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  • 1. 向量组与矩阵的关系 2. 给定矩阵的列(行)向量组,可构造其行(列)...5. 向量组生成的子空间 6. 任一n维向量均可由n个单位向量线性表出 7. 线性表出的充要条件 8. 线性表出的计算示例 ...

     

    1. 向量组与矩阵的关系

     

    2. 给定矩阵的列(行)向量组,可构造其行(列)向量组

     

    3. 线性组合、线性表出的概念

     

    4. 线性表出的基本示例

     

    5. 向量组生成的子空间

     

    6. 任一n维向量均可由n个单位向量线性表出

     

    7. 线性表出的充要条件

     

    8. 线性表出的计算示例

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  • 生成子空间的交空间与和空间

    千次阅读 2019-04-21 17:59:58
    ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_rα1​,⋯,αr​,我们希望得到一个VVV的子空间WWW,使得WWW中包含向量α1,⋯ ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_rα1​,⋯,αr​, 那么WWW应该是怎样的呢? 由线性空间对数乘...

    1 生成子空间的定义

    给定数域PP上的线性空间VV中的一组向量α1, ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r,我们希望得到一个VV的子空间WW,使得WW中包含向量α1, ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r, 那么WW应该是怎样的呢?

    由线性空间对数乘运算的封闭性,我们知道,下面的这些向量应该在WW中:kiαi,i=1,2, ,r.k_i\alpha_i, i=1,2,\cdots, r.

    又由于线性空间对加法封闭,所以k1α1+k2α2++krαrk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r也在WW中.

    于是我们得到下面的集合:

    W={k1α1+k2α2++krαrαiV,kiP}.W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r|\alpha_i\in V,k_i\in P\}.

    可以证明,WW对加法和数乘封闭:

    α,βW,λP,\forall \alpha,\beta \in W, \forall \lambda\in P, 不妨设,

    α=i=1rkiαi,β=i=1rliαi,\alpha=\sum_{i=1}^{r}k_i\alpha_i, \beta=\sum_{i=1}^{r}l_i\alpha_i,

    因为,

    α+β=α=i=1r(ki+li)αiW,\alpha+\beta=\alpha=\sum_{i=1}^{r}(k_i+l_i)\alpha_i\in W,
    λα=α=i=1rλkiαiW,\lambda\alpha=\alpha=\sum_{i=1}^{r}\lambda k_i\alpha_i\in W,

    所以,WW对加法和数乘封闭,从而是满足条件的VV的子空间。

    定义 给定数域PP上的线性空间VV中的一组向量α1, ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r,由这组向量的一切可能的线性组合构成的集合WWVV的子空间,称之为由向量α1, ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r生成的子空间,记为L(α1, ,αr)L(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)α1, ,αr\alpha_1,\cdots,\alpha_r称为W=L(α1, ,αr)W=L(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)的一组生成元

    2 生成子空间的交空间

    例 1R3R^3中,设i,j,ki,j,k为直角坐标系oxyzoxyz中三个坐标轴上的单位向量。令V1=L(i,j),V2=L(j,k)V_1=L(i,j), V_2=L(j,k), 则V1V2=L(j).V_1\cap V_2=L(j).

    直观解释: V1V_1xoyxoy平面,V2V_2yozyoz平面, 而V1V2=L(j)V_1\cap V_2=L(j)yy轴。

    例 2 已知在4元有序数组空间P4P^4中,
    α1=(1,2,1,0)T,α2=(1,1,1,1)T,\alpha_1=(1,2,1,0)^T, \alpha_2=(-1,1,1,1)^T,

    β1=(2,1,0,1)T,β2=(1,1,3,7)T,\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,

    L(α1,α2)L(β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2)\cap L(\beta_1,\beta_2)的基和维数。

    分析: 找出交空间中的任意一个向量的表达式,可以看出它是有哪些向量生成的,就可以找到交空间的一组基。

    解:αL(α1,α2)L(β1,β2),\forall \alpha \in L(\alpha_1,\alpha_2)\cap L(\beta_1,\beta_2),那么,

    α=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2,\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2=x_3\beta_1+x_4\beta_2,

    从而,

    x1α1+x2α2x3β1x4β2=0,x_1\alpha_1+x_2\alpha_2-x_3\beta_1-x_4\beta_2=0,

    为了解岀这个方程组,令其系数矩阵为,

    A=(α1,α2,β1,β2)A=\begin{pmatrix}\alpha_1,\alpha_2,-\beta_1,-\beta_2\end{pmatrix}

    A=(1121211111030117)(1001010400130000),A=\begin{pmatrix}1&-1&-2&-1\\2&1&1&1\\1&1&0&-3\\0&1&-1&-7\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-4\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix},

    所以,

    (x1x2x3x4)=t(1431),tP.\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}-1\\4\\-3\\1\end{pmatrix},t\in P.

