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  • 今天测试开完会后,他又发话了:在古老模式识别,常常需要计算连续子向量的最大,当向量全为正数时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边正数会弥补它呢?例如:{6,...

    连续子数组的最大和
    HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢?例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组,返回它的最大连续子序列的和,你会不会被他忽悠住?(子向量的长度至少是1)

    # -*- coding:utf-8 -*-
    class Solution:
        def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
            # write code here
            # 注意元素全部为负数的情况
            value = max(array[0], 0)
            max_value = value
            flag = True if array[0] < 0 else False
            for i in range(1, len(array)):
                value = max(value + array[i], 0)
                max_value = max(value, max_value)
                if array[i] >= 0:
                    flag = False
            if flag:
                return max(array)
            return max_value
            # 动态规划:dp[i] = max{dp[i-1]+array[i],array[i]}.
            n = len(array)
            dp = [ i for i in array]
            for i in range(1,n):
                dp[i] = max(dp[i-1]+array[i],array[i])
            return max(dp)
    

    整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)
    求出113的整数中1出现的次数,并算出1001300的整数中1出现的次数?为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数(从1 到 n 中1出现的次数)。

    # -*- coding:utf-8 -*-
    class Solution:
        def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
            # write code here
            result=0
            for i in range(1,n+1):
                while i>=1:
                    temp=i%10
                    if temp==1:
                        result+=1
                    i=i//10
            return result
            # 字符串思路:
            res = ''
            for i in range(n):
                res += str(i)
            res += str(n)
            num = res.count('1')
            return num
            # 牛客网@华科平凡的思路:
            """
            :type n: int
            :rtype: int
            例:对于824883294,先求0-800000000之间(不包括800000000)的,再求0-24883294之间的。
            如果等于1,如1244444,先求0-1000000之间,再求1000000-1244444,那么只需要加上244444+1,再求0-244444之间的1
            如果大于1,例:0-800000000之间1的个数为8个100000000的1的个数加上100000000,因为从1000000000-200000000共有1000000000个数且最高位都为1。
            对于最后一位数,如果大于1,直接加上1即可。
            """
            result = 0
            if n < 0:
                return 0
            length = len(str(n))
            listN = list(str(n))
            for i, v in enumerate(listN):
                a = length - i - 1  # a为10的幂
                if i==length-1 and int(v)>=1:
                    result+=1
                    break
                if int(v) > 1:
                    result += int(10 ** a * a / 10) * int(v) + 10**a
                if int(v) == 1:
                    result += (int(10 ** a * a / 10) + int("".join(listN[i+1:])) + 1)
            return result
    

    把数组排成最小的数
    输入一个正整数数组,把数组里所有数字拼接起来排成一个数,打印能拼接出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{3,32,321},则打印出这三个数字能排成的最小数字为321323。

    # -*- coding:utf-8 -*-
    class Solution:
        def PrintMinNumber(self, numbers):
            # write code here
            # 字符串思想:
            if not numbers:
                return ""
            str_nums=list(map(str,numbers))
            # cmp(x,y) 函数用于比较2个对象,如果 x < y 返回 -1, 如果 x == y 返回 0, 如果 x > y 返回 1。
            '''
            在官方文档中可以发现,在python2中的sort()函数:
            sort(cmp=None, key=None, reverse=False)
            python3中的sort()函数:
            sort(*, key=None, reverse=None)
            少了cmp参数。
            解决方法:
            用functools.cmp_to_key()来曲线救国
            sorted(nums,key=cmp_to_key(lambda a, b: a - b))
            '''
            str_nums.sort(cmp=lambda x,y:cmp(x+y,y+x))
            # Python lstrip() 方法用于截掉字符串左边的空格或指定字符。
            return "".join(str_nums).lstrip('0') or '0'
    
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  • 线性相关时,向量组的秩小于向量组中向量的个数 3.最大线性无关组 定义 性质 4.向量组的秩:最大线性无关组包含的向量个 5.求解向量组秩的方法:将向量组排列成一个矩阵,用行初等变换将其转化成梯形矩阵,梯形...

