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  • 正交向量组若有一个向量组 它们两两正交,则称这个向量组正交向量组。例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组正交基对于一个n维空间的n个正交向量,它们构成了这个空间的一组基,称其为正交基。例子...

    正交向量组

    若有一个向量组

    它们两两正交,则称这个向量组为正交向量组。

    例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组。

    正交基

    对于一个n维空间的n个正交向量,它们构成了这个空间的一组基,称其为正交基。

    例子:(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 构成一个正交向量组,在三维空间中它们是一个正交基。

    正交矩阵

    若一个正交基内的每一个向量均为单位向量(模为1的向量),则称其为规范正交基,若将这些列向量写成矩阵的形式,即

    ,那么这个方阵(
    )称为正交矩阵。

    正交矩阵的三个条件:

    (1)矩阵为方阵(2)矩阵的列向量均为单位向量(3)转置矩阵与矩阵的乘积是单位阵

    正交矩阵的例子:

    024d968e9ea89415d59baa2107854980.png

    正交矩阵一般记作

    正交矩阵的作用

    那么我们使用正交矩阵的目的是什么呢?

    如果在计算中使用正交阵,可以简化很多地方的计算,例如,对于投影操作来说,我们之前有投影矩阵:

    如果

    是正交矩阵,则有

    我们之前的最小二乘的方程:

    形式上,都变得简洁了。

    Graham-Schimidt正交化

    接下来讨论如何由一组向量获得正交的向量组,也就是正交化的问题:

    对于两个无关的向量

    ,如何将其正交化呢?这里借助之前讲到的投影的概念会很好理解:对于二维空间的
    ,设其正交化后的向量为

    可以做b在a方向的投影,a不变。则有

    其实就是投影的知识,这样就得到了正交的向量

    推广到三个向量则有:

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  • 同样的,对于一个线性变换,只要你选定一基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一基,就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。 但是这样的话,...

     

    目录

     

    施密特正交化单位化目的:AA(转置)=E 得到Q(转置)=Q(逆);

    单位化,正交化目的;

    相似矩阵理解

    为什么特征向量构成P

    余子式和代数余子式;

    特征向量

    对角化;

    标准化;

    等价,相似,合同

    秩的理解

    特征值和特征向量理解

    二次型

    规范化


    施密特正交化单位化目的:AA(转置)=E 得到Q(转置)=Q(逆);


    施密特正交化就是把非正交基变为正交基的。

    (单位化,正交化)AAT=E;这是正交矩阵

    其中正交矩阵性质是其逆等于其转置;

    这样就能求由逆转置了:

    单位化,正交化目的;

    (单位化,正交化)AAT=E;这是正交矩阵,

    利用正交矩阵性质:其中正交矩阵性质是其逆等于其转置,求转置

    施密特正交化公式理解;

    向量内积:

     

    其中 表示一个向量在另一个向量上的投影,使用上面内积公式带入的到绿线;

    两个向量相减表示做垂线;你可以用向量(1,1)-(0,1) 进行体会;

    相似矩阵理解

    同样的,对于一个线性变换,只要你选定一组基,那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基,就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述,但又都不是线性变换本身。

    但是这样的话,问题就来了如果你给我两张猪的照片,我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢?同样的,你给我两个矩阵,我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢?如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述,那就是本家兄弟了,见面不认识,岂不成了笑话。

    好在,我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质,那就是:

    若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述(之所以会不同,是因为选定了不同的基,也就是选定了不同的坐标系),则一定能找到一个非奇异矩阵P,使得A、B之间满足这样的关系:

    A = P-1BP

    线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来,这就是相似矩阵的定义。没错,所谓相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义,同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点,不过能让人明白。

    而在上面式子里那个矩阵P,其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关系。关于这个结论,可以用一种非常直觉的方法来证明(而不是一般教科书上那种形式上的证明),

    https://blog.csdn.net/frothmoon/article/details/99551072 

    其中A = P-1(A对角化)P     A对角化:特征值   P-1,p:特征向量构成的矩阵, 注意:保证特征值和特征向量 一一对应。

    为什么特征向量构成P

    余子式和代数余子式:

    划去元素所在行和列的行列式,代数余子式有  正负号余子式没有正负

    伴随矩阵就是代数余子式组成的。

    矩阵的逆和伴随之间查一个系数,就是矩阵值的倒数。这个性质用来求逆。逆就理解成矩阵的除法。

    矩阵的转置就是关于y=x对称的坐标系,把矩阵理解成基坐标系,就行了。  

    如果:AA'=E(E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置”。)则n阶实矩阵A称为正交矩阵
    性质:
    1. 方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组;
    2. 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;
    3. A是正交矩阵充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;
    4. A的列向量组也是正交单位向量组。

