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  • 展开全部数量积AB=ac+bd向量积要利用行列式若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),则向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2向量a×向量b=|e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k| |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| =(b1c2-...

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    数量积AB=ac+bd

    向量积要利用行列式

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则 向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

    向量a×向量b= |e68a8462616964757a686964616f31333363396364 i j k|      |a1 b1 c1|    |a2 b2 c2|  =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量

    【数量积】

    也称为标量积、点积、点乘,是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

    【坐标表示】

    已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

    【向量积】

    数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在 向量空间中向量的 二元运算。与 点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。

    【性质】

    叉积的长度 | a× b| 可以解释成这两个叉乘向量 a, b共起点时,所构成平行四边形的面积。据此有:混合积 [ a b c] = ( a× b)· c可以得到以 a, b, c为棱的平行六面体的体积。

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  • 这是笔者第一篇文章,整理自笔者笔记本上一些自学内容,请各位大佬多包容~如有错误欢迎评论区指出,有问题欢迎探讨~ 注:笔者第一次使用知乎的公式编辑器,直接复制LaTeX...有些公式显示很奇怪话请多刷新...

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    这是笔者的第一篇文章,整理自笔者笔记本上一些自学的内容,请各位大佬多包容~

    如有错误欢迎评论区指出,有问题欢迎探讨~

    注:笔者第一次使用知乎的公式编辑器,直接复制的LaTeX...有些公式显示很奇怪的话请多刷新一下页面,就会正常显示了(有大佬能解释一下原因吗....)

    导语

    在物理学中,我们知道带电粒子在磁场中运动所受到的力,叫做洛伦兹力,课本给出如下定义:

    ,其中为q粒子的电荷量,B为磁感应强度,v为粒子运动速度,方向由左手定则确定。我们知道,粒子的电荷量q是标量,磁感应强度B、粒子运动速度v是矢量,那么其“运算”的结果数量积不就应该是一个实数吗?但是洛伦兹力F也是一个矢量,实际上,此处运算不是向量的数量积
    B·v,而是向量的向量积B × v(即为向量的叉乘)。

    1.向量的向量积

    首先,向量的向量积是向量在空间上的运算,其定义如下:

    对于空间向量a、b

    表示垂直于
    ab所决定的平面的向量,方向由右手法则确定,且其模长满足有

    高考并不会涉及涉及向量积,对于右手法则不多说明,上图

    43a66d5ffe590630ab91ab31d7367ad8.png
    图片来源:wiki

    显然,

    可以表示为空间向量
    ab所确定平面的法向量

    根据定义,不要混淆以下概念:

    向量的向量积是向量。

    向量的向量积的模长是实数。

    向量积有如下的简单性质和运算规律:

    有兴趣的读者可以留作习题,自行证明~

    在空间直角坐标系中, i,j, k为相互垂直的基向量,若

    ,显然有

    利用行列式解法,我们可以解得有

    即有

    事实上,

    在这里行列式运算不做介绍,读者只需知道以下运算即可

    向量c的坐标已经确定,这也就是部分资料、老师所谓的立体几何秒写法向量的方法(PS:考试还是列方程赋值求法向量吧~)

    2.向量积的模长与四边形面积

    在向量积的定义中,a × b的模长为

    ,容易知道其几何意义为以
    a , b为邻边的平行四边形的面积。我们以此来推导向量积模长的坐标运算。

    ba6f4e70ebc60a92d454f08ead18517c.png
    绘图:GeoGebra

    a , b所在的平面中,不妨设

    ,则有
    ,即
    .

    B到OA的距离

    ,即有

    由此我们得到了向量积模长的在平面内的坐标运算公式

    显然,

    ,即为两平面向量共线的充要条件。

    当然,我们也可以用向量的数量积来推导

    从这里我们也可以知道,平面直角坐标系内已知三角形三顶点的坐标,可以先求两边的向量,然后利用向量积的膜长公式计算(平行四边形面积的一半)。而对于凸多边形,我们也可以将其分割成三角形,进行计算,这里推荐一篇文章:

    双木止月Tong:【国际数学竞赛】任意多边形面积计算公式zhuanlan.zhihu.com
    23caf1938ee24128a017c33f9bba75e1.png

    如果是在立体几何中,我们同样可以利用向量的向量积的模长的几何意义,来求空间中的三角形或者平行四边形的面积,这里就需要先求向量积的坐标,再求其模长

    我们可以将平行四边形的面积公式进一步推广,对于任意的凸四边形ABCD,连接其对角线,通过平移我们可以得到平行四边形EFGH,通过将四边形ABCD沿着任意对角线分割成两个三角形,可以得到

    .

