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  • 取n阶矩阵A的特征值,相对应的特征向量线性无关, 即有: 令,则P非奇异 所以 等式两边同时左乘可得     必要性 取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使 等式两边同时左乘P可得 即 ...

    证明:

    充分性

    取n阶矩阵A的特征值,相对应的特征向量线性无关,

    即有:

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ i=1,2,...,n $

    $P=(x_1,x_2,...,x_n) $,则P非奇异

    $AP=A(x_1,x_2,...x_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n)=(x_1,x_2,...x_n) \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 &\lambda_2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 &...& \lambda_n \end{bmatrix} =Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$

    所以 等式两边同时左乘可得

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

     

     

    必要性

    取n阶矩阵A与对角矩阵相似,则存在非奇异矩阵使

    $P^{-1}AP=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) $

    等式两边同时左乘P可得

    $AP=Pdiag(\lambda_1,\lambda_2,....,\lambda_n) $

    $(Ax_1,Ax_2,...,Ax_n)=(\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,...,\lambda_nx_n) $

    所以

    $Ax_i=\lambda_ix_i \ \ i=1,2,...,n $

    因此,P的列向量就是其特征值λi对应的特征向量,由于P非奇异,x_1,x_2,...,x_n线性无关。

     

     

     

     

     

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  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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  • 特征向量线性无关

    千次阅读 2018-01-26 18:42:31
    特征向量线性无关性 设 λ1,⋯,λm" role="presentation" style="position: relative;">λ1,⋯,λmλ1,⋯,λm\lambda_1, \cdots, \lambda_m 是线性变换 f" role="presentation" style=...

    特征向量的线性无关性

    λ1,,λm λ 1 , ⋯ , λ m 是线性变换 f f m 个不同的特征值,
    ξi1,,ξini ξ i 1 , ⋯ , ξ i n i 是属于 λi λ i ni n i 个线性无关的特征向量,
    则所有这些这些向量组成的向量组:
    ξ11,,ξ1n1,,ξm1,,ξmnm ξ 11 , ⋯ , ξ 1 n 1 , ⋯ , ξ m 1 , ⋯ , ξ m n m 也线性无关。

    证明

    命题就是:
    i=1mj=1nikijξij=0⃗ kij=0,i,jN,1im,1jni, ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 → ⇒ k i j = 0 , i , j ∈ N , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ,

    m=1 m = 1 时命题显然成立。
    假设 m m 时命题成立。则 m+1 时:
    i=1m+1j=1nikijξij=0⃗  ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    f(i=1m+1j=1nikijξij)=f(0⃗ )=0⃗  f ( ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n i k i j ξ i j ) = f ( 0 → ) = 0 →
    i=1m+1j=1nikijf(ξij)=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n i k i j f ( ξ i j ) = 0 →
    i=1m+1j=1nikijλiξij=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n i k i j λ i ξ i j = 0 →
    i=1m+1λij=1nikijξij=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m + 1 λ i ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    λm+1i=1m+1j=1nikijξij=0⃗  λ m + 1 ∑ i = 1 m + 1 ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    i=1m+1λm+1j=1nikijξij=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m + 1 λ m + 1 ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    因此 i=1m+1(λiλm+1)j=1nikijξij=0⃗  ∑ i = 1 m + 1 ( λ i − λ m + 1 ) ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    i=1m(λiλm+1)j=1nikijξij=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m ( λ i − λ m + 1 ) ∑ j = 1 n i k i j ξ i j = 0 →
    i=1mj=1ni(λiλm+1)kijξij=0⃗  ⇒ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n i ( λ i − λ m + 1 ) k i j ξ i j = 0 →
    由归纳假设, (λiλm+1)kij=0,i,jN,1im,1jni, ( λ i − λ m + 1 ) k i j = 0 , i , j ∈ N , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ,
    由于 λiλm+1,i,N,1im, λ i ≠ λ m + 1 , i , ∈ N , 1 ≤ i ≤ m , 因此
    kij=0,i,jN,1im,1jni, k i j = 0 , i , j ∈ N , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ,
    于是 j=1nm+1k(m+1)jξ(m+1)j=0⃗  ∑ j = 1 n m + 1 k ( m + 1 ) j ξ ( m + 1 ) j = 0 →
    k(m+1)j=0,jN,1jnm+1, ⇒ k ( m + 1 ) j = 0 , j ∈ N , 1 ≤ j ≤ n m + 1 ,
    因此 kij=0,i,jN,1im,1jni, k i j = 0 , i , j ∈ N , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ,