    特征向量

    就是基坐标,特征值就是长度,相乘等于Ax,很好理解。

    对角化

    就是特征值在主对角线上。

    标准化

    当方程式2次的时候,一次项对图像的影响很小,不大会改变图像基本的形状。我们可以利用一次项进行图像的旋转和位置的 位移,对图像进行矫正的很规范的图像;

    https://www.matongxue.com/madocs/271.html

     

    等价,相似,合同

    秩的理解


    矩阵的秩:矩阵中所有行向量中极大线性无关组的元素个数。
    秩:是图像经过矩阵变换之后的矩阵维度
    秩:列空间的维度,行空间的维度,行秩与列秩相等
    可以理解为图像所包含的信息的丰富程度。不严谨的讲,低秩表征一种冗余程度。秩越低表示数据冗余性越大,因为用很少几个基就可以表达所有数据了。相反,秩越大表示数据冗余性越小。

    特征值和特征向量理解


    将特征向量当做一个普通的向量,使用很多个矩阵和它相乘,做乘法之后方向不变的那个矩阵的特征向量就是这个矩阵的特征向量,大小的变动就是特征值。
    特征向量其实是个方向,特征值其实是个大小,特征向量所在直线上的向量都是特征向量
    特征值分解可以认为:

    有一个,首先左乘一个正交阵变为标准基,然后乘一个对角阵做伸缩变换,然后再乘一个正交阵变回去
    矩阵特征值是对特征向量进行伸缩和旋转程度的度量,实数是只进行伸缩,虚数是只进行旋转复数就是有伸缩有旋转。

     

     

     

    二次型

    对于一个若此函数,其中的一次项只能对函数图形继续拧放缩和位移,不会改变其形状,常数项更不会改变;

    举例: y=x^2和

    y=x^2+x

    , y=x^2+1


    通过矩阵来研究二次函数(方程),这就是线性代数中二次型的重点。对于二次函数或者二次方程,二次部分是主要部分,往往研究二次这部分就够了。

    在线代里面,就是通过一个对称矩阵,去研究某个二次型。
    对称矩阵⇔二次型矩阵⇔二次型 
    一个平面在圆锥体上运动,可以得到圆、椭圆、双曲线,这也是它们之间具有线性关系的来源

    二次型理解:https://www.zhihu.com/question/38902714

    规范化

    指比如一个椭圆看起来有点歪,不太好处理,我们将它扶正。
    二次型矩阵包含了旋转和拉伸两种变换,将其拆分为三个矩阵相乘的形式对其进行规范化只保留拉伸的部分去掉旋转的部分,其中旋转的部分是列向量单位向量并且是正交向量。
    二次型矩阵,都是对称矩阵,所以特征值分解总可以得到正交矩阵与对角矩阵。
    正定:特征值大于0

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  • 施密特正交化的定义在n为欧式空间中,利用一组线性无关的向量, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化,它包括正交化单位化两个步骤。由于将一个向量化为单位向量很容易,只要除以它的长度即...

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    | 欧 式 空 间 | 第 1 篇 文 章 |

    作者: Daniel

    cfebbb5576fc9d651e8f96dc3721213e.png

    施密特正交化公式在用正交矩阵化二次型为标准形中有重要的应用。学过的同学都反映这个公式不太好记。本文用三幅图形教你记忆这个公式。

    施密特正交化的定义

    在n为欧式空间中,利用一组线性无关的向量10233f4a460b2b082cdfce5e6c6fff65.png, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化,它包括正交化单位化两个步骤。

    由于将一个向量化为单位向量很容易,只要除以它的长度即可,所以本文只谈正交化步骤。

    三幅图形

    一般的n维欧式空间中的施密特正交化公式与19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中的公式有相同的形式,所以,可以用19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中公式的几何意义来帮助记忆此公式。

    2a5fd1c899684b78b458c9b00a803122.png

    如图1,将向量b4ca9df375c396d2a2fd82a7525f283d.png投影到向量d1fe9047c17122f936553ed503208c65.png上的投影向量 ,记为fb1ccb64821234c087ff0ad7f286b0b7.png, 其公式在“投影向量计算公式的推导”一文中有详细介绍,请参阅。请大家先记住下面这个投影向量公式

    3a579876404baed48321d50dce0b0597.png 这里5cafdc899fca3265a06fcc031e09e094.png表示这两个向量的内积,在19772baeb4c81bcdea66a063d33f23b4.png中就是点乘。

