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  • a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换,分配率,与数的乘法的结合,以及垂直时为零。∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]=x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.[ i,j是x轴。y轴上...

    a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉是定义,推出交换律,分配率,与数的乘法的结合

    律,以及垂直时为零。

    ∴(x1,y1)·(x2,y2)=[x1i+y1j]·[x2i+y2j]

    =x1x2(i·i)+y1y2(j·j)+[x1y2+x2y1](i·j)=x1x2+y1y2.

    [ i,j是x轴。y轴上的单位向量。i²=1, j²=1, i·j=0 ]

    看你是要高中证明还是大学证明还是更严密的证明。

    向量有点量积、矢量积、旋量积之分。大多高中只接触个点积而已

    三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质,以代数方法证明。

    下面把向量外积定义为:

    a

    ×

    b

    =

    |a|·|b|·Sin

    b>.

    分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

    下面给出代数方法。我们假定已经知道了:

    1)外积的反对称性:

    a

    ×

    b

    =

    -

    b

    ×

    a.

    这由外积的定义是显然的。

    2)内积(即数积、点积)的分配律:

    a·(b

    +

    c)

    =

    a·b

    +

    a·c,

    (a

    +

    b)·c

    =

    a·c

    +

    b·c.

    这由内积的定义a·b

    =

    |a|·|b|·Cos

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  • 向量叉积分配简单证明

    千次阅读 2020-10-13 20:53:16
    向量叉积即向量积a×ba×ba×b,运算结果是一个向量,满足: 方向与aaa,bbb都垂直,符合右手法则; 模等于∣a∣∣b∣sinθ|a||b|sinθ∣a∣∣b∣sinθ,几何意义为以aaa,bbb为邻边的平行四边形面积大小。 坐标运算 ...

    向量叉积分配律简单证明

    引入

    叉积
    • 向量叉积即向量积a×ba×b,运算结果是一个向量,满足:
    • 方向与aa,bb都垂直,符合右手法则;
    • 模等于absinθ|a||b|sinθ,几何意义为以aa,bb为邻边的平行四边形面积大小。
    坐标运算
    • a=(m,n)a=(m,n)b=(p,q)b=(p,q)
    • a×ba×b的竖坐标=mqnp=mq-np(符号遵循右手法则)
    证明
    • a=(m,n)a=(m,n)b=(p,q)b=(p,q)
    • a=x1+y1=(m,0)+(0,n)a=x1+y1=(m,0)+(0,n)b=x2+y2=(p,0)+(0,q)b=x2+y2=(p,0)+(0,q)
    • a×ba×b的竖坐标=(x1+y1)×(x2+y2)=(x1+y1)×(x2+y2)
      =x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2=x1×x2+x1×y2+y1×x2+y1×y2
      =x1×y2+y1×x2=x1×y2+y1×x2
      =(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)=(m,0)×(0,q)+(0,n)×(p,0)
      =mqnp=mq-np
    • 问题来了,这里的证明过程中,第一步直接把括号拆开,相当于默认叉积具有分配律,那么这一定是对的吗?
    • 很多地方都没有给出证明,所以这里考虑对叉积分配律给出简单的证明。

    证明

    • 已知aa,bb,cc为平面内向量,求证:a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c.
    • 首先通过平移是向量起点重合,
    • 从几何意义入手,需要满足以a,ba,b为邻边的平行四边形面积与以a,ca,c为邻边的平行四边形面积之和等于以a,b+ca,b+c为邻边的平行四边形面积(这里的面积可能为负值),
      在这里插入图片描述
    • 显然,这么看难以证明。
    • 那可以把bb,cc投影到与aa垂直的直线上,令投影后的向量分别为bb',cc',如图:
      在这里插入图片描述
    • 由叉积的几何意义易得,a×b=a×ba×b=a×b'a×c=a×ca×c=a×c'
    • a×b+a×c=a×b+a×c=ab+ac=a(cb)a×b+a×c=a×b'+a×c'=-|a||b'|+|a||c'|=|a|(|c'|-|b'|)
      在这里插入图片描述
    • 同理又有a×(b+c)=a×(b+c)=a(b+c)a×(b+c)=a×(b+c)'=|a||(b+c)'|
    • 因为cb=(b+c)|c'|-|b'|=|(b+c)'|,所以a×b+a×c=a×(b+c)a×b'+a×c'=a×(b+c)',所以a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c
    • 得证。
    • 实际上,这样就相当于把原先的三个普通平行四边形转化为了三个矩形,便于证明。
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  • 向量运算-叉积,点

