证明：

充分性

取n阶矩阵A的特征值，相对应的特征向量线性无关，

即有：



令，则P非奇异



所以 等式两边同时左乘可得



 

 

必要性

取n阶矩阵A与对角矩阵相似，则存在非奇异矩阵使



等式两边同时左乘P可得



即



所以



因此，P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量，由于P非奇异，线性无关。

 

 

 

 

 

n维列向量组α1,α2,...,αm,m<n线性无关，则n维列向量组β1,β2,...,βm线性无关的充要条件是（D） 

A. 向量组α1,α2,...,αm可由向量组β1,β2,...,βm线性表出 

B. 向量组β1,β2,...,βm可由α1,α2,...,αm线性表出 

C. 向量组α1,α2,...,αm与β1,β2,...,βm等价 

D. 矩阵[α1,α2,...,αm]矩阵[β1,β2,...,βm]等价

分析：主要想思考一种向量空间与子空间的概念。 

线性代数应当是非常形象的，如果引入了子空间的概念的话。比如这里，n维的向量张开的是n维空间，那么从中取出m个，且m<n，即使是m个线性无关向量，得到的是在n维下开辟的子空间，是n维空间的一个子集。

因此，A项中，即使β1,β2,...,βm线性无关，与α1,α2,...,αm线性无关，得到的子空间不必是同一个。那么在不同子空间下，两个向量组任何一方都不能线性表出对方。而当α1,α2,...,αm能够被β1,β2,...,βm线性表出时，可以得到的是β1,β2,...,βm一定是线性无关，且它们张开的是同一个子空间。这里需要的是充要条件，因此A项不行。

对于B项，m个线性无关向量组可以表达的是在自己的子空间内的向量，可以是子空间的子空间。因此β1,β2,...,βm只会比α1,α2,...,αm更小，也即不可能是线性无关。

C项是一个充分条件，限定了两个向量组等价（可以互相线性表出），也就意味着二者是同一个子空间。当然可以得到两个向量组线性无关，但是反过来无法推导。

D项是合理的，矩阵的等价表示二者可以初等行变换得到。即二者形成的矩阵秩相等。因此可以互相推导。即充要条件。

update：关于子空间的理解，有待深化理解。马克之。

对角化：若方阵A相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P和对角矩阵D，有，则称A可对角化。

可对角化的充要条件：

n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

充分性证明：

设A的n个线性无关的特征向量为，对应的特征值为，特征向量构成矩阵P=[].则：



将对角矩阵记为D，则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关，所以P=[]可逆，所以，即A可对角化。

必要性证明：

A可对角化，即，可得AP = PD.

设P的列元素为，即P=[]，设对角矩阵D为.

则：

；

；

由AP = PD得：.因为P可逆，显然都不为0，所以是A的特征值，是A的特征向量且线性无关。得证。

参考资料：David.C.Lay《线性代数及其应用》

１、一些名词：
向量组，向量组A的一个线性组合，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，向量空间，解空间，向量组生成的向量空间，向量空间的基，向量空间的维数，r维向量空间
２、[定理１]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。
３、若A与B列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价；若A与B行等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。
４、[定理２]向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵[A,B]的秩，即R(A)=R(A,B)。
[推论]向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)。
５、[定理３]设向量组B能由向量组A线性表示，则R(B)<=R(A)。
６、向量组线性相关的意义：当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时，方程组是线性相关的；当方程组没有多余方程的时候，就称该方程组线性无关。
７、[定理４]向量组[a1,a2,a3,a4...,an]线性相关的充要条件是他所构成的矩阵A的秩R(A)<n；向量组[a1,a2,a3,...,an]线性无关的充要条件是A的秩R(A)=n。
８、[定理５]
（１）如果向量组A:a1,a2,...,an线性相关，则向量组B：a1,a2,a3,...,an,an+1线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。
（２）[a1,a2,a3,...,am]，如果ai是n*1的向量，并且n<m，那么该向量组一定线性相关，特别的，n+1个n维列向量一定线性相关。
（３）设向量组A线性无关，[A,b]线性相关，那么b必能由A线性表示，并且该表示是唯一的。
９、[定理６]矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。
10、[推论]（最大无关组的等价定义）
设向量组A0：a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组，并且：
（i）向量组A0线性无关。
（ii）向量组A的任意向量都能由A0线性表示。
那么向量组A0就是向量组A的一个最大无关组。
11、[定理2']向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,m,b1,b2,...,bl)。
12、[定理３‘]若向量组B能由向量组A线性表示，那么R(B)<=R(A)。
13、齐次线性方程组解的性质：
[性质１]若Ax1=0,Ax2=0,那么A(x1+x2)=０；
[性质２]若Ax1=0,那么A(kx1)＝０；
14、[定理７]设m*n矩阵A的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r。
15、一个重要结论：若A与B列数相同，那么要证R(A)=R(B)，只需要证明Ax=0与Bx=0同解。
16、非齐次线性方程组解的性质：[非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解]
[性质３]设Ax1=b,Ax2=b，那么x=x1-x2也是Ax=b的解。
[性质４]设x=x1是Ax=0的解，x2是Ax=b的解，那么x1+x2也是Ax=b的解。
17、经典例题
P88例题6，P90例题7，P91例题8，P91例题12，P100页例题13例题15，P105页例题24，P106页例题25，P108,12,17,19,22,31题。