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  • 生成空间:以二维空间为例,给定两个非零向量。 其中两个非零向量系数a,b任意取值组合,就...若给定多个向量,移除其中一部分而不减少生成空间,就是线性相关 若所有向量都给生成空间增加了维度,就是线性无关 ...

    生成空间:以二维空间为例,给定两个非零向量。
    其中两个非零向量系数a,b任意取值组合,就可以得到整个二维空间,除非两向量共线。
    一个向量固定,另一个向量自由变化,其线性组合可得到一条直线。
    在这里插入图片描述

    一、线性相关

    若给定多个向量,移除其中一就是部分而不减少生成空间,就是线性相关
    若生成空间的维数比给定向量的个数少,就说明这些给定的向量是线性相关
    比如图所示,a(2,3)+b(-2,-3)就是线性相关的,因为就算把b(-2,-3)这个向量删除,a(2,3)得到的生成空间依然是那一条线。也就是给了我2个向量,但是生成的却是个1维空间
    在这里插入图片描述
    代数定义:若向量组中某个向量可以由其余的向量线性表处(即通过线性组合计算得到),那么这个向量组称为线性相关的。
    比如(1,2),(2,3),(4,7)这个向量组就是线性相关的
    因为2(1,2)+(2,3) = (4,7)

    在这里插入图片描述

    二、线性无关

    若所有向量都给生成空间增加了维度,就是线性无关
    在这里插入图片描述

    向量空间就是通过n个不线性相关的向量通过线性组合生成出来的就是向量空间

    2.1 基

    用来生成这个空间的向量,就叫做这个空间的一组,比如下图的两个向量
    在这里插入图片描述
    n维空间中任意n个线性无关的向量都可以是空间的一组基。基组生成了该线性空间。
    默认都用自然基:
    在这里插入图片描述

    2.2 秩

    几何定义:矩阵的秩:线性变换后空间的维数

    原始定义:向量组中线性无关的向量的个数。即向量组的极大线性无关组的向量个数。因为线性无关的向量才能生成向量空间。

    比如这个题,给了我们5个向量,结果发现就3个向量是线性无关的,那么这5个向量只能生成一个3维空间。矩阵的秩=3
    在这里插入图片描述

    2.3 极大线性无关组

    还是这个题,给了我们5个向量,结果发现就a1、a2、a4这3个向量是线性无关的。但是把另外两个向量a3或a5任意一个加进去都会出现线性相关。那a1,a2,a4这三个本就无关的向量就叫做这个向量组的极大线性无关组
    在这里插入图片描述
    意思就是,给我一个向量组,我发现有某些向量是线性无关的,但是这个线性无关的组中,加入任何一个其他向量都会出现线性相关,那么我们就说原来无关的那个向量组就叫做极大线性无关组

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  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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  • 向量线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...

    向量组线性相关

    定义

    向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,,αs(s1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,,ks,使

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2++ksαs=0


    例题

    判断下列向量组是否线性相关:
    α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=2534,α2=511310,α3=3716,α4=13301226,

    例题来源:《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

    k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

    即:

    { 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. 2k15k13k14k15k2+11k2+3k2+10k23k37k31k36k3+13k430k4+2k426k4=0=0=0=0

    写成矩阵形式即为:

    [ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 253451131037161330226k1k2k3k4=0000

    经过矩阵的初等行变换,我们得到上面的方程组与下面的方程组等价:

    [ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 10000100323100373500k1k2k3k4=0000

    显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

    如果题目只问向量组是否相关,可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

    方程的一般解为

    { x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. x1x2=32x337x4=31x3+35x4

    其中一个特解为

    k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=2,k3=1,k4=1

    从而:

    3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α12α2+α3α4=0


    总结:

    1. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0
    2. 把 1. 中的方程写成矩阵的形式,化成阶梯型行列式,即可判断是否存在非零解
    3. 求出一组非零解

    2021年1月4日19:26:01


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    2021年6月26日 有改动


    2021年12月13日23:03:53 排版有改动

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  • 这里写目录标题一,n维向量线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...

