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  • 向量积计算三角形面积

    千次阅读 2020-02-09 17:57:33
    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。 向量积可以被定义为: 模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所...

    向量积:数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算

    向量积可以被定义为:

    模长:(在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。)

    向量积的模(长度)在数值上等于,及其夹角θ组成的平行四边形的面积。所以求三角形ABC的面积,根据向量积的意义,可得三角形ABC的面积S:

    a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k,为了帮助记忆,利用三阶行列式,写成:

    其中i,j,k是三个相互垂直的单位向量。它们刚好可以构成一个坐标系。

    这三个向量的特例就是i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)。

    tips:空间向量(x,y,z),其中x,y,z分别是三轴上的坐标,模长是

    因为是二维三角形,所以az,bz=0,所以:

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  • 数学----向量积公式推导

    万次阅读 多人点赞 2019-03-10 09:52:01
    向量的点有两种形式的定义,代数定义和几何定义。 一 几何定义: 向量:a·b=|a||b|cosα 注意:该定义只对2维3维空间有效。 二 代数定义: 设二维空间内有两个向量和,定义它们的数量(又叫内、点...

    向量的点积有两种形式的定义,代数定义和几何定义。

    一  几何定义:

    向量点积:a·b=|a||b|cosα

    注意:该定义只对2维3维空间有效。

    二 代数定义:

    设二维空间内有两个向量  和  ,定义它们的数量积(又叫内积、点积)为以下实数:

    更一般地,n维向量的内积定义如下: [1] 

    三 定义间的推导

    1 几何定义推导代数定义

    2 代数定义推导几何定义


     

    向量将代数与几何进行了统一。向量可以将代数问题转化为几何问题,几何问题转化为代数问题。

    四 点积的用途:

    向量的点积与它们夹角的余弦成正比,因此在聚光灯的效果计算中,可以根据点积来得到光照效果,如果点积越大,说明夹角越小,则物体离光照的轴线越近,光照越强。

    参考资料:

                 向量点乘(内积)和叉乘(外积、向量积)概念及几何意义解读(经典)

                 数学----三角形余弦定理证明

                 两点间距离公式

                 点积

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  • 向量积(叉积)及其计算

    万次阅读 2016-06-24 16:46:15
    向量积(叉积)及其计算 向量积  a x b = (^n) * |a| * |b| * sin,  其中^n是同时垂直于a/b且符合右手定则的单位向量。  若已知向量a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz); 则 a x b = (ay * bz ...

         昨晚想起叉积,竟然没印象了,在网上看了一下,转载出来

    ~ 向量积(叉积)及其计算


    向量积

     a x b = (^n) * |a| * |b| * sin<a, b>, 

    其中^n是同时垂直于a/b且符合右手定则的单位向量。


           若已知向量a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz);
    则 a x b = (ay * bz - by * az, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx);
    可以把i, j, k和a,b的坐标分别循环写成一行如下:
    i ~~~~ j ~~~~ k ~~~~ i ~~~~ j ...
    ax ~~ ay ~~~ az ~~~~ ax ~~~~ ay ...

    bx ~~ by ~~~ bz ~~~~ bx ~~~~ by ..

    斜向右下方向可以找出三条线分别串起
    i-ay-bz, j-az-bx, k-ax-by
    斜向左下方向可以找出三条线分别串起

    i-az-by, j-ax-bz, k-ay-bx


          将每条线中的三个数相乘,(前三条线的和)减去(后三条线的和),就是向量a, b的叉积。
          如果向量是二维的(e. g. a = (ax, by) , b = (bx, by) ),那么

    a x b = ax * by - ay * bx = |a| * |b| * sin<a, b>

    可以用来判断两条线段之间的夹角是顺时针还是逆时针的。
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  • 向量积 和 它的计算_7

    千次阅读 2019-03-03 19:08:44
    向量积计算 什么是向量积? 还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。 从几何角度看,两个向量v 和...

    目录

    什么是向量积?

