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  • 展开全部表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061。条件:等价于AX=b这方程有解。要理解...

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    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

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    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

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  • 索引 原问题 证明 原问题   向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关...

    原问题

      向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]可由线性无关的向量组 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]线性表示,即有 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] B , \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]B, [β1β2βs]=[α1α2αr]B,
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k ( B ) . rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left( B \right). rank{[β1β2βs]}=rank(B).

    证明

    1. 引理1:矩阵的初等行变换和初等列变换不改变原矩阵的秩。
    2. 定义1:对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
    3. 引理2:对矩阵进行一次初等行(列)变换相当于在原矩阵左(右)边乘一个相应的初等矩阵。
    4. 引理3:初等矩阵的逆还是初等矩阵。

      首先对矩阵 B B B进行拆解。 B B B是一个 r × s r\times s r×s的矩阵。令 t = r a n k ( B ) ≤ min ⁡ { r , s } t=rank\left( B \right)\le \min \left\{ r,s \right\} t=rank(B)min{r,s},则 B B B一定可以由矩阵 [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] \left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] [It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]经过有限的一系列初等行列变换得到,即存在初等矩阵 P 1 ( a ) ,   P 2 ( a ) , . . . , P m ( a ) ( a ) P_{1}^{\left( a \right)},\text{ }P_{2}^{\left( a \right)},...,P_{m\left( a \right)}^{\left( a \right)} P1(a), P2(a),...,Pm(a)(a) P 1 ( b ) ,   P 2 ( b ) , . . . , P m ( b ) ( b ) P_{1}^{\left( b \right)},\text{ }P_{2}^{\left( b \right)},...,P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} P1(b), P2(b),...,Pm(b)(b),使得
    B = ( ∑ i m ( a ) P i ( a ) ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) . B=\left( \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right)\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right). B=im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b).
    所以我们得到
    [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] { ∑ i m ( a ) P i ( a ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ∑ i m ( b ) P i ( b ) } \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right\} [β1β2βs]=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b)
    ⇒ [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ⋅ ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 = { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ⋅ ∑ i m ( a ) P i ( a ) } [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] . \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}=\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right\}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]. [β1β2βs]im(b)Pi(b)1=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)].

    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 , \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}, [β1(1)β2(1)βs(1)]=[β1β2βs]im(b)Pi(b)1,
    [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ∑ i m ( a ) P i ( a ) , \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}, [α1(1)α2(1)αr(1)]=[α1α2αr]im(a)Pi(a),
    则可简写成
    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ]   = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ]   ( t ≤ r ) \begin{aligned} & \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] \\ & \text{ }=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]\text{ }\left( t\le r \right) \\ \end{aligned} [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1)α2(1)αr(1)][It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)] =[α1(1),α2(1),...,αt(1)] (tr)

    下面分步骤进行分析。

    1. [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]是由 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]右乘 ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}} (im(b)Pi(b))1得到,即右乘一系列初等矩阵 ( P m ( b ) ( b ) ) − 1 , ( P m ( b ) − 1 ( b ) ) − 1 , . . . , ( P 1 ( b ) ) − 1 {{\left( P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},{{\left( P_{m\left( b \right)-1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},...,{{\left( P_{1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}} (Pm(b)(b))1,(Pm(b)1(b))1,...,(P1(b))1得到,所以有
      r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\} rank{[β1β2βs]}=rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}
    2. [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]是由 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]右乘一系列初等矩阵 ∑ i m ( a ) P i ( a ) \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} im(a)Pi(a)得到,有
      r a n k { [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] } = r rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=r rank{[α1(1)α2(1)αr(1)]}=rank{[α1α2αr]}=r
    3. 在步骤2已经知道 [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]也是一个极大线性无关组的基础上,结合上面得到的 [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1),α2(1),...,αt(1)] t ≤ r t\le r tr的条件,显然有
      r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] } = t . rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] \right\}=t. rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}=rank{[α1(1),α2(1),...,αt(1)]}=t.