    可以得到任意凸四边形的面积公式

    3b468af8d4f2bd038af4dc03acc618aa.png
    绘图:GeoGebra(这个公式也可以通过两三角形的高的和是平行线间的距离快速推出)

    我们不妨设四边形ABCD的四个顶点的坐标为

    ,
    ,
    ,
    .设对角线AC所在的直线为
    ,BD所在的直线为
    ,则
    的方向向量可以为
    的方向向量可以为
    .则有

    则有

    ,

    即有

    若是在涉及圆锥曲线解析几何大题里面,显然我们已经可以用应用韦达定理来解决问题了(或者直接联立代入

    ),如果反设斜率(
    ),也可以有类似的结论

    具体题目具体分析,能够提高做题效率.正设反设相结合的情况读者也可以按照类似的方法自行推出

    来到水题试一试

    已知椭圆
    ,A,B分别为椭圆的右端点,上顶点,直线
    交椭圆于C,D两点,求四边形ABCD面积的最大值.

    常规思路的话要么求C,D坐标爆算,要么算A,B到l的距离和,如果运用上述结论

    这里容易求得

    ,

    ,当且仅当
    时等号成立.

    题图是向量的混合积,有兴趣的读者可以自行拓展阅读~

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  • 与图像关系等熟练掌握这部分内容后,就可以经常脱离图像,单纯做数学计算来解决几何问题了向量的数量(点乘)很容易理解,向量的加减法就是沿着坐标轴方向平移变换那么向量的乘法是怎么运算呢?又是什么几何.....

    上篇讲了向量的基本概念和简单的加减运算,这部分的数学运算与几何图形变换之间的联系是非常直观的,理解起来非常容易

    本篇讲的内容在数学运算与几何图形变换之间的联系不那么直观,需要花功夫反复琢磨运算的数学意义,与图像的关系

    等熟练掌握这部分内容后,就可以经常脱离图像,单纯做数学计算来解决几何问题了

    向量的数量积(点乘)

    很容易理解,向量的加减法就是沿着坐标轴方向的平移变换

    那么向量的乘法是怎么运算呢?又是什么几何意义呢

    1.1 余弦定理

    回顾下余弦定理:

    对△ABC,

    角A、B、C分别为边a、b、c的对角

    我们把△ABC放在坐标系里,设A

    B
    C

    ab7fbaf7d413e16aea1bf670bbeba41e.png

    则:向量AB=

    , 向量BA=

    向量BC=

    , 向量CB=

    向量CA=

    , 向量AC=

    则:c=|向量AB|=|向量BA|=

    a=|向量BC|=|向量CB|=

    b=|向量CA|=|向量AC|=

    代入余弦定理:

    cosC=

    把分子上的a、b、c分别代入坐标:

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    1.2 向量的数量积(点乘)

    我们规定,两个向量

    的数量积为

    也就是横坐标相乘,加上 纵坐标相乘

    1.1中最后的

    也就是向量AC与向量BC的数量积

    求向量的数量积又叫作点乘

    它的运算符号是个点

    ,不能用叉
    ,叉乘是另一种运算,大学再学

    1.3 向量数量积的几何含义

    向量的数量积表示什么含义呢?

    从1.1余弦定理的推导式中可知:

    cosC=

    =

    =

    把右边的分母移到等号另一边可得:

    向量AC与向量BC的数量积,等于向量AC的模,乘以向量BC的模,乘以两向量夹角的余弦

    0c75c0fc3890cb25714505efaa013e4f.png

    从图中很容易看出,它的几何意义是:当这两个向量有共同的起点时,其中一个向量在另一个向量方向上投影的模,与另一个向量的模的乘积

    向量是可以随意平移的,所以它们肯定可以有共同的起点,这样它们就可以构成一个三角形

    向量AC在向量BC方向上投影(蓝色加粗线段)的大小乘以向量BC的大小

    与向量BC在向量AC方向上投影(红色加粗线段)的大小乘以向量AC的大小是相等的!

