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  • 向量的内与其几何意义

    千次阅读 2020-04-02 22:45:51
    向量 a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​),b=(x2​,y2​),夹角为 θ\thetaθ,内为: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|...

    一、点乘(内积)

    有向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),夹角为 θ \theta θ,内积为:
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2 a b =a b cosθ=x1x2+y1y2

    几何意义:
    1. 夹角,由 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta a b =a b cosθ 知,当内积 > 0 >0 >0 θ < 9 0 ∘ \theta<90^\circ θ<90,内积 < 0 <0 <0 θ > 9 0 ∘ \theta>90^\circ θ>90,内积 = 0 =0 =0 θ = 9 0 ∘ \theta=90^\circ θ=90。同时也可以计算 θ \theta θ 的值: θ = a r c c o s a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} θ=arccosa b a b
    2. 投影 ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ b ⃗ ∣ |\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|} a cosθ=b a b 表示 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影。
      对偶性 a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) = ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) \vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta) a b =a (b cosθ)=b (a cosθ)
      ∣ a ⃗ ∣ ( ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec a|(|\vec b|\cos\theta) a (b cosθ) 的理解是 a ⃗ \vec a a 的长度与 b ⃗ \vec b b a ⃗ \vec a a 上的投影的乘积;
      ∣ b ⃗ ∣ ( ∣ a ⃗ ∣ cos ⁡ θ ) |\vec b|(|\vec a|\cos\theta) b (a cosθ) 的理解是 b ⃗ \vec b b 的长度与 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 上的投影的乘积;
      而这两个是相等的。

    二、叉乘(外积)

    在这里插入图片描述
    上面的公式,就是求三阶行列式。

    几何意义:
    1. 上面如果不把 i ⃗ , j ⃗ , k ⃗ \vec i,\vec j,\vec k i ,j ,k 的具体指带入公式,而是写成 a ⃗ × b ⃗ = m i ⃗ + n j ⃗ + l k ⃗ \vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k a ×b =mi +nj +lk 的形式,向量 ( m , n , l ) (m,n,l) (m,n,l) 就是一个同时垂直 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的向量,如下图:
      在这里插入图片描述
    2. 对于二维向量, a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) , b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2) a =(x1,y1)b =(x2,y2),按照上面的公式得:
      a ⃗ × b ⃗ = ∣ x 1 y 1 x 2 y 2 ∣ = x 1 y 2 − x 2 y 1 \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1x2y1y2=x1y2x2y1,设这个数值为 m m m
      则, ∣ m ∣ = ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ |m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta m=a×b=absinθ θ \theta θ a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 的夹角)
      且,|m| = a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 构成的平行四边形的面积 ,如下图:
      在这里插入图片描述
    3. 判断向量的相对位置(顺逆时针)
      a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 如图所示:

    在这里插入图片描述
    如果让 a ⃗ \vec a a 以最小角度转到 b ⃗ \vec b b 的方向,是顺时针还是逆时针呢,从图中很容易看出,但怎么用数字判断呢?
    仍然是 m = a ⃗ × b ⃗ = x 1 y 2 − x 2 y 1 m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1 m=a ×b =x1y2x2y1
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 逆时针转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。

    直观记忆如下图:
    在这里插入图片描述
    m > 0 m>0 m>0 b ⃗ \vec b b 在蓝色部分;
    m < 0 m<0 m<0 b ⃗ \vec b b 在红色部分;
    m = 0 m=0 m=0 b ⃗ \vec b b 在分界线上(与 a ⃗ \vec a a 共线 )。

    三、扩展(坐标系引发的顺逆指针分不清事件)

    我们平时默认的坐标系是这样的:
    在这里插入图片描述
    但有时候的坐标系是这样的(比如数字图像中):
    在这里插入图片描述
    可以发现,同样的 a ⃗ = ( 2 , 1 ) \vec a=(2,1) a =(2,1) 转到 b ⃗ = ( 1 , 2 ) \vec b=(1,2) b =(1,2) ,在上面的坐标系中就是逆时针,而在下面的坐标系中就是顺时针,所以为了统一说明,定义了 “正旋转” : x x x 轴旋转到 y y y 轴的方向。
    所以,上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为:
    m > 0 m>0 m>0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 < 18 0 ∘ <180^\circ <180
    m < 0 m<0 m<0 a ⃗ \vec a a 正旋转到 b ⃗ \vec b b 的角度 > 18 0 ∘ >180^\circ >180
    m = 0 m=0 m=0 a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b 共线。
    而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。

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  • 向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b: a和b的点公式为:要求一维向量a和向量b的行...

