;a,b,a×b}

    • 两个不共线向量 ab 的向量积的模,等于以 ab 为边所构成的平行四边形的面积
      在这里插入图片描述

    • 两向量 ab 共线的充分必要条件是 a × b = 0 \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{0} a×b=0
      ab 共线时, sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0或者至少一个为零向量; 当 sin ⁡ ∠ ( a , b ) = 0 \sin\angle(\mathbf{a},\mathbf{b}) = 0 sin(a,b)=0时或者其至少一个为零向量,ab 共线

    • 向量积是 反交换 的: a × b = − ( b × a ) \mathbf{a}\times\mathbf{b} = - (\mathbf{b}\times\mathbf{a}) a×b=(b×a)

    • 向量积满足关于数因子的结合律: λ ( a b ) = ( λ a ) × b = a × ( λ b ) \lambda(\mathbf{a}\mathbf{b}) = (\lambda\mathbf{a})\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times(\lambda\mathbf{b}) λ(ab)=(λa)×b=a×(λb)

    • 向量积满足分配律: ( a + b ) × c = a × c + b × c (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} (a+b)×c=a×c+b×c

      c × ( a + b ) = a × c + b × c \mathbf{c}\times(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times\mathbf{c}+\mathbf{b}\times\mathbf{c} c×(a+b)=a×c+b×c同样成立


      先证明 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      利用作图将 c 0 \mathbf{c}^{\mathbf{0}} c0ab a × c 0 \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} a×c0 b × c 0 \mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} b×c0 a + b \mathbf{a}+\mathbf{b} a+b ( a + b ) × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0的图像画出容易得出 ( a + b ) × c 0 = a × c 0 + b × c 0 (\mathbf{a}+\mathbf{b})\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} = \mathbf{a}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}^{\mathbf{0}} (a+b)×c0=a×c0+b×c0
      再两边乘以 ∣ c ∣ |\mathbf{c}| c即可得出

    • 如果 a = X 1 i + Y 1 j + Z 1 k b = X 2 i + Y 2 j + Z 2 k \mathbf{a} = X_{1}\mathbf{i} + Y_{1}\mathbf{j}+Z_{1}\mathbf{k}\quad\mathbf{b} = X_{2}\mathbf{i} + Y_{2}\mathbf{j}+Z_{2}\mathbf{k} a=X1i+Y1j+Z1kb=X2i+Y2j+Z2k,那么
      a × b = ∣ Y 1 Z 1 Y 2 Z 2 ∣ i + ∣ Z 1 X 1 Z 2 X 2 ∣ j + ∣ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ∣ k \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{cc} Y_{1} & Z_{1} \\ Y_{2} & Z_{2} \end{array} \right|\mathbf{i} + \left| \begin{array}{cc} Z_{1} & X_{1} \\ Z_{2} & X_{2} \end{array} \right|\mathbf{j} + \left| \begin{array}{cc} X_{1} & Y_{1} \\ X_{2} & Y_{2} \end{array} \right|\mathbf{k} a×b=Y1Y2Z1Z2i+Z1Z2X1X2j+X1X2Y1Y2k
      或则写成
      a × b = ∣ i j k X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 ∣ \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ X_{1} & Y_{1}& Z_{1}\\ X_{2} & Y_{2}& Z_{2} \end{array} \right| a×b=iX1X2jY1Y2kZ1Z2

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  • 向量积的坐标运及度量公式.ppt

    千次阅读 2020-12-30 13:38:07
    向量积的坐标运及度量公式* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2...

    向量积的坐标运及度量公式

    * * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾: 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论:两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和。 即: x o B(b1,b2) A(a1,a2) y 所以,根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高: 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴ =60o. θ 三.典型例题 例 1 已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), (1)求a·b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a·b=1×(–2)+√3×2√3=4; (2) a =√12+(√3 )2=2, b =√(– 2)2+(2√3 )2 =4, cos = = = , 4 2×4 a·b a b 1 2 θ 变式1: 练习A 1(4). A 3. x 0 y 例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 试判断?ABC的形状,并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习: B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标:A(-1,3)、B(1,1)、C(4,4)、D(3,5).(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求∠DAB的大小. (1) 证明: AB = (1 – (-1), 1 – 3) = (2, -2), BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵ AB = 2DC, x A B C D y ∴ AB⊥BC. ∵ AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴ AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵ AB≠DC, x A B C D y (2)解: |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB = = = , AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos . √10 10

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空空如也

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