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  • 任意两个不共线的向量(从而自然是非零向量了)都可以作为基向量!所以方向、模都不是固定的2。单位向量就是基向量吗?两个不共线的单位向量可以作为一组基底,但基向量不一定是单位向量3。 单位向量的方向固定吗?它的...

    f37716c7e8733c0b7f704c0652d3b580.png

    2007-12-14

    数学中有关向量的几个问题1.基向

    对于平面向量来说:

    1。基向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    任意两个不共线的向量(从而自然是非零向量了)都可以作为基向量!

    所以方向、模都不是固定的

    2。单位向量就是基向量吗?

    两个不共线的单位向量可以作为一组基底,但基向量不一定是单位向量

    3。 单位向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    单位向量的定义是:“模为1的向量”,

    所以方向不固定,模只能是1

    4。[共线的单位向量必然相等],这话对吗?

    不对!方向相同时相等;方向相反时称为相反向量

    对于空间向量来说:

    1。 基向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    任意三个不共面的向量(从而自然是非零向量了)都可以作为基向量!

    所以方向、模...全部

    对于平面向量来说:

    1。基向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    任意两个不共线的向量(从而自然是非零向量了)都可以作为基向量!

    所以方向、模都不是固定的

    2。单位向量就是基向量吗?

    两个不共线的单位向量可以作为一组基底,但基向量不一定是单位向量

    3。

    单位向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    单位向量的定义是:“模为1的向量”,

    所以方向不固定,模只能是1

    4。[共线的单位向量必然相等],这话对吗?

    不对!方向相同时相等;方向相反时称为相反向量

    对于空间向量来说:

    1。

    基向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    任意三个不共面的向量(从而自然是非零向量了)都可以作为基向量!

    所以方向、模都不是固定的

    2。单位向量就是基向量吗?

    三个不共线的单位向量可以作为一组基底,但基向量不一定是单位向量

    3。

    单位向量的方向固定吗?它的模固定为1吗?

    单位向量的定义是:“模为1的向量”,

    所以方向不固定,模只能是1

    4。[共线的单位向量必然相等],这话对吗?

    不对!方向相同时相等;方向相反时称为相反向量

    。收起

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  • 本章主要介绍向量空间的知识,与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有知识点串联起来,比如研究齐次线性方程组的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的(基础解系)、解空间的维数、秩...

    本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习。

    本章主要介绍向量空间的知识,与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程组的解把所有知识点串联起来,比如研究齐次线性方程组的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的基(基础解系)、解空间的维数、秩定理等概念。研究非齐次线性方程组的解可以得到线性组合、线性表示、列空间、一个向量组可由另一个向量组线性表示、两个向量组等价等概念。若一个向量不在矩阵的列空间当中,即这个向量不能由一组向量线性表示,可以通过正交投影定理得到最小二乘解,而QR分解是求最小二乘解的一种有效途径。本章的核心是向量空间的概念,通过向量空间的同构,可以把其它的向量空间同构到 R n R^n Rn空间,为了表达坐标的方便,我们通常会选择标准正交基,作为该空间的基。本章相对前两章就有一些难度了,希望大家好好复习,把基本概念和方法搞明白。

    推荐两个学习线性代数的资源:

    1. 麻省理工公开课 Linear Algebra

    • https://www.bilibili.com/video/av15463995/
    • 相较于国内老师从行列式入手,MIT老师从几何空间的角度,更加直观揭示线代的内核。

    2. 线性代数的本质

    • https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
    • 通过直观的动画演示来理解线性代数的大部分核心概念。

    关注本公众号并回复“资料下载”可以获取MIT线性代数公开课英文教材和中文笔记一份,以方便大家学习。


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    知识结构


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  • 向量空间

    千次阅读 2020-11-05 11:44:43
    就如研究宇宙空间,需要把每一颗恒星的位置标注出来一样(图是肉眼可见的恒星,标注银道坐标系中): 同样的,研究向量空间,就需要定位其中的每个点,这就是本节课需要学习的内容 2 的定义 大家可能对...


