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  • 坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内等于外”。此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行条件。此定理延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成两个...
    a7a3bd6738f26a77ae12359461447404.png新疆高中生学习平台你有41位好友已关注25205e50d352fd0c4e422fef3241e378.png

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    一、两个定理

    1、共线向量定理:

    两向量共线(平行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量平行或者使用向两平行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1. 三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2. 以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。

    2、平面向量基本定理:

    平面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1. 可以统一题目中向量的形式;2. 可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。

    .كۈندە ئەڭ سەرخىل ، ئەڭ ياخشى مەزمۇنلارنى ھۇزۇرۇڭلاغا سۇنۇش ئۈچۈن توختىماي ئىزدىنۋاتىمەن ، كومپىيوتېر ئالدىدا ھاماي 4 -5 سائەت ئولتۇرۋاتىمەن ، ئەمگىكىمنىڭ ھۆرمىتى ئۈچۈن مىنى قوللاش يۇزىسىدىن ئاستىدىكى سۆرەتلىك ئېلاننى چىكىپ قۇيۇڭ رەھمەت

    قوللاپ مۇشۇ رەسىملىك ئېلاننى چۇقۇم بىر قىتىم بىسۋىتىپ ئاندىن مەزمۇن كۈرۈڭ 

    ئېلان مۇشۇ رەسىم شۇ

    二、三种形式

    平面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。

    选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。

    三、四种运算

    加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。

    向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。

    加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。

    加减法的几何意义是平行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1. 向量的模乘以夹角余弦;2. 两向量数量积除以另一向量的模。

    加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。

    四、五个应用

    求长度、求夹角、证垂直、证平行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证平行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都平行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(平行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量,加符号是反方向的单位向量。

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    ھەركۈنى ئەڭ ياخشى مەزمۇنلارنى تەييارلاش ئۈچۈن توختىماي خىزمەت قىلۋاتىمىز ، ئەگەر بۈگۈنكى مەزمۇننى ياقتۇرغان بولسىڭىز ئاستىدىكى ئىلانلارنى بېسىپ قويسىڭىز ئۆز ئارا قوللاش بولسۇن . بىز تېخمۇ ياخشى مەزمۇنلارنى يوللاش ئۈچۈن تىرشايلى ،  قوللاش بولسا تەرەقىياتنىڭ ئاساسى 

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  • 空间向量的运算向量模长的坐标表示式向量方向余弦的...向量积的坐标表达式混合积典型例题1.设则2.设为非零向量,且,,.则.3.设求与的夹角.「解析」由题设知即两式相减得:,即,代入前式得:,故.所以4.设为单位向量,,求以...

    空间向量的运算

    • 向量模长的坐标表示式
    • 向量方向余弦的坐标表达式
    • 数量积(点积、内积)

    其中的夹角.

    数量积的坐标表达式为

    两向量夹角余弦的坐标表达式为

    • 向量积(叉积、外积)

    其中的夹角.的方向既垂直于,又垂直于,指向符合右手系.

    向量积的坐标表达式

    • 混合积

    典型例题

    1.设

    2.设为非零向量,且,,.则.

    3.设的夹角.

    「解析」由题设知

    两式相减得:,即,代入前式得:,故.所以

    4.设为单位向量,,求以为邻边的平行四边形的面积.

    「解析」由向量叉积的几何意义可得:

    平面的方程和平行平面间距离

    • 平面的点法式方程
    • 平面的一般方程
    • 平面的截距式方程
    • 平面的夹角
    已知

    • 两平面位置特征
    • 点到平面距离公式
    是平面外的一点.则到平面的距离
    • 平行平面间距离公式
    已知

    典型例题

    求过直线且与平面组成角的平面的方程.

    「解析」过已知直线的平面束方程为:

    其法向量.

    已知平面的法向量.由题设知:

    ,由此解得.代回平面束,得所求方程为:

    空间直线的位置关系和直线方程的各种形式

    • 标准式
    • 参数式
    • 一般式
    • 两点式
    已知,已知两条直线分别在两条直线上.
    • 两条直线共面
    • 两条直线夹角
    • 两条直线平行线的距离
    • 两条异面直线间的最短距离

    典型例题

    1.求与两直线

    都相交且通过点的直线的方程.

    「解析」将两已知直线方程化为参数方程为

    设所求直线的交点分别为.所以,三点共线,即.故有

    解得,所以,.

    两点产生的直线的方程为:

    2.设有直线,

    (1)求与关于原点对称的直线的方程;

    (2)求与关于平面对称的直线的方程;

    (3)求与关于平面对称的直线的方程.

    「解析」(1)对于任何在直线上的静点,由于关于原点对称,从而与关于原点对称的动点必在上,故的方程为

    (2)对于任何在直线上的静点,由于关于平面对称,从而与关于平面对称的动点必在上,故的方程为(3)与平面的交点也在所求的直线上,且该点的坐标满足

    由上面的方程组得到

    从而解得交点的坐标为,的方向向量为

    故所求直线的方程为

    - END -

    资料来源:北洋数学研究社·学研部

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  • 齐次坐标

    2017-10-10 08:39:06
    看到一位叫做”Bigcoder”前辈,对一个叫做“三百年 重生”博客关于齐次坐标理解部分摘抄和他自己解释... 齐次坐标表示是计算机图形学重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射

    看到一位叫做”Bigcoder”的前辈,对一个叫做“三百年 重生”的博客的关于齐次坐标理解的部分摘抄和他自己的解释后,茅塞顿开,对于四元数和齐次坐标这种使用比描述空间维度多一个维度来对位姿进行描述的形式有了进一步理解。现对博客内容进行摘录和笔记。