    本节知识点

    1.n维向量 n-dimensional vector 定义以及线性运算

    2.向量组的线性相关性

    线性相关和线性无关的定义

    线性相关时,向量组的秩小于向量组中向量的个数

    3.最大线性无关组 定义 性质

    4.向量组的秩:最大线性无关组包含的向量个数

    5.求解向量组秩的方法:将向量组排列成一个矩阵,用行初等变换将其转化成梯形矩阵,梯形矩阵中非零行的行数就是向量组的秩。

    6.齐次和非齐次线性方程组基础解系的求解方法

     

     

     

     

      其实到这一节时,我已经开始有点晕了,即使知道练习题如何做,书上给出的一些性质和定义和定理理解的就不是很好了,不过没关系,以后用到的时候随时翻阅就好了。

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  • 接着引入了子空间的维数的概念,其实质是子空间中任意一的个数。并讨论了矩阵列空间的维数(也称作秩)子空间的维数。 坐标系 根据上一节的定义,子空间HHH中的基是线性无关的。由于基是线性无关的,所以...

    主要内容

    本节首先引入了坐标系的概念,利用子空间的一组基,将子空间的任意一个向量用这组基来表示。接着引入了子空间的维数的概念,其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数(也称作秩)和零空间的维数及二者之间的关系。

    坐标系

    根据上一节的定义,子空间HH中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的,所以HH中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。
    证:

    假设β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}HH的基,HH中的一个向量x\boldsymbol x可以由两种方式生成,设:
    x=c1b1++cpbp\boldsymbol x=c_1\boldsymbol b_1 + \cdots+c_p\boldsymbol b_p
    x=d1b1++dpbp\boldsymbol x = d_1\boldsymbol b_1 + \cdots + d_p\boldsymbol b_p
    两式相减得:
    0=(c1d1)b1++(cpdp)bp\boldsymbol 0 = (c_1 - d_1)\boldsymbol b_1 + \cdots + (c_p - d_p)\boldsymbol b_p
    由于β\beta是线性无关的,所以上式中的系数必全为0,因此HH中的一个向量只能通过基的唯一组合进行表示。

    定义:

    假设β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b1,\cdots,\boldsymbol b_p\}是子空间HH的一组基,对HH中的每一个向量x\boldsymbol x,相对于基β\beta的坐标是使x=c1b1++cpbp\boldsymbol x = c_1\boldsymbol b_1 + \cdots + c_p\boldsymbol b_p成立的权c1,,cpc_1, \cdots, c_p,其Rp\mathbb R^p中的向量
    [x]β=[c1...cp]{[\boldsymbol x]}_\beta = \begin{bmatrix}c_1 \\ ... \\ c_p\end{bmatrix}
    称为x\boldsymbol x(相对于β\beta)的坐标向量,或x\boldsymbol xβ\beta-坐标向量。

    例:

    v1=[362]\boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix}v2=[101]\boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}x=[3127]\boldsymbol x = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\7\end{bmatrix}β={v1,v2}\beta = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\},。由于v1\boldsymbol v_1, v2\boldsymbol v_2线性无关,故β\betaH=Span{v1,v2}H=Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}的一组基。判断x\boldsymbol x是否在HH中,如果是,求x\boldsymbol x相对于基β\beta的坐标向量。

    解:

    问题的实质是判断下面的方程是否相容:
    c1[362]+c2[101]=[3127]c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}
    经计算,c1=2c_1=2c2=3c_2=3[x]β=[23][\boldsymbol x]_\beta = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}。基β\beta确定HH上的一个坐标系,如下图所示:
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Ls38XrQq-1583389305394)(en-resource://database/18801:1)]
    注意到,虽然HH中的点也在R3\mathbb R^3中,但它们完全由属于R2\mathbb R^2的坐标向量确定。映射x[x]β\boldsymbol x \rightarrow[\boldsymbol x]_\betaHHR2\mathbb R^2之间保持线性组合关系的一一映射,我们称这种映射是同构的,切HHR2\mathbb R^2同构。

