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  • 线性代数学习笔记——第二十九讲——向量坐标形式
    2019-08-26 21:04:26

     

    1. 内积的坐标形式

     

    2. 内积的应用示例

     

    3. 两个重要的不等式——柯西—许瓦兹不等式和三角不等式的证明

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    2. 向量外积的应用示例1

     

    3. 向量外积的应用示例1——已知三角形三个顶点的坐标,求某一条边上的高

     

    4. 练习

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  • 如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或列向量在 维空间上张成的平行多面的体积,实职上是 面体。并且我们也会很容易理解子式的意义。首先我们来定义外...

    本篇文章采用直接了当的方法讨论向量的外积公式。很多人只知道用向量内积公式去推导向量外积公式,殊不知向量外积的证明可以更加直接,并不需要以几积公式为基础。如果我们领悟这种更加直接的方式,相信我们会很容易理解为什么矩阵行列式的绝对值表示矩阵的行向量或列向量在

    维空间上张成的平行多面的体积,实职上是

    面体。并且我们也会很容易理解子式的意义。

    首先我们来定义外积:假设向量

    ,

    的逆时针夹角为

    , 则定义外积为

    显然从定义可知,外积的绝对值表示两个向量张成的平行四边形的面积。

    为了推导该公式的坐标形式,我们先证明外积运算满足乘法分配律:如下图

    假设

    ,

    注意

    逆时针夹角是

    , 非

    . 到此为止,我们便证明了向量的外积运算满足乘法分配律。

    有了乘法分配律,我们再来看向量的坐标形式,不妨假设

    其中倒数第二步是因为根据定义,共线的向量外积为零,所以只剩下两项。

    如此,我们便得到了外积的坐标形式,由外积的定义,我们知道,外积的绝对值就是两个向量张成的平行四边形的面积。其实我们将外积公式稍微变形

    其中

    的与

    轴的夹角,

    是向量

    轴的夹角。其实这正是高中所学的正弦公式。其实正弦公式本质上就是向量外积,余弦公式本质上就是向量内积,后者读者可根据分配律自己证明。

    其实,外积公式与内积公式也可以相互推得,这是因为

    故可由一个公式的坐标形式推导令一个公式的坐标形式。

    其实矩阵的行列式就是向量的外积在高维空间上的直接推广,请读者自己思考。

    另外,请感兴趣的读者关注我的知乎专栏:数学妙谈,高等代数精深简明讲义,古诗文以及公众号丞申通汇文化平台,随时更新新内容。本人电话:18612313613(微信同)

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    今天在学习SVM算法的时候,涉及到了向量的运算,所以我在这里进行了整理。

    首先我先对向量进行一下介绍:
    向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;

    一、内积(向量点乘)

    1.定义

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    具体点说,两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),它是数量而不是向量。
    特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。
    在这里插入图片描述

    2.点乘

    比如说,给定向量a和向量b:

    在这里插入图片描述
    a和b的点积公式为:
    在这里插入图片描述
    可以是必须要求一维向量a和向量b的行列数相同才可以。

    3.点乘的几何意义

    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影,有公式:
    在这里插入图片描述
    我们用一个图来具体看一下:
    在这里插入图片描述
    根据数学上的知识,我们可以知道: c=a-b
    我们来具体推导一下。
    根据数学中的三角形余弦定理可以得出:
    在这里插入图片描述
    然后上面又推出c=a-b,将c带入上面公式可得:
    在这里插入图片描述
    化简之后可以得出:
    在这里插入图片描述
    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:

     a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    
     a·b=0    正交,相互垂直  
    
     a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间
    

    4.基本性质

    • a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    • a·b = b·a.
    • (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    • cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    • |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    余弦定理:在△ABC中,成立 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC,如下图所示:
    在这里插入图片描述

    二、外积(叉乘、向量积)

    1.定义

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

    具体的来说,向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
    特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。
    在这里插入图片描述

    2.叉乘公式

    给定两个向量a和b:
    在这里插入图片描述
    a和b的乘积公式为:
    在这里插入图片描述
    其中:
    在这里插入图片描述
    则根据i,j,k的关系可以得出:
    在这里插入图片描述

    3.外积的几何意义

    在二维空间上,a与b的外积在数值上等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。
    正弦定理:a/sinA = b/sinB = c/sinC,如下图所示:
    在这里插入图片描述

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
    在这里插入图片描述

    4.基本性质

    • a × b = -b × a. (反衬性)
    • (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    本文参考自:https://blog.csdn.net/xuxinrk/article/details/80395746

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