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  • 向量积模的几何意义是
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    2021-01-10 20:14:06

    向量叉乘的几何意义

    对于两个2维向量:
    a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} a b =(x1,y1)=(x2,y2)

    叉乘定义:
    | a ⃗ × b ⃗ | = x 1 y 2 − x 2 y 1 |\vec{a} \times \vec{b}| = x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1y2x2y1

    计算面积

    在这里插入图片描述

    四边形ODCE面积:
    S = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) S = (x_1+x_2)(y_1+y_2) S=(x1+x2)(y1+y2)

    四边形GDFB面积:
    S 1 = x 2 y 1 S_{1} = x_2y_1 S1=x2y1

    三角形BFC面积:
    S 2 = 0.5 ( x 1 y 1 ) S_{2}=0.5(x_1y_1) S2=0.5(x1y1)

    三角形OGB面积:
    S 3 = 0.5 ( x 2 y 2 ) S_{3}=0.5(x_2y_2) S3=0.5(x2y2)

    平行四边形OGCA面积:
    S 平 行 四 边 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 \begin{aligned} S_{平行四边形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned} S=S2S12S22S3=(x1+x2)(y1+y2)2x2y1x1y1x2y2=x1y1+x2y1+x1y2+x2y22x2y1x1y1x2y2=x1y2x2y1

    结论:

    向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。

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  • 向量叉乘的几何意义及其的计算

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    向量叉乘定义,行列式和面积关系

    目的:在传统的向量叉乘计算中,常常遇到叉乘。定义为向量。其这个向量方向满足右手定则。它的模大小,一般被忽略。因此推测一下。

    向量叉乘定义:
    外积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,用符号: × \times ×表示。可以定义为:
    a → × b → = c →      ( 1 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \space \space \space \space(1) a ×b =c     (1)
    假设两个向量 a → × b → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} a ×b 外积,它的方向为 c → \overrightarrow{c} c 。其方向由右手定则决定。模长等于这两个向量边的平行四边形的面积。
    它的定义也可以写成:
    a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n →      ( 2 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} \space \space \space \space(2) a ×b =a ∣∣b sin(θ)n     (2)
    其中 θ \theta θ为两个向量的夹角 0 ≤ θ ≤ 180 0\le \theta \le 180 0θ180 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| a ∣∣b 分别为两个向量 a → b → \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} a b 的模长。 n → \overrightarrow{n} n 为垂直于 a → b → \overrightarrow{a} \overrightarrow{b} a b 所在平面的法向量,且它满足右手定则。如下图:
    在这里插入图片描述
    上面的定义很好理解。但是一般在代数计算两个向量的叉乘,会用到行列式计算。就如一组单位积 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ,k );其中 a → = a 0 i → + a 1 j → + a 2 k → \overrightarrow{a}=a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k} a =a0i +a1j +a2k ; b → = b 0 i → + b 1 j → + b 2 k → \overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k} b =b0i +b1j +b2k
    在计算两个向量的叉乘时候,一般用代数方法为:
    a → × b → = ( a 0 i → + a 1 j → + a 2 k → ) × ( b → = b 0 i → + b 1 j → + b 2 k → ) = a 0 b 0 ( i → × i → ) + a 0 b 1 ( i → × j → ) + a 0 b 2 ( i → × k → ) + a 1 b 0 ( j → × i → ) + a 1 b 1 ( j → × j → ) + a 1 b 2 ( j → × k → ) + a 2 b 0 ( k → × i → ) + a 2 b 1 ( k → × j → ) + a 2 b 2 ( k → × k → )      ( 3 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_0\overrightarrow{i}+a_1\overrightarrow{j}+a_2\overrightarrow{k}) \times(\overrightarrow{b}=b_0\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+b_2\overrightarrow{k}) \\ = a_0b_0(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}) + a_0b_1(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}) + a_0b_2(\overrightarrow{i} \times \overrightarrow{k})+ \\ a_1b_0(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{i}) + a_1b_1(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}) + a_1b_2(\overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}) + \\ a_2b_0(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}) + a_2b_1(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{j}) + a_2b_2(\overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}) \space \space \space \space(3) a ×b =(a0i +a1j +a2k )×(b =b0i +b1j +b2k )=a0b0(i ×i )+a0b1(i ×j )+a0b2(i ×k )+a1b0(j ×i )+a1b1(j ×j )+a1b2(j ×k )+a2b0(k ×i )+a2b1(k ×j )+a2b2(k ×k )    (3)