    两个向量的数量积点乘得到结果是个数!不是向量!这个数是有正负号的!

    1.4 实际运算举例

    把上述抽象的例子赋予具体的数值来更加直观了解下

    a76cae1477ee2ebed80026879af1fffb.png

    A(1,3), B(3,1), C(-2,-2)

    向量AC=(-2-1,-2-3)=(-3,-5)

    向量BC=(-2-3,-2-1)=(-5,-3)

    向量AB=(3-1,1-3)=(2,-2)

    |向量AC|=

    |向量BC|=

    |向量AB|=

    根据向量数量积的定义:

    向量AC · 向量BC

    =|向量AC|*|向量BC|*cosC

    =|向量AC|*|向量BC|*(

    )/(2|向量AC|*|向量BC|)

    =(

    )/2

    =(34+34-8)/2

    =30

    根据向量数量积的运算定义:

    向量AC · 向量BC

    =(-3)*(-5)+(-5)*(-3)

    =30

    可见二者结果是相同的

    直接用数量积运算要简便得多

    1.5 向量数量积的运算法则

    现在根据点乘的定义

    来简单讨论下点乘的运算法则

    数字的乘法有交换律、结合律和分配律,那么点乘呢?

    (1)交换律

    可见向量的点乘是符合乘法交换律的

    此处中间步骤用到了数字乘法的交换律

    (2)乘法结合率

    向量的点乘不存在结合率

    假设有三个向量OA,PB,QC

    假设OA·PB得到数字X,那么数字X与向量QC相乘得到的是向量QC方向上的某个向量

    假设PB·QC得到数字Y,那么数字Y与向量OA相乘得到的是向量OA方向上的某个向量

    得到的结果通常是两个不同的向量

    因为点乘得到的是个数值,这个数值再与第三个向量相乘,最终结果是个向量,它的方向只由第三个向量决定

    向量的点乘不存在结合率,也没有任何几何意义

    举个具体例子,向量(2,1) (1,-3) 和 (-2, -2)

    顺序一:

    (2,1) · (1,-3)=2*1+1*(-3)=-1

    -1* (-2, -2)=(2, 2)

    顺序二:

    (1,-3) · (-2, -2)=1*(-2)+(-3)*(-2)=4

    4*(2,1)=(8, 4)

    (3)乘法分配律

    向量的点乘对分配律是成立的

    证明如下:

    可以看出二者是相同的,因此:

    由于点乘满足交换律,因此也有:

    1.6 向量数量积的应用

    向量数量积的应用非常有限的,但是每个都极其好用!

    应用(1)求两个向量的夹角

    根据数量积的几何含义:

    向量a · 向量b=|向量a|*|向量b|*cos(向量a,向量b)

    和定义:

    向量a · 向量b=

    可以很轻松求得向量a和向量b的夹角:

    cos(向量a,向量b)=

    =

    要注意的是,分母肯定是正数,分子可能是零和负数

    分子为零时两个向量垂直

    分子为正数时两个向量夹角为锐角

    分子为负数时两个向量夹角为钝角

    基本的三角函数性质不会忘记了吧???

    这个公式要烂熟于心,不是死记硬背公式,而是要牢记数量积的几何意义和运算法则

    应用(2):判断两个向量垂直

    若两条直线垂直,它们的夹角就是π/2(尽量熟悉弧度,少用度数),cos(π/2)=0

    因此,两个向量垂直,与它们的数量积为零是等价的

    也就是说,如果两个向量垂直,那么它们的数量积一定为0!

    如果两个向量的数量积为0,那么它们一定垂直!

