证明：
 
充分性
 
取n阶矩阵A的特征值，相对应的特征向量线性无关，
 
即有：
 
 
令，则P非奇异
 
 
所以 等式两边同时左乘可得
 
 
 
 
 
 
必要性
 
取n阶矩阵A与对角矩阵相似，则存在非奇异矩阵使
 
 
等式两边同时左乘P可得
 
 
即
 
 
所以
 
 
因此，P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量，由于P非奇异，线性无关。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

线性代数之线性相关线性表示的求法
 
线性相关
 
向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量，若存在一组不全为0的 
 
   使得  则 是线性相关的，反之线性无关。 
 
线性无关即等价于以下命题：
 
线性不相关
找不到一组不全0的   使得 
  全为0
几种情况:
 
关于单个向量
 
向量组中两个向量成比例，则两个向量必线性相关
含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k，其余均为0)
一个零向量必线性相关
一个非零向量必然线性无关
一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量
线性表示
 
如果向量   则b是向量组A的线性组合，这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解，全是0也是有解。 
 
特别的：
 
线性表示时系数可以全是0
0向量可有任意向量组表示。
任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示
 
 
线性相关例子汇总
 
判断线性相关（不含参数）
 
该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。
 
#Sample1（示例一）,判断如下向量组是否线性相关：
 
1： 
 
2：
 
解：针对第一题：
 
Step1：首先我们先立方程 
 
针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关（无解）。
 
Step2：于是我们得到下式：
 
 
Step3： 我们对k的行列式化简得到如下行列式：
 
 
该行列式不为0，所以当前关于k的方程组有唯一解，即
 
 所以当前向量组里的向量 线性无关。
 
针对第二题：同样的思路
 
Step1：设
 
Step2：于是我们得到
 
 
Step3：针对k化简得到如下行列式，易得其为0,所以k有非零解。
 
 
Step4：因为关于k的解有无穷个，所有这里取
 
 
换言之存在不全为0的数使得 即 线性相关。
 
判断线性相关(含参数)
 
针对这种类型的问题，一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵，对矩阵做行(列)变换，使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行（列）为零行来判断向量组的线性相关性。（参数所在行全为0则行列式为0，线性无关，否则相关）。
 
#Sample2（示例二）：已知向量组
 
判断其相关性。
 
解：
 
Step1：因这里向量组的向量个数和向量的维数相同，所以可以按照列组成行列式。
 
 
Step2：第1行的-1倍加到第2行上去，第1行的-5倍加到第3行上去，则得:
 
 
即行列式等于2(t-1)
 
Step3:针对Step2里的t进行讨论，如果t=1，则行列式等于0(即方程有无穷非非零解)，则线性相关，如果t≠1则行列式不等于0（即方程只有零解），则线性无关。
 
线性表示例子汇总
 
阶梯法判断线性表示
 
利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。
 
#Sample3（示例三）
 
向量β=（4,4,1，2）是否可由如下向量组线性表示，如果可以，写出表达式。
 
1:
 
2:
 
解：
 
针对第一题：
 
Step1：用 作为列向量构成矩阵A，则A为
 
 
 
Step2：交换第1和第2行，则化为：
 
 
Step3：第1行的2倍加到第2行上去，第1行的5倍加到第4行上去，第1行乘-1，则最终化为：
 
 
Step4：在对step3里的矩阵化简，第3行的3倍加到第2、4行上去，则得：
 
 
Step5：在对step4里的矩阵化简，第2行的-3倍加到第3行上去，第2行的1倍加到第3行上去，则得：
 
 
Step6：在对step5里的矩阵化简，第3行的1倍加到第4行上去，第3行除以-5，则得：
 
 
Step7：由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩（阶梯型里非零行的行数）是4，所以该向量组的秩必定包含β，即β不能由 线性表示。
 
 
针对第二题：
 
类似第一题，可将构成的矩阵
 
 
化简为：
 
 
则可见即β可由 线性表示，即
 
 