    x1=t,x2=4tx_1=-t,x_2=4t代入表达式α=x1α1+x2α2,\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2,

    α=t(α1+4α2)=t(5234),\alpha=t(-\alpha_1+4\alpha_2)=t\begin{pmatrix}-5\\2\\3\\4\end{pmatrix},

    η=(5234)\eta=\begin{pmatrix}-5\\2\\3\\4\end{pmatrix}

    由于α\alpha是交空间中的任意向量,它被表示成了一个向量η\eta的线性组合,于是 η\eta 就是交空间 L(α1,α2)L(β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2)\cap L(\beta_1,\beta_2)的基,维数等于1。

    注: 事实上,L(α1,α2)L(β1,β2)=L(η).L(\alpha_1,\alpha_2)\cap L(\beta_1,\beta_2)=L(\eta).

    3 生成子空间的和空间

    例 3 已知在4元有序数组空间P4P^4中,
    α1=(1,2,1,0)T,α2=(1,1,1,1)T,\alpha_1=(1,2,1,0)^T, \alpha_2=(-1,1,1,1)^T,

    β1=(2,1,0,1)T,β2=(1,1,3,7)T,\beta_1=(2,-1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T,

    求和空间L(α1,α2)+L(β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2)+ L(\beta_1,\beta_2)的基和维数。

    分析: 由和空间的公式:L(α1,α2)+L(β1,β2)=L(α1,α2,β1,β2),L(\alpha_1,\alpha_2)+L(\beta_1,\beta_2)=L(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2), 所以和空间L(α1,α2)+L(β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2)+ L(\beta_1,\beta_2)的基和维数就可以转化为求L(α1,α2,β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)的一组基和维数。

    解: 因为L(α1,α2)+L(β1,β2)=L(α1,α2,β1,β2),L(\alpha_1,\alpha_2)+L(\beta_1,\beta_2)=L(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2), 为了求L(α1,α2,β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)的一组基,令

    A=(α1,α2,β1,β2),A=\begin{pmatrix}\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\end{pmatrix},

    A=(1121211111030117)(1121011700130000),A=\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\2&1&-1&-1\\1&1&0&3\\0&1&1&7\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&-1&2&1\\0&1&1&7\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix},

    所以,r(A)=3r(A)=3, AA的极大无关组为α1,α2,β1\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,即

    和空间L(α1,α2)+L(β1,β2)L(\alpha_1,\alpha_2)+ L(\beta_1,\beta_2)的一组基为α1,α2,β1\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,维数为3。


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  • 线性相关、生成子空间。 逆矩阵A⁽-1⁾存在,Ax=b 每个向量b恰好存在一个解。方程向量b某些值,可能不存在解,或者存在无限多个解。x、y是方程组的解,z=αx+(1-α),α取任意实数。 A列向量看作从原点(origin...

    线性相关、生成子空间。

    逆矩阵A⁽-1⁾存在,Ax=b 每个向量b恰好存在一个解。方程组,向量b某些值,可能不存在解,或者存在无限多个解。x、y是方程组的解,z=αx+(1-α),α取任意实数。

    A列向量看作从原点(origin,元素都是零的向量)出发的不同方向,确定有多少种方法到达向量b。向量x每个元素表示沿着方向走多远。xi表示沿第i个向量方向走多远。Ax=sumixiA:,i。线性组合(linear combination)。一组向量线性组合,每个向量乘以对应标量系数的和。sumiciv⁽i⁾。一组向量的生成子空间(span)是原始向量线性组合后能抵达的点的集合。确定Ax=b是否有解,相当于确定向量b是否在A列向量的生成子空间中。A的列空间(column space)或A的值域(range)。方程Ax=b对任意向量b∈ℝ⁽m⁾都存在解,要求A列空间构成整个ℝ⁽m⁾。ℝ⁽m⁾点不在A列空间,对应b使方程没有解。矩阵A列空间是整个ℝ⁽m⁾的要求,A至少有m列,n>=m。否则,A列空间维数小于m。

    列向量冗余为线性相关(linear dependence)。一组向量任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合,线性无关(linearly independent)。某个向量是一组向量中某些向量的线性组合,这个向量加入这组向量不会增加这组向量的生成子空间。一个矩阵列空间涵盖整个ℝ⁽m⁾,矩阵必须包含一组m个线性无关的向量。是Ax=b 对每个向量b取值都有解充分必要条件。向量集只有m个线性无关列向量,不是至少m个。不存在一个m维向量集合有多于m个彼此线性不相关列向量,一个有多于m个列向量矩阵有可能有不止一个大小为m的线性无关向量集。

