向量空间的基与维数

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、向量与向量空间 五、小结 思考题 思考题解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

三、向量空间的基与维数 一、向量空间的概念 第五节 向量空间 第四章 向量组的线性相关性 二、子空间 四、小结 思考题 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

说明 2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 一、向量空间的概念 定义1　设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

. , 3 3 是一个向量空间 维向量的全体 R 例1 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

维向量，集合 为两个已知的 设 n b a , 例4 试判断集合是否为向量空间. 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

一般地， 为 { } { } . , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V R b b b x V R a a a x V b b a a s s s m m m s m = ? + + + = = ? + + + = = 试证： 记 等价， 与向量组 设向量组 m m m m m m l l l l l l L L L L L L 例5 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间　　　， 就说 是 的子空间． 实例 设 是由 维向量所组成的向量空间， 二、子空间 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

那末，向量组 就称为向量　的一个 基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间． 定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足 三、向量空间的基与维数 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基． 说明 (3)若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为 (2)若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

设矩阵 例6 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

向　　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象：　可随意 平行移动的有向线段 代数形象：　向量的 坐　标　表　示　式 坐标系 四、向量与向量空间 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

空　　间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐标系 代数形象：　向量空 间　中　的　平　面 几何形象：　空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一　一　对　应 有生命就会有希望，有信心就会有成功，有思索就会有思路，有努力就会有收获

叫做 维向量空间． 时， 维向量没有直观的

本节就线性空间的基和维数进行分析总结，这一节是考研中容易出现的一部分，虽然概念性比较多，但是容易理解，也是很基础容易掌握的一部分，所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义，定理及其例题.

一. 域F上线性空间的定义及其简单性质

定义1. 一个非空集合V，如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射)，其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射)，并满足下述8条运算法则

1.

2.

3.V中有一个元素，记作0，它使得

具有该性质的元素0称为V的零元；

4.对于

，存在

,使得

具有该性质的元素

称为 V 的零元.

5.

其中 1 是 F 的单位元.

6.

7.

8.

那么称V是域F上的一个线性空间.

从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质：

性质1. V中的零元是唯一的.

性质2. V中每个元素

的负元是唯一的.

性质3.

性贾 4.

性质 5.

性质 6.

二.向量集的线性相关与线性无关

命题1. 在域F上的线性空间V中，如果向量组的一个部分组线性相关，那么这个向量组线性相关.

命题2. 在域F上的线性空间V中，包含零向量的向量集是线性相关的.

命题3. 在域F上的线性空间V中，元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.

命题4. 在域F上的线性空间V中，设非零向量

可以由向量集W线性表出，则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.

命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组

线性无关, 则向量

可以由向量

线性表出的充分必要条件为

线性相关.

三.基和维数

定义2.设V是域F上的线性空间，V中的向量集S如果满足下述两个条件：

1.向量集S是线性无关的；

2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.

定义3. 设V是域F上的线性空间，如果V有一个基是由有限多个向量组成，那么称V是有限维的；如果V有一个基含有无穷多个向量，那么称V是无限维的.

定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的，那么V的任意两个基所含向量的个数相等.

推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的，那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.

证明： 假如V有一个基为

那么可知V的任意一个基都含有n个向量，这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.

定义4.设V是域F上的线性空间，如果V是有限维的，那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数，记作

如果V是无限维的，那么记

岩宝小提示：只含零向量的线性空间的维数为0.

命题6. 设V是域F上的n维线性空间，则V中任意n+1个向量都线性相关.

命题7. 设V是域F上的n维线性空间，则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

命题8.设V是域F上的n维线性空间，如果V中的每一个向量都可以由向量组

线性表出，那么

是 V 的一个基.

命题9.设V是域F上的n维线性空间，则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设

(1)证明：全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间，记为 C(A).

(2)求C(A)的维数与基.

证明 ：(1)

任意

由于

所以

所以

对任意的

有

所以

又因为矩阵都满足线性空间的运算律

所以C(A)是R上的线性空间.

(2)设

且AB=BA,可得

故可得

为C(A)的一组基，从而

岩宝小提示：当出现可交换矩阵的时候，一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域，

表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，

是 P 上的线性空间，令

求 V 的基.

解：任取

设

则

而 B 可由

线性表示，而 c 的对角元满足

其基础解系为

故C可由

线性表示，从而V的基为

岩宝同步思考练习

1.(2004 陕西师范大学)设

是

矩阵，其中

(1) 求 det(A).

(2)设

求 W 的维数及一组基.

2.(2003武汉大学)设

(1)求A的秩.

(2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.

3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数；

(2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数

4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组

的解空间W是3维的，试求a,b的值，并求W的一组基，解空间有可能为2维空间吗？