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  • 向量组与向量空间

    2017-03-28 09:45:00
    2、向量组A与系数k的线性组合表示为: 如果: 则称向量b可以有向量组X线性表示 3、向量组B可以由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B),而两个向量组等价的条件是R(A)=R(B) =R(A,B) 4、线性...

    1、n个有次序的数,组成的数组称为n维向量,这n个数称作分量,第i个数称作第i个分量。由若干个同维向量可组成向量组

    2、向量组A与系数k的线性组合表示为:

         如果:

         则称向量b可以有向量组X线性表示

    3、向量组B可以由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B),而两个向量组等价的条件是R(A)=R(B) =R(A,B)

    4、线性相关与线性无关:如果存在不全为0的数k1,k2...km,使得

         则称向量组A是线性相关的,否则称为线性无关。对于m=2的情况,即只有两个向量a1,a2,线性相关的几何意义是二者共线,对于m=3的情况,其意义是3向量共面。判断线性相关的条件是R小于向量的个数。

    5、线性相关与方程组,线性相关的代数意义即为齐次线性方程组:Ax=0有非零解。即R(A)小于未知数的个数

    6、最大无关组所含向量的个数,为向量组的秩,也即在求最大无关组时,先求出向量组的秩,再根据R的大小选取无关组。

    7、齐次线性方程组的基础解系与通解。如一个齐次线性方程组的系数矩阵R(A)如下图形式,并且经过行变换化为最简式。


    向量组与向量空间可以得到如下形式,其中x3与x4是自由未知数


    令第一组数据x3=1,x4=-3;第二组数据x3=0,x4=4,可得基础解析(个数等于n-r)

    其通解为:



    8、非齐次线性方程组的基础解系与通解。如一个非齐次线性方程组的系数矩阵R(A)如下图形式,并且经过行变换化为最简式。

    我们带入方程得到:


    x3为自由未知数,我们为了得到一个解,令x3=0,则:


    接下来求基础解系,因为r=3,则基础解系的个数为n-4=4-3=1。求基础解系时要忽略参数,将方程组考虑为齐次线性方程组,则:

    其中我们令x3=1,则方程的基础解系为:


    而原非齐次线性方程组的通解为:


    9、向量空间:设V为n维向量的集合,若V非空,且对于加法及乘数运算封闭,则称集合V为向量空间。

    10、齐次线性方程组的解集为向量空间,称为解空间;非齐次线性方程组的解不是向量空间。

    11、设V为向量空间,若r个向量a1,a2,...,ar属于V,且满足a1,a2,...,ar线性无关,V中的任意一个向量都可由这r个向量表示,则称a1,a2,...,ar是向量空间的一个基,r称为向量空间的维数,V为r维向量空间。如果把向量空间看做向量组,那么V的基就是最大无关组,r就是V的秩。

    12、由于空间V中的任一向量X都可由基a1,a2,...ar来表示为:


            则称k1,k1,...,kr为X在基a1,a2,...,ar的坐标

    13、由矩阵运算第15条,我们可以推出:若r个向量所组成的矩阵非满秩,即其对应行列式的值为0,则几个向量线性相关;若其矩阵满秩,行列式值非0,则r个向量线性无关,其组成的空间V称为r维空间,这r个向量称为V的一个基。








    转载于:https://www.cnblogs.com/rhyswang/p/6799001.html

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  • 抽象向量组与矩阵建立一一对应关系; (2)定理:抽象向量组的相关性矩阵表达的具体的向量组的相关性完全一致 即 抽象向量组无关等价于具体向量组无关 抽象向量组相关等价于具体向量组相关 一下分两种情况...

