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  • 向量积 和 它的计算_7

    2019-03-03 19:08:44
    向量积的计算 什么是向量积? 还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积。 向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。 从几何角度看,两个向量v 和...

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    什么是向量积?

    向量积的定义

    向量积的计算


    什么是向量积?

    还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积

    向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。

    从几何角度看,两个向量v 和 w 的向量积,是与 v 和 w 都正交的向量:

     以下是求大小,sin\theta是 v 和 w 的夹角:

    请注意,这里和点积不一样,向量积的输出是向量,不是数字。

     

     

    向量积的定义

    我们来仔细看看定义:

    请注意,如果 \theta 为 0 或 \pi(即 0 或 180°),那么向量积的大小将为0。如图:

    换句话说,两个平行向量的向量积是 零向量。

    此外,如果 v 或 w 是零向量,那么向量积也是零向量:

    假设不是以上那些特殊情形,注意:实际上,有两个向量满足到目前为止的几何描述。

    这两个蓝色的向量相互之间是负数:

    为了判断要使用哪个向量,我们采用右手规则。如图:

    右手规则,原理如下:

    如果向量积是 v x w 想象右手大拇指指向 v 的方向,右手食指指向 w 的方向,然后伸出右手中指,中指所指的方向就是向量积的方向,所以这里是向上的。

    请注意:如果我们将向量积交换为 w x y,那么使用右手规则将得出指向下方的向量。这样可以给出等式:

    因为交换乘法顺序会使积变成负数,我们称向量积为反交换的与可交换的点积对立。交换点积顺序不会影响结果。

     

     

    向量积的计算

    上图的几何公式的结果可以从 v 和 w 形成的平行四边形中看出。如图:

    向量 v 的长度是平行四边形的底:

    平行四边形的高是这个线段:

     根据三角恒等式 sin\theta 等于对边除以斜边,换句话说,w的长度 乘以 sin\theta 等于 平行四边形的高度:

    平行四边形的面积是 底 乘以 高:

    另外一个值得注意的现象: v 和 w形成的这个三角形的面积正好是整个平行四边形面积的一半:

    也就是该三角形的面积等于:

    这些规律很不错,但是没有实用的向量积公式,所有这些规律都用处不大!

    所以,我们先写出公式:

    我们使用一些数字:

    检查我们的答案是否算得正确,我们使用结果和向量v 和w的是否正交,正交则得零:

    我们还可以使用向量积算出 v 和 w形成的平行四边形的面积。

    为此,我们需要计算向量积的大小:


    当你还不能写出自己满意的程序时,你就不要去睡觉。

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  • 展开全部数量积AB=ac+bd向量积要利用行列式若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2向量a×向量b=|e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-...

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    数量积AB=ac+bd

    向量积要利用行列式

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

    向量a×向量b= |e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k|      |a1 b1 c1|    |a2 b2 c2|  =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量

    【数量积】

    也称为标量积、点积、点乘,是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

    【坐标表示】

    已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

    【向量积】

    数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在 向量空间中向量的 二元运算。与 点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

    【性质】

    叉积的长度 | a× b| 可以解释成这两个叉乘向量 a, b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积 [ a b c] = ( a× b)· c可以得到以 a, b, c为棱的平行六面体的体积。

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  • 向量积计算三角形面积

    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,...向量积的模(长度)在数值上等于,,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S: a×b=(ay...

    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算

    向量积可以被定义为:

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    向量积的模(长度)在数值上等于,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S:

    a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:

    其中i,j,k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。

    tips:空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是

    因为是二维三角形,所以az,bz=0,所以:

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  • 向量积计算

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    给定两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn),求点积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。

    输入
    第一行是一个整数n。1 <= n <= 1000。
    第二行包含n个整数a1,a2,…,an。
    第三行包含n个整数b1,b2,…,bn。
    相邻整数之间用单个空格隔开。每个整数的绝对值都不超过1000。
    输出
    一个整数,即两个向量的点积结果。
    样例输入
    3
    1 4 6
    2 1 5
    样例输出
    36

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
    	int n,d,f,sum=0,e;
    	cin >> n;
    	int a[1000];
    	int b[1000];
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		cin >> d;   //输入每次的数值。
    		a[i] = d;
    	}
    	for(int k=1;k<=n;k++)
    	{
    		cin >> f;  //输入每次的数值。
    		b[k] = f;
    	}
    	for (int s = 1; s <= n; s++)
    	{
    		e = a[s] * b[s];  //计算向量的乘积
    		sum += e;
    	
    	}cout << sum;
    }
    
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  • 这是笔者第一篇文章,整理自笔者笔记本上一些自学内容,请各位大佬多包容~如有错误欢迎评论区指出,有问题欢迎探讨~ 注:笔者第一次使用知乎公式编辑器,直接复制LaTeX...有些公式显示很奇怪话请多刷新...
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向量积的计算