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  • 向量 空 间 基 和 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 ...

    向量 空 间 基 和 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 。 定义 工 如果在 向量空 间 中有 个线性无关的 向量 , 但是没有更多数 目的线性无关 的向量 , 那 么 称为 维的 。 在 维向量空间 中, 个线性无关的向量 。 , 。 , 一 , 。。 , 称为 的一个基 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在 向量组 。 、 , 。 , ⋯ , 。。 , 使得 , , ⋯ , 。。线性无关 的每一个向量都 可以 由。 , 。 , ⋯ , 。。线性表示则称 “ , , 。 , ⋯。。 为 的一个基 。 向量空 间 的基所含向量的个数叫做 的维数 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在有限个向量 , , , ⋯ , 。 , 使得 的每 一 个 向 量都是这 个向量的线性组合 , 则称 为有限维向量空间 , , , , ⋯ , 叫做 的一组 生 成元 , 用符号 , , , ⋯ , 。 表示 。 向量空间 的一组线性无关的生成元 , 叫做 的一个基 。 非零有限维 向量空 间 的任一基所含向量的个数 , 称为 的维数 。 以上三种定义的等价性问题 , 就是要从一种定义推 出其充分必要条件为另一种定义 , 现分别加 以证 明 。 命题 工 乡 亚 证明 由定义 工知 , 维向量空间 有 个线性无关的向量 , , , ⋯ , 。。 , 任取日任 , 并且 日, , , 。 , ⋯ , “。线性相关 , 那么 , 日可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 从而得定义 亚 。 由定义 狂的条件 知 , 向量空 间 有 个线性无关的向量 。 , , 。 , ⋯ , 。。 , 在 中任取 十个向量 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , , 由条件 , 它们可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 如果它们线性 无关 那 么 , 由替换定理 , 有 簇 , 矛盾 , 故 日 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , 线性相关 , 从而得定义 。 命题 兀 乡 证 明 由定义 , 。 , , 。 , ⋯ , 。 线性无关 , 的每一个向量都可 由。 , 。 , ⋯ , ‘ 线性表 示 于是“ , , , ⋯ , “二 是 的线性无关生成元 , 得定义 。 由定义 贾 , 若。 , , 。 , ⋯ , 。。是向量空间 的线性无关生成元 , 那么。 , 。 , ⋯ , 。 线 性无关 且 中每一向量都可 由。 , 。 ⋯ , 。, 线性表示 , 从而得定义 。 由命题 和命题 立 即得到命题 受二令 工 下面讨论求非零有限锥 向量空间基和维数的方 法 设 。 , 是零空间 , 它没有基 , 维数是零云 设 等 是数域 上的有限维向量空 间 , 中至少有一个非零向量 钾 , 它 是线性无关的 , 若 中其余向量都可 由 , 线性表示 , 则 是 的基 , 是一维的 。 若 〔 , 且 不能 由 线性表示 , 那么 , 线性无关 , 如果 中其余向量都可由 , , 线性表示 , 那么 , , 是 的基 , 且 是二维的 。 如果还有 〔 , 且 。不能 由 , , 线性表示 , 类似地 , 可取 , , 。 为 的基 。 这样的过程继续进行下去 , 因为 是有限维的 , 总可 以找到这样一 个 正 整数 , 使 得 」 , , ⋯ , 。 线性无关冬 中每一个向量均可 由 , , ⋯ ,

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  • 向量个数,向量维数向量空间维数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-18 17:39:23
    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就...向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。 具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869...

    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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  • 一组基中含有的向量个数为向量空间的维数。向量空间的基不是唯一的,但维数是确定的。 3.内积:对应坐标相乘后累加即可。 4.范数:向量的模长,及向量本身做内积后的算术平方根的值。 5.基的正交规范化:向量空间...