    向量积的定义

    向量积的计算


    什么是向量积?

    还有一种常见的向量乘法,尤其在工程 物理 和 计算图形 领域很常见,这种方法叫做 向量积

    向量积 在三维线性代数中非常有用,但无法类推到多维空间。

    从几何角度看,两个向量v 和 w 的向量积,是与 v 和 w 都正交的向量:

     以下是求大小,sin\theta是 v 和 w 的夹角:

    请注意,这里和点积不一样,向量积的输出是向量,不是数字。

     

     

    向量积的定义

    我们来仔细看看定义:

    请注意,如果 \theta 为 0 或 \pi(即 0 或 180°),那么向量积的大小将为0。如图:

    换句话说,两个平行向量的向量积是 零向量。

    此外,如果 v 或 w 是零向量,那么向量积也是零向量:

    假设不是以上那些特殊情形,注意:实际上,有两个向量满足到目前为止的几何描述。

    这两个蓝色的向量相互之间是负数:

    为了判断要使用哪个向量,我们采用右手规则。如图:

    右手规则,原理如下:

    如果向量积是 v x w 想象右手大拇指指向 v 的方向,右手食指指向 w 的方向,然后伸出右手中指,中指所指的方向就是向量积的方向,所以这里是向上的。

    请注意:如果我们将向量积交换为 w x y,那么使用右手规则将得出指向下方的向量。这样可以给出等式:

    因为交换乘法顺序会使积变成负数,我们称向量积为反交换的与可交换的点积对立。交换点积顺序不会影响结果。

     

     

    向量积的计算

    上图的几何公式的结果可以从 v 和 w 形成的平行四边形中看出。如图:

    向量 v 的长度是平行四边形的底:

    平行四边形的高是这个线段:

     根据三角恒等式 sin\theta 等于对边除以斜边,换句话说,w的长度 乘以 sin\theta 等于 平行四边形的高度:

    平行四边形的面积是 底 乘以 高:

    另外一个值得注意的现象: v 和 w形成的这个三角形的面积正好是整个平行四边形面积的一半:

    也就是该三角形的面积等于:

    这些规律很不错,但是没有实用的向量积公式,所有这些规律都用处不大!

    所以,我们先写出公式:

    我们使用一些数字:

    检查我们的答案是否算得正确,我们使用结果和向量v 和w的是否正交,正交则得零:

    我们还可以使用向量积算出 v 和 w形成的平行四边形的面积。

    为此,我们需要计算向量积的大小:


    当你还不能写出自己满意的程序时,你就不要去睡觉。

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  • python实现向量积运算

    2021-07-19 21:22:06
    即list1[0]乘以list2[0]然后相加并且以此类推 ist1 = [111,222,333,444,555,666,777,888,999] list2 = [999,777,555,333,111,888] count = 0 for i in range(100): #为了防止两个列表长度不一致 ...
  • 投影向量计算公式的推导

    万次阅读 2019-05-19 12:14:19
    在R3R^3R3中,将向量β\betaβ投影到向量α\alphaα上的投影向量记为Πα(β)\Pi_{\alpha}(\beta)Πα​(β)。 如上图,Πα(β)\Pi_{\alpha}(\beta)Πα​(β)与α\alphaα共线,于是, Πα(β)=xe,(1)\Pi_{\...
  • 向量积计算

    千次阅读 2018-12-04 20:45:21
    在线性代数、计算几何中,向量是一种十分重要的运算。 给定两个n维向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn),求点a·b=a1b1+a2b2+...+anbn。 输入: 第一行是一个整数n。1 &lt;= n &lt;= 1000。 ...
  • 向量的三重积公式是经常会在向量代数中使用到的恒等式,它的表达形式如下所示:a⃗×(b⃗×c⃗)=(a⃗⋅c⃗)b⃗−(a⃗⋅b⃗)c⃗\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) = \left(\vec{a}\cdot\vec{c}\right)\...
  • 向量积

