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  • 向量线性无关的充要条件
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    2021-11-15 20:39:44

    矩阵对角化的充要条件:n阶矩阵对角化的充要条件是其有n个线性无关的特征向量。

    • 如果可以对角化,对角线上就是特征值。
    • 即便只是三角化,对角线上也是特征值。

    注意:满秩的矩阵不一定有n个线性无关的特征向量;对称矩阵一定可以对角化。

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    证 明 n 阶 方 阵 A 可 相 似 对 角 化 的 充 要 条 件 是 A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 证 明 : 必 要 性 : 已 知 A 可 以 相 似 对 角 化 , 则 存 在 可 逆 矩 阵 P P − 1 A P = ( λ 1 λ 2 … λ n ) A P = P ( λ 1 λ 2 … λ n ) 对 P 的 每 列 进 行 分 块 , 有 P = [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] , 于 是 有 A [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] = [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] ( λ 1 λ 2 … λ n ) [ A x 1 ∣ A x 2 ∣ … ∣ A x n ] = [ λ 1 x 1 ∣ λ 2 x 2 ∣ … ∣ λ n x n ] 有 A x i = λ i x i 因 为 P 可 逆 , 所 以 x i 线 性 无 关 , 可 知 A 有 n 个 线 性 无 关 特 征 向 量 充 分 性 : 已 知 A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 , A x i = λ i x i , x i 线 性 无 关 有 [ A x 1 ∣ A x 2 ∣ … ∣ A x n ] = [ λ 1 x 1 ∣ λ 2 x 2 ∣ … ∣ λ n x n ] A [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] = [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] ( λ 1 λ 2 … λ n ) 令 P = [ x 1 ∣ x 2 ∣ … ∣ x n ] A P = P ( λ 1 λ 2 … λ n ) P − 1 A P = ( λ 1 λ 2 … λ n ) \begin{aligned} & 证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量\\ & 证明:\\ & 必要性:已知A可以相似对角化,则存在可逆矩阵P\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & 对P的每列进行分块,有P=[x_1|x_2|\dots|x_n],于是有 \\\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & [Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & 有Ax_i = \lambda_ixi\\ & 因为P可逆,所以x_i线性无关,可知A有n个线性无关特征向量\\ \\ & 充分性:已知A有n个线性无关的特征向量,Ax_i=\lambda_ix_i,x_i线性无关\\ & 有[Ax_1|Ax_2|\dots|Ax_n] = [\lambda_1x_1|\lambda_2x_2|\dots|\lambda_nx_n]\\ & A[x_1|x_2|\dots|x_n] = [x_1|x_2|\dots|x_n]\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} 令P=[x_1|x_2|\dots|x_n]\\\\ & AP = P\begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix}\\ & P^{-1}AP = \begin{pmatrix} & \lambda_1 \\ & \quad & \lambda_2 \\ & \quad & \quad & \dots \\ & \quad & \quad & \quad & \lambda_n & \end{pmatrix} & \end{aligned} nAAn线APP1AP=λ1λ2λnAP=Pλ1λ2λnPP=[x1x2xn]A[x1x2xn]=[x1x2xn]λ1λ2λn[Ax1Ax2Axn]=[λ1x1λ2x2λnxn]Axi=λixiPxi线An线An线Axi=λixixi线[Ax1Ax2Axn]=[λ1x1λ2x2λnxn]A[x1x2xn]=[x1x2xn]λ1λ2λnP=[x1x2xn]AP=Pλ1λ2λnP1AP=λ1λ2λn

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  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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    证明:

    充分性

    取n阶矩阵A的特征值,相对应的特征向量线性无关,

    即有:

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ i=1,2,...,n $

    $P=(x_1,x_2,...,x_n) $,则P非奇异

    $AP=A(x_1,x_2,...x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n)=(x_1,x_2,...x_n) \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 &\lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &...& \lambda_n \end{bmatrix} =Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$

    所以 等式两边同时左乘可得

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

     

     

    必要性

    取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

    等式两边同时左乘P可得

    $AP=Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,....,\lambda_n) $

    $(Ax_1,Ax_2,...,Ax_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n) $

    所以

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ \ i=1,2,...,n $

    因此,P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量,由于P非奇异,x_1,x_2,...,x_n线性无关。

     

     

     

     

     

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