    本节主要知识点

    1.向量空间的定义:对加法和乘法运算封闭的非空的n维向量的集合

    2.向量空间的基:向量空间中一组线性无关的向量,并且其他向量可以用这组向量线性表示。一组基中含有的向量个数为向量空间的维数。向量空间的基不是唯一的,但维数是确定的。

    3.内积:对应坐标相乘后累加即可。

    4.范数:向量的模长,及向量本身做内积后的算术平方根的值。

    5.基的正交规范化:向量空间的一组基,两两正交而且每个向量均为单位向量。

     

     

     

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  • 线性无关,向量空间的基,维数

    千次阅读 2018-11-26 23:01:29
    以上说的是它的定义,按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢? 1.我们把一系列向量写成矩阵形式A,如果A的零空间只有零向量,那么代表A中各向量线性无关 如果A的零空间不只有零向量,那么代表A中各...

    线性无关(Independent)

    一系列的向量无论经过怎样的线性组合都得不到0向量。
    以上说的是它的定义,按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢?
    1.我们把一系列向量写成矩阵形式A,如果A的零空间只有零向量,那么代表A中各向量线性无关
    如果A的零空间不只有零向量,那么代表A中各向量线性相关。
    2.依然是构成一个矩阵A,如果矩阵的秩是等于向量个数,那么各向量线性无关,不等于线性相关。
    向量组构成一个向量空间也就是说向量空间包括该向量组向量的线性组合。

    向量空间的基是指一系列的向量

    这些向量的两大性质(不多不少)
    1,他们是线性无关的(不能过多)
    2,它们能生成整个空间(不能过少)
    基如果是一个方阵,根据我们之前对可逆矩阵的判断方法学习,以上两个性质可直接用可逆来代替。
    维数
    对于给定空间,它的基有很多种,但是基的向量个数一定是相同的,这里所说的向量个数也就是维数
    对维数的理解,一个m×n的矩阵,
    列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩r,
    零空间的维数=矩阵自由变量的个数n-r。
    举例说明上述意义。
    在这里插入图片描述如图所示,一个3×4的矩阵。
    很显然这里的四个向量是线性相关的,经过消元我们也可以得到它的秩是2,列空间的维数是2,说明它们能够构成一个二维的空间。
    A有两个自由变量,那我们可以算出它的一个特解
    在这里插入图片描述
    很显然它是线性无关的,维数为2,也就是自由变量的个数。

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  • 这节课中,我们先讲了前面的课程中一直提及的线性相关性的具体定义,并以此为基础建立了向量空间的“基”和“维数”的定义,最后归纳为一种已知若干向量求其生成的空间的基和维数的系统方法。 首先是线性相关性...
  • 向量空间的

    千次阅读 2017-01-16 20:12:16
    向量空间的定义是:一个向量空间 V 最大的线性独立子集,称为这个空间的基.若 V=0,唯一的基是空集.对非零向量空间 V,基是 V 最小的生成集.如果一个向量空间 V 拥有一个元素个有限的生成集,那么就称 V 是一个有限...
  • 在三维空间中,两个向量的乘积(向量积,外积,乘积,区别于两个向量的数乘:内积,点积)表示两个向量的扭矩,而三个向量的混合积A×B·C,则表示由三个向量A,B,C所构成平行六面体面积。而且在混合积中A,B,C...
  • 线性代数-向量空间-基向量定义

    千次阅读 2015-01-05 10:10:56
    在线性代数中 一个向量空间,存在一个线性无关的向量组x1,...xn,...,使得对所有空间中的向量,都能被这个组线性表示。...但,基不是唯一的,任何个为n的线性无关向量组都能构成n维空间的一基。 这里并不要求
  • 向量空间

    2019-09-15 11:26:08
    向量空间的概念 定义:设 V 是 n 向量的集合,如果满足 若 a ∈ V, b ∈ V,则a + b ∈ V .(对加法封闭) 若 a ∈ V,k∈ R,则ka ∈ V . (对数乘封闭) 那么就称集合 V 为向量空间. 注: 向量空间就是对...
  • 其所组成空间就叫n维向量空间。实际上你也能把实数看作是一维的向量。在这里我们重点讨论三空间向量(x,y,z)。类似于二向量,我们定义其加法、乘、模长、内积运算:​ 可以验证这些运算...
  • 定义3.2 设 是两个向量空间,若 ,则称 子空间。 定义3.3 设V为向量空间,如果r个向量 ,且满足 ( i ) 线性无关; (ii) V中任一向量都可由 线性表示,则称向量组 是向量空间V一个基,r称为向量
  • 矩阵维数

