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  • 向量空间的基

    2020-11-05 11:44:43
    就如研究宇宙空间,需要把每一颗恒星位置标注出来一样(图是肉眼可见恒星,标注银道坐标系中): 同样,研究向量空间,就需要定位其中每个点,这就是本节课需要学习内容 2 基的定义 大家可能对...


    1 向量空间的基

    1.1 回顾

    继续往下之前,先总结下前面所学的。先是学习了向量,然后把同维数的向量放在集合中构成了向量组:

     

    然后通过向量组得到张成空间,也就是关注的核心,向量空间:

    1.2 定位

    定义向量空间之后,我们就需要去研究它。就如研究宇宙空间,需要把每一颗恒星的位置标注出来一样(下图是肉眼可见的恒星,标注在银道坐标系中):

    同样的,研究向量空间,就需要定位其中的每个点,这就是本节课需要学习的内容


    2 基的定义

    大家可能对宇宙空间中定位恒星比较陌生,下面来举一个对地球上的点进行定位的例子。因为地球是球体,所以需要通过投影的方式将它绘制到地图上。下面是三种不同的投影方式得到的地图:

    可见不同的投影方式得到的地图是不一样的,从而得到的北京的坐标也是不一样的。因此,在谈论北京坐标的时候,需要指明用的是什么投影方式,或者说绘制地图的基准是什么。同样的,在对向量空间进行定位时,也需要先指明基是什么。

    基的定义:

    为向量空间,如果其中的某向量组:

    的最大无关组,那么向量组被称为向量空间的一个基。

    下面举两个基的例子,一个是色彩空间中的基,一个二维平面中的基。


    3 色彩空间的基

    比如,色彩空间(这也是一种向量空间),它的最大无关组为,也就是色彩空间的基为

    3.1 平面的基

    再比如,下图中的蓝色平面也是一个向量空间,它的最大无关组为,因此该平面的基为向量组


    4 基不唯一

    很显然,对于向量空间而言,基并不唯一。

    4.1 色彩空间的基

    之前说过,张成空间都是色彩空间,也就是说它们都是色彩空间的基:

    4.2 平面的基

    下图中的蓝色平面是一个向量空间,它既可以由张成,也可以由,因此这两个向量组都是该向量空间的基:


    5 基与坐标

    有了基就可以对向量空间中的向量进行定位了,或者说可以给出该向量的坐标:

    在向量空间中取一个基,那么中某向量可唯一地表示为:

    其中,称为向量在基中的坐标。如果将基简称为基的话,那么还可以写作:

    其中,下标指明该坐标所在的基。

    下面举两个坐标的例子,一个是色彩空间中向量的坐标,一个二维平面中向量的坐标。

    5.1 色彩空间的坐标

    比如下面是一张色卡,上面标注出了“粉暖”这个颜色的色值,也标注出了该颜色的色值(也就是值):

    色卡是拿来比对颜色用的,比如调制油漆的时候,就用色卡来比对下,看看颜色是否调制合适了。下面是各种各样的色卡:

    为什么使用呢?理论上可以表示整个色彩空间,但实际上,由于颜料的原因,无法调制出纯黑色,顶多调出深灰色。

    所以在印刷时,人们采用了专门增添了黑色,以弥补的不足。亦即由青(C)品红(M)黄(Y)以及黑(K)所组合出的色彩系统:

    虽然增加了一种颜色,但理论上K是多余的,因此表示的是同一个色彩空间。

    “粉暖”是色彩空间中的一个向量,根据上图可知,“粉暖”这个向量在基和基下的坐标分别为:

    5.2 二维平面的坐标

    比如中的向量:

    如果给出基:

    假设有,那么在该基下的坐标为(下图将基以及对应的网格画出来了,这样通过数网格就可以得到在该基下的坐标):


    6 坐标系

    选择不同的基,实际上就是在向量空间中建立了不同的坐标系。


    7 自然基与直角坐标系

    比如下面这组基:

    比较特殊,它对应的其实就是直角坐标系:

     

    此基称为自然基,所有的都有自然基:

    并且约定,如果不明确说是在哪个基下,那么就是在自然基下。所以,如果表示向量在自然基下的坐标,可以直接写作:


    8 非自然基

    当然有非自然基,比如:

    这里要注意,非自然基的坐标是没有下标的,也说明该坐标是在自然基下的:

    也就是先有自然基,在其基础上进一步定义了非自然基。关于这点,本课程的最后一单元“基变换”还要详细讲。

    该基建立的坐标系如下,并且,如果表示向量在该基下的坐标需要加上下标:


    9 向量空间的维度

    向量空间也是向量组,这个特殊向量组的秩称为向量空间的维度:

