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  • 考研数学,思维导图总结,参见同济版第五版,向量组线性相关性,第四章知识总结,分享给各位研友,有错误指出
  • 向量组 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,....

    向量组

    • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
      • 如果是行向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=a1 a2 a3 an
      • 如果是列向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯   , a n ⃗ , ⋯   ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1 ,a2 ,a3 ,,an ,)
    • 向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵

    正交向量

    • ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 x=1时,称x为单位向量,这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x特指向量x的模
    • ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 x=0,y=0时, θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccosxyxy 称为n维向量x与y的夹角
      • x ⋅ y = 0 x · y = 0 xy=0时,称向量x与y正交
      • x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交

    向量的线性表示

    • 对于向量组: A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn, 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n     ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn   (kiR) 称为向量组A的一个线性组合
    • 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合,即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
      • 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,,αn]λ1λ2λn
      • 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
        • ⇔ \Leftrightarrow (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
        • ⇔ \Leftrightarrow (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即: A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
    • 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示
      • 设B由A表示如下:
      • { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. β1=c11α1+c21α2++cp1αpβ2=c12α1+c22α2++cp2αpβq=c1qα1+c2qα2++cpqαp
      • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
      • 改写为矩阵
        • [ β 1 , β 2 , ⋯   , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,,βq]=[α1,α2,,αp]c11c21cp1c12c22cp2...c1qc1qcpqp×q
        • 即:B = A × C系数矩阵
      • 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
    • 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示,则称这两个向量组等价
      • 关于向量组的等价关系:
        • 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=α1α2αm行变换B=β1β2βm
        • 则称A与B行等价.
        • 同理可定义列等价.
    • 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关,否则,如果任意向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立)
      • 如何用数学数字表达?
        • 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
        • k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 则称该向量组线性相关.
        • 否则,如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
    • 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
    • 向量组的线性相关性与线性表示有何关系?
      • 向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
      • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
    • 定理:向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n r(A)=n (满秩)

    例1

    • α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(123)T,α2=(210)T,α3=(179)T 问这组向量是否线性相关?
    • 分析
      • A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=123210179100256156100210110
      • 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
      • 所以线性相关

    例2

    • α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=111,α2=011,α3=245, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
    • 分析
      • [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=111011245100010221
      • r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关
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  • 向量组线性相关性

    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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  • 向量组线性相关 定义 例题 定义 向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , ...

    向量组线性相关

    定义

    向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,,αs(s1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,,ks,使

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2++ksαs=0


    例题

    判断下列向量组是否线性相关:
    α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=2534,α2=511310,α3=3716,α4=13301226,

    例题来源:《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

    k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

    即:

    { 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. 2k15k13k14k15k2+11k2+3k2+10k23k37k31k36k3+13k430k4+2k426k4=0=0=0=0

    写成矩阵形式即为:

    [ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 253451131037161330226k1k2k3k4=0000

    经过矩阵的初等行变换,我们得到上面的方程组与下面的方程组等价:

    [ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 10000100323100373500k1k2k3k4=0000

    显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

    如果题目只问向量组是否相关,可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

    方程的一般解为

    { x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. x1x2=32x337x4=31x3+35x4

    其中一个特解为

    k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=2,k3=1,k4=1

    从而:

    3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α12α2+α3α4=0


    总结:

    1. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0
    2. 把 1. 中的方程写成矩阵的形式,化成阶梯型行列式,即可判断是否存在非零解
    3. 求出一组非零解

    2021年1月4日19:26:01


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    2021年6月26日 有改动


    2021年12月13日23:03:53 排版有改动

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  • 向量组线性相关

    千次阅读 2018-11-08 21:12:30
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    向量和向量组
    以下讨论同样适用于行矩阵:
    列矩阵素被看作空间内的一个向量,N阶列矩阵被称为N维向量
    M个N维列矩阵按顺序组成的新矩阵被称为向量组


    线性表示和线性相关
    当向量方程AX=b有解时,称向量b可以用向量组A线性表示,称Σxiai为向量组A的一个线性组合
    当向量组B的所有向量bi都能用A线性表示时,称向量组B能被向量组A线性表示。这个关系不一定可逆。

    当向量方程组AX=0有非0解时,称向量组A线性相关(有重复多余的方程)
    否则称线性无关

    向量组的秩
    极大无关组:原组的子组中最广的无关组
    极大无关组中向量的列数即为向量组的秩
    极大无关组的求法:矩阵变换得到的行最简矩阵的非零行首元所在列向量组成的向量组

    向量组和秩的性质

    1. b能被A线性表示 是 R(A)=R(A|b) 的充要条件
    2. B能被A线性表示 是 R(A)=R(A|B) 的充要条件
    3. B能被A线性表示 则 R(B)<=R(A)推论: 相互表示的向量组等价 = R(A)=R(B)=R(A|B)
    4. 线性相关的向量组的秩小于列数,线性无关的向量组的秩和列数相等
    5. 相关向量组的增广组也相关,无关组的减广组也无关
    6. 矩阵的秩=列向量组的秩=行向量组的秩 推论:一个能表示其原组的无关子组即为原组的最大无关组
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