关于向量个数和向量位数，我贴一张图大家就明白了
 
 
 向量空间维数的定义
 

 
下面是线性空间的定义，元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。
 
 
向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩，向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。
 
具体大家也可以看这里：https://www.zhihu.com/question/35672869

本节主要知识点
 
1.向量空间的定义：对加法和乘法运算封闭的非空的n维向量的集合
 
2.向量空间的基：向量空间中一组线性无关的向量，并且其他向量可以用这组向量线性表示。一组基中含有的向量个数为向量空间的维数。向量空间的基不是唯一的，但维数是确定的。
 
3.内积：对应坐标相乘后累加即可。
 
4.范数：向量的模长，及向量本身做内积后的算术平方根的值。
 
5.基的正交规范化：向量空间的一组基，两两正交而且每个向量均为单位向量。
 
 
 
 
 
 
 
 
 

词向量的维数d1一般取20~500之间
 

线性无关（Independent）
 
一系列的向量无论经过怎样的线性组合都得不到0向量。
 以上说的是它的定义，按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢？
 1.我们把一系列向量写成矩阵形式A，如果A的零空间只有零向量，那么代表A中各向量线性无关
 如果A的零空间不只有零向量，那么代表A中各向量线性相关。
 2.依然是构成一个矩阵A，如果矩阵的秩是等于向量个数，那么各向量线性无关，不等于线性相关。
 向量组构成一个向量空间也就是说向量空间包括该向量组向量的线性组合。
 
向量空间的基是指一系列的向量
 
这些向量的两大性质（不多不少）
 1，他们是线性无关的（不能过多）
 2，它们能生成整个空间（不能过少）
 基如果是一个方阵，根据我们之前对可逆矩阵的判断方法学习，以上两个性质可直接用可逆来代替。
 维数
 对于给定空间，它的基有很多种，但是基的向量个数一定是相同的，这里所说的向量个数也就是维数。
 对维数的理解，一个m×n的矩阵，
 列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩r，
 零空间的维数=矩阵自由变量的个数n-r。
 举例说明上述意义。
 如图所示，一个3×4的矩阵。
 很显然这里的四个向量是线性相关的，经过消元我们也可以得到它的秩是2，列空间的维数是2，说明它们能够构成一个二维的空间。
 A有两个自由变量，那我们可以算出它的一个特解
 
 很显然它是线性无关的，维数为2，也就是自由变量的个数。