    因为基向量 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ,k )两两垂直,且为单位向量。 0 → \overrightarrow{0} 0 表示都为 0 0 0的向量。所以得到:
    i → × i → = 0 →      ( 4 ) j → × j → = 0 →      ( 5 ) k → × k → = 0 →      ( 6 ) i → × j → = k →      ( 7 ) j → × k → = i →      ( 8 ) k → × i → = j →      ( 9 ) \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(4) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{0} \space \space \space \space(5) \\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0} \space \space \space \space(6) \\ \overrightarrow{i} \times \overrightarrow{j}= \overrightarrow{k} \space \space \space \space(7) \\ \overrightarrow{j} \times \overrightarrow{k}= \overrightarrow{i} \space \space \space \space(8)\\ \overrightarrow{k} \times \overrightarrow{i}= \overrightarrow{j} \space \space \space \space(9) i ×i =0     (4)j ×j =0     (5)k ×k =0     (6)i ×j =k     (7)j ×k =i     (8)k ×i =j     (9)
    ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) (4)(5)(6)(7)(8)(9) (4)(5)(6)(7)(8)(9)代入公式 ( 3 ) (3) (3)得到如下:
    a → × b → = − a 0 b 0 0 → + a 0 b 1 k → − a 0 b 2 j → − a 1 b 0 k → − a 1 b 1 0 → + a 1 b 2 i → + a 2 b 0 j → − a 2 b 1 i → − a 2 b 2 0 → = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i → + ( a 2 b 0 − a 0 b 2 ) j → + ( a 0 b 1 − a 1 b 0 ) k →      ( 10 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = -a_0b_0\overrightarrow{0}+a_0b_1\overrightarrow{k}-a_0b_2\overrightarrow{j} \\ - a_1b_0\overrightarrow{k}-a_1b_1\overrightarrow{0} +a_1b_2\overrightarrow{i} \\ +a_2b_0 \overrightarrow{j} - a_2b_1\overrightarrow{i} -a_2b_2\overrightarrow{0}\\ =(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} \space \space \space \space(10) a ×b =a0b00 +a0b1k a0b2j a1b0k a1b10 +a1b2i +a2b0j a2b1i a2b20 =(a1b2a2b1)i +(a2b0a0b2)j +(a0b1a1b0)k     (10)

    公式的 ( 10 ) (10) (10),在日常用行列式计算表达。使用 ( i → , j → , k → ) (\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}) (i ,j ,k )的矩阵余子式计算方式。它和代数计算方式相等。
    a → × b → = [ i → j → k → a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 ] = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i → + ( a 2 b 0 − a 0 b 2 ) j → + ( a 0 b 1 − a 1 b 0 ) k → \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =\begin{bmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_0& a_1 & a_2 \\ b_0& b_1 & b_2 \end{bmatrix} = (a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{i} + (a_2b_0-a_0b_2)\overrightarrow{j} +(a_0b_1-a_1b_0)\overrightarrow{k} a ×b = i a0b0j a1b1k a2b2 =(a1b2a2b1)i +(a2b0a0b2)j +(a0b1a1b0)k

    因为它为基向量,在欧式几何中,它的表达为:
    i → = [ 1 0 0 ] ; j → = [ 0 1 0 ] ; k → = [ 0 0 1 ]      ( 11 ) \overrightarrow{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}; \overrightarrow{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix};\overrightarrow{k}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \space \space \space \space(11) i = 100 ;j = 010 ;k = 001     (11)
    因此 ( 11 ) (11) (11)代入到 ( 10 ) (10) (10)得到:
    a → × b → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ]      ( 12 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(12) a ×b = a1b2a2b1a2b0a0b2a0b1a1b0     (12)

    上面是基于基向量的表达,它和上面的公式对应,因此可以得到:
    a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ]      ( 13 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} \space \space \space \space(13) a ×b =a ∣∣b sin(θ)n = a1b2a2b1a2b0a0b2a0b1a1b0     (13)

    在一些应用,经常向量的表示转化为矩阵的运算。因此(13)公式可以表示矩阵和向量的乘法。
    a → × b → = ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) n → = [ a 1 b 2 − a 2 b 1 a 2 b 0 − a 0 b 2 a 0 b 1 − a 1 b 0 ] = [ 0 − a 2 a 1 a 2 0 − a 0 − a 1 a 0 0 ] [ b 0 b 1 b 2 ] = a → × b →      ( 14 ) \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)\overrightarrow{n} =\begin{bmatrix} a_1b_2-a_2b_1 \\ a_2b_0-a_0b_2 \\ a_0b_1-a_1b_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_2 & a_1 \\ a_2& 0 & -a_0 \\ -a_1& a_0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \space \space \space \space(14) a ×b =a ∣∣b sin(θ)n = a1b2a2b1a2b0a0b2a0b1a1b0 = 0a2a1a20a0a1a00 b0b1b2 =a ×b     (14)

    两个向量的叉乘仅仅在三维空间有定义。在二维空间没有定义。

    下面介绍向量的行列式和向量组成的平行四边形面积的关系。
    假设 a → , b → \overrightarrow{a} ,\overrightarrow{b} a ,b 为二维向量。这样易于解释。因此画图如下:

    在这里插入图片描述
    计算三角形面积为:
    ∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ )      ( 15 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta) \space \space \space \space(15) area=21a ∣∣b sin(θ)    (15)

    转化一下表达,因为 s i n ( θ ) sin(\theta) sin(θ)不好计算,需要计算 c o s ( θ ) cos(\theta) cos(θ)