    一,n维向量的线性相关

    1,简介

    设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组(a1,a2,…,an)称为P上的n维向量
    n维向量可以写成行行式称为行向量
    α=(a1,a2,a3,a4…,an)

    n维向量也可以写成列行式称为列向量
    在这里插入图片描述
    P上全体n维向量构成的集合记为P^n,
    P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同

    • 这里α称为n维向量(简称向量)
    • 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
    • n个分量都为实数的向量称为实向量
    • α为行向量则α的转置为列向量
    • 分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
    • 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
    • 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组部分组
    • 按列分块的向量组称为列向量组
    • 按行分块的向量组称为行向量组

    2,公式:

    • 1,α+β=β+α
    • 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
    • 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
    • 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+()=0
    • 5,1α=α
    • 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
    • 7,(k+l)α=kα+lα
    • 8,k(α+β)=kα+kβ
      其中αβγ∈P^n,k,h,l∈R

    3,线性组合,线性表出,表出系数

    β,α1,α2,α3αn∈P^n
    如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
    使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
    则称向量β是向量组α1,α2,α3αn线性组合,或者说向量β由向量组α1,α2,α3αn 线性表出
    而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数

    4,向量组之间等价

    设有两个向量组
    (Ⅰ):α1α2,……,αm
    (Ⅱ):β1β2,……,βm
    如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示,则称(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示;如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示,则称(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,记为(Ⅰ)≌(Ⅱ)。

    • 反身性:任何向量组Ⅰ:α1α2,……,αm均与本身等价,例(α1α2,……,αm)≌(α1α2,……,αm
    • 对称性:如果向量组Ⅰ:α1α2,……,αm与向量组Ⅱ:β1β2,……,βm等价,那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价,例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(α1α2,……,αm
    • 传递性:例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(γmγm,…,γm),则(α1α2,……,αm)≌(γmγm,…,γm

    5,线性相关与线性无关的判别

    (1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
    (2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0

    • 定义1:向量组中的两向量成比例(线性相关
      例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0
    • 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
    • 定义3:一个零向量必线性相关
      例:1*0=0
    • 定义4:一个非零向量必线性无关,α不等于0,kα=0,=>k=0
    • 定义5:一个向量线性相关的充要条件,α=0;
    • 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
    • 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn(n>=2)线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
    • 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关,那么这个向量组Ⅰ线性相关
    • 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关,那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
    • 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时,该向量组一定线性相关;
    • 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
    • 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
    • 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关,而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出,并且表示法唯一
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  • 本文是对向量线性相关性相关知识的梳理,希望大家喜欢。
  • 继续接着上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306045.html的线性代数的学习继续向前,这次则开始要接触线性代数领域更加核心更加关键的内容:什么是线性相关?什么是线程无关?什么是生成空间...下面开始。...
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  • 线性代数:延伸组缩短组

    千次阅读 2021-05-06 14:35:36
    如果向量线性无关,那么把每个向量填上mmm个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关 证明:设α1,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}α1​,⋯,αs​的一个...
  • 本文介绍了向量的內积外积的概念,以及相关的运算公式。
  • 1. 前言 本文的理论知识基于系列视频...线性相关无关的几何意义 会计算 Ax = b 的通解 2. 语义 2.1 Ax 的语义 假设A=[100010000] 假设A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &
  • 线性代数学习之特征值与特征向量

    千次阅读 2021-10-22 17:02:44
    在上一次线性代数学习之行列式 - cexo - 博客园学习了行列式相关的一些概念,其中也多次提到学好行列式是为了学习“特征值特征向量”的基础,所以此次就正式进入这块内容的学习,也是线性代数中非常重要的概念,...
  • 向量的概念证明唯一性子空间子空间的交与和向量线性相关性基维数 向量 1.向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量 证明唯一性 假设有两个向量,然后根据等式推导出这两个向量是相等的 等效替代法 子空间 V的...
  • 在上一次https://www.cnblogs.com/webor2006/p/14306046.html学习了诸多在线性代数中非常核心的概念(线性组合、线性相关、线性无关、生成空间,空间的基...),这次则继续学习重要的核心概念(空间、维度、四大子空间)...
  • 线性代数之向量

    2021-07-25 15:43:43
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空空如也

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向量线性相关和线性无关定义