    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;


    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量


    点乘公式


    对于向量a和向量b:


                                                               


    a和b的点积公式为:



    要求一维向量a和向量b的行列数相同。


    点乘几何意义


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:




    推导过程如下,首先看一下向量组成:





    定义向量:




    根据三角形余弦定理有:




    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:




    即:



    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:




    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间

         a·b=0    正交,相互垂直  

         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


    叉乘公式


    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。


    对于向量a和向量b:




    a和b的叉乘公式为:




    其中:




    根据i、j、k间关系,有:




    叉乘几何意义


    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。


    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 



    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。


    版权声明:本文为博主原创文章,转载请注明出处。 https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832


    ===================================================


    说是矩阵的叉乘,其实是说的是两个向量的叉乘,矩阵是不能叉乘的。cross(A,B)返回向量A和B的叉乘,其中A,B必须是3个元素的向量!
    比如
    a=[1,2,3],b=[4,5,6],
    则cross(a,b)=[-3 6 -3].
    它表示的意思是三维空间中的两个点A(1,2,3)和B(4,5,6),再加上原点O,则构成的两个向量OA,OB,则cross(a,b)就是垂直平面OAB的向量,它的模是三角形OAB面积的2倍。结合上面的例子,假若点C(-3,6,-3),则向量OC就是平面OAB的法向量,|OC|就是三角形OAB面积的2倍。

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  • 二维向量叉积的几何意义

    万次阅读 2014-12-05 10:48:02
    叉乘(cross product)相对于点乘,叉乘可能更有用吧。...在二维空间里,让我们暂时忽略它的方向,将结果看成一个向量,那么这个结果类似于上述的点,我们有: A x B = |A||B|Sin(θ)然而角度 θ...

    叉乘(cross product
    相对于点乘,叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是:
        V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
    看起来像个标量,事实上叉乘的结果是个向量,方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里,让我们暂时忽略它的方向,将结果看成一个向量,那么这个结果类似于上述的点积,我们有:
        A x B = |A||B|Sin(θ)
    然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同,他是有正负的,是指从AB的角度。下图中 θ为负。
    另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是AB为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时,我们要经常用到叉积。
    (译注:三维及以上的叉乘参看维基:http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

    叉积的几何意义有三:

    1、A*B=|A|·|B|·sinα.

    其中α表示A到B的夹角,用以判断该角度是正或者负。这个结论可用于四个点中任意三个点构成的三角形,判断另外一个点是否在三角形中,那么四个点构成三个向量叉积的结果就能判断。

    2、A*B=x1*y2-x2*y1.

    得到的结果应该是向量,但是取其模可以用于由A和B构成的平行四边形的面积,进而可以得到两个三角形的面积。

    3、A*B=x1*y2-x2*y1.

    得到的结果为一个向量,这个向量垂直于向量A和B。

     

    以上是个人理解,如有错误请指正。

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  • 文章目录向量积的定义与性质向量积几何意义向量积的性质用坐标计算向量积二重外积参考 引例:力作用在杠杆上的力矩 设 OOO 为 杜杆 LLL 的支点, 力 F\boldsymbol{F}F 作用于 这杠杆的点 PPP 处, F\boldsymbol{F}F...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    引例:力作用在杠杆上的力矩

    image-20210529113745336

    O O O 为 杜杆 L L L 的支点, 力 F \boldsymbol{F} F 作用于 这杠杆的点 P P P 处, F \boldsymbol{F} F O P → \overrightarrow{O P} OP 的夹角 为 θ \theta θ ,那么,力 F \boldsymbol{F} F 对支点 O O O的力矩 M M M 是一个向量,它的模为
    ∣ M ∣ = ∣ O Q ∣ ∣ F ∣ = ∣ O P → ∣ ∣ F ∣ sin ⁡ θ |M|=|O Q||\boldsymbol{F}|=|\overrightarrow{O P}||\boldsymbol{F}| \sin \theta M=OQF=OP Fsinθ
    它的方向垂直于 O P → \overrightarrow{O P} OP F \boldsymbol{F} F 所决定的平面, 并且按右手法则从 O P → \overrightarrow{O P} OP 以不超过 π \pi π 的角 θ \theta θ 转向 F F F确定.这里力矩 M M M方向垂直朝外

    问题:向量的向量积

    向量积的定义与性质

    image-20210529114309309

    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 向量 a a a b b b 的向量积 (或叉积) 是一个向量,记作 a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a×b,它的长度规定为
    ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ⟨ a , b ⟩ , |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle, a×b=absina,b,
    它的方向规定为:与 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b 都垂直,并且使 a , b , a × b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a,b,a×b 构成右手系, 即当右手四指从 a a a 以不超过 π \pi π 的角 θ \theta θ 弯向 b b b 时,拇指的指向 .

