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向量积 和 它的计算_7
2019-03-03 19:08:44向量积的计算 什么是向量积? 还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积。 向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。 从几何角度看,两个向量v 和...目录
什么是向量积?
还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积。
向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。
从几何角度看,两个向量v 和 w 的向量积,是与 v 和 w 都正交的向量:
以下是求大小,
是 v 和 w 的夹角:
请注意,这里和点积不一样,向量积的输出是向量,不是数字。
向量积的定义
我们来仔细看看定义:
请注意,如果
为 0 或
(即 0 或 180°),那么向量积的大小将为0。如图:
换句话说,两个平行向量的向量积是 零向量。
此外,如果 v 或 w 是零向量,那么向量积也是零向量:
假设不是以上那些特殊情形,注意:实际上,有两个向量满足到目前为止的几何描述。
这两个蓝色的向量相互之间是负数:
为了判断要使用哪个向量,我们采用右手规则。如图:
右手规则,原理如下:
如果向量积是 v x w 想象右手大拇指指向 v 的方向,右手食指指向 w 的方向,然后伸出右手中指,中指所指的方向就是向量积的方向,所以这里是向上的。
请注意:如果我们将向量积交换为 w x y,那么使用右手规则将得出指向下方的向量。这样可以给出等式:
因为交换乘法顺序会使积变成负数,我们称向量积为反交换的与可交换的点积对立。交换点积顺序不会影响结果。
向量积的计算
上图的几何公式的结果可以从 v 和 w 形成的平行四边形中看出。如图:
向量 v 的长度是平行四边形的底:
平行四边形的高是这个线段:
根据三角恒等式
等于对边除以斜边,换句话说,w的长度 乘以
等于 平行四边形的高度:
平行四边形的面积是 底 乘以 高:
另外一个值得注意的现象: v 和 w形成的这个三角形的面积正好是整个平行四边形面积的一半:
也就是该三角形的面积等于:
这些规律很不错,但是没有实用的向量积公式,所有这些规律都用处不大!
所以,我们先写出公式:
我们使用一些数字:
检查我们的答案是否算得正确,我们使用结果和向量v 和w的是否正交,正交则得零:
我们还可以使用向量积算出 v 和 w形成的平行四边形的面积。
为此,我们需要计算向量积的大小:
当你还不能写出自己满意的程序时,你就不要去睡觉。
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数量积AB=ac+bd
向量积要利用行列式
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b= |e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量
【数量积】
也称为标量积、点积、点乘,是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
【坐标表示】
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
【向量积】
数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在 向量空间中向量的 二元运算。与 点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
【性质】
叉积的长度 | a× b| 可以解释成这两个叉乘向量 a, b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积 [ a b c] = ( a× b)· c可以得到以 a, b, c为棱的平行六面体的体积。
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向量积计算三角形面积
2020-02-09 17:57:33向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,...向量积的模(长度)在数值上等于,,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S: a×b=(ay...向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。
向量积可以被定义为:
模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)
向量积的模(长度)
在数值上等于
,
,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S:
a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:
其中i,j,k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。
即:
tips:空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是
即:
因为是二维三角形,所以az,bz=0,所以:
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在线性代数、计算几何中,向量点积是一种十分重要的运算。
给定两个n维向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn),求点积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
输入
第一行是一个整数n。1 <= n <= 1000。
第二行包含n个整数a1,a2,…,an。
第三行包含n个整数b1,b2,…,bn。
相邻整数之间用单个空格隔开。每个整数的绝对值都不超过1000。
输出
一个整数,即两个向量的点积结果。
样例输入
3
1 4 6
2 1 5
样例输出
36#include<iostream> using namespace std; int main() { int n,d,f,sum=0,e; cin >> n; int a[1000]; int b[1000]; for(int i=1;i<=n;i++) { cin >> d; //输入每次的数值。 a[i] = d; } for(int k=1;k<=n;k++) { cin >> f; //输入每次的数值。 b[k] = f; } for (int s = 1; s <= n; s++) { e = a[s] * b[s]; //计算向量的乘积 sum += e; }cout << sum; }
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