向量积的坐标运及度量公式
* * 向量数量积的 坐标运算与度量公式 一.复习回顾： 2. 二.探究新知: 三.新课讲授: 1.向量内积的坐标运算 结论：两个向量的数量积等于它们       对应坐标的乘积的和。 即: x  o  B(b1,b2)  A(a1,a2)  y                所以，根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 二.探究新知: 2.两向量垂直和平行的条件 平行 垂直 巩固提高： 二.探究新知: 3.向量的长度、距离、夹角公式 3.向量的长度、距离、夹角公式 ∴   ＝60o. θ 三.典型例题 例 1   已知a＝(1，√3  )，b＝(– 2，2√3   ), (1)求a·b； (2)求a与b的夹角θ. 解：(1)a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4; (2) a ＝√12＋(√3  )2＝2, b ＝√(– 2)2＋(2√3  )2 ＝4, cos    ＝                 ＝            ＝     , 4 2×4 a·b a  b 1 2 θ 变式1： 练习A 1(4).  A 3. x 0 y   例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断?ABC的形状，并给出证明. A(1,2) B(2,3) C(-2,5) 练习A.2.3. 课堂练习： B D A ①②③④ 例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、D(3，5).(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；(2)求∠DAB的大小. (1) 证明：                    AB = (1 – (-1), 1 – 3)                          = (2, -2),  BC = (4 – 1,4 – 1) = (3, 3). DC = (4 – 3, 4 – 5) = (1, -1), ∵  AB = 2DC, x A B C D y ∴    AB⊥BC. ∵  AB·BC = 2×3 +(-2) ×3 = 0, ∴  AB//DC. 知识反馈 ∴ ABCD是直角梯形. 又∵  AB≠DC, x A B C D y (2)解： |AB| = √(1 – (-1))2 + (1 – 3)2 = 2√2 , AD = (3 – (-1), 5 – 3) = (4, 2), |AD| = √(3 – (-1))2 + (5 – 3)2 = 2√5 , AD·AB = 4×2 + 2× (-2) = 4, cos∠DAB =               =                =       ,       AD·AB |AD||AB| 4 2√5 ·2√2 √10 10 ∴∠DAB = arccos       . √10 10

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表示方法
两个向量a和b的叉积写作a×b(有时也被写成a∧b，避免32313133353236313431303231363533e78988e69d8331333431363036和字母x混淆)。
定义
向量积可以被定义为：。
模长：(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°)，它位于这两个矢量所定义的平面上。)
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。)
也可以这样定义(等效)：
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
扩展资料：
证明
为了更好地推导，加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。
i，j，k满足以下特点：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；(0是指0向量)
由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=(1，0，0)j=(0，1，0)k=(0，0，1)。
对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：
u=Xu*i+Yu*j+Zu*k；
v=Xv*i+Yv*j+Zv*k；
那么uxv=(Xu*i+Yu*j+Zu*k)x(Xv*i+Yv*j+Zv*k)
=Xu*Xv*(ixi)+Xu*Yv*(ixj)+Xu*Zv*(ixk)+Yu*Xv*(jxi)+Yu*Yv*(jxj)+Yu*Zv*(jxk)+Zu*Xv*(kxi)+Zu*Yv*(kxj)+Zu*Zv*(kxk)
由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为
uxv=(Yu*Zv–Zu*Yv)*i+(Zu*Xv–Xu*Zv)*j+(Xu*Yv–Yu*Xv)*k。

	

先从比较熟悉的数量积说起，给出定义：
        
      最近学校里教到了静电场。其中有一个看起来很简单的公式：       
      这里的U指的是两点间电势差，E是匀强电场的场强，d是两点沿场强方向的距离。这个公式看起来不会产生任何麻烦，但是当从数学角度去关注它的时候，可以发现，等式的左边是个标量，等式右边的E是个矢量，那么只剩下一种可能：d也是一个矢量。因为物理量的矢标性是高中物理的一个重点，所以遇到新的矢量都会声明定义一下。然而，课本是这样描述的：
        
      其中“沿电场方向的距离”就是d。这个描述是有误导性的，一方面提出是“距离”，而之前在必修一中提到距离是标量，唯一定义过的有关长度的矢量是位移x；一方面又提出“沿电场方向”，直接给出了方向。但是数学运算规律是不能违背的，所以它一定是个向量，方向就是电场方向。或者我们可以直接从书本中推导的过程来看这个问题：
        
      而在必修二中，对于恒力做功是这样定义的：
        
      可以发现，最后一个式子已经是一个数量向量积的展开式了，这个式子是完全符合数学运算的，但是，这里的l只代表了位移大小，F也只代表力的大小，所以当我们默认W=qEd也是完全展开的话，U=Ed中实际上E,d都是表示这两个矢量的模；而当默认W=qEd还是向量最初的形式时，那么E，d都应该是向量了。然而在定义(1)中，并没有明确E,d到底是模长还是向量。于是才产生了混乱的局面，或者说，不管是矢量还是标量，在公式中由于没有箭头，看不出区别。可以考虑简化一下这个式子，因为这个式子是由恒力做功的定义得出的，所以只需要保留原来未展开的向量形式中的两点间位移就可以了，根本不需要去定义一个d，求解U时就可以直接求x和E的数量积。推导过程可以写成这样：
        