    如图2,第一步:令a3ee62a1a2e48a9021631e8ac5712f25.png第二步:计算47bd3499a67598a6c1649c678bd8ffb9.png,使得e1fd36ddce1bd4b7858ad72d10b4e22b.png如图2, 取74886e6dcf0cc36627d1cdd021f4fd83.png, 将它投影到07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png得到投影向量cded66b43cf885ee8d724df41eed692a.png,即图中红色的水平向量,由图中的三角形法则知,03e156d9d053186415e2c6f30d65b58d.png就是与07a654bc06885c24eb4c5ca1a9e1b578.png垂直的向量。于是,61c7f510a25f826aaad1676f48e59b8d.png

    第三步:现在来求a29512ea2a4e66d02acdeb66b9f5e09c.png, 如图3, 将刚才求出的0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png放在水平平面上,现在添加向量1a1cc855768251744bf962969acef32c.png,它必不在水平平面上。图3告诉我们,1a1cc855768251744bf962969acef32c.png减去它分别向0ee06f2a6a03169ee59e3aa8451ee1db.png投影的投影向量得到8873591d67e733c2e9f8b39653224490.png 所以,9265f012afdc7722234287a6f4dc2886.png

    类比这个结构,当我们得到两两正交的向量组ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png后,要求234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png,使得它与前面的各745ddc7b50027e1e6a089f74d2031791.png正交,只要添加向量6dba3bddf25cb79a4cbbdf5e1749f54e.png, 并用它减去它分别向ae45791f67820c91fa3567dee3622abf.png投影的投影向量 9e9c18ed0c206952d6f9157c1686b523.png 即得到234a3613822585b04ad8c9130e3ff0d9.png,所以,

    fe4fb990074d0253a4e40f4a59331517.png本文公式采用【upub编辑器】,请关注【编辑之谈】公众号!

    1d59eef6ea515665a743b15c22ca7c3b.png

    588c400d7f55659792f4632159e46b23.png

    1.  投影向量计算公式的推导

    2. 矩阵特征多项式的系数公式

    3. 用正交变换将二次型化为标准形

    4. 复数集合作为复数域和实数域上的线性空间

    5. 生成子空间的交空间与和空间的求法

    6. 计算二次型的标准形的三种方法

    e9659aeaf242aa0daa2807bbedc6f1f8.png

    fbd1aae948c583a178c82375f252ad42.png

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  • Schmidt正交化(正交规范化方法)

    千次阅读 2020-05-15 09:34:11
    设有向量α1,α2...αn,则正交规范化方法为 ... 然后,再将每个向量单位化、 即 最后得到的一系列γ组成的向量组正交且均为单位向量

    设有向量α1,α2...αn,则正交规范化方法为

    \beta_{1}=\alpha _{1}

    \beta _{2}=\alpha _{2}-\frac{(\alpha _{2},\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1}

    \beta _{3}=\alpha _{3}-\frac{(\alpha _{3},\beta _{1})}{(\beta _{1},\beta _{1})}\beta _{1} -\frac{(\alpha _{3},\beta _{2})}{(\beta _{2},\beta _{2})}\beta _{2}

    ...

    \beta _{n}=\alpha _{n}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{(\alpha _{n},\beta _{i})}{(\beta _{i},\beta _{i})}\beta _{i}

    其中,括号内是指做内积运算,即((x1,x2,...xn),(y1,y2...yn))=x1*y1+x2*y2+...+xn*yx

    然后,再将每个向量单位化、

    \gamma _{i}=\frac{\beta _{i}}{\left | \beta _{i} \right |}

    最后得到的一系列γ组成的向量组就正交且均为单位向量

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  • gram_schmidt正交化

    2018-03-30 17:01:02
    α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称为施密特正交化。...
  • 第17讲 正交矩阵和施密特正交化Orthogonal matrices & Gram-Schmidt网易公开课​open.163.com本讲我们完成对“正交”的介绍。Gram-Schmidt过程可以将原空间的一基转变为标准正交基。正交向量 Orthonormal ...
  • 彻底理解施密特正交化

    千次阅读 2020-06-08 17:53:23
    从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交...
  • Schimidt正交化