    假设向量空间的基为:

    的秩r称为该向量空间的维度,或者称为r维向量空间。


    10 色彩空间的维度

    比如,色彩空间的基为,也就是说色彩空间的维度为3:


    11 平面的维度

    再比如,向量空间的基为,也就是说向量空间的维度为2,或者称之为二维平面:

     

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  • 1. n维向量空间的一些基本概念(基、维数、标准基) 2. 任一向量给定基下的坐标是唯一的

     

    1. n维向量空间的一些基本概念(基、维数、标准基)

     

    2. 任一向量在给定基下的坐标是唯一的

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  • 除了不同坐标系之间点的坐标变换,同一坐标系内也存在对点的变换操作,例如平移,旋转等。1. 平移同一坐标系,平移操作将空间中一个点沿着一个已知的矢量方向移动一定的距离,如图所示,将沿着进行平移得到 ...

    除了不同坐标系之间点的坐标变换,在同一坐标系内也存在对点的变换操作,例如平移,旋转等。

    1. 平移

    在同一坐标系下,平移操作将空间中一个点沿着一个已知的矢量方向移动一定的距离,如下图所示,将

    沿着
    进行平移得到

    86a3ef71c6cdede6f43481d56c50b4b4.png

    易得,

    用矩阵写出平移算子,可得,

    式中,

    其中,

    的分量。

    2. 旋转

    在同一坐标系下,旋转操作将一个向量

    用旋转矩阵
    旋转到另外一个向量

    向量经由某一旋转

    得到的旋转矩阵与一个坐标系相对于参考坐标系经某一旋转
    得到的旋转矩阵是相同的。

    81b015fb58178fb48ea724ae29c0cc21.png

    如上图将向量

    旋转
    得到
    ,对应的旋转矩阵为,

    3. 平移旋转

    将一个向量

    经过平移旋转得到
    ,可以用
    其次矩阵表示,

    其中,

    经旋转

    和平移
    的其次变换矩阵与一个坐标系相对于参考坐标系经旋转
    和平移
    的其次变换矩阵是相同的。
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  • 向量可以有两种方式去描述:空间一个点,而有次序数字可以确定点在空间位置;将向量描述为有大小和方向一个量,例如一辆正在行驶自动驾驶车辆速度为正东方向。这时候向量就...

    8040f1b09862fbc25195c2ce193af79e.png

    1. 标量

    在介绍向量之前,有必要介绍一下标量(scalar),标量是一个数字,只有大小,没有方向(不过有正负)。例如温度,重量等。

    2. 向量

    向量(vector)是多个数字组成的列表。

    个有次序的数
    所组成的数组列表称为
    维向量。 向量可以有两种方式去描述:
    1. 空间中的一个点,而有次序的数字可以确定点在空间中的位置;
    2. 将向量描述为有大小方向的一个量,例如一辆正在行驶的自动驾驶车辆的速度为正东方向
      。这时候向量就是一个从坐标原点指向终点(由有次序的数字确定)的一个矢量。

    如下向量

    b15aa63cc461aa2193ce0f2ab71a563f.png

    3. 线性空间

    为一个非空集合,
    为实数域(这里只讨论实数域)。如果对于任意两个元素
    ,总有唯一的元素
    与之对应,则称为
    的和,记为
    。对于任意数
    与任意元素
    ,总有唯一的一个元素
    与之对应,称为
    的积,记为
    ,并且和与积两种运算满足以下8条运算规则(设
    ):
    1. 中存在
      元素,对任意
      ,都有,
    2. 对任意
      ,都有
      的负元素
      ,使
    3. ;
    4. ;
    5. ;

    那么

    称为实数域
    上的
    线性空间(向量空间),
    中的元素称为(实)
    向量。线性空间中,对加法和数乘两种运算封闭

    4. 维数,基和坐标

    在线性空间

    中,如果存在
    个元素
    ,满足:
    1. 线性无关;
    2. 中任意元素可由
      线性表示。

    则称

    为线性空间
    的一组
    称为线性空间
    维数

    因为

    是一组基,所以线性空间
    中任意的元素
    ,总有且仅有一组有序数字
    ,使得,

    这组有序数字就称为元素
    在基
    下的坐标,记做,

    当然这个坐标也就是最开始提到的向量,而也就是经常提到的坐标系,不同的坐标系只是对应了不同的基。

    b7db9f792587d7532ece0c870692bc51.png

    以三维线性空间为例,任何三个线性无关的向量都能构成一组基,都对应一个坐标系。同一个向量在不同的基下的坐标不同,也就是在不同的坐标系下的描述不同(但向量是同一个)。

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向量空间在基下的坐标