    千次阅读 2015-07-18 14:58:37
    矩阵不讲维数,维数是线性空间的...1. 矩阵的维数是其行向量(或列向量)生成的向量空间的维数; 2. 指它的行数与列数 (一般编程人员喜欢这样定义, 因为他们关注的是数组的大小)。 你说的矩阵的秩,其实就是第1种,即
  • 线性子空间(linear subspace) 线性子空间(又称向量子空间,简称子空间)是线性空间中部分向量... 定义 设W是域P上线性空间V一个非空子集合,若对于V中加法及域P与V纯量乘法构成域P上一个线性空间,则...
  • 向量的内积(点乘) ...这里要求一维向量a和向量b行列相同。注意:点乘结果是一个标量(数量而不是向量) 定义:两个向量a与b内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = ...
  • 维数·基与坐标【】

    2020-08-22 23:01:47
    维数·基与坐标定义2 【线性组合/线性表出】定义3 【向量组线性表出/向量组等价】定义4 【线性相关/线性无关】常用结论结论1结论2结论3定义5 【线性空间的维数定义6 【向量α\alphaα的坐标】定理 定义2 【线性...
  • 高等数学(总结7--解析向量空间

    千次阅读 2015-02-08 16:00:38
    (结合律,分配律)3)向量分量坐标的方向符合右手系,向量的定义与此密切相关;4)模:a(a1,a2,..,a3) 的模|a|=(a1^2+a2^2...an^2)^(1/2);5)方向角和方向余弦:这个公式很重要,后面很多定理的证明其实都是基于此...
  • 心得-优化基础:向量空间和矩阵 线性代数基础对优化这门课是非常重要的。我总结了之前大一没有搞清楚的几个基本概念,自己学的时候,发现掌握概念这个...n维列向量是有n个数的数组,这个数组是一的,表示时候用“...
  • 首先在定义这几个名词之前,我们要知道这几个词:线性相关...矩阵我们只说秩,行列式等,我们会说某组向量可以作为某空间的基,不会说某个矩阵是基,另外这里讨论的维数并不是矩阵的维数,而是空间的维数。 线...
  • 接着引入了子空间的维数的概念,其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数(也称作秩)和子空间的维数。 坐标系 根据上一节的定义,子空间HHH中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的,所以...
  • 数学概念嘛,在不同的应用场景下意义是不大一样的,比如说对于机械或者物理的同学,向量是有长度有方向的一个指向空间的带箭头的线段,而对于从事计算机工作的我们来说,向量的定义可以是非常简单粗暴的—— ...
  • 向量的点乘与叉乘

    千次阅读 2015-07-22 11:40:50
    向量的定义包含方向和一个(长度)。在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)来表示。这里大家要特别注意,我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义...
  • 5.1.4 基、维数和坐标 定义1 设VVV是线性空间,如果VVV中有nnn个线性无关的向量,而任意n+1n+1n+1个向量 都线性相关,则称线性空间VVV是nnn维,记作dimV=ndimV=ndimV=n,而这nnn个线性无关的向量称为线性空间VVV...
  • 点积可以在任何维数的空间中定义,外积只能在三维空间中定义 点积的结果是一个标量,外积的结果是一个向量 2. 外积的定义 在R3中,假设有两个向量: 那么,与的外积是: 外积就是两个向量组成的3x2矩阵的...
  • 向量的点乘和插乘

    千次阅读 2016-04-07 20:43:09
    向量的定义包含方向和一个(长度)。在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)来表示。这里大家要特别注意,我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义...
  • 向量的点乘和叉乘

    2013-03-07 16:56:45
    向量的定义包含方向和一个(长度)。在二维空间中,一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点(1,3)到(5,1的向量可以用(4,-2)来表示。这里大家要特别注意,我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义...
  • 本节主要介绍欧氏空间最基础的概念与性质,这一点是考研中考察欧氏空间一般作为送分题,但是大家一定要按照定义去证明,切勿投机取巧,保证自己定义...岩宝小提示:在欧几里得空间的定义中,对它作为线性空间的维数...

空空如也

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向量空间的维数的定义