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  • 向量组的线性表出与线性相关3.1 基础概念3.2 线性相关、线性无关的进一步说明4. 判别线性相关性的七大定理4.1 定理14.2 定理24.3 定理34.4 定理44.5 定理54.6 定理6 1. 引入 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面...
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 引入

    • 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算 我们提到过:矩阵是由若干行(列)向量拼成的,而且它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题,也就是这若干个向量组成的向量组中,有几个就足够代表这整个向量组(其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来)。比如向量组 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 中,向量 [2,4,6] 可以用向量 [1,2,3] 的两倍表示,因此 [2,4,6] 这个向量就是 “多余” 的,不是独立信息
    • 经过仔细排查,我们可以找出某个向量组中能够代表所有成员的一组向量,把它们组成的向量组叫做原向量组的 极大线性无关组这个组是原向量组的 “代表”。比如 [1,2,3],[6,7,9] 就是 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 的极大线性无关组。后面我们会说明,对于同一个向量组,其极大线性无关组中 “代表” 的个数是唯一的。事实上,“代表” 的个数就是独立信息的个数,这个个数就叫做向量组的秩。秩就是独立信息的个数,用这几个独立信息就能表示其他所有信息了。
    • 注意到矩阵就是由向量组拼成的,因此 矩阵的秩向量组的秩都反映了 “代表” 个数,其本质是一样的
    • 后面我们还会说明一个重要观点:向量与向量间的关系要么线性相关,要么线性无关,这种关系是 “非黑即白” 的

    2. 向量的概念和运算

    • n维向量:n个数构成的一个有序数组 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] 称为一个 n n n 维向量,记作 α = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n] ααα=[a1,a2,...,an],并称 α \pmb{\alpha} αααn维行向量 α ⊤ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ \pmb{\alpha}^\top = [a_1,a_2,...,a_n]^\top ααα=[a1,a2,...,an] 称为 n维列向量,其中 a i a_i ai 称为向量 α \pmb{\alpha} ααα α ⊤ \pmb{\alpha}^\top ααα 的第 i i i分量
    • 向量的运算
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    3. 向量组的线性表出与线性相关

    3.1 基础概念

    1. 线性组合:设有 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 和 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,则向量
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 称为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合

    2. 线性表出:若向量 β \pmb{\beta} βββ 能表示成 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合,即存在 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m \pmb{\beta} = k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m βββ=k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 则称向量 β \pmb{\beta} βββ 能被 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性表出

    3. 线性相关:对 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关

    4. 线性无关:若不存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,就称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关;亦即若只有 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0 时才有 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关

    3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

    1. 含有零向量或有成比例向量的向量组一定线性相关
      1. 若含有零向量,可以把零向量对应的系数 k i k_i ki 设为任意非零数,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
      2. 若有成比例向量,可以把成比例向量的系数 k i k_i ki 按比例设为正负数值,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
    2. 单个非零向量、两个不成比例向量均线性无关
      1. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
      2. 对于两个不成比例向量 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2,对于 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2 =0 k1ααα1+k2ααα2=0,有 k 1 = − k 2 α 2 / α 1 k_1 = -k_2 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 k1=k2ααα2/ααα1,若 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2 线性相关, α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 必为常数,而这代表 α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 成比例,矛盾
    3. 只有 零向量自己一个向量就能线性相关;其他 所有非零向量自己一个向量都是线性无关的
      1. 对于单个零向量,若有 k ⋅ 0 = 0 k·\pmb{0} = \pmb{0} k000=000 k k k 可取任意非零数
      2. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
    4. 向量组要么线性相关要么线性无关,二者必居其一且仅居其一
    5. 使用定义法解题:
      1. 写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0
      2. k i k_i ki 不全为0 ⇒ \Rightarrow 线性相关; k i k_i ki 全为0 ⇒ \Rightarrow 线性无关

    4. 判别线性相关性的七大定理

    4.1 定理1

    • 原命题向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中至少有一个向量可以由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 逆否命题:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中任意一个向量不能由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 原命题证明:
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      • ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 时,哪个系数 k i ≠ 0 k_i \neq 0 ki=0,其对应的 α i \pmb{\alpha}_i αααi 就能被其他向量线性表出

    4.2 定理2

    • 若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性无关,而向量组 β , α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\beta},\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n βββ,ααα1,ααα2,...,αααn 线性相关,则 β \pmb{\beta} βββ 可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性表出,且表示法唯一
    • 证明:
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    4.3 定理3

    • 原命题若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 t > s t > s t>s,则无论 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 是线性相关还是无关, β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 一定线性相关(以少表多,多的相关
    • 逆否命题:若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 线性无关,则 t ≤ s t\leq s ts
    • 证明原命题
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    4.4 定理4

