$$\begin{array}{rlr}& 证明n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量& \\ & 证明：& \\ & 必要性：已知A可以相似对角化，则存在可逆矩阵P& \\ & P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)& \\ & & \\ & AP=P\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)& \\ & 对P的每列进行分块，有P=[x_1|x_2|\dots |x_n]，于是有& \\ & & \\ & A[x_1|x_2|\dots |x_n]=[x_1|x_2|\dots |x_n]\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)& \\ & [A{x}_1|A{x}_2|\dots |A{x}_n]=[{\lambda }_1{x}_1|{\lambda }_2{x}_2|\dots |{\lambda }_n{x}_n]& \\ & 有A{x}_i={\lambda }_{i}xi& \\ & 因为P可逆，所以x_i线性无关，可知A有n个线性无关特征向量& \\ & & \\ & 充分性：已知A有n个线性无关的特征向量，A{x}_i={\lambda }_i{x}_i，x_i线性无关& \\ & 有[A{x}_1|A{x}_2|\dots |A{x}_n]=[{\lambda }_1{x}_1|{\lambda }_2{x}_2|\dots |{\lambda }_n{x}_n]& \\ & A[x_1|x_2|\dots |x_n]=[x_1|x_2|\dots |x_n]\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)令P=[x_1|x_2|\dots |x_n]& \\ & & \\ & AP=P\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)& \\ & P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccccc}& {\lambda }_1& & & & \\ & & {\lambda }_2& & & \\ & & & \dots & & \\ & & & & {\lambda }_n& \end{array}\right)& \end{array}$$

线性代数之线性相关线性表示的求法

线性相关

向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量，若存在一组不全为0的 

  使得 则 是线性相关的，反之线性无关。 

线性无关即等价于以下命题：

1. 线性不相关
2. 找不到一组不全0的   使得
3.  全为0

几种情况:

关于单个向量

1. 向量组中两个向量成比例，则两个向量必线性相关
2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k，其余均为0)
3. 一个零向量必线性相关
4. 一个非零向量必然线性无关
5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

线性表示

如果向量   则b是向量组A的线性组合，这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解，全是0也是有解。 

特别的：

1. 线性表示时系数可以全是0
2. 0向量可有任意向量组表示。

任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

线性相关例子汇总

判断线性相关（不含参数）

该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。

#Sample1（示例一）,判断如下向量组是否线性相关：

1：

2：

解：针对第一题：

Step1：首先我们先立方程

针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关（无解）。

Step2：于是我们得到下式：

Step3： 我们对k的行列式化简得到如下行列式：

该行列式不为0，所以当前关于k的方程组有唯一解，即

所以当前向量组里的向量 线性无关。

针对第二题：同样的思路

Step1：设

Step2：于是我们得到

Step3：针对k化简得到如下行列式，易得其为0,所以k有非零解。

Step4：因为关于k的解有无穷个，所有这里取

换言之存在不全为0的数使得 即 线性相关。

判断线性相关(含参数)

针对这种类型的问题，一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵，对矩阵做行(列)变换，使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行（列）为零行来判断向量组的线性相关性。（参数所在行全为0则行列式为0，线性无关，否则相关）。

#Sample2（示例二）：已知向量组

判断其相关性。

解：

Step1：因这里向量组的向量个数和向量的维数相同，所以可以按照列组成行列式。

Step2：第1行的-1倍加到第2行上去，第1行的-5倍加到第3行上去，则得:

即行列式等于2(t-1)

Step3:针对Step2里的t进行讨论，如果t=1，则行列式等于0(即方程有无穷非非零解)，则线性相关，如果t≠1则行列式不等于0（即方程只有零解），则线性无关。

线性表示例子汇总

阶梯法判断线性表示

利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

#Sample3（示例三）

向量β=（4,4,1，2）是否可由如下向量组线性表示，如果可以，写出表达式。

1:

2:

解：

针对第一题：

Step1：用 作为列向量构成矩阵A，则A为

 

Step2：交换第1和第2行，则化为：

Step3：第1行的2倍加到第2行上去，第1行的5倍加到第4行上去，第1行乘-1，则最终化为：

Step4：在对step3里的矩阵化简，第3行的3倍加到第2、4行上去，则得：

Step5：在对step4里的矩阵化简，第2行的-3倍加到第3行上去，第2行的1倍加到第3行上去，则得：

Step6：在对step5里的矩阵化简，第3行的1倍加到第4行上去，第3行除以-5，则得：

Step7：由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩（阶梯型里非零行的行数）是4，所以该向量组的秩必定包含β，即β不能由 线性表示。

针对第二题：

类似第一题，可将构成的矩阵

化简为：

则可见即β可由 线性表示，即

证明：

充分性

取n阶矩阵A的特征值，相对应的特征向量线性无关，

即有：

令，则P非奇异

所以 等式两边同时左乘可得

 

 

必要性

取n阶矩阵A与对角矩阵相似，则存在非奇异矩阵使

等式两边同时左乘P可得

即

所以

因此，P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量，由于P非奇异，线性无关。