向量 空 间 基 和 维数的等 几 价 定 义 及 求 法 龙德明 在现行各种高等代数教材中, 对于有限维 向量空 间的基和维数的定义 各不 相同 , 本文将对几种定义的等价性问题加以讨论 , 并给出有限维向量空间的基的求法 。 定义 工 如果在 向量空 间 中有 个线性无关的 向量 , 但是没有更多数 目的线性无关 的向量 , 那 么 称为 维的 。 在 维向量空间 中, 个线性无关的向量 。 , 。 , 一 , 。。 , 称为 的一个基 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在 向量组 。 、 , 。 , ⋯ , 。。 , 使得 , , ⋯ , 。。线性无关 的每一个向量都 可以 由。 , 。 , ⋯ , 。。线性表示则称 “ , , 。 , ⋯。。 为 的一个基 。 向量空 间 的基所含向量的个数叫做 的维数 。 定义 如果在 向量空间 中 , 存在有限个向量 , , , ⋯ , 。 , 使得 的每 一 个 向 量都是这 个向量的线性组合 , 则称 为有限维向量空间 , , , , ⋯ , 叫做 的一组 生 成元 , 用符号 , , , ⋯ , 。 表示 。 向量空间 的一组线性无关的生成元 , 叫做 的一个基 。 非零有限维 向量空 间 的任一基所含向量的个数 , 称为 的维数 。 以上三种定义的等价性问题 , 就是要从一种定义推 出其充分必要条件为另一种定义 , 现分别加 以证 明 。 命题 工 乡 亚 证明 由定义 工知 , 维向量空间 有 个线性无关的向量 , , , ⋯ , 。。 , 任取日任 , 并且 日, , , 。 , ⋯ , “。线性相关 , 那么 , 日可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 从而得定义 亚 。 由定义 狂的条件 知 , 向量空 间 有 个线性无关的向量 。 , , 。 , ⋯ , 。。 , 在 中任取 十个向量 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , , 由条件 , 它们可 由。 , , 。 , ⋯ , 。。线性表示 , 如果它们线性 无关 那 么 , 由替换定理 , 有 簇 , 矛盾 , 故 日 , 日 , ⋯ , 日 。 十 , 线性相关 , 从而得定义 。 命题 兀 乡 证 明 由定义 , 。 , , 。 , ⋯ , 。 线性无关 , 的每一个向量都可 由。 , 。 , ⋯ , ‘ 线性表 示 于是“ , , , ⋯ , “二 是 的线性无关生成元 , 得定义 。 由定义 贾 , 若。 , , 。 , ⋯ , 。。是向量空间 的线性无关生成元 , 那么。 , 。 , ⋯ , 。 线 性无关 且 中每一向量都可 由。 , 。 ⋯ , 。, 线性表示 , 从而得定义 。 由命题 和命题 立 即得到命题 受二令 工 下面讨论求非零有限锥 向量空间基和维数的方 法 设 。 , 是零空间 , 它没有基 , 维数是零云 设 等 是数域 上的有限维向量空 间 , 中至少有一个非零向量 钾 , 它 是线性无关的 , 若 中其余向量都可 由 , 线性表示 , 则 是 的基 , 是一维的 。 若 〔 , 且 不能 由 线性表示 , 那么 , 线性无关 , 如果 中其余向量都可由 , , 线性表示 , 那么 , , 是 的基 , 且 是二维的 。 如果还有 〔 , 且 。不能 由 , , 线性表示 , 类似地 , 可取 , , 。 为 的基 。 这样的过程继续进行下去 , 因为 是有限维的 , 总可 以找到这样一 个 正 整数 , 使 得 」 , , ⋯ , 。 线性无关冬 中每一个向量均可 由 , , ⋯ ,

关于向量个数和向量位数，我贴一张图大家就明白了



 向量空间维数的定义



下面是线性空间的定义，元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。



向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩，向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

具体大家也可以看这里：https://www.zhihu.com/question/35672869

本节主要知识点

1.向量空间的定义：对加法和乘法运算封闭的非空的n维向量的集合

2.向量空间的基：向量空间中一组线性无关的向量，并且其他向量可以用这组向量线性表示。一组基中含有的向量个数为向量空间的维数。向量空间的基不是唯一的，但维数是确定的。

3.内积：对应坐标相乘后累加即可。

4.范数：向量的模长，及向量本身做内积后的算术平方根的值。

5.基的正交规范化：向量空间的一组基，两两正交而且每个向量均为单位向量。



 

 



 

线性无关（Independent）
一系列的向量无论经过怎样的线性组合都得不到0向量。

以上说的是它的定义，按实际我们用什么方法来判断几个向量是否线性无关呢？

1.我们把一系列向量写成矩阵形式A，如果A的零空间只有零向量，那么代表A中各向量线性无关

如果A的零空间不只有零向量，那么代表A中各向量线性相关。

2.依然是构成一个矩阵A，如果矩阵的秩是等于向量个数，那么各向量线性无关，不等于线性相关。

向量组构成一个向量空间也就是说向量空间包括该向量组向量的线性组合。
向量空间的基是指一系列的向量
这些向量的两大性质（不多不少）

1，他们是线性无关的（不能过多）

2，它们能生成整个空间（不能过少）

基如果是一个方阵，根据我们之前对可逆矩阵的判断方法学习，以上两个性质可直接用可逆来代替。

维数

对于给定空间，它的基有很多种，但是基的向量个数一定是相同的，这里所说的向量个数也就是维数。

对维数的理解，一个m×n的矩阵，

列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩r，

零空间的维数=矩阵自由变量的个数n-r。

举例说明上述意义。

如图所示，一个3×4的矩阵。

很显然这里的四个向量是线性相关的，经过消元我们也可以得到它的秩是2，列空间的维数是2，说明它们能够构成一个二维的空间。

A有两个自由变量，那我们可以算出它的一个特解



很显然它是线性无关的，维数为2，也就是自由变量的个数。