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  • 文章目录向量积的定义与性质向量积的几何意义向量积的性质用坐标计算向量积二重外积参考 引例:力作用在杠杆上的力矩 设 OOO 为 杜杆 LLL 的支点, 力 F\boldsymbol{F}F 作用于 这杠杆的点 PPP 处, F\boldsymbol{F}F...

    1. 06向量及其坐标表示、向量的方向角与方向余弦、向量组共线与共面的条件、向量的加法与数乘运算、向量组的线性组合、二维向量的基向量分解、三维向量的基向量分解、用坐标做向量的数乘
    2. 07向量的点积、数量积、两向量垂直的条件、投影与投影向量、向量的正交分解、几个不等式、用坐标计算数量积
    3. 08向量的叉积、向量积、用坐标行列式计算向量积、二重外积
    4. 09向量的混合积、向量之间的位置关系、用坐标行列式计算混合积、三向量共面的条件
    5. 10空间直线方程、参数方程、向量式方程、点向式方程、两点式方程、一般方程、空间直线的一般方程化为点向式方程
    6. 11空间平面方程、参数方程、向量式方程、行列式方程、三点式方程、点法式方程、一般方程

    引例:力作用在杠杆上的力矩

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    O O O 为 杜杆 L L L 的支点, 力 F \boldsymbol{F} F 作用于 这杠杆的点 P P P 处, F \boldsymbol{F} F O P → \overrightarrow{O P} OP 的夹角 为 θ \theta θ ,那么,力 F \boldsymbol{F} F 对支点 O O O的力矩 M M M 是一个向量,它的模为
    ∣ M ∣ = ∣ O Q ∣ ∣ F ∣ = ∣ O P → ∣ ∣ F ∣ sin ⁡ θ |M|=|O Q||\boldsymbol{F}|=|\overrightarrow{O P}||\boldsymbol{F}| \sin \theta M=OQF=OP Fsinθ
    它的方向垂直于 O P → \overrightarrow{O P} OP F \boldsymbol{F} F 所决定的平面, 并且按右手法则从 O P → \overrightarrow{O P} OP 以不超过 π \pi π 的角 θ \theta θ 转向 F F F确定.这里力矩 M M M方向垂直朝外

    问题:向量的向量积

    向量积的定义与性质

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    定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }} 1 向量 a a a b b b 的向量积 (或叉积) 是一个向量,记作 a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a×b,它的长度规定为
    ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ ⟨ a , b ⟩ , |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle, a×b=absina,b,
    它的方向规定为:与 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b 都垂直,并且使 a , b , a × b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a,b,a×b 构成右手系, 即当右手四指从 a a a 以不超过 π \pi π 的角 θ \theta θ 弯向 b b b 时,拇指的指向 .

    【注1】 a × b = 0 \quad a \times b=0 a×b=0 的充分必要条件是 a , b \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} a,b 共线

    image-20210529114405334

    【注2】 i × j = k , j × k = i , k × i = j \quad \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k}, \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} i×j=k,j×k=i,k×i=j,

    在二维空间内, 向量 a = ( a 1 , a 2 ) , b = ( b 1 ,   b 2 ) a= (\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} ), \mathrm{b}= (\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}) a=(a1,a2),b=(b1, b2)
    a × b = ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} a×b=a1b1a2b2=a1b2a2b1

    向量积的几何意义

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    ∣ a × b ∣ |a \times b| a×b 为以 a a a b b b 为邻边的平行四边形的面积.

    【注 】 三角形 O A B O A B OAB 的面积为 1 2 ∣ a × b ∣ \frac{1}{2}|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| 21a×b

    两个相同向量的叉积是0,
    A × A = 0 A \times A=0 A×A=0
    如果用几何意义解释,二者构成一条线段,线段的面积是0。

    在方向上,叉积垂直于平行四边形所在的平面:

    image-20210529161819851

    向量积的性质

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    命 题 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{命题1} }} 1 a ≠ 0 \boldsymbol{a} \neq \mathbf{0} a=0, 则 a × b = a × b 2 . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{\mathbf{2}} . a×b=a×b2.其中 b 2 \boldsymbol{b}_{2} b2 b \boldsymbol{b} b 关于 a a a 的外投影向量

