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  • 向量维度与向量空间的维度如图所示, 存在向量 , ,显然向量是三维的(向量的维数指的向量分量的个数),但是 所在空间V(蓝色平面)虽然存在于 ,但其维度是二维的(向量空间的维度等于最大线性无关的向量个...

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    1.向量空间

    某向量组

    ,其所有线性组合的集合为向量空间,也成向量组A的张成空间,记为
    ,即:

    2.向量维度与向量空间的维度

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    如图所示,

    中存在向量
    ,
    ,显然向量是三维的(向量的维数指的向量分量的个数),但是
    所在空间V(蓝色平面)虽然存在于
    中,但其维度是二维的(向量空间的维度等于最大线性无关组的向量个数)。空间V是
    的二维子空间,但不是
    ,因为
    空间中的所有向量都是二维向量。

    设向量维度为m,当向量空间维度等于m时,向量空间为

    ;当向量空间维度小于m时,向量空间为
    子空间;向量空间维度大于m时,向量空间不存在。

    3.矩阵的秩

    设存在矩阵

    ,从行列式角度定义矩阵的秩为“矩阵不为零的子式的最大阶数”,这个定义在这里基本没用处也一点都不直观,我们把矩阵看成列向量的向量组,矩阵的秩是向量组A的最大线性无关组的向量个数,即
    矩阵的秩等于其列向量空间的维度。因为有
    个列向量所以列空间维度一定小于等于
    ,又因为
    维向量所以列空间维度一定小于等于
    ,所以

    4.矩阵函数的四要素

    可以看作一个函数,将
    维向量
    经过映射法则
    映射成一个
    维向量
    。函数的四要素为:

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    可以看出定义域为

    。因为
    ,所以值域就是A的列向量空间。因为
    ,所以到达域为

    5.线性方程的解

    方程组

    的解存在以下四种情况:
    • r=m且r=n,一定有一个解
    • r=m且r<n,一定有无数解
    • r<m且r=n,可能有一个解,可能无解
    • r<m且r<n,可能有无数解,可能无解

    当r=m且r=n时:因为列空间维度为m,列向量为m维向量,所以

    ,又因为
    ,即
    ,所以一定存在
    使
    ,因为列向量组是线性无关的,所以只有一个
    。如图所示r=m=n=2时,从n维空间中映射到m维空间的一个r维子空间。

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    当r=m且r<n时:因为列空间维度为m,列向量为m维向量,所以

    ,又因为
    ,即
    ,所以一定存在
    使
    ,因为列向量组是线性相关的,所以有无数
    。如图所示r=m=2,n=3时,从n维空间映射到m维空间的一个r维子空间:

    b8bdf95508908d08e7ee701d608192ee.png

    当r<m且r=n时:因为列空间维度为n,列向量为m维向量,所以

    ,又因为
    , 当
    时存在
    使
    ,因为列向量组是线性无关的,所以只有一个
    ,当
    时无解。如图所示,当r=n=2,m=3时,从n维空间映射到m维空间中的一个r维子空间:

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    有解 无解

    当r<m且r<n时:因为列空间维度为r,列向量为m维向量,所以

    ,又因为
    , 当
    时存在
    使
    ,因为列向量组是线性相关的,所以只有无数
    ,当
    时无解。如图所示,当m=n=3,r=1时,从n维空间映射到m维空间中的一个r维子空间:

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    总结,方程组

    即是将
    n维空间(定义域)一点
    ,映射到
    m维空间(到达域)中的一个r维子空间(值域)中的一点

    当r=m时,A行满秩,值域等于到达域,此时一定有解,称为满射

    当r=n时,A列满秩,定义域维度等于值域维度,此时有一个解或无解,称为单射

    当r=m=n时,A满秩,定义域等于值域等于到达域,此时一定有一个解,称为双射

    6.矩阵的四个子空间与解的关系

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    详细了解参考 矩阵的四个子空间及其联系
    1. 当r=m时,左零空间{0},所以b一定存在于列空间,所以一定有解;
    2. 当r<m时,左零空间维度为m-r,当b在列空间时有解,在左零空间时无解;
    3. 当r=n时,零空间为{0},
      只能等于
      ,所以最多只有一个解;
    4. 当r<n时,零空间维度为n-r,所以
      ,有无数
      所以有无数解;

    以上四种情况的组合,代表了方程组解的所有情况。

    PS:因为行空间中的一点

    是行向量的线性组合,
    可以看作
    的行向量依次作点乘,结果必不全为0,所以
    必不是零向量;
    又可以看作
    的列向量的线性组合,所以
    必在列空间中。所以
    结果必是列空间中的非零向量。
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  • 向量组的

    2017-04-30 08:28:00
    向量族:可能无限多个 向量组:有限的向量的集合 向量族向量组------引出极大线性无关向量组...极大线性无关向量组不唯一,但是极大线性无关向量组的个数是唯一的1:两组向量之间的线性关系2:若多的向量组能...
    1. 向量族:可能无限多个
    2. 向量组:有限的向量的集合
    3. 向量族中的向量组------引出极大线性无关向量组(自身无关+其他线性组合)-----将无限个向量组的研究转换为有限个向量组的线性无关向量组的研究