    【注1】 a × b = 0 \quad a \times b=0 a×b=0 的充分必要条件是 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b 共线

    image-20210529114405334

    【注2】 i × j = k , j × k = i , k × i = j \quad \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}, \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} i×j=k,j×k=i,k×i=j,

    在二维空间内, 向量 a = ( a 1 , a 2 ) , b = ( b 1 ,   b 2 ) a= (\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} ), \mathrm{b}= (\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}) a=(a1,a2),b=(b1, b2)
    a × b = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} a×b=a1b1a2b2=a1b2a2b1

    向量积的几何意义

    image-20210529114447427

    ∣ a × b ∣ |a \times b| a×b 为以 a a a b b b 为邻边的平行四边形的面积.

    【注 】 三角形 O A B O A B OAB 的面积为 1 2 ∣ a × b ∣ \frac{1}{2}|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| 21a×b

    两个相同向量的叉积是0,
    A × A = 0 A \times A=0 A×A=0
    如果用几何意义解释,二者构成一条线段,线段的面积是0。

    在方向上,叉积垂直于平行四边形所在的平面:

    image-20210529161819851

    向量积的性质

    image-20210529114741036

    命 题 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题1} }} 1 a ≠ 0 \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0} a=0, 则 a × b = a × b 2 . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{\mathbf{2}} . a×b=a×b2.其中 b 2 \boldsymbol{b}_{2} b2 b \boldsymbol{b} b 关于 a a a 的外投影向量

    例如,设 b b b 关于 a a a 的正交分解为 b = b 1 + b 2 b=b_{1}+b_{2} b=b1+b2,其中 b 1 , b 2 \boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2} b1,b2 分别是 b \boldsymbol{b} b 关于 a \boldsymbol{a} a 的内、外投影向量 . 则 ∣ b 2 ∣ = ∣ b ∣ sin ⁡ θ . \left|\boldsymbol{b}_{2}\right|=|\boldsymbol{b}| \sin \theta . b2=bsinθ.
    于是, ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ = ∣ a ∣ ∣ b 2 ∣ = ∣ a × b 2 ∣ \quad|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \theta=|\boldsymbol{a}|\left|\boldsymbol{b}_{2}\right|=\left|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2}\right| a×b=absinθ=ab2=a×b2.

    又从图中可以看出 a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a×b a × b 2 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2} a×b2 方向相同, 所以, a × b = a × b 2 . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2} . a×b=a×b2.

    【注】 a a a b b b 为邻边的平行四边形的面积为 ∣ a × b 2 ∣ = ∣ a ∣ ∣ b 2 ∣ . \left|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2}\right|=|\boldsymbol{a}|\left|\boldsymbol{b}_{2}\right| . a×b2=ab2.

    (1) 反交换律
    a × b = − b × a . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} . a×b=b×a.
    (2) 结合律
    ( λ a ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) (\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)
    (3) 分配律
    a × ( b + c ) = a × b + a × c ( b + c ) × a = b × a + c × a \begin{array}{l} a \times(b+c)=a \times b+a \times c \\ (b+c) \times a=b \times a+c \times a \end{array} a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a

    用坐标计算向量积

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 1 设三维向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 有
    a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{i}-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{k} . a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j+(a1b2a2b1)k.
    由三维向量的基表示式, 有
    a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i × j + ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) i × k + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) j × k = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &=\left(a_{1} \boldsymbol{i}+a_{2} \boldsymbol{j}+a_{3} \boldsymbol{k}\right) \times\left(b_{1} \boldsymbol{i}+b_{2} \boldsymbol{j}+b_{3} k\right) \\ &=\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}+\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} \\ &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{i}-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{k} \end{aligned} a×b=(a1i+a2j+a3k)×(b1i+b2j+b3k)=(a1b2a2b1)i×j+(a1b3a3b1)i×k+(a2b3a3b2)j×k=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j+(a1b2a2b1)k
    行列式的降阶计算——按行展开

    三阶行列式
    ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right| a11a21a31a12a22a32a13a23a33
    = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ =a_{11}\left|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right| =a11a22a32a23a33a12a21a31a23a33+a13a21a31a22a32

    设三维向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 有
    a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) = ( ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ , − ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ) = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2},-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right), a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \\ &=\left(\left|\begin{array}{ll}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3}\end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2}\end{array}\right|\right) \\ &=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right| \end{aligned} a×b=(a2b3a3b2,(a1b3a3b1),a1b2a2b1)=(a2b2a3b3,a1b1a3b3,a1b1a2b2)=ia1b1ja2b2ka3b3

    二重外积

    问题:

    (1) 对于三维向量 a , b , c \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} a,b,c, 二重外积 a × ( b × c ) \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) a×(b×c) 是什么?