    从几何意义上很容易理解,如果两个向量垂直,那么从一条直线向另一条引垂线,就是它本身,投影就只有交点一个点,大小为0

    这在解析几何中是非常有用的性质,会经常用到,现在由于是初学向量可能暂时体会不到,以后会的

    小结

    要牢记:向量的数量积的运算定义,也就是:

    横坐标乘以横坐标,纵坐标乘以纵坐标,再相加


    向量的数量积,结果是个数,不再是向量,因此不能使用结合律

    平面向量的分解

    上篇在引入向量时,曾经简单地提到了“坐标系”,为了方便起见使用其中较为特殊的平面直角坐标系

    事实上,任意一堆互相不平行的向量,都可以组成一组坐标系

    我们常用的坐标系是以“1”为单位长,取互相垂直的两个方向为坐标方向

    如果我们不以“1”而以其他长度为单位长,以其他任意两个不同也不相反的方向为坐标方向,也可以形成坐标系

    在这个坐标系中,任意的给定向量,都是可以用一对坐标唯一确定表示的

    就如同在直角坐标系中一样

    实际生活中这样的例子不少,比如北京的地图道路是方方正正的,就很像直角坐标

    而上海的很多地方道路并不是正南正北,角度也不是直角

    6766fe838bbbcbfc324cb99090bb3432.png

    如上图,我们以东南向的世纪大道为坐标轴a,1km为该坐标轴的单位长

    以东偏北一点的潍坊路为坐标轴b,500m为该坐标轴的单位长

    如果想要从起点世纪大道站前往终点上海科技馆

    则需要沿着坐标轴a走2个单位(2km),再沿着坐标轴b走-0.6个单位(-300m)

    该向量就是(2,-0.6)

    如果可以不受地形限制,用正南北和正东西的坐标系要方便得多

    但是这样的道路导致了只能用非正交的坐标系

    当然,单位长度是可以用更方便的,比如都用1m

    下面来举个抽象的一般性的例子

    如下图所示:

    0c8171aefa57c8c787ffd01ee1032ce8.png

    我们规定p(3,1) q(1,3)为坐标轴,那么原直角坐标系中的向量都可以用形如

    xp+yq的形式唯一表示

    比如 (4,4)=1*p+1*q

    (8, -16)=5*p+(-7)*q

    对任意的原坐标

    这里我们只需要联立解二元一次方程组:

    求出x,y即可得到

    在p、q为基础向量的新坐标(x,y)

    如果p、q互相平行,就回到一维的坐标轴了,就不是二维的坐标了,因此无法表示二维向量

    总结

    把平面几何坐标化,运用代数的方法解决几何问题是非常有力的数学工具

    只要计算能力足够强,通常的平面几何全部都可以用解析几何解决

    这里只是初步入门解析几何,对坐标系的建立、向量的含义和平移变换、数量积的数学计算和几何意义要非常熟悉才行

    这里仅仅是入门

    真正难的和有用的还在后面

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    炫云:线性代数4——向量3(叉积)

    炫云:线性代数3——向量2(点积)

    炫云:线性代数2——向量1(向量简介)

    预备知识 矢量的叉乘
       我们定义以下运算


    为矢量
    混合积. 混合积满足

    这个公式可由图 1记忆.

    ea5eaccdeb5017bdb2e8ecc220de77b9.png
    图 1:式 2 记忆法


       图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关, 即

    .如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律). 式 2与式 3互为相反数

       注意即使将混合积省略括号记为
    或者
    也应该理解为先叉乘后内积.
    没有定义, 因为矢量不能叉乘标量.
    几何法证明

    7a96d24523a76d5e4528b432d6ffe9a8.png
    图 2:矢量混合积的几何意义


       如图 2, 以三个矢量为棱作平行六面体. 可知

    就是
    所在平行四边形的面积. 令
    , 则
    为平面的法向量, 平行六面体的高为
    , 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高

    同理可得对于同一平行六面体

    这里只证明了式 2的绝对值, 要证明正负号, 定义
    为负值即可.

    代数法证明

    预备知识 行列式
       不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式


    而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2.
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  • 叉乘(向量积)1.定义2.叉乘几何意义一.点乘(内积)1.定义向量点乘,也叫向量内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位置相乘之后求和操作,点乘结果是一个标量。2.举例对于向量a和向量b:...
  • 外积、向量积、叉乘")为该平面法向量。 根据两向量相乘前后顺序计算得到两个方向相反法向量。用公式表示为: 平面内两非平行法向量:a, b (c为法向量) a×b = c b×a = -c 上式合并即为: a×b = -b×a ...

空空如也

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向量积的计算公式