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  • 2020-03-11 15:11:41

    一、当向量组 个数大于维数时

    𝑚个𝑛维向量组成的向量组,当𝑛<𝑚时向量组线性相关

    对应矩阵𝑟(𝐴)≤𝑚𝑖𝑛(𝑛,𝑚),由𝑛<𝑚,则𝑟(𝐴)<𝑚(向量个数),故向量组线性相关.维数小于个数,线性相关;维数大于个数,不一定(可能线性相关也可能线性无关)

    二、当向量组 个数等于维数时(通过行列式判断)

    当向量个数等于向量维数时,向量组线性相关的充要条件是该向量组构成的矩阵𝐴的行列式𝐴=0

    而向量组线性无关的充要条件是𝐴≠0

    三、当向量组 个数小于维数时(通过秩判断)

    当向量组的个数小于维数时候,设列向量组𝐴:𝛼1,𝛼2,...,𝛼m构成矩阵𝐴=𝛼1,𝛼2,...,𝛼𝑚,则向量组𝐴线性相关的充要条件是矩阵𝐴的秩小于向量个数𝑚,即𝑟(𝐴)<𝑚;向量组𝐴线性无关的充要条件是矩阵𝐴的秩等于向量个数𝑚,即𝑟(𝐴)=𝑚.

     

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    行向量组指的是矩阵每行构成一个向量,所有行构成的向量的整体称为一个行向量组

    列向量组指的是矩阵每列构成一个向量,所有列构成的向量的整体称为一个列向量组

    例如:  给你一个矩阵A

    A =

    1  2  3

    4  5  6

    则A的行向量组为: (1,2,3), (4,5,6)A的列向量组为:  (1,4)',(2,5)', (3,6)'

    扩展资料:

    在线性代数中,行向量是一个 1×n的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量,反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间,它是所有列向量集合的对偶空间。

    设 F 是一个环或域,F 中的 mn 个元素  ,  ,排成一个表:

    称为 F 上的一个 m 行 n 列矩阵,或  阶矩阵,简称  矩阵,  称为矩阵的元素(entry of matrix),或更明确地,矩阵的 (i,j) 元素。上述矩阵亦常记作  或字母 A 。

    矩阵  称为 F 上的一个 n 元行向量,对应地,  矩阵  称为 F 上的一个 m 元列向量(column vector),一个  矩阵的各行构成的 m 个行向量称为矩阵的行向量,各列构成的 n 个列向量称为矩阵的列向量。

    矩阵称为 n 阶方阵(square matrix),而称一般的  矩阵为长方阵(rectangular matrix)。

    最常见的是 F 取实数域  或复数域  ,这时的矩阵分别为实矩阵(real matrix)或复矩阵(complex matrix)。

    在线性代数中,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间,它是所有行向量集合的对偶空间。

    单位列向量,即向量的长度为1,其向量所有元素的平方和为1。

    在线性代数中,行向量是一个 1×n的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。

    行向量的转置是一个列向量,反之亦然。

    所有的行向量的集合形成一个向量空间,它是所有列向量集合的对偶空间。

    在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的只有大小,没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)。

    向量的记法:印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

    不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

    参考资料:百度百科——行向量

    参考资料:百度百科——列向量

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    不等价。

    在代数中,矩阵等价和向量组等e69da5e887aa62616964757a686964616f31333431373234价是不一样的。

    矩阵等价的充要条件是秩相等,向量组等价的充要条件是能够相互线性表出。

    假设有4个线性无关的4维列向量,a1,a2,a3,a4,

    第一个向量组取a1,a2,a3 第二个向量组取a2,a3,a4

    显然它们满足你说的条件,但是它们不能相互线性表出,所以不是等价的向量组。

    矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩,记为r(A),其中r(A)不超过矩阵行数和列数的最小值。

    矩阵的秩可以化为向量组的秩来计算,向量组的秩也可以化为矩阵的秩来计算。在计算矩阵的秩时,理论上需要计算非零子式来确定,但是有的时候计算量大、计算麻烦,故可以利用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵,最后非零行的个数就是矩阵的秩。

    扩展资料

    两矩阵等价,不能得到列向量组(或者行向量组)相互等价,但可以得到结论:两个矩阵的秩相等。

    在代数中,因为如果两个向量组等价,则他们有相对的秩。

    等价向量组的性质

    1、等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样,线性相关性也可以不一样。

    2、任一向量组和它的极大无关组等价。

    3、向量组的任意两个极大无关组等价。

    4、两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。

    5、等价的向量组具有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。

    6、如果向量组A可由向量组B线性表示,且R(A)=R(B),则A与B等价。

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    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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向量组中的向量个数是什么

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