    千次阅读 2018-03-11 14:52:39
    最后的结果是一个数,满足交换,可用于算向量的长度,两个向量之间的夹角叉积最后的结果是一个向量,不满足交换,可用于计算向量围成图形的面积///点 double Dot(Vector v1,Vector v2) { return v1.x*v2....
    • 点积最后的结果是一个数,满足交换律,可用于算向量的长度,两个向量之间的夹角
    • 叉积最后的结果是一个向量,不满足交换律,可用于计算向量围成图形的面积
      ///点积
      double Dot(Vector v1,Vector v2)
      {
          return v1.x*v2.x+v1.y*v2.y;
      }
      double Length(Vector v)
      {
          return sqrt(Dot(v,v));
      }
      double Angle(Vector v1,Vector v2)
      {
          return acos(Dot(v1,v2)/Length(v1)/Length(v2));
      }
      
      ///叉积
      double Cross(Vector v1,Vector v2)
      {
          return v1.x*v2.y-v1.y*v2.x;
      }
      double Area(Vector v1,Vector v2,Vector v3)
      {
          return Cross(v1-v2,v3-v2);
      }
      
      ///旋转
      Vector Rotate(Vector v1,double a) ///可用正余弦函数得出
      {
          return Vector(v1.x*cos(a)-v1.y*sin(a),v1.x*sin(a)+v1.y*cos(a));
      }
      ///求单位法向量
      Vector Normal(Vector v)
      {
          double L=Length(v);
          return Vector(-v.y/L,v.x/L);
      }

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  • 向量的坐标表示7.11向量的坐标表示 授课人:邱群灯 * 7.11 向量的坐标表示 向量的内 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 运算律: 1. 2. 3. 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共 线...

    向量内积的坐标表示

    7.11向量内积的坐标表示 授课人:邱群灯 * 7.11 向量内积的坐标表示 向量的内积 a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 运算律: 1. 2. 3. 平面向量基本定理: 如果 是同一平面内的两个不共 线向量,那么对于平面内的任一向量a ,有且只有与一对实数 , 使 . 7.11 向量内积的坐标表示 ① _____ ② ______ ③ ______ ④ _____ 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求 1 1 0 0 能否推导出 的坐标公式? 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和,即 7.11向量内积的坐标表示 (1)设a =(x,y),则 或|a |= . 性质 若设 、 则 即平面内两点间的距离公式. (2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐 标表示式. 7.11向量内积的坐标表示 例题讲解 例1.设 , ,求 . 解: a 、b 夹角的余弦值? 7.11平面向量数量积的坐标表示 例2.已知 , , ,求证 是直角三角形. 证明:∵ ∴ 是直角三角形. 7.11 向量内积的坐标表示 例3.求 与向量的夹角为 的单位向量. 解:设所求向量为 ∵ a 与b 成 ∴ 又 ……② 联立解之: , 或 , ……① 另一方面 ∴ 7.11向量内积的坐标表示 练习: (1)已知 , 且 ,求 . (2)已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量. (3) 中, , ,求k 的值. *

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  • 向量积(叉积)

    千次阅读 2017-08-17 17:53:08
    a和b叉积可表示为a×b,结果是一个和这两个向量都垂直的伪向量 a×b =absinθ*n ,ab为两向量的...叉积的运算 反交换 a×b=-b×a 分配 a×(b+c)=a×b+a×c 可与标量相乘 构成李代数 a×(b×c)+b×(a×c)+c×
  • 1平面向量的所有公式设a=(x,y),b=...向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减...
  • 1. 内的定义 2. 内的意义(内与模、向量在另一向量上的投影、向量的夹角...3. 向量运算律 4. 向量的应用示例(已知平行四边形的两条邻边及一条对角线的长度,求另一对角线的长度) ...
  • 向量

    2020-03-24 16:01:42
    1.数量积(点乘) 数量积(点乘)的结果是数,用“”·“”来运算,模相乘再乘上夹角余弦 数量积满足交换、结合...向量积满足结合和分配 交换是相反的 向量积的三阶行列式运算 正负正: 数量积和向量...
  • 一、空间直角坐标系及点的描述1、空间直角坐标系2、空间中点和向量的坐标...积运算规律3、两向量的夹角4、数量积的几何应用5、向量积的物理应用四、两向量的向量积及其应用1、向量积的定义2、向量积运算律3、向量积的...
  • 计算机图形学-向量