    1 向量空间的基

    1.1 回顾

    继续往下之前,先总结下前面所学的。先是学习了向量,然后把同维数的向量放在集合中构成了向量组:

     

    然后通过向量组得到张成空间,也就是关注的核心,向量空间:

    1.2 定位

    定义向量空间之后,我们就需要去研究它。就如研究宇宙空间,需要把每一颗恒星的位置标注出来一样(下图是肉眼可见的恒星,标注在银道坐标系中):

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  • 3-D空间中的基变换与坐标变换-Twinsen编写-本人水平有限,疏忽错误在所难免,还请各位数学高手、编程高手不吝赐教-我的Email-address:popyy@netease.com一、空间坐标系的矩阵3-D空间中,我们用空间坐标系来...

    <6>3-D空间中的基变换与坐标变换-Twinsen编写

    -本人水平有限,疏忽错误在所难免,还请各位数学高手、编程高手不吝赐教

    -我的Email-address:popyy@netease.com

    一、空间坐标系的基和基矩阵在3-D空间中,我们用空间坐标系来规范物体的位置,空间坐标系由3个相互垂直的坐标轴组成,我们就把它们作为我们观察3-D空间的基础,空间中物体的位置可以通过它们来衡量。当我们把这3个坐标轴上单位长度的向量记为3个相互正交的单位向量i,j,k,空间中每一个点的位置都可以被这3个向量线性表出,如P<1,-2,3>这个点可以表为i-2j+3k。

    我们把这3个正交的单位向量称为空间坐标系的基,它们单位长度为1且正交,所以可以成为标准正交基。三个向量叫做基向量。现在我们用矩阵形式写出基向量和基。

    i =  | 1 0 0 |

    j =  | 0 1 0 |

    k =  | 0 0 1 |

    | i |    | 1 0 0 |

    B = | j | =  | 0 1 0 |

    | k |    | 0 0 1 |

    这样的矩阵我们叫它基矩阵。有了基矩阵,我们就可以把空间坐标系中的一个向量写成坐标乘上基矩阵的形式,比如上面的向量P可以写成:

    P = C x B

    =>

    | 1 0 0 |

    | 1 -2 3 | = | 1 -2 3 | x | 0 1 0 |

    | 0 0 1 |

    这样的话,空间坐标系下的同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。

    二、局部坐标系和局部坐标

    和空间坐标系(也可以叫做全局坐标系或者世界坐标系)并存的称为局部坐标系(也叫坐标架——coordinate frame),它有自己的基,这些基向量把空间坐标系作为参考系。比如| x'|   | -1  0   0  |

    B' = | y'| = | 0   1   0  |

    | z'|   | 0   0   -1 |

    | x''|   | 2^½ /2    0   2^½ /2    |

    B'' = | y''| = | 0        -1   0          |

    | z''|   | -(2^½) /2   0   2^½ /2  |

    就是两个局部坐标系的基,如图:

    现在我们可以把上面那个空间坐标中的向量P|1 -2 3|(以后都用矩阵表示)表示在不同的基下,我把它写成一个大长串的式子:

    | x' |                        | x''|

    P = | Px' Py' Pz' | x | y' | = | Px'' Py'' Pz'' | x | y''|

    | z' |                        | z''|

    这里| Px' Py' Pz'|是P在B'下的坐标,| Px'' Py'' Pz''|是P在B''下的坐标,我把它写的具体点吧:

    | -1 0  0 |                            | 2^½ /2      0   2^½ /2|

    | 1 -2 3 | = | -1 -2 -3 | x | 0  1  0 | = | 2*2^½   -2   2^½ | x  | 0          -1   0      |

    | 0  0 -1 |                            | -(2^½) /2   0   2^½ /2|

    这就是说,在空间坐标系下面的向量| 1 -2 3 |在基B'下的坐标为|-1 -2 -3|,在B''下的坐标为| 2*2^½   -2   2^½ |。当然空间坐标系也有自己的基B|i j k|^T(因为是列向量,所以写成行向量的转置),但我们现在是拿它当作一个参考系。

    在研究了局部坐标系之后,我现在要分析两个应用它们的例子,先来看

    三、空间坐标系中一个点围绕任一轴的旋转

    上一篇讨论3-D空间旋转的时候说到有一个高档的方法做3-D空间任意轴旋转,现在我们的知识储备已经足够理解这个方法了(Quake引擎使用的就是这个方法)。

    如上所示,空间坐标系中的一个局部坐标系xyz中有一个向量a(2,5,3)和一个点p(8,4,2)现在我要让p点围绕a向量旋转60度,得到p’点,该如何做呢?从目前掌握的旋转知识来看,我们有两个理论基础:

    1)在一个坐标系中的一个点,如果要它围绕该坐标系中一个坐标轴旋转,就给它的坐标值乘相应的旋转矩阵,如

    [cosA -sinA 0 ]

    [sinA cosA  0 ]

    [0    0     1 ]

    等等。

    2)我们已经学习了局部坐标系的理论了,知道空间中一个点在不同的坐标系中的坐标不同。利用这一点,我们可以很方便的让一个点或者向量在不同的坐标系之间转换。

    我们联系这两个理论根据,得出我们的思路:

    1构造另一个局部坐标系abc,使得a成为该坐标系的一个坐标轴。

    2 把p的坐标变换到abc中,得到p’,用旋转公式让p’围绕已经成为坐标轴的a旋转,得到p’’。

    3把p’’再变换回坐标系xyz,得到p’’’,则p’’’就是p围绕a旋转后的点。

    下面我们逐步说明。

    首先我们构造abc,我们有无数种方法构造,因为只要保证b、c之间以及他们和a之间都正交就可以了,但我们只要一个。根据上图,我们首先产生一个和a正交的b。这可以通过向量的叉乘来完成:我们取另一个向量v(显然,这个向量是不能和a共线的任何非零向量),让它和a决定一个平面x,然后让v叉乘a得到一个垂直于x的向量b,因为b垂直于x,而a在平面x上,因此b一定垂直于a,然后用a叉乘b得到c,最后单位化a、b、c,这样就得到了局部坐标系abc。

    然后我们把p点变换到abc坐标系中,得到p’,即p’就是p在abc中的坐标:

    |abc| * p’=|xyz| * p

    p’ = |abc|^-1 * |xyz| * p

    |ax bx cx||1 0 0||px|

    p’ = |ay by cy| ^-1 *|0 1 0| * |py|

    |az bz cz||0 0 1||pz|

    注意这里|a b c|^-1即矩阵|a b c|的逆矩阵,因为a、b、c是三个正交向量,并且是单位向量,因此|a b c|是一个正交矩阵,正交矩阵的转置和逆相等,这是它的一个特性,因此上面的公式就可以写成:

    |ax ay az||1 0 0||px|

    p’ = |bx by bz|*|0 1 0| * |py|

    |cx cy cz||0 0 1||pz|

    这个时候p’就是p在abc坐标系下的坐标了。此时a已经是一个坐标轴了,我们可以用旋转矩阵来做。

    p’’ = RotMatrix * p’

    [1 0   0]|p’x|

    p’’ = [0 cos60 -sin60] * |p’y|

    [0 sin60cos60]|p’z|

    最后,我们把p’’再次变换回xyz坐标系,得到最终的p’’’

    |abc| * p’’ = |xyz| * p’’’

    p’’’ = |xyz|^-1 * |abc| * p’’

    p’’’ = |abc| * p’’

    最后

    p’’’ = |abc| * RotMatrix * |abc|^T * p = M * p

    这样就得到了xyz坐标系中点p围绕a旋转60度后的点。

    最后,我用Quake3引擎的相应函数(来自idSoftware ——quake3-1[1].32b-source——mathlib.c)来完成对这个算法的说明:

    /*

    ===============

    RotatePointAroundVector

    dst是一个float[3],也就是p’’’

    dir相当于a,point就是p,degrees是旋转度数

    ===============

    */

    void RotatePointAroundVector( vec3_t dst, const vec3_t dir, const vec3_t point,

    float degrees ) {

    floatm[3][3];

    floatim[3][3];

    floatzrot[3][3];

    floattmpmat[3][3];

    floatrot[3][3];

    inti;

    vec3_t vr, vup, vf;

    floatrad;

    vf[0] = dir[0];

    vf[1] = dir[1];

    vf[2] = dir[2];

    // 首先通过dir得到一个和它垂直的vr

    // PerpendicularVector()函数用于构造和dir垂直的向量

    // 也就是我们上面的第1步

    PerpendicularVector( vr, dir );

    // 通过cross multiply得到vup

    // 现在已经构造出坐标轴向量vr, vup, vf

    CrossProduct( vr, vf, vup );