    (1)抽象向量与其坐标建立一一对应关系;抽象向量组与矩阵建立一一对应关系;

    (2)定理:抽象向量组的相关性与矩阵表达的具体的向量组的相关性完全一致

    抽象向量组无关等价于具体向量组无关

    抽象向量组相关等价于具体向量组相关

    一下分两种情况证明:

    如果B无关

    那么BX=0只有零界

    那么aAX=0也只有0解

    (aA)X=0

    r(aA)=n

    r(aA)<=r(a)

    r(A)=n  A满秩

    A中向量线性无关

     

    (如有不足之处,请大家指正)

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  • 展开全部表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb...也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。向量组个该...

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    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

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    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

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  • 向量组,向量组A的一个线性组合,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,向量空间,解空间,向量组生成的向量空间,向量空间的基,向量空间的维数,r维向量空间 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要...

    1、一些名词:

    向量组,向量组A的一个线性组合,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,向量空间,解空间,向量组生成的向量空间,向量空间的基,向量空间的维数,r维向量空间

    2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。

    3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。

    4、[定理2]向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵[A,B]的秩,即R(A)=R(A,B)。

    [推论]向量组A与向量组B等价的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    5、[定理3]设向量组B能由向量组A线性表示,则R(B)<=R(A)。

    6、向量组线性相关的意义:当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时,这个方程就是多余的,这时,方程组是线性相关的;当方程组没有多余方程的时候,就称该方程组线性无关。

    7、[定理4]向量组[a1,a2,a3,a4...,an]线性相关的充要条件是他所构成的矩阵A的秩R(A)<n;向量组[a1,a2,a3,...,an]线性无关的充要条件是A的秩R(A)=n。

    8、[定理5]

    (1)如果向量组A:a1,a2,...,an线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,...,an,an+1线性相关;反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。

    (2)[a1,a2,a3,...,am],如果ai是n*1的向量,并且n<m,那么该向量组一定线性相关,特别的,n+1个n维列向量一定线性相关。

    (3)设向量组A线性无关,[A,b]线性相关,那么b必能由A线性表示,并且该表示是唯一的。

    9、[定理6]矩阵的秩等于他的列向量组的秩,也等于他的行向量组的秩。

    10、[推论](最大无关组的等价定义)

    设向量组A0:a1,a2,...,ar是向量组A的一个部分组,并且:

    (i)向量组A0线性无关。

    (ii)向量组A的任意向量都能由A0线性表示。

    那么向量组A0就是向量组A的一个最大无关组。

    11、[定理2']向量组b1,b2,...,bl能由向量组a1,a2,...,am线性表示的充要条件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,m,b1,b2,...,bl)。

    12、[定理3‘]若向量组B能由向量组A线性表示,那么R(B)<=R(A)。

    13、齐次线性方程组解的性质:

    [性质1]若Ax1=0,Ax2=0,那么A(x1+x2)=0;

    [性质2]若Ax1=0,那么A(kx1)=0;

    14、[定理7]设m*n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r。

    15、一个重要结论:若A与B列数相同,那么要证R(A)=R(B),只需要证明Ax=0与Bx=0同解。

    16、非齐次线性方程组解的性质:[非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解]

    [性质3]设Ax1=b,Ax2=b,那么x=x1-x2也是Ax=b的解。

    [性质4]设x=x1是Ax=0的解,x2是Ax=b的解,那么x1+x2也是Ax=b的解。

    17、经典例题

    P88例题6,P90例题7,P91例题8,P91例题12,P100页例题13例题15,P105页例题24,P106页例题25,P108,12,17,19,22,31题。


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  • 14.2 异常的结 318 14.2.1 派生的异常 319 14.2.2 多个异常的组合 321 14.3 捕捉异常 321 14.3.1 重新抛出 322 14.3.2 捕捉所有异常 322 14.4 资源管理 324 14.4.1 构造函数和析构函数的使用 325 14.4.2 ...
  • *3.4 有这样一个巧妙的表达式:a^= b^= a^= b; 它不需要临时变量就可以交换ab的值。 34 3.5 可否用显式括号来强制执行我所需要的计算顺序并控制相关的副作用?就算括号不行,操作符优先级是否能够控制计算顺序...
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空空如也

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向量组a与向量组b等价