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  • 取n阶矩阵A特征值,相对应特征向量线性无关, 即有: 令,则P非奇异 所以 等式两边同时左乘可得     必要性 取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使 等式两边同时左乘P可得 即 ...

    证明:

    充分性

    取n阶矩阵A的特征值,相对应的特征向量线性无关,

    即有:

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ i=1,2,...,n $

    $P=(x_1,x_2,...,x_n) $,则P非奇异

    $AP=A(x_1,x_2,...x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n)=(x_1,x_2,...x_n) \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 &\lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &...& \lambda_n \end{bmatrix} =Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$

    所以 等式两边同时左乘可得

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

     

     

    必要性

    取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

    等式两边同时左乘P可得

    $AP=Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,....,\lambda_n) $

    $(Ax_1,Ax_2,...,Ax_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n) $

    所以

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ \ i=1,2,...,n $

    因此,P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量,由于P非奇异,x_1,x_2,...,x_n线性无关。

     

     

     

     

     

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  • n维列向量组α1,α2,...,αm,m, \alpha_2,...,\alpha_m, m 线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是(D) A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha...

    n维列向量组α1,α2,...,αm,m<n线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm线性无关的充要条件是(D)
    A. 向量组α1,α2,...,αm可由向量组β1,β2,...,βm线性表出
    B. 向量组β1,β2,...,βm可由α1,α2,...,αm线性表出
    C. 向量组α1,α2,...,αmβ1,β2,...,βm等价
    D. 矩阵[α1,α2,...,αm]矩阵[β1,β2,...,βm]等价

    分析:主要想思考一种向量空间与子空间的概念。
    线性代数应当是非常形象的,如果引入了子空间的概念的话。比如这里,n维的向量张开的是n维空间,那么从中取出m个,且m<n,即使是m个线性无关向量,得到的是在n维下开辟的子空间,是n维空间的一个子集。

    因此,A项中,即使β1,β2,...,βm线性无关,与α1,α2,...,αm线性无关,得到的子空间不必是同一个。那么在不同子空间下,两个向量组任何一方都不能线性表出对方。而当α1,α2,...,αm能够被β1,β2,...,βm线性表出时,可以得到的是β1,β2,...,βm一定是线性无关,且它们张开的是同一个子空间。这里需要的是充要条件,因此A项不行。

    对于B项,m个线性无关向量组可以表达的是在自己的子空间内的向量,可以是子空间的子空间。因此β1,β2,...,βm只会比α1,α2,...,αm更小,也即不可能是线性无关。

    C项是一个充分条件,限定了两个向量组等价(可以互相线性表出),也就意味着二者是同一个子空间。当然可以得到两个向量组线性无关,但是反过来无法推导。

    D项是合理的,矩阵的等价表示二者可以初等行变换得到。即二者形成的矩阵秩相等。因此可以互相推导。即充要条件。

    update:关于子空间的理解,有待深化理解。马克之。

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  • 矩阵可对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
    可对角化的充要条件: n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。 充分性证明: 设A的n个线性无关的特征向量为,对应的特征值为,特征向量构成矩阵P=[].则: 将对角矩阵记为D,则上式...

    对角化:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有A = PDP^{-1},则称A可对角化。

    可对角化的充要条件

    n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。

    充分性证明

    设A的n个线性无关的特征向量为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},对应的特征值为\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n},特征向量构成矩阵P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}].则:

    AP = A[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}] = [A\alpha _{1},A\alpha _{2},...,A\alpha _{n}] = [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}] = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}

    将对角矩阵\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}记为D,则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关,所以P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]可逆,所以A = PDP^{-1},即A可对角化。

    必要性证明

    A可对角化,即A = PDP^{-1},可得AP = PD.

    设P的列元素为\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},即P=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}],设对角矩阵D为\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}.

    则:

    PD = [\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}]\begin{bmatrix} \lambda _{1} & 0 & . & . & 0\\ 0 & \lambda _{2} & . & . & .\\ . & .& . & . &. \\ .& . & . & . &0 \\ 0& . & . & 0& \lambda _{n} \end{bmatrix}= [\lambda _{1}\alpha _{1},\lambda _{2}\alpha _{2},...,\lambda _{n}\alpha _{n}]

    由AP = PD得:A\alpha _{1} = \lambda _{1}\alpha _{1},A\alpha _{2} = \lambda _{2}\alpha _{2},...,A\alpha _{n} = \lambda _{n}\alpha _{n}.因为P可逆,显然\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}都不为0,所以\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}是A的特征值,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}是A的特征向量且线性无关。得证。

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    参考资料:David.C.Lay《线性代数及其应用》

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  • 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。 3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。 4、[定理2]向量组B能由向量

    1、一些名词:

    向量组,向量组A的一个线性组合,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,向量空间,解空间,向量组生成的向量空间,向量空间的基,向量空间的维数,r维向量空间

    2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。

    3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。

    4、[定理2]向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵[A,B]的秩,即R(A)=R(A,B)。

    [推论]向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    5、[定理3]设向量组B能由向量组A线性表示,则R(B)<=R(A)。

    6、向量组线性相关的意义:当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时,方程组是线性相关的;当方程组没有多余方程的时候,就称该方程组线性无关。

    7、[定理4]向量组[a1,a2,a3,a4...,an]线性相关的充要条件是他所构成的矩阵A的秩R(A)<n;向量组[a1,a2,a3,...,an]线性无关的充要条件是A的秩R(A)=n。

    8、[定理5]

    (1)如果向量组A:a1,a2,...,an线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,...,an,an+1线性相关;反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。

    (2)[a1,a2,a3,...,am],如果ai是n*1的向量,并且n<m,那么该向量组一定线性相关,特别的,n+1个n维列向量一定线性相关。

    (3)设向量组A线性无关,[A,b]线性相关,那么b必能由A线性表示,并且该表示是唯一的。

    9、[定理6]矩阵的秩等于他的列向量组的秩,也等于他的行向量组的秩。

    10、[推论](最大无关组的等价定义)

    设向量组A0:a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组,并且:

    (i)向量组A0线性无关。

    (ii)向量组A的任意向量都能由A0线性表示。

    那么向量组A0就是向量组A的一个最大无关组。

    11、[定理2']向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,m,b1,b2,...,bl)。

    12、[定理3‘]若向量组B能由向量组A线性表示,那么R(B)<=R(A)。

    13、齐次线性方程组解的性质:

    [性质1]若Ax1=0,Ax2=0,那么A(x1+x2)=0;

    [性质2]若Ax1=0,那么A(kx1)=0;

    14、[定理7]设m*n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r。

    15、一个重要结论:若A与B列数相同,那么要证R(A)=R(B),只需要证明Ax=0与Bx=0同解。

    16、非齐次线性方程组解的性质:[非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解]

    [性质3]设Ax1=b,Ax2=b,那么x=x1-x2也是Ax=b的解。

    [性质4]设x=x1是Ax=0的解,x2是Ax=b的解,那么x1+x2也是Ax=b的解。

    17、经典例题

    P88例题6,P90例题7,P91例题8,P91例题12,P100页例题13例题15,P105页例题24,P106页例题25,P108,12,17,19,22,31题。


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