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  • 向量空间的维数的定义
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    2020-12-19 12:50:05

    向量 空 间 基 和 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 。 定义 工 如果在 向量空 间 中有 个线性无关的 向量 , 但是没有更多数 目的线性无关 的向量 , 那 么 称为 维的 。 在 维向量空间 中, 个线性无关的向量 。 , 。 , 一 , 。。 , 称为 的一个基 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在 向量组 。 、 , 。 , ⋯ , 。。 , 使得 , , ⋯ , 。。线性无关 的每一个向量都 可以 由。 , 。 , ⋯ , 。。线性表示则称 “ , , 。 , ⋯。。 为 的一个基 。 向量空 间 的基所含向量的个数叫做 的维数 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在有限个向量 , , , ⋯ , 。 , 使得 的每 一 个 向 量都是这 个向量的线性组合 , 则称 为有限维向量空间 , , , , ⋯ , 叫做 的一组 生 成元 , 用符号 , , , ⋯ , 。 表示 。 向量空间 的一组线性无关的生成元 , 叫做 的一个基 。 非零有限维 向量空 间 的任一基所含向量的个数 , 称为 的维数 。 以上三种定义的等价性问题 , 就是要从一种定义推 出其充分必要条件为另一种定义 , 现分别加 以证 明 。 命题 工 乡 亚 证明 由定义 工知 , 维向量空间 有 个线性无关的向量 , , , ⋯ , 。。 , 任取日任 , 并且 日, , , 。 , ⋯ , “。线性相关 , 那么 , 日可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 从而得定义 亚 。 由定义 狂的条件 知 , 向量空 间 有 个线性无关的向量 。 , , 。 , ⋯ , 。。 , 在 中任取 十个向量 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , , 由条件 , 它们可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 如果它们线性 无关 那 么 , 由替换定理 , 有 簇 , 矛盾 , 故 日 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , 线性相关 , 从而得定义 。 命题 兀 乡 证 明 由定义 , 。 , , 。 , ⋯ , 。 线性无关 , 的每一个向量都可 由。 , 。 , ⋯ , ‘ 线性表 示 于是“ , , , ⋯ , “二 是 的线性无关生成元 , 得定义 。 由定义 贾 , 若。 , , 。 , ⋯ , 。。是向量空间 的线性无关生成元 , 那么。 , 。 , ⋯ , 。 线 性无关 且 中每一向量都可 由。 , 。 ⋯ , 。, 线性表示 , 从而得定义 。 由命题 和命题 立 即得到命题 受二令 工 下面讨论求非零有限锥 向量空间基和维数的方 法 设 。 , 是零空间 , 它没有基 , 维数是零云 设 等 是数域 上的有限维向量空 间 , 中至少有一个非零向量 钾 , 它 是线性无关的 , 若 中其余向量都可 由 , 线性表示 , 则 是 的基 , 是一维的 。 若 〔 , 且 不能 由 线性表示 , 那么 , 线性无关 , 如果 中其余向量都可由 , , 线性表示 , 那么 , , 是 的基 , 且 是二维的 。 如果还有 〔 , 且 。不能 由 , , 线性表示 , 类似地 , 可取 , , 。 为 的基 。 这样的过程继续进行下去 , 因为 是有限维的 , 总可 以找到这样一 个 正 整数 , 使 得 」 , , ⋯ , 。 线性无关冬 中每一个向量均可 由 , , ⋯ ,

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    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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  • 向量空间的基与维数.ppt

    千次阅读 2020-12-19 12:50:05
    向量空间的基与维数有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、向量与向量空间 五、小结 思考题 思考题解答 机动 目录 上...