    例如,设 b b b 关于 a a a 的正交分解为 b = b 1 + b 2 b=b_{1}+b_{2} b=b1+b2,其中 b 1 , b 2 \boldsymbol{b}_{1}, \boldsymbol{b}_{2} b1,b2 分别是 b \boldsymbol{b} b 关于 a \boldsymbol{a} a 的内、外投影向量 . 则 ∣ b 2 ∣ = ∣ b ∣ sin ⁡ θ . \left|\boldsymbol{b}_{2}\right|=|\boldsymbol{b}| \sin \theta . b2=bsinθ.
    于是, ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin ⁡ θ = ∣ a ∣ ∣ b 2 ∣ = ∣ a × b 2 ∣ \quad|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin \theta=|\boldsymbol{a}|\left|\boldsymbol{b}_{2}\right|=\left|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2}\right| a×b=absinθ=ab2=a×b2.

    又从图中可以看出 a × b \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} a×b a × b 2 \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2} a×b2 方向相同, 所以, a × b = a × b 2 . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2} . a×b=a×b2.

    【注】 a a a b b b 为邻边的平行四边形的面积为 ∣ a × b 2 ∣ = ∣ a ∣ ∣ b 2 ∣ . \left|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}_{2}\right|=|\boldsymbol{a}|\left|\boldsymbol{b}_{2}\right| . a×b2=ab2.

    (1) 反交换律
    a × b = − b × a . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} . a×b=b×a.
    (2) 结合律
    ( λ a ) × b = a × ( λ b ) = λ ( a × b ) (\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \times(\lambda \boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)
    (3) 分配律
    a × ( b + c ) = a × b + a × c ( b + c ) × a = b × a + c × a \begin{array}{l} a \times(b+c)=a \times b+a \times c \\ (b+c) \times a=b \times a+c \times a \end{array} a×(b+c)=a×b+a×c(b+c)×a=b×a+c×a

    用坐标计算向量积

    定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 1 设三维向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 有
    a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k . \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{i}-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{k} . a×b=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j+(a1b2a2b1)k.
    由三维向量的基表示式, 有
    a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) i × j + ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) i × k + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) j × k = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &=\left(a_{1} \boldsymbol{i}+a_{2} \boldsymbol{j}+a_{3} \boldsymbol{k}\right) \times\left(b_{1} \boldsymbol{i}+b_{2} \boldsymbol{j}+b_{3} k\right) \\ &=\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}+\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} \\ &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \boldsymbol{i}-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right) \boldsymbol{j}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \boldsymbol{k} \end{aligned} a×b=(a1i+a2j+a3k)×(b1i+b2j+b3k)=(a1b2a2b1)i×j+(a1b3a3b1)i×k+(a2b3a3b2)j×k=(a2b3a3b2)i(a1b3a3b1)j+(a1b2a2b1)k
    行列式的降阶计算——按行展开

    三阶行列式
    ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ \left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array} \right| a11a21a31a12a22a32a13a23a33
    = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ =a_{11}\left|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right| =a11a22a32a23a33a12a21a31a23a33+a13a21a31a22a32

    设三维向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 有
    a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) = ( ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ , − ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ) = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \begin{aligned} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} &=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2},-\left(a_{1} b_{3}-a_{3} b_{1}\right), a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \\ &=\left(\left|\begin{array}{ll}a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3}\end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2}\end{array}\right|\right) \\ &=\left|\begin{array}{ccc}\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right| \end{aligned} a×b=(a2b3a3b2,(a1b3a3b1),a1b2a2b1)=(a2b2a3b3,a1b1a3b3,a1b1a2b2)=ia1b1ja2b2ka3b3

    二重外积

    问题:

    (1) 对于三维向量 a , b , c \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} a,b,c, 二重外积 a × ( b × c ) \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) a×(b×c) 是什么?

    (2) 叉积的结合律成立吗?

    探 索 : \Large\color{violet}{探索:} h = a × ( b × c ) \boldsymbol{h}=\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) h=a×(b×c),

    设向量 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 不共线, 则 b × c \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c} b×c 同时垂直于 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 所确定的平面 π \pi π.又 h h h b × c b \times c b×c 垂直,故 h \boldsymbol{h} h 在平面 π \pi π 内 . 则有
    h = k 1 b + k 2 c \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{c} h=k1b+k2c
    问:如何确定 h = k 1 b + k 2 c \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{c} h=k1b+k2c 中的系数?