    • 原命题:设 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,其中
      α 1 = [ a 11 , a 21 , . . . , a n 1 ] ⊤ α 2 = [ a 12 , a 22 , . . . , a n 2 ] ⊤ … α m = [ a 1 m , a 2 m , . . . , a n m ] ⊤ \begin{aligned} &\pmb{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},...,a_{n1}]^\top\\ &\pmb{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},...,a_{n2}]^\top\\ &\dots \\ &\pmb{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},...,a_{nm}]^\top \end{aligned} ααα1=[a11,a21,...,an1]ααα2=[a12,a22,...,an2]αααm=[a1m,a2m,...,anm] 则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解,其中
      A = [ a 11 a 12 … a 1 m a 21 a 22 … a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n m ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x m ] \pmb{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\dots & a_{nm} \end{bmatrix}, \pmb{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} AAA=a11a21an1a12a22an2a1ma2manm,xxx=x1x2xm(即 A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 \pmb{Ax}= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 + ...+x_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} AxAxAx=x1ααα1+x2ααα2+...+xmαααm=000 x \pmb{x} xxx 有非零解)
    • 逆否命题:m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
    • 原命题证明
      在这里插入图片描述
    • 注:注意到矩阵 A \pmb{A} AAA 中行数(即向量维度) n n n 是方程个,列数(即向量个数) m m m 是未知数数目
      1. n < m n<m n<m,即方程个数小于未知数个数,线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 求解时必有自由未知量,即必有非零解。因此,任意 n + 1 n+1 n+1 n n n 维向量都是线性相关的 n n n 维空间中,任何一个线性无关向量组最多只能包含 n n n 个向量
      2. n = m n=m n=m,这时是方阵,可以引入行列式。对于 n n n n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn
        1. 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ = ∣ α 1 , α 2 , . . . , α n ∣ = 0 |\pmb{A}| = |\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n| = 0 AAA=ααα1,ααα2,...,αααn=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解
        2. 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
      3. n > m n>m n>m,这时方程个数多于未知数个数,但是方程中可能有因线性相关而冗余的方程,此时可以
        1. 化阶梯型,找出真实方程数目
        2. 使用下面的定理6 / 定理7

    4.5 定理5

    • 原命题:
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    • 逆否命题:
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    • 说明:
      1. 定理5和定理4把向量组和线性方程组相联系,定理4从线性方程组角度给出了线性相关和线性无关的定义;定理5从线性方程组角度给出了线性表出的定义
      2. 这里 r ( ⋅ ) r(·) r() 代表向量组的秩,下一章再详细说明,这里简单一提:秩代表这组向量中不能被其余向量线性表出的向量的个数,当 β \pmb{\beta} βββ 可以被其他 α \pmb{\alpha} ααα 线性表出时,秩不变;不能时秩改变,其实就是增加了1

    4.6 定理6

    • 原命题如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 中有一部分线性相关,则整个向量组也线性相关(部分相关,则整体相关
    • 逆否命题:如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关,则其中任意部分向量组也线性无关(整体无关,则部分无关
    • 证明原命题:不妨设 α 1 , α 2 , . . . , α j    ( j < m ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_j \space\space(j<m) ααα1,ααα2,...,αααj  (j<m) 线性相关,于是有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j k_1,k_2,...,k_j k1,k2,...,kj 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj=000 从而有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j , 0 , . . . , 0 k_1,k_2,...,k_j,0,...,0 k1,k2,...,kj,0,...,0 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j + 0 α j + 1 + . . . + 0 α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j + 0\pmb{\alpha}_{j+1}+...+0\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj+0αααj+1+...+0αααm=000 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 也线性相关

    4.7 定理7

    • 如果一组 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性无关,那么把这些向量各任意添加 m m m 个分量后所得的新( n + m n+m n+m维)向量组 α 1 ∗ , α 2 ∗ , . . . , α s ∗ \pmb{\alpha}_1^*,\pmb{\alpha}_2^*,...,\pmb{\alpha}_s^* ααα1,ααα2,...,αααs 也线性无关;如果 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性相关,那么它们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的(原来相关,缩短相关;原来无关,延长无关。注意,延长/缩短向量等价于增加/减少方程数目

    • 在这里插入图片描述
    • 例:
      [ 1 2 ] 和 [ 2 3 ] 线 性 无 关 ⇒ [ 1 2 3 ] 和 [ 2 3 4 ] 线 性 无 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} 线性无关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 线性无关 [12][23]线123234线
      [ 1 2 3 ] 和 [ 2 4 6 ] 线 性 相 关 ⇒ [ 1 2 ] 和 [ 2 4 ] 线 性 相 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} 线性相关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} 线性相关 123246线[12][24]线