    一般的,如果β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}HH的基,则映射x[x]β\boldsymbol x\rightarrow [\boldsymbol x]_\beta是使HHRp\mathbb R^p的形态一样的一一映射,尽管HH中的向量可能有多于pp个元素。

    子空间的维数

    定义:

    非零子空间HH的维数(用dimHdim H表示)是HH的任意一个基的向量个数。零子空间{0}\{\boldsymbol 0\}的维数定义为零。

    Rn\mathbb R^n空间维数为nnRn\mathbb R^n的每个基由nn个向量组成。R3\mathbb R^3中一个经过0\boldsymbol 0的平面是二维的,一条经过0\boldsymbol 0的直线是一维的。

    例:

    在前一章的内容中,我们观察到,矩阵AA的零空间的基的数量对应于方程Ax=0A\boldsymbol x = \boldsymbol 0中自由变量的数量,因此,要确定Nul ANul \ A的维数,只需求出A=0A\boldsymbol =\boldsymbol 0中自由变量的个数。

    定义:

    矩阵AA的秩(记为rankArank A)是AA的列空间的维数。

    因为AA的主元列形成Col ACol \ A的一个基,故AA的秩正好是AA的主元列的个数。
    例:

    确定下列矩阵的秩:
    A=[25348474396952409656]A=\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\4&7&-4&-3&9\\6&9&-5&2&4\\0&-9&6&5&-6\end{bmatrix}

    解:

    AA经过行化简,其阶梯形矩阵为:
    [25348032570004600000]\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\0&-3&2&5&-7\\0&0&0&4&-6\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
    可见,AA有三个主元列(第1,2,4列),因此rank A=3rank \ A = 3

    从这个例子中还可以看到,方程Ax=0A\boldsymbol x=\boldsymbol 0有两个自由变量(由于AA的五列中只有三个主元列),因此得出如下关系:
    定义:

    如果一矩阵AAnn列,则rank A+dim Nul A=nrank \ A + dim \ Nul \ A = n

    上述定理被称作秩定理

    下面的定理被称为基定理

    HHRn\mathbb R^npp维子空间,HH中的任何恰好由pp个元素组成的线性无关集构成HH的一个基。并且,HH中任何生成HHpp个向量集也构成HH的一个基。

    秩与可逆矩阵定理

    子空间基的线性无关性质可以与逆矩阵发生一些关联,下面是逆矩阵与本节知识关联得到的一些推论

    定理:

    AA是一n×nn \times n矩阵,则下面的每个命题与AA是可逆矩阵的命题等价:
    a. AA的列向量构成Rn\mathbb R^n的一个基
    b. Col A=RnCol \ A = \mathbb R^n
    c. dim Col A=ndim \ Col \ A = n
    d. rank A=nrank \ A = n
    e. Nul A={0}Nul \ A = \{\boldsymbol 0\}
    f. dim Nul A=0dim \ Nul \ A = 0

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  • numpy中的rank:指的是多维数组的维数,axes(轴)的个数; 矩阵论,线性代数中的rank:极大线性无关所含向量的个数。 举例子: 对于二维数组(矩阵)A: A = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] numpy:rank ...

    答:完全不一样!
    numpy中的rank:指的是多维数组的维数,axes(轴)的个数;
    矩阵论,线性代数中的rank:极大线性无关组所含向量的个数。

    举例子:
    对于二维数组(矩阵)A:

    A = [[1, 0, 0],
         [0, 1, 0], 
         [0, 0, 1]]
    

    numpy:rank = 2(其是二维数组)
    矩阵论,线性代数:rank=3 (极大线性无关组所含向量的个数是3)

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向量组中的个数和维数