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  • pytorch 向量相似度计算
    千次阅读
    2022-03-25 15:30:25
    import torch
    import torch.nn as nn
    class CosineSimilarity(nn.Module):
        def forward(self,tensor_1,tensor_2):
            norm_tensor_1=tensor_1.norm(dim=-1, keepdim=True)#将维度缩减为1维
            norm_tensor_2=tensor_2.norm(dim=-1, keepdim=True)
            norm_tensor_1=norm_tensor_1.detach().numpy()
            norm_tensor_2=norm_tensor_2.detach().numpy()
            for i,vec in enumerate(norm_tensor_1):
                if vec[0]==0:
                    norm_tensor_1[i][0]=1
            for i,vec in enumerate(norm_tensor_2):
                if vec[0]==0:
                    norm_tensor_2[i][0]=1
            norm_tensor_1=torch.tensor(norm_tensor_1)
            norm_tensor_2 = torch.tensor(norm_tensor_2)
            normalized_tensor_1 = tensor_1 / norm_tensor_1
            normalized_tensor_2 = tensor_2 / norm_tensor_2
            res1=normalized_tensor_1*normalized_tensor_2
            res=res1.sum(dim=-1).view(-1,1)
    #         res2=1-res
    #         res2=res2.sum(dim=-1).view(-1,1) 
    #         res=torch.cat((res2,res),1)
            return res
    tensor_1=torch.randn((3,200))
    tensor_2=torch.randn((3,200))
    print(tensor_1)
    print(tensor_2)
    cos=CosineSimilarity()
    c=cos(tensor_1,tensor_2)
    print(c)
    
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    1. 向量组的秩 设有向量组(α1,α2........αn)(\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n)(α1​,α2​........αn​)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的秩 例:考虑向量组α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),...

    1. 向量组的秩

    设有向量组 ( α 1 , α 2 . . . . . . . . α n ) (\alpha_1,\alpha_2........\alpha_n) (α1,α2........αn)其中所含有的极大线性无关组的个数就是向量组的

    例:考虑向量组 α 1 ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 ( 0 , 0 , 1 ) , α 4 ( 1 , 1 , 0 ) , α 5 ( 1 , 1 , 1 ) \alpha_1(1,0,0),\alpha_2(0,1,0),\alpha_3(0,0,1),\alpha_4(1,1,0),\alpha_5(1,1,1) α1(1,0,0),α2(0,1,0),α3(0,0,1),α4(1,1,0),α5(1,1,1)的秩

    解:从题中可明显看出 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3线性无关,而且 α 5 = α 1 + α 2 + α 3 , α 4 = α 1 + α 2 \alpha_5=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_4=\alpha_1+\alpha_2 α5=α1+α2+α3,α4=α1+α2,所以 α 1 , α 2 , α 3 \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 α1,α2,α3是极大线性无关组,向量组 R = ( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 ) R=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5) R=(α1,α2,α3,α4,α5)的秩为3

    • 向量组的秩为1,代表所有向量都在同一直线上
    • 向量组的秩为2,代表所有向量都在同一平面上
    • 向量组的秩为n,代表所有向量都在n-1纬空间内
    • 向量组的秩描述里向量在空间中占据的位置

    2. 矩阵的秩

    矩阵的行向量组的秩叫做行秩,矩阵列向量组的秩叫做矩阵的列秩,矩阵的行秩=矩阵的列秩,并且成为矩阵的秩

    定理:
    • 给矩阵做初等变换不改变矩阵的秩
    • 阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数
    • 任何矩阵都可以经过初等行变化化为阶梯形

    综合以上三条,我们最后得出求矩阵秩的方法:先对矩阵做初等变化化成行阶梯形,判断行阶梯形矩阵的秩即确定其非零行的行数,即为该矩阵的秩

    例: 设 A = ∣ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ∣ , B 为 三 阶 非 零 方 阵 , 且 A B = O , 则 求 t 为 ? 设A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|,B为三阶非零方阵,且AB=O,则求t为? A=1432t1231,B,AB=O,t?

    解:
    因 为 A B = O , 所 以 R ( A ) + R ( B ) < = n 因为AB=O,所以R(A)+R(B)<=n AB=O,R(A)+R(B)<=n
    因 为 B 为 三 阶 非 零 方 阵 , 所 以 R ( B ) > 1 因为B为三阶非零方阵,所以R(B)>1 B,R(B)>1
    可 得 R ( A ) < n 可得R(A)<n R(A)<n
    A = ∣ 1 2 − 2 4 t 3 3 − 1 1 ∣ − > ∣ 1 2 − 2 0 1 − 1 0 − 3 − t 0 ∣ , 因 R ( A ) < n , 所 以 t = − 3 A=|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 4 & t & 3\\ 3 & -1 & 1 \end{matrix}|->|\begin{matrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -3-t & 0 \end{matrix}|,因R(A)<n,所以t=-3 A=1432t1231>100213t210,R(A)<n,t=3