    5. 例题

    5.1 利用行列式判断线性相关/无关

    • 此题中向量个数(未知数个数) = 向量维数(方程个数),根据定理4,可以用行列式进行判断
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    5.2 利用定义法判断线性相关/无关

    • 这个题用定义法证明线性无关。首先写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 的形式,然后分析系数是否全为0
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    5.3 分类讨论

    • 这个题没有明确向量个数 s s s(未知数个数) 和向量维数 n n n(方程个数)间的大小关系,需要分类讨论
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      1. s > n s>n s>n 时,未知数个数多于方程个数,一定有自由变量,有非零解, 必线性相关
      2. s = n s=n s=n 时,用行列式是否等于0判断,注意到这里是范德蒙德行列式,直接展开行列式不等于零,线性无关
      3. s < n s<n s<n 时,取对应齐次线性方程组靠上的 s s s 个方程,这一部分同第2点里 s = n s=n s=n 的情况,发现这部分线性无关,根据定理7,延长后的向量组一定也线性无关
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  • 线性代数之向量基础点

    千次阅读 2021-03-06 12:53:48
    线性代数之向量基础点 向量的定义 ...向量组:n个同维的行向量(列向量)组成的集合向量组向量组与矩阵 m个n维列向量所组成的向量组A:a1 构成了n*m的矩阵,记作A=(a1 ,a2 … am ) 注:这...

                                        线性代数之向量基础点

    向量的定义

    由n个按照次序排成的数组成的数组叫n维向量,每个数称为该向量的n的分量,其中第i个数 称为第i个分量。按照行(列)排列的向量叫做行(列)向量。

    n维列向量记作: 

    几点说明:

    • 如果kα=0,这里的0是零向量,k是常数,则要么k=0要么α=0

     

    向量组的定义

    向量组:n个同维的行向量(列向量)组成的集合向量组。

    向量组与矩阵

    m个n维列向量所组成的向量组A:a1  构成了n*m的矩阵,记作A=(a1  ,a2  … am  )

    注:这里n维列向量,即可看作行有n个。

    m个n维行向量所组成的向量组构成了m*n的矩阵,记作

     

    线性组合

    给定向量组 ,对于任意一组实数 则表达式

    则称为向量组A的线性组合。其中叫做该线性组合的系数。

     

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。

    特别的:

    • 线性表示时系数可以全是0
    • 0向量可有任意向量组表示。
    • 任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    向量组等价

    两个向量组可以相互线性表示,叫做第一个向量组等价于第二个向量组。向量组等价的性质:

    反身性:向量组和自己等价,A~A。

    对称性:向量组可以相互等价,A~B则B~A

    传递性: 向量组1等价于向量组2,向量组2等价于向量组3则,向量1等价于向量组3,即A~B,B~C则A~C

     

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的   使得 则α 是线性相关的,反之线性无关。

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的    使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    • 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    • 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    • 一个零向量必线性相关
    • 一个非零向量必然线性无关
    • 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    关于向量组

    • 部分组线性相关则整体组也线性相关(这里的部分组是指向量组的部分,即假设向量组有n个向量,则此时部分组是它的 “部分”,即有k个,k小于n)

                  逆否命题整体组线性无关 则部分组也线性无关也成立。

    • 线性无关的向量组的接长向量组也无关(线性无关的向量组的每个向量按相同位置随机增加一些分量得到的高维向量组也是线性无关的,这里涉及向量组里每个向量的维数即单个向量元素个数。这里的接长即对于于每个向量的维数的增加。

                 逆否命题线性相关的向量组截短之后的向量组也线性相关。这里截断时仍保留原有的系数即可(因之前已经找不到不全为0的系数)。

    比如 b=(3,0,0,4), 则 

    如果截短,如果须按 即仍然线性相关。

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    • 向量组部分相关则整体组相关的理解:

    由定义则取原有系数不变(至少含不全为0系数),新增的向量(组)系数全部取0即可。(外部部分行代替整体行,可理解成内部有线性关系再外延还是有这个线性关系)

    • 逆否命题,整体组线性无关则部分组也线性无关的理解:

    由线性无关定义则原系数均为0,则取部分组时也是线性无关。(外部全体不行则部分不行)

    • 线性无关的接长向量组也无关的理解:

    由线性无关定义则原系数均为0,则向量组里每个向量里新接个元素系数为0时才能满足线性表示的定义,亦无关。(内部无关则扩大后仍无关)

    • 线性相关的向量组截短之后的向量组也线性相关的理解:

    由定义则取原有系数不变(至少含不全为0系数),截断的向量(组)系数仍取原有的。(内部相关则缩小后仍相关)