    综上即可证得
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = t = r a n k ( B ) rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=t=rank\left( B \right) rank{[β1β2βs]}=t=rank(B)

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  • 向量组 向量组:有限相同维度的行向量或列向量组合...向量组向量构成,可以表示为矩阵 正交向量 当∣∣x∣∣=1||x|| = 1∣∣x∣∣=1时,称x为单位向量 当∣∣x∣∣≠=0,∣∣y∣∣≠0||x|| \neq = 0, ||y||

    向量组

    • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
      • 如果是行向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=a1 a2 a3 an
      • 如果是列向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯   , a n ⃗ , ⋯   ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1 ,a2 ,a3 ,,an ,)
    • 向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵

    正交向量

    • ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 x=1时,称x为单位向量,这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x特指向量x的模
    • ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 x=0,y=0时, θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccosxyxy 称为n维向量x与y的夹角
      • x ⋅ y = 0 x · y = 0 xy=0时,称向量x与y正交
      • x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交

    向量的线性表示

    • 对于向量组: A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn, 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n     ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn   (kiR) 称为向量组A的一个线性组合
    • 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合,即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
      • 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,,αn]λ1λ2λn
      • 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
        • ⇔ \Leftrightarrow (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
        • ⇔ \Leftrightarrow (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即: A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
    • 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示
      • 设B由A表示如下:
      • { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. β1=c11α1+c21α2++cp1αpβ2=c12α1+c22α2++cp2αpβq=c1qα1+c2qα2++cpqαp
      • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
      • 改写为矩阵
        • [ β 1 , β 2 , ⋯   , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,,βq]=[α1,α2,,αp]c11c21cp1c12c22cp2...c1qc1qcpqp×q
        • 即:B = A × C系数矩阵
      • 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
    • 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示,则称这两个向量组等价
      • 关于向量组的等价关系:
        • 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=α1α2αm行变换B=β1β2βm
        • 则称A与B行等价.
        • 同理可定义列等价.
    • 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关,否则,如果任意向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立)
      • 如何用数学数字表达?
        • 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
        • k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 则称该向量组线性相关.
        • 否则,如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
    • 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
    • 向量组的线性相关性与线性表示有何关系?
      • 向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
      • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
    • 定理:向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n r(A)=n (满秩)

    例1

    • α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(123)T,α2=(210)T,α3=(179)T 问这组向量是否线性相关?
    • 分析
      • A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=123210179100256156100210110
      • 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
      • 所以线性相关

    例2

    • α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=111,α2=011,α3=245, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
    • 分析
      • [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=111011245100010221
      • r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关
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  • 矩阵A的列向量组可以矩阵B的列向量组线性表示时 一定存在C有A=BC,(你把每表达式写出来,组合一下就可以得到这式子) R(A)=R(BC) 又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B) ...
    • 矩阵A的列向量组可以由矩阵B的列向量组线性表示时
      一定存在C有BC=A,(你把每个表达式写出来,组合一下就可以得到这个式子即BX=A,,其中X是一个向量组,即矩阵,如果是向量a可以被列向量组B线性表示,则BX=a,X是一个列向量,即一组数)
      R(A)=R(BC)
      又因为R(A)=R(BC)<= min{R(C),R(B)}<=R(B)
    • 矩阵A不能由矩阵B线性表示时
      R(A)>R(B)
    展开全文
  • 重要性质 1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的...3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向...
  • 展开全部等价。在代数中,矩阵等价和向量组...假设有4线性无关的4维列向量,a1,a2,a3,a4,第一个向量组取a1,a2,a3 第二个向量组取a2,a3,a4显然它们满足你说的条件,但是它们不能相互线性表出,所以不是等...
  • 平面内用两个向量表示另一个向量

    千次阅读 2020-02-11 18:16:54
    空间内有三单位向量a,b,c。a b c在同一个平面内。其中c夹在a,b之间。a,b夹角为θ,a,c夹角为β。
  • 命题: 设 α1,α2,⋯ ,αr\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1​,α2​,⋯,αr​ 与 β1,β2,⋯ ,βs\beta_1,\beta_2,\cdots,\...必含有相同数的向量 推论四 一个向量组的极大线性无关组都含有相同数的向量
  • 向量组极大无关组表示问题

    千次阅读 2021-04-18 13:25:11
    已知向量组T:Eqn11.gif (3.16 KB, 下载次数: 1)2013-10-21 19:19 上传.(1) 求向量组T的秩,并判断向量组T的相关性;(2) 求T的极大线性无关组;(3) 将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。程序:>> A=[1...
  • 2013-11-21一个向量组和它本身的部分向量组一定等价么?没错呀设ai1,ai2,。。。,air 是向量组a1,a2,。。。,as的一个极大无关组根据极大无关组的定义有1。 ai1,ai2,。。。,air 线性无关2。 向量组a1,a2,。。 。,as中...
  • 线性代数 向量组

    千次阅读 2021-06-02 16:22:38
    向量的定义 维数:向量中数的个数。 这里的a都是数字。 这是一个矩阵,和上述向量有本质的区别。 向量的运算 ...至少存在一个向量αi可以其他的向量线性表出 矩阵A=(α1,…αn)的秩 r(A)<n
  • 向量组的线性相关性