    (2) 叉积的结合律成立吗?

    探 索 : \Large\color{violet}{探索:} h = a × ( b × c ) \boldsymbol{h}=\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) h=a×(b×c),

    设向量 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 不共线, 则 b × c \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} b×c 同时垂直于 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 所确定的平面 π \pi π.又 h h h b × c b \times c b×c 垂直,故 h \boldsymbol{h} h 在平面 π \pi π 内 . 则有
    h = k 1 b + k 2 c \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{c} h=k1b+k2c
    问:如何确定 h = k 1 b + k 2 c \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{c} h=k1b+k2c 中的系数?

    探 索 : \Large\color{violet}{探索:} h = a × ( b × c ) \boldsymbol{h}=\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) h=a×(b×c), 因 h \boldsymbol{h} h a \boldsymbol{a} a 垂直, 故有
    0 = a ⋅ h = k 1 a ⋅ b + k 2 a ⋅ c . 0=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} . 0=ah=k1ab+k2ac.
    k 1 = β ( a ⋅ c ) k_{1}=\beta(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) k1=β(ac), 则 k 2 = − β ( a ⋅ b ) k_{2}=-\beta(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) k2=β(ab). 于是,有
    a × ( b × c ) = β [ ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c ] \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\beta[(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}] a×(b×c)=β[(ac)b(ab)c]
    特别取 a = b = i , c = j \boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{j} a=b=i,c=j, 则有
    i × ( i × j ) = i × k = − j = β [ ( i ⋅ j ) i − ( i ⋅ i ) j ] = − β j \boldsymbol{i} \times(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j})=\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}=-\boldsymbol{j}=\beta[(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}) \boldsymbol{i}-(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}) \boldsymbol{j}]=-\beta \boldsymbol{j} i×(i×j)=i×k=j=β[(ij)i(ii)j]=βj
    β = 1. \beta=1 . \quad β=1. a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c \quad \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} a×(b×c)=(ac)b(ab)c

    [ 结 论 ] \Large\color{violet}{[结论]} [] a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c . \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} . a×(b×c)=(ac)b(ab)c.

    ( 注 1 ) \Large\color{violet}{(注1) } (1) 若向量 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 共线, 则 a × ( b × c ) = 0. \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\mathbf{0} . a×(b×c)=0. b = λ c \boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{c} b=λc, 则
    ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c = λ ( a ⋅ c ) c − λ ( a ⋅ c ) c = 0. (a \cdot c) b-(a \cdot b) c=\lambda(a \cdot c) c-\lambda(a \cdot c) c=0 . (ac)b(ab)c=λ(ac)cλ(ac)c=0.
    故结论成立.

    ( 注 2 ) \Large\color{violet}{(注2) } (2) ( a × b ) × c = − c × ( a × b ) = − ( c ⋅ b ) a + ( c ⋅ a ) b . \quad(a \times b) \times c=-c \times(a \times b)=-(c \cdot b) a+(c \cdot a) b . (a×b)×c=c×(a×b)=(cb)a+(ca)b.

    ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a . \quad(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} . (a×b)×c=(ac)b(bc)a.

    故叉积的结合律不成立。

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 已知三角形 A B C A B C ABC 三个顶点为 A ( 1 , − 1 , 1 ) , B ( 2 , 1 , 1 ) , C ( 1 , 1 , 0 ) A(1,-1,1), B(2,1,1), C(1,1,0) A(1,1,1),B(2,1,1),C(1,1,0),

    (1) 求垂直于这个三角形所在平面的单位向量 .

    (2) 求这三角形的面积.

    image-20210529135100335

      n = A B → × A C → = ∣ i j k 1 2 0 0 2 − 1 ∣ = ( − 2 , 1 , 2 ) . ∣ n ∣ = ( − 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 3  (1)  n 0 = ± ( − 2 3 , 1 3 , 2 3 )  (2)  S = 1 2 ∣ A B → × A C → ∣ = 3 2 \begin{aligned} \text { } n =\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}&=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right| \\ &=(-2,1,2) . \\ \end{aligned}\\ |n| =\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3 \\ \text { (1) } n^{0}=\pm\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \\ \text { (2) } S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\frac{3}{2}  n=AB ×AC =i10j22k01=(2,1,2).n=(2)2+12+22 =3 (1) n0=±(32,31,32) (2) S=21AB ×AC =23

    参考

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

    展开全文
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空空如也

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