    线性相关与方程组

    针对n个n维的向量(向量的个数等于向量的维数,向量组的另外中说法)线性无关的充要条件是它的行列式不等于0(齐次方程系数行列式不等于0,必有唯一0解,即系数全为0),线性相关的充要条件是它的行列式等于0

    两点说明:

      线性组合充要条件方程有解(源于线性组合的定义);

    不是线性组合充要条件方程无解。

    线性相关的充要条件是方程有非零解(源于线性相关的定义);

        线性无关的充要条件是方程只有零解。

     

    极大无关组

    极大无关组

    假设有向量组A:a1  ,a2  … am  的部分组和部分组a1  ,a2  … ak  (这里k小于等于m,可从向量组里挑选)满足如下条件:

           1) 部分组之间线性无关

           2) 向量组里每个向量均可由该部分组线性表示。

           3)该向量组的向量个数最大

    则成这样的部分向量组为极大线性无关组。

    不难发现,极大无关组有如下特点:

    1. 任意两个极大无关组含向量个数是相同的。
    2. 极大无关组不唯一

    极大无关组求解步骤

       1) 原始矩阵均按照列组成向量

       2) 只应用行变换,形成行简化阶梯型

        3) 首非零元所在列为极大无关组

        4) 其余向量的系数用简化阶梯型按列填充

     

    向量组的秩

    极大无关组含向量的个数,记作 即称为向量组的秩。

    向量秩的特点:

    一定小于等于向量的维数,因为当找的向量个数大于维数时线性相关。

    向量组的秩大于0小于等于向量个数和向量维数的较小者。min{向量个数,向量维数}

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  • 线性表示&线性相关&线性无关

    千次阅读 2021-07-31 10:59:08
    线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示 线性表示 定义 指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的...
    • 线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示

    线性表示

    定义

    • 指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。
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    等价向量组

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    性质

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    线性相关

    • 如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表示,那么向量组称为线性相关的。

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    理解

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    性质

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    线性无关

    判定

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  • 这里写目录标题一,n维向量的线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量的线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...

    一,n维向量的线性相关

    1,简介

    设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组(a1,a2,…,an)称为P上的n维向量
    n维向量可以写成行行式称为行向量
    α=(a1,a2,a3,a4…,an)

    n维向量也可以写成列行式称为列向量
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    P上全体n维向量构成的集合记为P^n,
    P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同

    • 这里α称为n维向量(简称向量)
    • 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
    • n个分量都为实数的向量称为实向量
    • α为行向量则α的转置为列向量
    • 分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
    • 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
    • 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组部分组
    • 按列分块的向量组称为列向量组
    • 按行分块的向量组称为行向量组

    2,公式:

    • 1,α+β=β+α
    • 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
    • 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
    • 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+()=0
    • 5,1α=α
    • 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
    • 7,(k+l)α=kα+lα
    • 8,k(α+β)=kα+kβ
      其中αβγ∈P^n,k,h,l∈R

    3,线性组合,线性表出,表出系数

    β,α1,α2,α3αn∈P^n
    如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
    使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
    则称向量β是向量组α1,α2,α3αn线性组合,或者说向量β由向量组α1,α2,α3αn 线性表出
    而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数

    4,向量组之间等价

    设有两个向量组
    (Ⅰ):α1α2,……,αm
    (Ⅱ):β1β2,……,βm
    如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示,则称(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示;如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示,则称(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,记为(Ⅰ)≌(Ⅱ)。

    • 反身性:任何向量组Ⅰ:α1α2,……,αm均与本身等价,例(α1α2,……,αm)≌(α1α2,……,αm
    • 对称性:如果向量组Ⅰ:α1α2,……,αm与向量组Ⅱ:β1β2,……,βm等价,那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价,例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(α1α2,……,αm
    • 传递性:例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(γmγm,…,γm),则(α1α2,……,αm)≌(γmγm,…,γm

    5,线性相关与线性无关的判别

    (1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
    (2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0

    • 定义1:向量组中的两向量成比例(线性相关
      例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0
    • 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
    • 定义3:一个零向量必线性相关
      例:1*0=0
    • 定义4:一个非零向量必线性无关,α不等于0,kα=0,=>k=0
    • 定义5:一个向量线性相关的充要条件,α=0;
    • 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
    • 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn(n>=2)线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
    • 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关,那么这个向量组Ⅰ线性相关
    • 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关,那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
    • 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时,该向量组一定线性相关;
    • 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
    • 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
    • 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关,而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出,并且表示法唯一
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    千次阅读 2021-10-22 17:02:44
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空空如也

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向量组之间能线性表示