    探 索 : \Large\color{violet}{探索:} h = a × ( b × c ) \boldsymbol{h}=\boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) h=a×(b×c), 因 h \boldsymbol{h} h a \boldsymbol{a} a 垂直, 故有
    0 = a ⋅ h = k 1 a ⋅ b + k 2 a ⋅ c . 0=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{h}=k_{1} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+k_{2} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} . 0=ah=k1ab+k2ac.
    k 1 = β ( a ⋅ c ) k_{1}=\beta(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) k1=β(ac), 则 k 2 = − β ( a ⋅ b ) k_{2}=-\beta(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) k2=β(ab). 于是,有
    a × ( b × c ) = β [ ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c ] \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\beta[(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}] a×(b×c)=β[(ac)b(ab)c]
    特别取 a = b = i , c = j \boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{j} a=b=i,c=j, 则有
    i × ( i × j ) = i × k = − j = β [ ( i ⋅ j ) i − ( i ⋅ i ) j ] = − β j \boldsymbol{i} \times(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j})=\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{k}=-\boldsymbol{j}=\beta[(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}) \boldsymbol{i}-(\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}) \boldsymbol{j}]=-\beta \boldsymbol{j} i×(i×j)=i×k=j=β[(ij)i(ii)j]=βj
    β = 1. \beta=1 . \quad β=1. a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c \quad \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} a×(b×c)=(ac)b(ab)c

    [ 结 论 ] \Large\color{violet}{[结论]} [] a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c . \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} . a×(b×c)=(ac)b(ab)c.

    ( 注 1 ) \Large\color{violet}{(注1) } (1) 若向量 b , c \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} b,c 共线, 则 a × ( b × c ) = 0. \boldsymbol{a} \times(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c})=\mathbf{0} . a×(b×c)=0. b = λ c \boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{c} b=λc, 则
    ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c = λ ( a ⋅ c ) c − λ ( a ⋅ c ) c = 0. (a \cdot c) b-(a \cdot b) c=\lambda(a \cdot c) c-\lambda(a \cdot c) c=0 . (ac)b(ab)c=λ(ac)cλ(ac)c=0.
    故结论成立.

    ( 注 2 ) \Large\color{violet}{(注2) } (2) ( a × b ) × c = − c × ( a × b ) = − ( c ⋅ b ) a + ( c ⋅ a ) b . \quad(a \times b) \times c=-c \times(a \times b)=-(c \cdot b) a+(c \cdot a) b . (a×b)×c=c×(a×b)=(cb)a+(ca)b.

    ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a . \quad(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a} . (a×b)×c=(ac)b(bc)a.

    故叉积的结合律不成立。

    例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 已知三角形 A B C A B C ABC 三个顶点为 A ( 1 , − 1 , 1 ) , B ( 2 , 1 , 1 ) , C ( 1 , 1 , 0 ) A(1,-1,1), B(2,1,1), C(1,1,0) A(1,1,1),B(2,1,1),C(1,1,0),

    (1) 求垂直于这个三角形所在平面的单位向量 .

    (2) 求这三角形的面积.

    image-20210529135100335

      n = A B → × A C → = ∣ i j k 1 2 0 0 2 − 1 ∣ = ( − 2 , 1 , 2 ) . ∣ n ∣ = ( − 2 ) 2 + 1 2 + 2 2 = 3  (1)  n 0 = ± ( − 2 3 , 1 3 , 2 3 )  (2)  S = 1 2 ∣ A B → × A C → ∣ = 3 2 \begin{aligned} \text { } n =\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}&=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right| \\ &=(-2,1,2) . \\ \end{aligned}\\ |n| =\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+2^{2}}=3 \\ \text { (1) } n^{0}=\pm\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \\ \text { (2) } S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\frac{3}{2}  n=AB ×AC =i10j22k01=(2,1,2).n=(2)2+12+22 =3 (1) n0=±(32,31,32) (2) S=21AB ×AC =23

    参考

    空间解析几何_国防科技大学

    北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版)

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算向量积可以被定义为: 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所...

    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算

    向量积可以被定义为:

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    向量积的模(长度)在数值上等于,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S:

    a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:

    其中i,j,k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。

    tips:空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是

    因为是二维三角形,所以az,bz=0,所以:

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  • 向量 数量积vs向量积

    2019-09-15 13:19:43
    向量 数量积vs向量积 数量积 向量积 别称 内积、点积 外积、叉积 运算结果 结果为标量 结果为向量 ...