     

     


    1. 引理:包含非零向量的向量组一定存在极大线性无关向量组

     

    1. 极大线性无关向量组不唯一,但是极大线性无关向量组的个数是唯一的
    1. 1:两组向量之间的线性关系
    1. 2:若多的向量组能用少的向量组线性表示,则少的向量组一定线性无关-----表示与被表示的向量组之间的维数一定是相等的;
    1. 引理:若两个线性无关的向量之间可以相互表示,则两组向量的极大线性无关向量组的个数是一样的;
    1. 若一个向量组存在极大线性无关向量组,则其所有的极大线性无关向量组的个数都是相等的;

     向量组中极大线性无关组的个数定义为向量组的秩

     且秩的定义不依赖极大无关线性组的选取

    向量组之间的等价关系----等价的向量组一定具有相同的秩


     

    线性空间---------向量组

    基(维数)-----极大线性无关组(秩)

    有限维向量空间与无限维线性空间

    高代----有限维线性空间


     

    n维向量空间中的判定(已知向量的维数)-----不同与向量组的极大线性无关向量组的判定

    (1)向量组线性无关;

    ↔二者是等价的(2) 任意一个向量可以用该向量组性表示;

    n维向量空间中超过n个向量组一定是线性无关;


     

    命题:基扩张定理

    任意一组线性无关小于维数的向量组一定可以扩张为向量组的一组基;

    子空间的一组基可以扩张为全空间的一组基。

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/lookingforwardmrh/p/6788783.html

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  • 1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。 2、矩阵的秩是线性代数的一个概念。在线性代数,一个矩阵A的列秩...

    1.矩阵的秩
    2,.向量组的秩
    3.关系

    关系

    矩阵的秩就是向量组的秩
    即3秩相等定理

    1.定义不同

    1、向量组bai的秩为线性代du数的基本概念,它表示的是一个zhi向量组的极大线dao性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解过程

    1、向量组的秩:一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩。

    2、矩阵秩:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关组中所含向量的个数。

    求解目的

    1、向量组的秩:向量组的秩为线性代数的基本概念,它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。

    2、矩阵秩:矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

    应用
    向量组的秩

    1、根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理向量组α1,α2,···,αs线性无关等价于R{α1,α2,···,αs}=s。

    2、若向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则R{α1,α2,···,αs}小于等于R{β1,β2,···,βt}。

    3、等价的向量组具有相等的秩。

    4、若向量组α1,α2,···,αs线性无关,且可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,则s小于等于t。

    向量组α1,α2,···,αs可被向量组β1,β2,···,βt线性表出,且s>t,则α1,α2,···,αs线性相关。

    5、任意n+1个n维向量线性相关。

    矩阵的秩

    有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组,也可看做n个列向量构成的列向量组。

    行向量组的秩成为行秩,列向量组的秩成为列秩,容易证明行秩等于列秩,所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用,可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

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  • 如何理解向量组的秩和矩阵

    千次阅读 2020-09-13 12:14:40
    向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数 矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶. 这里提醒一下就是: n-r为线性无关的解...
    1

    向量组的轶指的是极大线性无关组中向量的个数
    矩阵的轶是把一个矩阵分为行向量组和列向量组,这两个向量组的轶分别称为行轶和列轶.可以证明的是行轶和列轶相等,这就是矩阵的轶.

    这里提醒一下就是:
    n-r为线性无关的解向量的个数,而r为极大无关组的个数
    n-r也为基础解析向量的个数。

    2

    一个矩阵的所有列向量,代表了所需要的维度;
    一个矩阵的所有行向量,代表了所能提供的维度。
    这里会有三种情况:
    1.所提供的维度小于所需要的维度,那么有几个列向量是不能表示出来的;造成了行秩等于列秩,也就是等于列秩本可以达到所需的维度,但是提供的维度达不到。
    2.所提供的维度大于所需要的维度,那么提供的维度,完全可以表示出需要的维度。造成了列秩等于行秩,也就是再多需要几个维度仍然能够被表达出来。

    对于矩阵的值
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  • 向量组的秩是什么?

    千次阅读 2019-03-24 15:38:44
    通俗的说,就是把这一组向量的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。 那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢?就是能被别人线性表示的向量。比如说向量α1...
  •   向量组α1⃗,α2⃗,...,αs⃗\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}α1​​,α2​​,...,αs​​的极大线性无关组中所含有向量的个数称为向量组的秩,其中等价向量组必然等秩,但向量组等秩不一定是...
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  • 矩阵线性无关行向量的个数也称为矩阵的秩,矩阵的秩未知数的个数 当矩阵的秩等于方程未知数的个数时,方程有唯一解且解为0。 当矩阵的秩小于方程未知数的个数时,方程有无数个解。wiki的链接: ...
  • 线性基理解

    2019-07-08 10:21:34
    线性基是定义在数域为二进制上的向量,二进制向量的加法即为异或运算,因此线性基多运用在异或运算方面。...最大线性无关向量组的个数又称为a的秩。 最大线性无关向量组的性质: (1):向量组内...

空空如也

空空如也

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向量组中向量的个数