    // 把这三个单位向量放入矩阵中

    m[0][0] = vr[0];

    m[1][0] = vr[1];

    m[2][0] = vr[2];

    m[0][1] = vup[0];

    m[1][1] = vup[1];

    m[2][1] = vup[2];

    m[0][2] = vf[0];

    m[1][2] = vf[1];

    m[2][2] = vf[2];

    // 产生转置矩阵im

    memcpy( im, m, sizeof( im ) );

    im[0][1] = m[1][0];

    im[0][2] = m[2][0];

    im[1][0] = m[0][1];

    im[1][2] = m[2][1];

    im[2][0] = m[0][2];

    im[2][1] = m[1][2];

    // 构造旋转矩阵zrot

    memset( zrot, 0, sizeof( zrot ) );

    zrot[0][0] = zrot[1][1] = zrot[2][2] = 1.0F;

    rad = DEG2RAD( degrees );

    zrot[0][0] = cos( rad );

    zrot[0][1] = sin( rad );

    zrot[1][0] = -sin( rad );

    zrot[1][1] = cos( rad );

    // 开始构造变换矩阵M

    // tmpmat = m * zrot

    MatrixMultiply( m, zrot, tmpmat );

    // rot = m * zrot * im

    MatrixMultiply( tmpmat, im, rot );

    // 则 rot = m * zrot * im 和我们上面推出的

    // M = |abc| * RotMatrix * |abc|^T一致

    // 变换point这个点

    // p’’’ = M * p

    for ( i = 0; i < 3; i++ ) {

    dst[i] = rot[i][0] * point[0] + rot[i][1] * point[1] + rot[i][2] * point[2];

    }

    }

    四、世界空间到相机空间的变换

    空间坐标系XYZ,相机坐标系UVN。这时候相机空间的基(以下简称相机)在空间坐标系中围绕各个坐标轴旋转了一定角度,然后移动了。对于模型我们可以看作相对于相机的逆运动,即模型旋转了一定角度,然后移动了,可以把相机和物体的运动看成两个互逆的变换。这样,可以通过对相机的变换矩阵求逆来得到模型的变换矩阵。下面来具体看一下,如何得到相机变换矩阵,并且求得它的逆矩阵。

    首先声明一下,对于一个模型的变换,我们可以给模型矩阵左乘变换矩阵:

    M x P = P'

    | A B C D |     | x |    | Ax + By + Cz + D |

    | E F G H |     | y |    | Ex + Fy + Gz + H |

    x         =

    | I J K L |     | z |    | Ix + Jy + Kz + L |

    | M N O P |     | 1 |    | Mx + Ny + Oz + P |

    也可以右乘变换矩阵:

    P^T x M^T = P'^T

    | A E I M |

    | B F J N |

    | x y z 1|   x               =  |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P|

    | C G K O |

    | D H L P |

    可以看出两种变换方式是一个转置关系,结果只是形式上的不同,但这里我们使用后者,即右乘变换矩阵,因为比较普遍。

    很显然,相机的变换可以分成两个阶段:旋转和平移。我们先来看旋转。

    在空间坐标系中,相机旋转之前世界坐标系xyz和相机坐标系u0v0n0的各个轴向量的方向相同,有关系:

    | u0 |                  | x |

    P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 |  =  |Px Py Pz| x | y |

    | n0 |                  | z |

    这里P是空间坐标系中的一个向量。|u0 v0 n0|^T是相机基矩阵,|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相机基矩阵下的坐标。|x y z|^T是

    世界基矩阵,|Px Py Pz|是P在它下面的坐标。有Pu0 = Px, Pv0 =Py, Pn0 = Pz。

    相机和向量P都旋转之后,有关系:

    | u |                   | x |

    P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |

    | n |                   | z |

    P'是P同相机一起旋转后的向量。|u v n|^T是相机旋转后的基矩阵,|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐标,因为P是和相机一起旋转的,所以坐标不变。|x y z|^T仍为世界基矩阵,|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐标。