    在这里插入图片描述
    其中 ∣ a → ′ ∣ = ∣ a → ∣ |\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}| a =a ; ∣ b → ∣ s i n ( θ ) = ∣ b → ′ ∣ c o s ( θ ′ ) |\overrightarrow{b}|sin(\theta)=|\overrightarrow{b}'|cos(\theta') b sin(θ)=b cos(θ);

    ∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ a → ∣ ∣ b → ∣ s i n ( θ ) = 1 2 ∣ b → ∣ ∣ a → ∣ c o s ( θ ′ )      ( 16 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sin(\theta)=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}|cos(\theta') \space \space \space \space(16) area=21a ∣∣b sin(θ)=21b ∣∣a cos(θ)    (16)
    其中 θ ′ + θ = 90 \theta'+\theta=90 θ+θ=90.且 ∣ a → ′ ∣ = ∣ a → ∣ |\overrightarrow{a}'|=|\overrightarrow{a}| a =a ,容易得到公式简化,简化上述等式为:
    ∣ a r e a ∣ = 1 2 ∣ b → ∣ ∣ a → ′ ∣ c o s ( θ ′ ) = 1 2 b → ⋅ a → ′ = 1 2 a → ′ ⋅ b →      ( 17 ) |area|=\cfrac{1}{2}|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}'|cos(\theta')=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}'=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b} \space \space \space \space(17) area=21b ∣∣a cos(θ)=21b a =21a b     (17)

    因为 a → ′ \overrightarrow{a}' a 是通过 a → \overrightarrow{a} a 旋转90度得到的,如下图。

    在这里插入图片描述

    因此假设 a → = [ a 0 a 1 ] \overrightarrow{a}=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \end{bmatrix} a =[a0a1] 得到 a → ′ = [ − a 1 a 0 ] \overrightarrow{a}'=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} a =[a1a0]

    因此得到公式:
    2 ∣ a r e a ∣ = a → ′ ⋅ b → = [ − a 1 a 0 ] ⋅ [ b 0 b 1 ] = a 0 b 1 − a 1 b 0      ( 18 ) 2|area|=\overrightarrow{a}' \cdot \overrightarrow{b}=\begin{bmatrix} -a_1 \\ a_0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \end{bmatrix} = a_0b_1-a_1b_0 \space \space \space \space(18) 2∣area=a b =[a1a0][b0b1]=a0b1a1b0    (18)

    可以看到行列式是面积的表达。
    2 ∣ a r e a ∣ = ∣ a 0 a 1 b 0 b 1 ∣ 2|area|=\begin{vmatrix} a_0 & a_1 \\ b_0 & b_1 \end{vmatrix} 2∣area= a0b0a1b1

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  • 向量的内、外及其几何含义

    万次阅读 多人点赞 2019-03-18 15:37:51
    一、向量的内(点乘) 定义 概括地说,向量的内(点乘/数量)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b: a和b的点公式为: 这里要求...

    一、向量的内积(点乘)

    定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

     

    a和b的点积公式为:

    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质:

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    有公式:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

    定义向量c

    根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

    根据关系c=a-b有:

    即:

    a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

    θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

    进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
    a∙b=0→ 正交,相互垂直 
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

    二、向量的外积(叉乘)

    定义

    概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

    对于向量a和向量b:

    a和b的外积公式为:

    其中:

    根据i、j、k间关系,有:

    向量外积的性质

    1. a × b = -b × a. (反称性)
    2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b: ...

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

     

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量

     

    点乘公式

     

    对于向量a和向量b:

     

                                                               

     

    a和b的点积公式为:

     

     

     

    要求一维向量a和向量b的行列数相同。

     

    点乘几何意义

     

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:

     

     

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

     

     

     

    定义向量:

     

     

    根据三角形余弦定理有:

     

     

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

     

     

    即:

     

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

     

     

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 

     

    叉乘公式

     

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

     

    对于向量a和向量b:

     

     

    a和b的叉乘公式为:

     

     

    其中:

     

     

    根据i、j、k间关系,有:

     

     

     
     

    叉乘几何意义

     

     

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

     

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 

     

     

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

     

     

    版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处。 https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832

     

     

    ===================================================

     

     

    说是矩阵的叉乘,其实是说的是两个向量的叉乘,矩阵是不能叉乘的。cross(A,B)返回向量A和B的叉乘,其中A,B必须是3个元素的向量!
    比如
    a=[1,2,3],b=[4,5,6],
    则cross(a,b)=[-3 6 -3].
    它表示的意思是三维空间中的两个点A(1,2,3)和B(4,5,6),再加上原点O,则构成的两个向量OA,OB,则cross(a,b)就是垂直平面OAB的向量,它的模是三角形OAB面积的2倍。结合上面的例子,假若点C(-3,6,-3),则向量OC就是平面OAB的法向量,|OC|就是三角形OAB面积的2倍。

     


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    作者:Tiger-Li
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/kebu12345678/article/details/80724336
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