      实际上数量积运算产生的问题还是稍微想一下可以想通的，更严重的问题出在不熟悉的向量积上。观察洛伦兹力(	运动电荷在磁场中所受到的力)的计算公式：
        
      (这里的v是v在与B垂直方向上的分量)这个式子也很简单。但是分析它的矢标性是发现：式子的左边是矢量，右边的q是标量，v，B都是矢量。而按照高中里的数学知识，左右是绝不可能等同的，因为我们已知的向量的乘积只有数量积这一种形式。这是在计算它的大小时遇到的问题，如果对于其方向的判断，在书中是这样描述的：
        
      然而，单独去记忆这个“左手定则”，会带来不少麻烦，因为其他电磁相互作用的现象基本都是使用右手定则的(如电磁感应，通电导线的磁场方向等)。这时，就有必要引入向量积的定义了：  也就是说，两个向量的向量积是一个新向量，这个向量的大小在上面已经定义过了，它的方向需要用右手定则确定：把右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。这时的c是a∧b的结果，所以需要注意a∧b与b∧a的区别。右手定则的判定举例如下：
        
      经过上面的讨论，我们有理由怀疑洛伦兹力的计算公式里面是含有向量的向量积的。而实际上，洛伦兹力的计算公式应该写作这样：
        
      当然，这里需要注意v和B的顺序，否则用右手定则判定出来的洛伦兹力方向会恰好相反。解决了洛伦兹力，再来解决安培力(通电导线在磁场中受到的力)，作为洛伦兹力的宏观表现，它也需要使用左手定则，来看看它的公式：
        
      (这里的L是L在与B垂直方向上的分量)很奇怪，这个式子的矢标性不存在问题。然而，如果是严格按照数学规律来推断的话，这就是歌向量数乘的运算，所以B的方向和F的方向是统一的，然而这和使用左手定则来判定F方向显然矛盾，所以又有理由怀疑这个式子的右边也存在向量积运算。已经知道了安培力是洛伦兹力的宏观表现，不如用洛伦兹力推导一下。这里只需要建立L和v的关系，把v消掉。
        
      可以发现，这个问题和U=Ed是一致的，都是没有定义L的矢标性。想到洛伦兹力，自然也会想到动生电动势(导体作切割磁感线运动，在同时垂直于磁场和运动方向的两端产生的电动势，是电磁感应的一种形式)。来看看它的计算公式：
        
      (v,B,L互相垂直)同样地，检查这个式子的矢标性，如果把v和B之间的运算看作数量积的时候，好像没什么问题，那么，为什么书本中还需要使用右手定则来判定三者之间的方向关系？根据之前的经验，再尝试从它的产生原因进行分析推导。动生电动势是这样产生的：当运动的导体中的自由电子也随导体的运动而运动，这些运动的自由电子在磁场中受到向下的洛伦兹力F的作用，在F的作用下自由电荷向D端运动，使C端出现过剩正电荷，D端出现过剩负电荷。于是C端的电势高于D端，出现方向由C指向D的静电场，自由电子于是受到这个新产生的静电场的电场力，方向向上。随两端正负电荷的积累，电场力F‘不断增大，直到F和F’的大小相等时，自由电子不再移动，CD间产生了稳定电势差。
        
      而电动势等于单位正电荷从负极通过电源内部移动到正极非静电力所做的功。而这里的非静电力就是洛伦兹力。
        
      意识到实际上这是个很复杂的式子，先进行了向量积的运算，再进行数量积的运算。课本中作的简化是不太合理的，常常导致判断的错误，举个例子：一个圆弧状的导体O，在垂直于屏幕向内的匀强磁场中运动，求动生电动势。
        