    现在看

    | u |                   | x |

    |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |

    | n |                   | z |

    因为|x y z|^T为一个单位阵,且Pu0 = Px, Pv0 =Py, Pn0 = Pz。 所以得到

    | u |

    |Px Py Pz| x | v | = |Px' Py' Pz'|

    | n |

    即|Px Py Pz|和相机一起旋转后变成|Px' Py' Pz'|,即P x R = P',而旋转变换矩阵R就是:

    | u |

    | v |

    | n |

    写成标准4x4矩阵:

    | ux uy uz 0|

    | vx vy vz 0|

    | nx ny nz 0|

    | 0  0  0  1|

    平移矩阵T很简单:

    | 1 0 0 0 |

    | 0 1 0 0 |

    | 0 0 1 0 |

    | x y z 1 |

    则相机矩阵就是:| ux uy uz 0 |     | 1 0 0 0 |

    | vx vy vz 0 |     | 0 1 0 0 |

    C = R x T =                  x

    | nx ny nz 0 |     | 0 0 1 0 |

    | 0  0  0  1 |     | x y z 1 |

    它的逆矩阵,即相机的逆变换矩阵为

    | 1  0  0  0 |     | ux vx nx 0 |   | ux   vx   nx  0 |

    | 0  1  0  0 |     | uy vy ny 0 |   | uy   vy   ny  0 |

    C^-1 = T^-1 x R^-1 =                  x                 =

    | 0  0  1  0 |     | uz nz nz 0 |   | uz   vz   nz  0 |

    | -x -y -z 1 |     | 0  0  0  1 |   |-T.u -T.v -T.n 1 |

    posted on 2010-06-29 15:39 夏杰 阅读(498) 评论(0)  编辑 收藏 引用

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  • 数学空间向量运算的正交分解及基坐标表示新人教A版选修PPT学习教案.pptx
  • 线性代数——空间/坐标转换

    千次阅读 2019-04-10 16:27:22
    key : 标准正交阵的性质 value: key : QR分解 value: key : 理解坐标转换 value:
  • 向量与向量空间

    千次阅读 2020-07-27 15:48:57
    向量与向量空间 这一篇文章是线性代数系列的第一篇,国内外一般的课程与教材都是从线性方程组开始讲线性代数,从高斯消元、高斯约旦这些方法入门线性代数也是对新手比较友好的。这个系列的文章可能会比国内的教材更...
  • 设是线性空间V中的向量,若存在V中一组向量{},及一组数,使得 则称向量能被向量组{}线性表示,或者线性表出。 2.1.2 线性相关 设{}是线性空间V中的一组向量,若存在一组不全为0的数:,使得 则称向量组{}...
  • 1. 坐标系的 2. 线性组合 3. 向量张成的空间(线性相关与线性无关) (1)两个二维向量张成的空间 (2)两个三维向量张成的空间 (3)三个三维向量张成的空间 4. 向量和点的关系 一、什么是向量 1. 向量的...
  • 换句话说,坐标向量在某组基下的表示。此时,我们称B定义了一个坐标系。 如果一组向量彼此线性无关,那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组,从而事实上成为一个坐标系,其中每一个向量都躺一根坐标轴上,...
  • 线性代数笔记11——向量空间

    千次阅读 2018-08-31 17:30:05
    解析几何里引入向量概念后,使许多问题的处理变得更为简洁和清晰,此基础上的进一步抽象化,形成了与域相联系的向量空间概念。 线性组合  线性组合(liner combinations)这个概念曾经被多次提到,如果v1,v2...
  • 线性空间坐标空间的同构

    千次阅读 2018-01-26 10:04:13
    坐标向量向量组 ξ" role="presentation" style="position: relative;">ξξ\xi 是数域为 P" role="presentation" style="position: relative;">PPP 的 n" role="presentation" style="position: relative...
  • 都线性相关,则称线性空间VVV是nnn维的,记作dimV=ndimV=ndimV=n,而这nnn个线性无关的向量称为线性空间VVV的一组. 当一个线性空间VVV中有无穷多个线性无关的向量时,称其为无限维线性空间. 定义2 设VVV是nnn维线性...
  • 一个线性空间中,只要我们选定一组,那么对于任何一个线性变换,都能够用一个确定的矩阵来加以描述. 变换:运动-->跃迁 ; 一组-->坐标系 ; 线性变换:一组+一个矩阵,线性变化可以由选取不同的+...

空空如也

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向量空间在基下的坐标