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  • n维列向量组α1,α2,...,αm,m, \alpha_2,...,\alpha_m, m 线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关充要条件是(D) A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha...

    n维列向量组 α1,α2,...,αm,m<n 线性无关,则n维列向量组 β1,β2,...,βm 线性无关的充要条件是(D)
    A. 向量组 α1,α2,...,αm 可由向量组 β1,β2,...,βm 线性表出
    B. 向量组 β1,β2,...,βm 可由 α1,α2,...,αm 线性表出
    C. 向量组 α1,α2,...,αm β1,β2,...,βm 等价
    D. 矩阵 [α1,α2,...,αm] 矩阵 [β1,β2,...,βm] 等价

    分析:主要想思考一种向量空间与子空间的概念。
    线性代数应当是非常形象的,如果引入了子空间的概念的话。比如这里,n维的向量张开的是n维空间,那么从中取出m个,且 m<n ,即使是m个线性无关向量,得到的是在n维下开辟的子空间,是n维空间的一个子集。

    因此,A项中,即使 β1,β2,...,βm 线性无关,与 α1,α2,...,αm 线性无关,得到的子空间不必是同一个。那么在不同子空间下,两个向量组任何一方都不能线性表出对方。而当 α1,α2,...,αm 能够被 β1,β2,...,βm 线性表出时,可以得到的是 β1,β2,...,βm 一定是线性无关,且它们张开的是同一个子空间。这里需要的是充要条件,因此A项不行。

    对于B项,m个线性无关向量组可以表达的是在自己的子空间内的向量,可以是子空间的子空间。因此 β1,β2,...,βm 只会比 α1,α2,...,αm 更小,也即不可能是线性无关。

    C项是一个充分条件,限定了两个向量组等价(可以互相线性表出),也就意味着二者是同一个子空间。当然可以得到两个向量组线性无关,但是反过来无法推导。

    D项是合理的,矩阵的等价表示二者可以初等行变换得到。即二者形成的矩阵秩相等。因此可以互相推导。即充要条件。

    update:关于子空间的理解,有待深化理解。马克之。

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  • 对齐次线性方程组同解充要条件的新理解

    千次阅读 多人点赞 2020-08-07 22:17:55
    这篇文章将主要介绍对齐次线性方程组充要条件的新理解,出发角度为解空间与矩阵行空间的关系.
  • 提出了一种完全能观线性MIMO(multi-input multi-output)系统的能观矩阵的线性无关向量的搜索方案,并基于此搜索方案提出了一种将完全能观线性MIMO系统化为Luenberger能观规范型的变换矩阵的构造方法。通过对几个...
  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:行列式的几何意义,行列式的展开计算(余子式,代数余子式),行列式的性质,特殊的五个行列式以及克拉默法则。 1. 欢迎扫描二维码关注微信...
  • 线性相关 线性无关

    千次阅读 2020-06-01 22:34:43
    1.线性相关(linearly dependent)与线性无关的(linearly independent)定义 线性相关的定义为: 对于一组向量v1,v2,⋯ ,vnv_1, v_2, \cdots, v_nv1​,v2​,⋯,vn​,如果存在一组不全为0的整数k1,k2,⋯ ,knk_1, k_2,...
  • 一、当向量组 个数大于维数时 ????个????维向量组成的向量组,当?...时向量线性相关 ...(向量个数),故向量线性...当向量个数等于向量维数时,向量线性相关的充要条件是该向量组构成的矩阵????的行列式????=0 而向..
  • 线性代数 向量