    2008-05-17 13:59:47
    利用Schimidt正交化过程把一线性无关的向量变成一单位正交向量。该程序利用java实现。
  • 5.3施密特正交化与正交矩阵1. 规范(标准)正交基的定义设维向量向量空间的一个基,... 基的规范正交化设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基,就是要找一两两正交的单位向量使与等价,这样的问题称为把这个基规...
  • 上一篇:线性代数预习自学笔记-16:规范正交基与正交矩阵一、格拉姆-施密特正交化上一篇中我们讲到,一规范正交基可以大大简化最小二乘问题的求解过程;但是,在某个内积空间中找到一规范正交基并不一定是容易的...
  • 标准正交向量组则是一个正交向量组, 不过所有向量都是单位向量, 长度为111. 设q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1​,q2​,...,qn​两两正交, m∗nm*nm∗n维矩阵QQQ的各列分别是q1,q2,...,qnq_1, q_2, ... , q_nq1​,...
  • 在矩阵操作中,经常需要从一组线性无关的向量构造出一组同等个数等价的两两正交的向量,并且需要使每个向量的模等于1,也就是每个新向量都是单位向量,这种做法叫做线性无关向量组正交规范。本文主要介绍的...
  • 特征值和特征向量具有良好的性质,是线性代数中的重要概念之一,在多元统计分析方法中也具有重要的应用。在数学上,特别是线性...在主成分分析中特征向量正交化保证了主成分之间具有两两互不相关的性质单位化使主成...
  • 与施密特算法不同,matlab不采用施密特算法对向量组做规范正交化。施密特算法对误差积累比较敏感。 A*B 等于单位矩阵,说明过度矩阵相乘 互为逆矩阵。 线性方程组 齐次线性方程组 齐次线性方程组一定有零解。...
  • 定义2:长度(范数)、单位向量、单位化、夹角、正交、正交向量组。[《线代》P115] 向量长度的两个性质。[《线代》P115] 定理1:正交向量组的性质。[《线代》P115] 定义3:标准正交基。[《线代》P116] 施密特正交化...
  • 实对称矩阵的相似对角

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,那么就要正交化那k个向量,具体做法一般为施密特正交化(不同特征值的向量之间必定正交)将转化为 4.将所有正交的特征向量单位化 5.将n个
  • 特征值与特征向量概念

    千次阅读 2011-03-10 13:43:00
    特徵向量代表一个正规正交(orthonormal) 的向量组,所谓的正规正交向量,是指这向量与自身做 内积的值为一单位向量;在几何关系上是指二量相互垂直且此其内积值再做正规(normalization)。 上式也可改写为 其中 I ...
  • 线性代数学习笔记15

    2019-01-26 21:41:37
    这里第十七课-正交矩阵和Gram-Schmidt正交化线性相关性与正交标准正交向量正交矩阵为什么要矩阵变换成列向量为标准正交向量Gram-Schmidt正交化求解思考,为...我们称 一组互相垂直的单位向量 为 标准正交向量组,...
  • 从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交...
  • 一般地,二维空间,我们用i和j两个单位正交基来建立坐标系表示,也就是我们的x轴和y轴。同样的道理,我们也可以用任意一基底建立坐标系描述,将原来的坐标系下的一个或者一组向量变换到新基底下的表示方式
  • 文章目录第二讲 矩阵向量与向量组的线性相关性向量定义向量的内积与正交矩阵的秩矩阵的基本运算矩阵乘法施密特标准正交化矩阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的基本运算矩阵的逆 第二讲 矩阵 矩阵方程有可能考11分 向量...
  • 四阶行列式的计算;N阶特殊行列式的计算(如有行和、列和相等);矩阵的运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算);求矩阵的秩、逆(两种方法);...将无关组正交化单位化;求方阵的特...
  • 特征值与特征向量 Ax=λxAx=\lambda xAx=λx 物理意义:向量经过矩阵变换后没有发生旋转,只进行了伸缩。 对称阵(酉空间中叫 Hermite 矩阵,即厄米阵)性质:它总能...U 的列由 AAT 的单位化过的特征向量构成 V ...
  • 将一N维向量降为K维,其目标是选择K个单位正交基,使得原始数据变换到这基上后,各字段两两间协方差为0,而字段的方差则尽可能大(在正交的约束下,取最大的K个方差)。 算法步骤: 设有m条n维数据。 1.将...
  • 并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成: 其中,Q为正交矩阵,Λ为实对角矩阵。 2. 为什么需要FM? 1、特征组合是许多机器学习建模过程中遇到的问题,如果对...
  • QR分解

    2020-10-06 10:41:57
    上面的讨论中假设了A可逆,如果A不可逆,则a1,a2,… an线性相关,用施密特正交化的时候,可能某些βi会变成零,这时需要修改表达式,把零的地方天生单位向量,使得整个向量组时标准正交基,这时影响的只是右边第二个...
  • 二次型

    2016-02-28 16:09:00
    0. 二次型xTAx用于表示$\Sigma x_ix_j$这样的式子。 1. 对称矩阵A的最大/最小...若将原对称矩阵A看做向量组在标准(单位正交)基下的表示,将D看做向量组在另一个单位正交基下的表示,那么二次型yTDy与xTDx在||x...
  • MATLAB入门学习(七)

    2019-10-05 01:46:17
    开始,线性代数和微积分了,不怕、不怕、 背命令就行了。。。 ...解线性方程: ...A是系数矩阵,x未知数,b是列...C=null(A) 求出基础解系后将基础解系向量正交单位化存在C中 C=rref(A)求A的行最简形 结合之前...

空空如也

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向量组正交化单位化