    千次阅读 2017-12-19 12:35:13
    向量积(cross product)在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到,叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候,就没有完全的数学描述,有时间看一下原版的线性代数书籍,弄的更严谨一些。直观...
  • 向量的矢量积计算

    千次阅读 2020-01-04 16:30:51
    如果已知向量向量,以及他们之间的夹角,那么按照定义它们之间的矢量数值大小为: ,其方向根据右手定则指向屏幕的内部。 这个结果的数值大小等于平行四边形的面积,理由如下: 如果已知向量a和向量b...
  • 在网上看到向量公式,大部分都只写定义,没有说明公式的推导,本文尝试进行推导,以满足各位的求知欲。
  • 向量的外和内

    2020-09-07 09:43:14
    计算公式 几何意义 两个向量之间的夹角 向量b在向量a上的投影 推导过程 外 计算公式 几何意义 两个向量构成的平面的法向量 构件三维坐标系 外在数值上等于两个向量组成平行四边形的面积 ...
  • 如何证明向量的叉积公式

    千次阅读 2019-09-03 23:20:53
    叉积是向量的两种主要运算之一。我们设两个空间三维向量分别为 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz) \bm{a}=(a_x,a_y,a_z),b=(b_x,b_y,b_z) a=(ax​,ay​,az​),b=(bx​,by​,bz​)三维向量的叉积的两种定义分别为 c=a×b=...
  • 本篇内容依然是向量的运算,只不过不属于线性运算,内容包括向量的数量积与向量积。 一、向量的数量积(内积、点乘,参与运算的是向量,结果是数) (一)问题产生的背景与表达 (二)向量数量积定义(几何) 向量...
  • 向量

    千次阅读 2017-12-22 18:03:17
    向量一般指点; 在数学中,数量(dot product; scalar product,也称为点)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内。[1]  两个向量a = [a1, a2,…, an...
  • 参考: https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 ... 1 向量(点乘) 公式 ...a和b的点(点乘)公式为: ...向量的几何意义及用途 ...表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量...
  • 运用C语言实现向量积

    千次阅读 2019-06-16 22:43:17
    今天久违的高中同学给我打了个电话,他的对象也是小学妹学的计算机,刚接触做一道简答算法题:用C语言实现向量积。哎,勉为其难的动手了。 首先自然是找公式啊,高数放弃已久只能百度: 已知:向量:u=Xu*i+Yu*j...
  • 数学的列向量积计算方法

    千次阅读 2018-03-27 10:48:30
    x=(cos x1 y=(-sinx1 sinx1) cosx1)[x,y]=cosx1*(-sinx1)+sinx1*cosx1
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b:
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组;...向量的点乘,也叫向量的内、数量,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点...
  • 数量积与向量积(点积与叉积)

    万次阅读 2013-12-23 14:58:53
    数量即点。 定义 在数学中,数量(dot product; scalar product,也称为标量、点、点乘)是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内。 两个矢量a = ...
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  • 本文参考自:点击打开链接 利用向量积(叉积)计算三角形的面积和多边形的面积 包含详细证明方法
  • 两垂直向量的外积计算 cesium.corss()函数: Cartesian3.cross = function(left, right, result) { //>>includeStart('debug', pragmas.debug); Check.typeOf.object('left', left); Check.typeOf.object('...
  • 线性代数(五十) :向量积

    千次阅读 2014-04-01 20:39:31
    线性代数(五十) :向量积
  • 向量的推导

    2016-08-06 08:11:00
    基本式 几何 對稱性: 。 線性函數:設。固定時, 而且 同樣道理,固定時, 转载于:https://www.cnblogs.com/kyostone/p/5743252.html...
  • 向量点乘相关公式推导

    万次阅读 2016-08-18 15:28:23
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  • 由于计算的是内,我们可以想到IR中的余弦相似度,如果x和z向量夹角越小,那么核函数值越大,反之,越小。因此,核函数值是 和 的相似度。 再看另外一个核函数 这时,如果x和z很相近( ),那么核函数值为...

空空如也

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向量积的计算公式