特征向量的线性无关性
 
设 $\lambda_1, \cdots,  \lambda_m$ 是线性变换 $f$ 的 $m$ 个不同的特征值， 
 $\xi_{i1}, \cdots, \xi_{in_i}$ 是属于 $\lambda_i$ 的 $n_i$ 个线性无关的特征向量， 
 则所有这些这些向量组成的向量组： 
 $\xi_{11}, \cdots, \xi_{1n_1}, \cdots, \xi_{m1}, \cdots, \xi_{mn_m}$也线性无关。
 
证明
 
命题就是： 
 $\sum \limits_{i = 1} ^{m} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0} \Rightarrow k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,$
 
$m = 1$ 时命题显然成立。 
 假设 $m$ 时命题成立。则 $m + 1$ 时： 
 设 $\sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 则 $f (\sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} )= f(\vec {0}) = \vec {0}$ 
 $\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} f( \xi_{ij} ) =  \vec {0}$ 
 $\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij}  \lambda_i \xi_{ij} =  \vec {0}$ 
 $\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1}  \lambda_i \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij}  \xi_{ij} =  \vec {0}$ 
 又 $\lambda_{m + 1} \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 $\Rightarrow  \sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} \lambda_{m + 1} \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 因此 $\sum \limits_{i = 1} ^{m + 1} (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 $\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m} (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) \sum \limits_{j = 1} ^{n_i}k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 $\Rightarrow \sum \limits_{i = 1} ^{m}\sum \limits_{j = 1} ^{n_i}  (\lambda_i - \lambda_{m + 1}) k_{ij} \xi_{ij} = \vec {0}$ 
 由归纳假设，$(\lambda_i - \lambda_{m + 1}) k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,$ 
 由于 $\lambda_i \neq \lambda_{m + 1}, i, \in \mathbb N, 1 \le i \le m,$ 因此 
 $k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,$ 
 于是 $\sum \limits_{j = 1} ^{n_{m + 1}}k_{{(m + 1)}j} \xi_{{(m + 1)}j} = \vec {0}$ 
 $\Rightarrow  k_{{(m + 1)}j} = 0, j \in \mathbb N,  1 \le j \le n_{m + 1},$ 
 因此 $k_{ij} = 0, i, j \in \mathbb N, 1 \le i \le m, 1 \le j \le n_i,$

n维列向量组$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m, m < n$线性无关，则n维列向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$线性无关的充要条件是（D） 
 A. 向量组$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$可由向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$线性表出 
 B. 向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$可由$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$线性表出 
 C. 向量组$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$与$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$等价 
 D. 矩阵$[\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m]$矩阵$[\beta_1,\beta_2,...,\beta_m]$等价
 
分析：主要想思考一种向量空间与子空间的概念。 
 线性代数应当是非常形象的，如果引入了子空间的概念的话。比如这里，n维的向量张开的是n维空间，那么从中取出m个，且$m < n$，即使是m个线性无关向量，得到的是在n维下开辟的子空间，是n维空间的一个子集。
 
因此，A项中，即使$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$线性无关，与$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$线性无关，得到的子空间不必是同一个。那么在不同子空间下，两个向量组任何一方都不能线性表出对方。而当$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$能够被$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$线性表出时，可以得到的是$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$一定是线性无关，且它们张开的是同一个子空间。这里需要的是充要条件，因此A项不行。
 
对于B项，m个线性无关向量组可以表达的是在自己的子空间内的向量，可以是子空间的子空间。因此$\beta_1,\beta_2,...,\beta_m$只会比$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m$更小，也即不可能是线性无关。
 
C项是一个充分条件，限定了两个向量组等价（可以互相线性表出），也就意味着二者是同一个子空间。当然可以得到两个向量组线性无关，但是反过来无法推导。
 
D项是合理的，矩阵的等价表示二者可以初等行变换得到。即二者形成的矩阵秩相等。因此可以互相推导。即充要条件。
 
update：关于子空间的理解，有待深化理解。马克之。