    2018-03-05 10:04:57
    即也可以用列矩阵的转置矩阵表示,即向量运算满足加法交换、加法分配律向量的模,又称为向量的范数或者长度记作||V||向量的规格化,就是将向量V的模变为单位长度,即V乘以1/||V||向量的性质:1.2 点两个向量做...
  • 向量运算满足加法交换、加法分配 向量的模,又称为向量的范数或者长度记作||V|| 向量的规格化,就是将向量V的模变为单位长度,即V乘以1/||V|| 向量的性质: 1.2 点 两个向量做点的结果等于向量...
  • 2、平面向量数量运算律 3、平面向量常见方法技巧 二、易错题型剖析 今天的内容就分享到这里了,更多高质量的解题技巧可以关注我。会持续分享更多解题技巧。也可在下方评论我会给大家统一回...
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  • 1.高二数学平面向量基本概念:向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2.高二数学平面向量加法与减法的代数运算:(1)若a=...3.高二数学平面向量实数与向量:实数与向量...
  • 一、向量(Vectors) 向量表示示意图: 有序实数组,用以表示在不同...点乘(内,结果为标量,几何意义是 [公式] ,满足分配率和交换,可用于判断两向量夹角,求向量长度,计算投影等) 叉乘(外,结果为向量...
  • 一个开始于(x1,y1),结束于(x2,y2)的向量可以写成v=(x2-x1,y2-y1).  ... v-w = (x1-x2, y1-y2). ca=(ca1,ca2)称为标量乘法. 向量运算法则(交换,结合) <br />【点(内
  • 这类操作包括取最小、最大、求和、平方求和、逻辑与、逻辑或、向量。归约也是其他高级运算中要用的基础算法。 除非操作符的求解代价极高,否则归约倾向于带宽受限型任务。下面就从SDK提供的reduction例子入手,...
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  • 注:内类似于行列式,是向量间的运算,实际上是一个数。 几点注意: 如果x和y都是列向量,则 [x,y] = [y,x] (乘法交换) [λx,y] =λ[x,y]= [x, λy] (提取公因子、乘法结合) [x+y,z] = [x,z]+[y,z] ...
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  • 计算几何概述

    2014-06-22 21:09:08
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  • 浅谈Nabla算子

    千次阅读 2019-01-02 23:38:18
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  • 《深度学习》书籍阅读

    千次阅读 2020-11-26 17:09:43
    矩阵有矩阵乘积这种运算,满足分配和结合,不满足交换。但是两个向量乘积满足交换。(因为两个向量是标量。) 2.3 单位矩阵和逆矩阵 2.4 线性相关和生成子空间 解释Ax=b发生了什么? 我们可以...
  • (1) 实数与向量运算,设λ,μ\lambda,\muλ,μ为实数: 结合:λ(μa⃗)=(λμ)a⃗\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}λ(μa)=(λμ)a 第一分配:(λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗(\lambda+\mu)\vec{a}=\...
  • 计算几何基础

    2019-10-06 03:18:58
    3、向量运算 满足分配 a * b * cos α = a.x * b.x + a.y * b.y a在b上投影于b都乘积 垂直点为零 叉积 满足分配 a * b * sin α = a.x * b.y - a.y * b.x 可以代表以两向量为边的平...
  • 原始数据转换为numpy数组如下:Tip1:使用dot()函数计算两个矩阵内积(dot product,又称点积、数量积,两个向量相乘,返回一个标量)输出结果如下:注意:矩阵内积运算要注意顺序,不遵循交换Tip2: 统计累计金额用...
  •  3.4.1 向量的概念与性质   3.4.2 向量的模   3.4.3 正交向量组   3.4.4 正交矩阵   小结   复习题三   第4章 线性方程组   4.1 线性方程组的初等变换   4.2 线性方程组有解的...
  • 矩阵论笔记(一)——线性空间

    千次阅读 多人点赞 2017-03-16 11:05:31
    线性空间线性空间是定义在数域 K 上满足某些运算规律的向量集合,而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲集合,再讲数域,最后讲线性空间。相关概念: 集合:两种表示方式(列举、性质),并集、交集、和集...
  • 第十二章命题演算12·1语句和基本运算12·2复合语句的真值12·3命题和真值表12·4重言式和矛盾12·5逻辑等价性12·6否定和德·摩根12·7命题代数12·8条件语句p→q12·9双条件语句p←→q12·10论证12·11逻辑蕴涵...

空空如也

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向量积运算律