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  • 对于有限维(维度为 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn )线性空间 V" role="presentation" style="position: relative;">VVV 与 V" role="presentation" style...">VVV 上的一组向量 ξ=

    对于有限维(维度为 n n )线性空间 V V V 上的一组向量 ξ=(ξ1,,ξn),

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    对于任意一个向量 α=a1anPn, α = ( a 1 ⋮ a n ) ∈ P n , 定义
    ξα=i=1naiξi ξ α = ∑ i = 1 n a i ξ i

    线性空间的向量组与数量矩阵的乘法

    对于任意一个元素属于数域 P P n×n 矩阵 A=(α1,,αn), A = ( α 1 , ⋯ , α n ) , 定义
    ξA=ξ(α1,,αn)=(ξα1,,ξαn) ξ A = ξ ( α 1 , ⋯ , α n ) = ( ξ α 1 , ⋯ , ξ α n )

    性质

    ξ=(ξ1,,ξn),η=(η1,,ηn) ξ = ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) , η = ( η 1 , ⋯ , η n ) V V 上的向量组,
    A=(α1,,αn),B=(β1,,βn),
    是元素属于数域 P P n×n 矩阵, kP, k ∈ P ,
    1. ξ(A+B)=ξA+ξB ξ ( A + B ) = ξ A + ξ B
    证明
    (ξ(A+B))j=ξ((A+B)j)=ξ(αj+βj)=i=1n(aij+bij)ξi ( ξ ( A + B ) ) j = ξ ( ( A + B ) j ) = ξ ( α j + β j ) = ∑ i = 1 n ( a i j + b i j ) ξ i
    =i=1naijξi+i=1nbijξi=ξαj+ξβj=(ξA)j+(ξB)j=(ξA+ξB)j = ∑ i = 1 n a i j ξ i + ∑ i = 1 n b i j ξ i = ξ α j + ξ β j = ( ξ A ) j + ( ξ B ) j = ( ξ A + ξ B ) j
    2. ξ(kA)=k(ξA) ξ ( k A ) = k ( ξ A )
    证明
    (ξ(kA))j=ξ((kA)j)=i=1n(kA)ijξi ( ξ ( k A ) ) j = ξ ( ( k A ) j ) = ∑ i = 1 n ( k A ) i j ξ i
    =i=1n(kaij)ξi=ki=1naijξi=k(ξαj)=k((ξA)j)=(k(ξA))j = ∑ i = 1 n ( k a i j ) ξ i = k ∑ i = 1 n a i j ξ i = k ( ξ α j ) = k ( ( ξ A ) j ) = ( k ( ξ A ) ) j
    3. (ξA)B=ξ(AB) ( ξ A ) B = ξ ( A B )
    证明
    ((ξA)B)j=(ξA)βj=k=1nbkj(ξA)k=k=1nbkj(ξαk) ( ( ξ A ) B ) j = ( ξ A ) β j = ∑ k = 1 n b k j ( ξ A ) k = ∑ k = 1 n b k j ( ξ α k )
    =k=1nbkj(i=1naikξi)=i=1nk=1naikbkjξi = ∑ k = 1 n b k j ( ∑ i = 1 n a i k ξ i ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 n a i k b k j ξ i
    =i=1n(k=1naikbkj)ξi=i=1n(AB)ijξi=(ξ(AB))j = ∑ i = 1 n ( ∑ k = 1 n a i k b k j ) ξ i = ∑ i = 1 n ( A B ) i j ξ i = ( ξ ( A B ) ) j
    4. (ξ+η)A=ξA+ηA ( ξ + η ) A = ξ A + η A
    证明
    ((ξ+η)A)j=(ξ+η)αj=i=1naij(ξ+η)i=i=1naij(ξi+ηi) ( ( ξ + η ) A ) j = ( ξ + η ) α j = ∑ i = 1 n a i j ( ξ + η ) i = ∑ i = 1 n a i j ( ξ i + η i )
    =i=1naijξi+i=1naijηi=ξαj+ηαj = ∑ i = 1 n a i j ξ i + ∑ i = 1 n a i j η i = ξ α j + η α j
    =(ξA)j+(ηA)j=(ξA+ηA)j = ( ξ A ) j + ( η A ) j = ( ξ A + η A ) j
    5. (kξ)A=k(ξA) ( k ξ ) A = k ( ξ A )
    证明
    ((kξ)A)j=(kξ)aj=i=1naij(kξ)i=ki=1naijξi=k(ξαj)=k((ξA)j)=(k(ξA))j ( ( k ξ ) A ) j = ( k ξ ) a j = ∑ i = 1 n a i j ( k ξ ) i = k ∑ i = 1 n a i j ξ i = k ( ξ α j ) = k ( ( ξ A ) j ) = ( k ( ξ A ) ) j

    展开全文
  • 向量组的线性相关性

    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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空空如也

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向量组怎么计算