      如果用课本中的公式，我们已经知道了v，B的方向，两者已经垂直，由于要求v,B,L都垂直，我们可以作L在v,B确定的平面的垂面上的投影：
        
      投影应该是图中的这条橙色线。然而，当我们未简化过的公式时，我们会发现式子中的L(也就是正电荷的位移)和v,B的向量积是垂直的，所以E实际上应该是0。
        
      仍然可以发现，这样的问题是由于没有定义L的矢标性产生的。总结一下，物理课本里简化的公式实际上挺多的，基本上都是为了避免讨论向量的数量积和向量积。虽然这样的简化常常通过使用左右手定则，或者硬性规定一个垂直方向上的分量来弥补，但是矢标性常常会产生迷惑，左右手定则的不统一也会引起记忆问题，而硬性的规定甚至会导致结果的错误。而当充分引入了矢量的这两个运算之后，在计算时，不需要特意去找硬性规定的垂直分量，只要严格按照公式；在判断物理量的方向时，因为右手定则对于向量积是成立的，也只要按照一个单一的右手定则来判断。并且由于这两个运算不会造成矢标性的混乱，在数学上也更说得通，优美多了。
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最近在学习一些降维方法，想从最基本的PCA开始复习。看了西瓜书上的推导公式后，觉得跳跃性有点大，可能是我本人数学较渣，有些公式的推导总是犯迷糊。所以想着把有些关键公式的推导过程记录下来，数学大佬可以不用看这篇文章了哈，哈哈哈哈哈哈开个玩笑哈。希望这些推导过程能对同样看到这一步有疑惑的同学有帮助。当然了，如果有同样对数学感兴趣，或者就是数学专业的朋友，请一定一定私信我，我真的对数学很感兴趣，我渴望找一位志同道合的朋友沟通问题。
好了，废话不多说了，直接看公式。
其实就是这两步，包括上面投影坐标 
 与原始向量 
 的互换。此处我还得感谢另外一位数学专业的朋友，感谢她提供的帮助。下面我先附上她的推到手稿，感谢感谢。
下面我想就两处地方做重要解释。
1 投影向量与原始向量的互相转换
上文公式有：
其中 
 表示原始向量 
 在低维坐标第j维上的投影的坐标，而样本点
在低维坐标系中的投影是 
 。另外，我们也不难看到， 
 其实就是一个常数，我们可以通过公式（1）就可以得到以下等式变换：
也就有：
请各位一定要记住这个公式（2），它将会在后面的推导中发挥着重要的作用，很重要很重要。接下来我们要理解的就是如何通过投影 
 以及基向量矩阵w来重构出原始向量 
 ，这一步我真的是卡了好久好久的时间了，我之前想的一直是能不能直接通过公式（1）来推导出书上所给的公式（3）：
我这儿会给出两种方法来解答。首先看以下这幅图片：
这是很简单的向量加法，即： 
 . 我们其实可以将向量a看作是原始向量c在x轴上的投影向量，同理，向量b看作是原始向量c在y轴上的投影向量。所以，我们可以得出结论：
原始向量等于所有低维坐标轴上投影向量之和。而 
 表示原始向量 
 在低维坐标第j维上的投影的坐标，又 
又表示第j维上的基向量。所以 
 其实就是表示低维坐标第j维上的投影向量，故而我们得到公式（3）.
另外一种方法是将公式（2）等式左右两边分别左乘基向量矩阵w，即：
好了，我们接着往下看。下面才是PCA方法的核心部分。PCA方法的核心是：原始样本点在一组基向量矩阵中表示的新样本应比较分散，即所有点之间的方差较大。书本上是求原始样本点 
与基于投影重构的样本点 
 之间的距离，可以表示为：
我们展开就是：
好，每一项表示出来了，我们接下来只要把这里面的四个乘法公式给转换一下结果就出来了。
计算 
 得借助公式（3），可得：
易知： 
 这两个公式的结果为一常量，所以可知：
而 
 也是一常量，书中所以用const常量来表示。
故原式可表示为：
我们要令方差最大，其实就是令D的值最大，也就是令 
 的值最小。下面的转换过程我还是按照书本上的格式来，这里面也是借用了公式（2）的转换：
所以最终可以表示为：
到这一步就很舒服了，后面的求解过程就很好理解了。我们要求的就是w基向量矩阵，其实发现它就是原始样本矩阵X的特征向量组合，至于原理什么的我就不讲啦，网上很多资料，我这里推荐一位博主的文章，写的很通俗易懂啦！：）其实是我写到这儿实在是不想写啦！！！最后附上我的手稿小小沉醉一下哈哈哈哈哈哈哈。
推导过程中如果有不对的地方还望不吝指出！！！
2019/12/4 补充
书上后面还给了拉格朗日乘子法来求最大值，这一步我以为我懂了，今天在推算的时候才发现还是不懂。于是今天查阅了一些资料才终于弄懂了，此处要着重感谢Datawhale公众号整理的文章，真的很详细，太棒了的一项工作。解释一下：这个不是我的公众号哈：）
关于拉格朗日乘子法的介绍，我看到了另一篇马同学写的文章，也是写的很棒，推荐给大家看，我就不班门弄斧了。
直接来构建拉格朗日函数，如下所示：
其中， 
 为构建的拉格朗日乘子阵。若仅考虑约束 
 ,则可将矩阵 
 简化成向量 
 , 可表示为： 
 . 
公式（1）则可以表示为：
接着拉格朗日函数对w求导可得：
由公式（3）还可简化，因为 
 这两个向量均与w无关，所以求导时直接去掉。
其实此处的难点是矩阵微分运算了，我们要把公式（4）内的两个表达式给化简。矩阵微分运算中有两步很常用的求导公式很实用。
由公式（5）和（6）就可对公式（4）化简了，即：
令公式（7）等于0，我们很容易得到以下不等式：
将w和 
 向量都拆开，即可得书本上的等式：
以上证毕，最后还是要附上手稿小小得意以下，嘻嘻。