    • 注: 并不是表示卷积而是表示数乘或者内积

    齐次坐标

    齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一,它既能够用来明确区分向量和点,同时也更易用于进行仿射(线性)几何变换。”—— F.S. Hill, JR。

    这句话这么说是有理由的,在普通投影几何当中,使用一个有序实数对(x,y)来对一个点或者一个向量进行描述,这意味着,一个点或者一个向量在表达上毫无差别,这就使得描述和计算上存在混乱,推广到立体空间中亦然。对于坐标而言,我们关心的是它的绝对位置,对于向量,因为向量的平移性,我们不关心它的位置而是关心他长度和方向。所以

    由于作者对齐次坐标真的解释的不错,我就原封不动的摘抄过来:

    对于一个向量v以及基oabc,可以找到一组坐标(v1,v2,v3),使得

    v=v1a+v2b+v3c1

    而对于一个点p,则可以找到一组坐标(p1,p2,p3),使得

    po=p1a+p2b+p3c(2)

    从上面对向量和点的表达,我们可以看出为了在坐标系中表示一个点(如p),我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移,即一个向量——p – o(有的书中把这样的向量叫做位置向量——起始于坐标原点的特殊向量),我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p:

    p=o+p1a+p2b+p3c(3)

    所以此时将一个(1)式和(3)式写成矩阵相乘形式就有如下式子

    (1)=>[v1v2v30][abco]

    (3)=>[p1p2p31][abco]

    那么上述等式中的第二项可以看做点或者向量所在空间的基,那么第一项就可以看作在这个空间下的坐标,这个坐标就被成为齐次坐标,那么从这里就可以看到,这个一个点的齐次坐标为(a,b,c,1),一个向量的齐次坐标为(a,b,c,0),一个点的同意齐次坐标有多种表达形式,但是我们总是可以将坐标中的每一项除以第四项来化成上面的形式,由此可见,齐次坐标就可以清晰的分辨出来点和向量。

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  • 4. 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)定义(被函数、积分曲面、第二类曲面积分的向量形式) 5. 第二类曲面积分性质:积分曲面有向性(积分曲面反向,则曲面积分值反号);对...

    一、问题的引入——如何计算一般流体通过曲面的流量?

     

    二、对坐标曲面积分的概念

    1. 曲面积分中所考虑的曲面是指可以定向的曲面,即双侧曲面,而不包含单侧曲面(非有向曲面),如莫比乌斯带

     

    2. 流量的定义与计算

     

    3. 流量计算可表示为对坐标的曲面积分,组合型曲面积分

     

    4. 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的定义(被积函数、积分曲面、第二类曲面积分的向量形式)

     

    5. 第二类曲面积分的性质:积分曲面的有向性(积分曲面反向,则曲面积分的值反号);对积分曲面的可加性

    三、对坐标曲面积分的计算

    1. 计算方法

     

    2. 符号的确定方法:锐正钝负;当曲面在平面上的投影是一条曲线(面积为0),则曲面积分为0

     

    四、两类曲面积分的关系

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  • 通俗易懂主成分分析法(PCA)详解

    万次阅读 多人点赞 2018-04-14 22:32:46
    转载自:...2.将新选定的基表示成矩阵形式,与原向量相乘,就得到了原向量在新选定的基所表示的空间(或坐标系)中的坐标表示了。3.怎样选定这组基用于数据降维?(目标...
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  • 不考试知识点:带*号(除球面坐标系、比值审敛法),二次曲面,斯托克斯公式,函数幂级数展开式应用,一般周期函数傅立叶级数,物理应用部分,一、概念与定义1、数量积、向量积坐标表示(向量位置关系);...
  • 方向导数与梯度

    2019-08-30 19:38:59
    向量:是指具有n个互相独立性质(维度)对象的表示向量常 使用字母+箭头的形式迚行表示,也可以使用几何坐标表示向量, 比如 ,可以用坐标(x,y,z)表示向量向量的模:向量的大小,也就是向量的长度,向量...
  • 通俗易懂pca详解

    2019-08-21 15:45:15
    2.将新选定的基表示成矩阵形式,与原向量相乘,就得到了原向量在新选定的基所表示的空间(或坐标系)中的坐标表示了。 3.怎样选定这组基用于数据降维?(目标) (1)首先将数据变换到选定基上后,数据的方差要大...
  • 相机可以看作三维空间中刚体,则,它位姿:位置由三维坐标表示,姿态? 用向量的表示向量的旋转 第一项为行列式,第三项把向量a写成矩阵的形式。 a×b结果是垂直于ab平面大小为|a||b|sin(a,b)方向...
  • PCA

    2021-02-01 19:54:30
    2.将新选定的基表示成矩阵形式,与原向量相乘,就得到了原向量在新选定的基所表示的空间(或坐标系)中的坐标表示了。 3.怎样选定这组基用于数据降维?(目标) (1)首先将数据变换到选定基上后,数据的方差要大,...
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  • 陀螺仪姿态解算思想

    千次阅读 2020-05-10 17:53:28
    算法总结 低通滤波 罗格里德角表示 四元数 方向余弦矩阵 向量外积 PI控制器 一阶龙格库塔法 归一化 ...高频噪声的信号过滤得到准确的数据,加速度计高频噪声较大。...用该表示方法,最后转化成sin cos角的...外积的表达式 |
  • PCA主成分分析

    2021-04-08 09:25:26
    还是拿上面的例子,想一下,将(3,2)变换为新基上的坐标,就是用(3,2)与第一个基做内运算,作为第一个新的坐标分量,然后用(3,2)与第二个基做内运算,作为第二个新坐标的分量。实际上,我们可以用矩阵相乘的形式...
  • 相似性度量

    2012-02-26 19:19:00
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空空如也

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