    向量 数量积vs向量积

     

     

    数量积

    向量积

    别称

    内积、点积

    外积、叉积

    运算结果

    结果为标量

    结果为向量

    公式

    a·b=|a||b|cos()

    |a×b|=|a||b|sin(),方向准守右手定则

    几何意义

    向量a在向量b方向上的投影与向量b的模的乘积

    平行四边形面积

    坐标运算

    a·b=a1b1+a2b2+……+anbn

    a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]

    转载于:https://my.oschina.net/chunquedong/blog/863237

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  • 向量积

    千次阅读 2017-12-19 12:35:13
    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观...

    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观描述一般都是通过图例来实现的,这里就不免俗了,毕竟存在的就是合理的。

    1. 直观描述
      所谓图例说明,也就是用二维或者三维空间的东西来表示通用的概念。那么我们看下图。



      如图所示,三维空间中,向量a、b,夹角是θ,则向量积a×b的结果为一个向量,该向量的模为:
      |a×b|=|a||b|sinθ

      向量的方向遵守“右手定则”,即四指延向量积第一向量向第二向量劣角(小于180度的角)方向旋转,拇指伸直方向即为结果向量方向。上图中给出了a×b和b×a的结果向量,可见二者模相同,方向相反。
    2. 数学描述
      用一般化数学语言描述向量积,以三维空间为例,设在三个坐标轴上的单位向量分别为i、j、k,向量a表达式为(x,y,z),向量b的表达式为(p,q,r),则向量积可以表示为以下行列式的形式。
      a×b=ixpjyqkzr

      对于二维空间(平面)上的向量,在计算向量积时,需要将其扩展到三维空间(即第三维补0),即可应用以上公式计算。
    3. 向量积的性质

      • 模:三维空间中,向量积的模即为两个向量组成平行四边形的面积。
      • 代数规则:
        反交换律:a×b=-b×a
        加法分配率:a×(b+c) = a×b+a×c
        兼容标量乘法:(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)
        雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0
        拉格朗日公式:(a×b)×c = b(a∙c)-a(b∙c) ; a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)
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  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:
  • 空间向量坐标运算

    千次阅读 2016-01-22 16:24:39
    空间一点P的坐标的确定可以按如下方法:过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面),分别与坐标轴交于A、B、C三点,|x|=OA,|y|=OB,|z|=OC,当与i方向相同时,x>0,反之x同理确定y、z.点P
  • 向量的三重积公式是经常会在向量代数中使用到的恒等式,它的表达形式如下所示:a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\...
  • 本文参考自:点击打开链接 利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积 包含详细证明方法
  • 向量积计算

    千次阅读 2018-12-04 20:45:21
    在线性代数、计算几何中,向量是一种十分重要的运算。 给定两个n维向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn),求点a·b=a1b1+a2b2+...+anbn。 输入: 第一行是一个整数n。1 <= n <= 1000。 ...
  • 向量积(叉积)及其计算

    万次阅读 2016-06-24 16:46:15
    向量积(叉积)及其计算 向量积  a x b = (^n) * |a| * |b| * sin,  其中^n是同时垂直于a/b且符合右手定则的单位向量。  若已知向量a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz); 则 a x b = (ay * bz ...
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...
  • 利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积: 向量的数量积和向量积: (1)向量的数量积 (1)向量的向量积 两个向量a和b的叉积(向量积)可以被定义为: 在这里θ表示两向量之间的角夹角(0° ...
  • 设两向量分别为 α 和 β, ... 通过公式我们可以发现,两个向量的数量就是一个数量。  数量又称为点或者内。  ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中,设 α = (a1, a2, a3), β = (b1, b2, b3),  ...
  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量(点乘) 公式 ...a和b的点(点乘)公式为: ...向量的几何意义及用途 ...表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...
  • 向量坐标相乘的计算算法

    千次阅读 2021-03-18 15:53:37
    向量相乘分数量积、向量积两种: 向量 a = (x, y, z), 向量 b = (u, v, w), 数量积 (点积): a·b = xu+yv+zw 向量积 (叉积): a×b = |i j k| |x y z| |u v w| 向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),...

空空如也

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向量积的坐标运算公式