    万次阅读 2017-10-15 15:07:40
    nn有次序的数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_n所组成的一个有序数组(a1,a2,...,an)(a_1,a_2,...,a_n)称为nn维向量,这nn数称为该向量的nn分量,其中aia_i称为第ii分量.ai(i=1,2,...,n)a_i(i=1
  • 向量组的秩1 极大线性无关组2 向量组的秩...如下,四向量构成的向量组,其实经过简化后可以直接使用两向量进行表示 (10)(20)(010)(05)⇒(10)(05) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matri
  • 向量组

    千次阅读 2020-04-19 23:10:30
    原来相关,增加一个向量后,向量组还是线性相关,只不过它一定被其余向量线性表示。原来无关减少一个向量后,还是无关。原来相关减少一个向量后,若减少的是那个唯一被其余向量线性表示的向量...
  • 比较两矩阵的秩,也可以先证明其中一个矩阵可以被另一个矩阵线性表示
  • 节 向量组的线性相关性   .... 定义1.1 n有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n...称为向量组A的一个线性组合, 称为这线性组合的系数。 定义3 给定向量组A: 和向量β,若存在组数 ,使  
  • 目标:本文讨论单词向量的组合方式(composition of word vectors),一般指两单词向量的组合方式,使得输出的...R:一个表征语法关系的矩阵; K:世界知识等其他非单词语义、语法关系构成的信息; 词语组合的一些假
  • n维列向量组α1,α2,...,αm,m, \alpha_2,...,\alpha_m, m 线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是(D) A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha...
  • 向量组等价,是两向量组中的各向量,都可以用另一个向量组中的向量线性表示。 矩阵等价,是存在可逆变换(行变换或列变换,对应于1可逆矩阵),使得一个矩阵之间可以相互转化。 ...
  • 矩阵向量组线性无关

    千次阅读 2019-10-31 15:44:02
    如果向量组α,β,γ线性无关<=>矩阵A=(αT,βT,γT)满秩<=>|A|≠0
  • 等价向量组的秩相等

    千次阅读 2021-09-26 18:43:44
    向量组A能由向量组B线性表示,那么r(A)≤r(B); 若向量组B能由向量组A线性表示,那么r(B)≤r(A); 因此, 若向量组A与向量组B能够互相表示 等价于 r(A)=r(B)。 也即,等价向量组的秩相等。 附:已知的定理的证明方法...
  • 线性代数---(2)n维向量组

    千次阅读 2020-05-25 20:17:25
    向量组A中任意一个向量都可以个向量组表示 向量组的线性相关性与线性无关 注意点 一个向量组不是线性相关就是线性无关 一个向量组包含一个向量a时,a=0则a线性相关,反之线性无关 两向量相关的充要条件就是...
  • 、当向量组 数大于维数时 ????????维向量组成的向量组,当????<????时向量组线性相关 对应矩阵????(????)≤????????????(????,????),????<????,则????(????)<????(向量数),故向量组线性相关.维...
  • 向量组与向量空间

    千次阅读 2017-03-28 09:45:00
    1、n有次序的数,组成的数组称为n维向量,这n数称作分量,第i数称作第i分量。...3、向量组B可以由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B),而两个向量组等价的条件是R(A)=R(B) =R(A,B) 4、线性相关...
  • 第三节 向量空间 .数字概念 定义3.1 设V是n维向量集合,且非空,若 (i) 则, ; (ii) 则 。...则称V是一个向量空间。...(ii) V中的任一向量都可由 线性表示,则称向量组 是向量空间V的一个基,r称为向量
  • 1. 一组向量由另一组向量个数更少的向量组线性表出,则该组向量线性相关 2. 矩阵与其最大无关组的关系(矩阵可由其最大无关组线性表出;矩阵与其最大无关组等价) ...
  • 1.2 二维三维空间向量组的线性组合

    千次阅读 2020-03-19 18:20:53
    二维三维空间向量组的线性组合 向量的基本运算法则,构成了整个线性代数的基础。在物理学中,特别是求系统平衡时,经常碰到这类问题,给定若干矢量,这些矢量和与某特定矢量平衡吗?这就需要研究向量组的线性组合...
  • 向量组中两向量成比例,则两向量必线性相关 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0) 一个零向量必线性相关 一个非零向量必然线性无关 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 ...

空空如也

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向量组不能由另一个向量组表示