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什么是向量积？

向量积的定义

向量积的计算

什么是向量积？

还有一种常见的向量乘法，尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见，这种方法叫做 向量积。

向量积 在三维线性代数中非常有用，但无法类推到多维空间。

从几何角度看，两个向量v 和 w 的向量积，是与 v 和 w 都正交的向量：



 以下是求大小，是 v 和 w 的夹角：



请注意，这里和点积不一样，向量积的输出是向量，不是数字。

 

 

向量积的定义

我们来仔细看看定义：

请注意，如果  为 0 或 （即 0 或 180°），那么向量积的大小将为0。如图：



换句话说，两个平行向量的向量积是 零向量。

此外，如果 v 或 w 是零向量，那么向量积也是零向量：



假设不是以上那些特殊情形，注意：实际上，有两个向量满足到目前为止的几何描述。

这两个蓝色的向量相互之间是负数：



为了判断要使用哪个向量，我们采用右手规则。如图：



右手规则，原理如下：

如果向量积是 v x w 想象右手大拇指指向 v 的方向，右手食指指向 w 的方向，然后伸出右手中指，中指所指的方向就是向量积的方向，所以这里是向上的。

请注意：如果我们将向量积交换为 w x y，那么使用右手规则将得出指向下方的向量。这样可以给出等式：



因为交换乘法顺序会使积变成负数，我们称向量积为反交换的与可交换的点积对立。交换点积顺序不会影响结果。



 

 

向量积的计算

上图的几何公式的结果可以从 v 和 w 形成的平行四边形中看出。如图：



向量 v 的长度是平行四边形的底：



平行四边形的高是这个线段：



 根据三角恒等式  等于对边除以斜边，换句话说，w的长度 乘以  等于 平行四边形的高度：



平行四边形的面积是 底 乘以 高：



另外一个值得注意的现象： v 和 w形成的这个三角形的面积正好是整个平行四边形面积的一半：



也就是该三角形的面积等于：



这些规律很不错，但是没有实用的向量积公式，所有这些规律都用处不大！

所以，我们先写出公式：



我们使用一些数字：



检查我们的答案是否算得正确，我们使用结果和向量v 和w的是否正交，正交则得零：



我们还可以使用向量积算出 v 和 w形成的平行四边形的面积。

为此，我们需要计算向量积的大小：



当你还不能写出自己满意的程序时，你就不要去睡觉。

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数量积AB=ac+bd
向量积要利用行列式
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b= |e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k|      |a1 b1 c1|    |a2 b2 c2|  =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量
【数量积】
也称为标量积、点积、点乘，是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
【坐标表示】
已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【向量积】
数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在 向量空间中向量的 二元运算。与 点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
【性质】
叉积的长度 | a× b| 可以解释成这两个叉乘向量 a, b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积 [ a b c] = ( a× b)· c可以得到以 a， b， c为棱的平行六面体的体积。

向量积：数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。

向量积可以被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）



向量积的模（长度）在数值上等于，，及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积，根据向量积的意义，可得三角形ABC的面积S：







a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成：



其中i，j，k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

这三个向量的特例就是i=（1，0，0），j=（0，1，0），k=（0，0，1）。

即：



tips：空间向量(x,y,z)，其中x,y,z分别是三轴上的坐标，模长是

即：



因为是二维三角形，所以az，bz=0，所以：

向量点积计算
在线性代数、计算几何中，向量点积是一种十分重要的运算。
给定两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，求点积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
输入

第一行是一个整数n。1 <= n <= 1000。

第二行包含n个整数a1,a2,…,an。

第三行包含n个整数b1,b2,…,bn。

相邻整数之间用单个空格隔开。每个整数的绝对值都不超过1000。

输出

一个整数，即两个向量的点积结果。

样例输入

3

1 4 6

2 1 5

样例输出

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#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n,d,f,sum=0,e;
	cin >> n;
	int a[1000];
	int b[1000];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> d;   //输入每次的数值。
		a[i] = d;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		cin >> f;  //输入每次的数值。
		b[k] = f;
	}
	for (int s = 1; s <= n; s++)
	{
		e = a[s] * b[s];  //计算向量的乘积
		sum += e;
	
	}cout << sum;
}