    2021-06-02 16:22:38
    向量的定义 维数:向量中数的个数。 这里的a都是数字。 这是一个矩阵,和上述向量有本质的...向量组α1,…αn线性相关的充要条件 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出 矩阵A=(α1,…αn)的秩 r(A)<n
  • n维向量组 注意点 任意一个n维向量都可以由n维基本单位向量表示 0向量时任意向量组的线性组合 向量组A中任意一个向量都可以由这个向量组表示 ...向量线性相关的充要条件是其中至少一个向量可以由
  • 本篇笔记首先介绍了线性相关和线性无关的概念,关键是找到一组不全为零相关系数使得等成立;然后重点介绍了一些重要的结论,以及向量组线性相关和线性无关的几个充要条件
  • 向量组的线性相关性
  • 向量线性相关性

    2018-05-23 22:05:41
    向量组及其线性组合 定义1: nnn个有次序的数a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n所组成的数组称为nnn维向量,这nnn个数称为该向量的nnn个分量,第iii个数称为第iii分量。 分量全为实数的向量称为实向量...
  • 1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是: 矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。 2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的...
  • n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
  • 向量组的线性相关性

    2018-12-13 15:58:00
    定理1 向量b能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩等于矩阵B=(a1, a2, …, am, b)的秩。 定理2 向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件...
  • 线性代数(1)--n维向量线性方程组

    千次阅读 2016-08-29 10:15:03
    第四章 n维向量线性方程组编者注:第四章为n维向量线性方程组,在线性代数整个课程学习中的地位都是至关重要的。线性代数作为工科生的一门基础学科,对于以后个人的发展都是有着极大的促进作用的。这一章小助手...
  • 这里写目录标题一,n维向量的线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量的线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...
  • 参考:《线性代数》同济大学第四版 1. 向量组及其线性组合  1)向量:定义;实向量、复向量;行向量、列向量; ... 2)向量空间:定义;... 4)定理1:向量能由向量线性表示的充要条件  5)定理2
  • 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。 3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。 4、[定理2]向量组B能由向量
  • 因为新数列中的数线性无关,所以答案就是C(n, k) % p,因为p比较小,写个扩展Lucas就好了。 证明一下线性无关: 首先有两个引理: 定理1:一个n×n的矩阵A是非奇异的...向量x1, x2, ..., xn线性无关充要条件是X
  • 向量组的线性相关性 习题课
  • 向量组和线性相关

    2018-11-08 21:12:30
    向量方程AX=b有解时,称向量b可以用向量组A线性表示,称Σxiai为向量组A的一个线性组合 当向量组B的所有向量bi都能用A线性表示时,称向量组B能被向量组A先行表示。这个关系不一定可逆。 当向量方程组AX=0有非0解...
  • 线性代数之向量基础点 向量的定义 由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数ai 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。 n维列向量记作: 几点说明: ...
  • 矩阵可对角化的充要条件及证明

    万次阅读 2018-08-04 22:37:04
    对角化:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有,则称A可对角化。 可对角化的充要条件: n*n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是...因为n个特征向量线性无关,所以P=[]可逆,所以,即A可对角化。 ...
  • 线性无关充要条件: R ( A ) = m R(A)=m R ( A ) = m . 定理 若向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯   , a m A:a_{1},a_{2},\cdots, a_{m} A : a 1 ​ , a 2 ​ , ⋯ , a m ​ 线性相关,则向量组 B : a 1 , ...
  • 线性代数-向量组的线性相关

    千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量,极大无关组,矩阵的秩
  • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,...) 向量...

空空如也

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向量线性无关的充要条件