    矩阵可逆,要保证Ax=b 对每个b值至多有一个解。要确保矩阵至多有m个列向量。矩阵必须是一个方阵(square),m=n,且所有列向量线性无关。一个列向量线性相关方阵为奇异的(singular)。矩阵不是方阵或是奇异方阵,方程可能有解,但不能用矩阵逆求解。逆矩阵右乘AA⁽-1⁾=I。左逆、右逆相等。

    范数(norm)。

    衡量向量大小。L⁽p⁾:||x||p=(sumi|xi|⁽p⁾)⁽1/p⁾。p∈ℝ,p>=1。范数(L⁽p⁾范数),向量映射到非负值函数。向量x范数衡量从原点到点x距离。范数满足性质,f(x)=0=>x=0,f(x+y)<=f(x)+f(y)三解不等式(triangel inequality),∀α∈ℝ f(αx)=|α|f(x)。

    p=2,L⁽2⁾范数称欧几里得范数(Euclidean norm)。表示从原点出发到向量x确定点的欧几里得距离。简化||x||,略去下标2。平方L⁽2⁾ 范数衡量向量大小,通过点积x⫟x计算。平方L⁽2⁾范数在数学、计算上比L⁽2⁾范数更方便。平方L⁽2⁾范数对x中每个元素的导数只取决对应元素。L⁽2⁾范数对每个元素的导数和整个向量相关。平方L⁽2⁾范数,在原点附近增长缓慢。

    L⁽1⁾范数,在各个位置余率相同,保持简单数学形式。||x||1=sumi|xi|。机器学习问题中零和非零差异重要,用L⁽1⁾范数。当x中某个元素从0增加∊,对应L⁽1⁾范数也增加∊。向量缩放α倍不会改变该向量非零元素数目。L⁽1⁾范数常作为表示非零元素数目替代函数。

    L⁽∞⁾范数,最大范数(max norm)。表示向量具有最大幅值元素绝对值,||x||₍∞₎=maxi|xi|。

    Frobenius范数(Frobenius norm),衡量矩阵大小。||A||F=sqrt(sumi,jA⁽2⁾₍i,j₎)。

    两个向量点积用范数表示,x⫟y=||x||2||y||2cosθ,θ表示x、y间夹角。

    特殊类型矩阵、向量。

    对角矩阵(diagonal matrix),只在主对角线上有非零元素,其他位置都是零。对角矩阵,当且仅当对于所有i != j,Di,j=0。单位矩阵,对角元素全部是1。

    diag(v)表示对角元素由向量v中元素给定一个对角方阵。对角矩阵乘法计算高效。计算乘法diag(v)x,x中每个元素xi放大vi倍。diag(v)x=v⊙x。计算对角方阵的逆矩阵很高效。对角方阵的逆矩阵存在,当且仅当对角元素都是非零值,diag(v)⁽-1⁾=diag([1/v1,…,1/vn]⫟)。根据任意矩阵导出通用机器学习算法。通过将矩阵限制为对象矩阵,得到计算代价较低(简单扼要)算法。

    并非所有对角矩阵都是方阵。长方形矩阵也有可能是对角矩阵。非方阵的对象矩阵没有逆矩阵,但有高效计算乘法。长方形对角矩阵D,乘法Dx涉及x每个元素缩放。D是瘦长型矩阵,缩放后末尾添加零。D是胖宽型矩阵,缩放后去掉最后元素。

    对称(symmetric)矩阵,转置和自己相等矩阵。A=A⫟。不依赖参数顺序双参数函数生成元素,对称矩阵常出现。A是矩离度量矩阵,Ai,j表示点i到点j距离,Ai,j=Aj,i。距离函数对称。

    单位向量(unit vector),具有单位范数(unit norm)向量。||x||2=1。

    x⫟y=0,向量x和向量y互相正交(orthogonal)。两个向量都有非零范数,两个向量间夹角90°。ℝⁿ至多有n个范数非零向量互相正交。向量不但互相正交,且范数为1,标准正交(orthonorma)。

    正交矩阵(orthogonal matrix),行向量和列向量是分别标准正交方阵。 A⫟A=AA⫟=I,A⁽-1⁾=A⫟。正交矩阵求逆计算代价小。正交矩阵行向量不仅正交,还标准正交。行向量或列向量互相正交但不标准正交矩阵,没有对应专有术语。

    参考资料:
    《深度学习》

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    转载于:https://www.cnblogs.com/libinggen/p/7870962.html

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  • 生成子空间:原始向量线性组合后所能抵达集合。 线性无关:如果一组向量任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合,那么这组向量称为线性无关 一个列向量线性相关方阵被称为奇异。 转载于:...

    线性组合:形式上,一组向量的线性组合,是指每个向量乘以对应标量系数之后的和。

    生成子空间:原始向量线性组合后所能抵达的点的集合。

    线性无关:如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合,那么这组向量称为线性无关

    一个列向量线性相关的方阵被称为奇异的。

    转载于:https://www.cnblogs.com/firmgl/p/10970885.html

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