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任意n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是有n个线性无关的特征向量
2018-10-04 09:44:24取n阶矩阵A的特征值,相对应的特征向量线性无关, 即有: 令,则P非奇异 所以 等式两边同时左乘可得 必要性 取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使 等式两边同时左乘P可得 即 ...证明:
充分性
取n阶矩阵A的特征值
,相对应的特征向量
线性无关,
即有:
令
,则P非奇异
所以 等式两边同时左乘
可得
必要性
取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵
使
等式两边同时左乘P可得
即
所以
因此,P的列向量就是其特征值λi
对应的特征向量,由于P非奇异,
线性无关。
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关于两个向量组的线性无关与表出问题
2016-10-21 19:23:06n维列向量组α1,α2,...,αm,m, \alpha_2,...,\alpha_m, m 线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是(D) A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha...n维列向量组α1,α2,...,αm,m<n线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm线性无关的充要条件是(D)
A. 向量组α1,α2,...,αm可由向量组β1,β2,...,βm线性表出
B. 向量组β1,β2,...,βm可由α1,α2,...,αm线性表出
C. 向量组α1,α2,...,αm与β1,β2,...,βm等价
D. 矩阵[α1,α2,...,αm]矩阵[β1,β2,...,βm]等价分析:主要想思考一种向量空间与子空间的概念。
线性代数应当是非常形象的,如果引入了子空间的概念的话。比如这里,n维的向量张开的是n维空间,那么从中取出m个,且m<n,即使是m个线性无关向量,得到的是在n维下开辟的子空间,是n维空间的一个子集。因此,A项中,即使β1,β2,...,βm线性无关,与α1,α2,...,αm线性无关,得到的子空间不必是同一个。那么在不同子空间下,两个向量组任何一方都不能线性表出对方。而当α1,α2,...,αm能够被β1,β2,...,βm线性表出时,可以得到的是β1,β2,...,βm一定是线性无关,且它们张开的是同一个子空间。这里需要的是充要条件,因此A项不行。
对于B项,m个线性无关向量组可以表达的是在自己的子空间内的向量,可以是子空间的子空间。因此β1,β2,...,βm只会比α1,α2,...,αm更小,也即不可能是线性无关。
C项是一个充分条件,限定了两个向量组等价(可以互相线性表出),也就意味着二者是同一个子空间。当然可以得到两个向量组线性无关,但是反过来无法推导。
D项是合理的,矩阵的等价表示二者可以初等行变换得到。即二者形成的矩阵秩相等。因此可以互相推导。即充要条件。
update:关于子空间的理解,有待深化理解。马克之。
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矩阵可对角化的充要条件及证明
2018-08-04 22:37:04可对角化的充要条件: n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。 充分性证明: 设A的n个线性无关的特征向量为,对应的特征值为,特征向量构成矩阵P=[].则: 将对角矩阵记为D,则上式...对角化:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有
,则称A可对角化。
可对角化的充要条件:
n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量。
充分性证明:
设A的n个线性无关的特征向量为
,对应的特征值为
,特征向量构成矩阵P=[
].则:
将对角矩阵
记为D,则上式可化简为AP = PD。因为n个特征向量线性无关,所以P=[
]可逆,所以
,即A可对角化。
必要性证明:
A可对角化,即
,可得AP = PD.
设P的列元素为
,即P=[
],设对角矩阵D为
.
则:
;
;
由AP = PD得:
.因为P可逆,显然
都不为0,所以
是A的特征值,
是A的特征向量且线性无关。得证。
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考研第5天-线性代数-向量组的线性相关性
2016-05-28 20:56:292、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。 3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。 4、[定理2]向量组B能由向量组1、一些名词:
向量组,向量组A的一个线性组合,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,向量空间,解空间,向量组生成的向量空间,向量空间的基,向量空间的维数,r维向量空间
2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。
3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。
4、[定理2]向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵[A,B]的秩,即R(A)=R(A,B)。
[推论]向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)。
5、[定理3]设向量组B能由向量组A线性表示,则R(B)<=R(A)。
6、向量组线性相关的意义:当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时,方程组是线性相关的;当方程组没有多余方程的时候,就称该方程组线性无关。
7、[定理4]向量组[a1,a2,a3,a4...,an]线性相关的充要条件是他所构成的矩阵A的秩R(A)<n;向量组[a1,a2,a3,...,an]线性无关的充要条件是A的秩R(A)=n。
8、[定理5]
(1)如果向量组A:a1,a2,...,an线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,...,an,an+1线性相关;反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。
(2)[a1,a2,a3,...,am],如果ai是n*1的向量,并且n<m,那么该向量组一定线性相关,特别的,n+1个n维列向量一定线性相关。
(3)设向量组A线性无关,[A,b]线性相关,那么b必能由A线性表示,并且该表示是唯一的。
9、[定理6]矩阵的秩等于他的列向量组的秩,也等于他的行向量组的秩。
10、[推论](最大无关组的等价定义)
设向量组A0:a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组,并且:
(i)向量组A0线性无关。
(ii)向量组A的任意向量都能由A0线性表示。
那么向量组A0就是向量组A的一个最大无关组。
11、[定理2']向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,m,b1,b2,...,bl)。
12、[定理3‘]若向量组B能由向量组A线性表示,那么R(B)<=R(A)。
13、齐次线性方程组解的性质:
[性质1]若Ax1=0,Ax2=0,那么A(x1+x2)=0;
[性质2]若Ax1=0,那么A(kx1)=0;
14、[定理7]设m*n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r。
15、一个重要结论:若A与B列数相同,那么要证R(A)=R(B),只需要证明Ax=0与Bx=0同解。
16、非齐次线性方程组解的性质:[非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解]
[性质3]设Ax1=b,Ax2=b,那么x=x1-x2也是Ax=b的解。
[性质4]设x=x1是Ax=0的解,x2是Ax=b的解,那么x1+x2也是Ax=b的解。
17、经典例题
P88例题6,P90例题7,P91例题8,P91例题12,P100页例题13例题15,P105页例题24,P106页例题25,P108,12,17,19,22,31题。
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