    向量空间的基与维数

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、向量与向量空间 五、小结 思考题 思考题解答 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    三、向量空间的基与维数 一、向量空间的概念 第五节 向量空间 第四章 向量组的线性相关性 二、子空间 四、小结 思考题 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    说明 2. 维向量的集合是一个向量空间,记作 . 1.集合 对于加法及乘数两种运算封闭指 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合,如果集合 非空, 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭,那么就称 集合 为向量空间. 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    . , 3 3 是一个向量空间 维向量的全体 R 例1 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    例2 判别下列集合是否为向量空间. 解 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    例3 判别下列集合是否为向量空间. 解 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    维向量,集合 为两个已知的 设 n b a , 例4 试判断集合是否为向量空间. 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    一般地, 为 { } { } . , , , , , , , , , 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 V V R b b b x V R a a a x V b b a a s s s m m m s m = ? + + + = = ? + + + = = 试证: 记 等价, 与向量组 设向量组 m m m m m m l l l l l l L L L L L L 例5 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    定义2 设有向量空间 及 ,若向量空间   , 就说 是 的子空间. 实例 设 是由 维向量所组成的向量空间, 二、子空间 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    那末,向量组 就称为向量 的一个 基, 称为向量空间 的维数,并称 为 维向量 空间. 定义3 设 是向量空间,如果 个向量 ,且满足 三、向量空间的基与维数 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    (1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间,因此它没有基. 说明 (3)若向量组 是向量空间 的一 个基,则 可表示为 (2)若把向量空间 看作向量组,那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩. 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    设矩阵 例6 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    向  量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象: 可随意 平行移动的有向线段 代数形象: 向量的 坐 标 表 示 式 坐标系 四、向量与向量空间 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    空  间 解析几何 线性代数 点空间:点的集合 向量空间:向量的集合 坐标系 代数形象: 向量空 间 中 的 平 面 几何形象: 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一 一 对 应 有生命就会有希望,有信心就会有成功,有思索就会有思路,有努力就会有收获

    叫做 维向量空间. 时, 维向量没有直观的

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  • 线性空间的基和维数

    千次阅读 2020-12-19 12:50:01
    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.一. 域F上线性空间...

    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.

    一. 域F上线性空间的定义及其简单性质

    定义1. 一个非空集合V,如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射),其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射),并满足下述8条运算法则

    1.

    2.

    3.V中有一个元素,记作0,它使得

    具有该性质的元素0称为V的零元;

    4.对于

    ,存在

    ,使得

    具有该性质的元素

    称为 V 的零元.

    5.

    其中 1 是 F 的单位元.

    6.

    7.

    8.

    那么称V是域F上的一个线性空间.

    从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质:

    性质1. V中的零元是唯一的.

    性质2. V中每个元素

    的负元是唯一的.

    性质3.

    性贾 4.

    性质 5.

    性质 6.

    二.向量集的线性相关与线性无关

    命题1. 在域F上的线性空间V中,如果向量组的一个部分组线性相关,那么这个向量组线性相关.

    命题2. 在域F上的线性空间V中,包含零向量的向量集是线性相关的.

    命题3. 在域F上的线性空间V中,元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.

    命题4. 在域F上的线性空间V中,设非零向量

    可以由向量集W线性表出,则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.

    命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组

    线性无关, 则向量

    可以由向量

    线性表出的充分必要条件为

    线性相关.

    三.基和维数

    定义2.设V是域F上的线性空间,V中的向量集S如果满足下述两个条件:

    1.向量集S是线性无关的;

    2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.

    定义3. 设V是域F上的线性空间,如果V有一个基是由有限多个向量组成,那么称V是有限维的;如果V有一个基含有无穷多个向量,那么称V是无限维的.

    定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的,那么V的任意两个基所含向量的个数相等.

    推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的,那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    证明: 假如V有一个基为

    那么可知V的任意一个基都含有n个向量,这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    定义4.设V是域F上的线性空间,如果V是有限维的,那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数,记作

    如果V是无限维的,那么记

    岩宝小提示:只含零向量的线性空间的维数为0.

    命题6. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n+1个向量都线性相关.

    命题7. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

    命题8.设V是域F上的n维线性空间,如果V中的每一个向量都可以由向量组

    线性表出,那么

    是 V 的一个基.

    命题9.设V是域F上的n维线性空间,则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设

    (1)证明:全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间,记为 C(A).

    (2)求C(A)的维数与基.

    证明 :(1)

    任意

    由于

    所以

    所以

    对任意的

    所以

    又因为矩阵都满足线性空间的运算律

    所以C(A)是R上的线性空间.

    (2)设

    且AB=BA,可得

    故可得

    为C(A)的一组基,从而

    岩宝小提示:当出现可交换矩阵的时候,一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域,

    表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合,对于矩阵的加法及数乘运算,

    是 P 上的线性空间,令

    求 V 的基.

    解:任取

    而 B 可由

    线性表示,而 c 的对角元满足

    其基础解系为

    故C可由

    线性表示,从而V的基为

    岩宝同步思考练习

    1.(2004 陕西师范大学)设

    矩阵,其中

    (1) 求 det(A).

    (2)设

    求 W 的维数及一组基.

    2.(2003武汉大学)设

    (1)求A的秩.

    (2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.

    3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数;

    (2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数

    4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组

    的解空间W是3维的,试求a,b的值,并求W的一组基,解空间有可能为2维空间吗?

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