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  • 向量组的是什么

    千次阅读 2019-03-24 15:38:44
    @ 向量组的是什么向量组的是什么? 通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。 那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢?...

    @ 向量组的秩是什么?

    向量组的秩是什么?

    通俗的说,就是把这一组向量中的垃圾向量踢出后剩下的高品质向量的个数,假设这一组有5个向量,踢出两个垃圾,还剩3个。

    那么这个向量组的秩就是3。那什么是垃圾向量呢?就是能被别人线性表示的向量。比如说向量α1能被α2和α3线性表示,也就是它的工作能被别人取代。那么α1就是垃圾向量!

    秩是线性代数中最重要的概念,是广大考生一定要掌握的概念。在线性代数中,关于秩有两大类:矩阵的秩以及向量组的秩,这两个概念之间是有区别和联系的。首先,我们来看一下它们各自的概念。

    矩阵的秩:矩阵A最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A的秩,记为r(A),其中r(A)不超过矩阵行数和列数的最小值。

    矩阵的秩可以化为向量组的秩来计算,向量组的秩也可以化为矩阵的秩来计算。在计算矩阵的秩时,理论上需要计算非零子式来确定,但是有的时候计算量大、计算麻烦,故可以利用初等行变换把矩阵化为阶梯型矩阵,最后非零行的个数就是矩阵的秩。

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  • 满意答案GGLDDU__7474推荐于 2017.09.01矩阵A任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数,也就是矩阵的几何重数不超过代数重数。所谓代数重数,就是指矩阵的某个特征值的重数,而几何重数,...

    满意答案

    00e27ab806e4881f8254fe7ae8741834.png

    GGLDDU__7474

    推荐于 2017.09.01

    矩阵A任何一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数不超过特征值的重数,也就是矩阵的几何重数不超过代数重数。

    所谓代数重数,就是指矩阵的某个特征值的重数,而几何重数,就是指这个特征值对应的特征子空间的维数。

    考虑某个特征值λ0的特征子空间V',V'的维数就是λ0的几何重数m,再取V'的一组基(由m个线性无关的向量组成),扩充这组基为原n维空间V的一组基,线性变换在这组新基下的表示矩阵可以写成块上三角阵的形式,对应的特征多项式显然是包含因子(λ-λ0)^m的,所以λ0就是特征多项式的至少m重根,也就是“代数重数大于等于几何重数”。

    这个结论也可以用Jordan理论来看:设λ0是矩阵A的一个特征值,那么λ0对应的Jordan块的阶数总和=λ0在A的特征多项式中的重数(代数重数);λ0对应的Jordan块的个数=A的属于λ0的特征子空间的维数(几何重数)。显然有几何重数不超过代数重数.

    并且由此也可推出当且仅当所有特征值的几何重数与代数重数相等时,A的Jordan标准型的所有Jordan块均是一阶的(为对角矩阵),即A可对角化。(这里引用“夏De夭”的说法)。

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  • 背景 划重点 2.1 向量vector 向量就是一数(6, 3, 8)就是一个三维向量。还有一个更确切的说法,...在超现实的数学中,可以有n维向量,维度就是数字的个数 在机器学习中,一个向量可以理解为一个物品的n维特征...

    背景

    划重点

    2.1 向量vector

    • 向量就是一组数(6, 3, 8)就是一个三维向量。还有一个更确切的说法,向量就是空间中的一个点
    • 基本出发点:表示方向
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    • 向量与原点没有太多关系(向量默认就是以原点作为起始点)
    • 在现实世界中,三维向量就够了 (1,2,3),表示立体空间中的一个点。
    • 在超现实的数学中,可以有n维向量,维度就是数字的个数
    • 在机器学习中,一个向量可以理解为一个物品的n维特征,如下,租房的特征(每个特征就是向量的一个维度),可以用(120,3,2,2666)
      在这里插入图片描述

    2.2 更多术语和表示法

    • 标量表示一个数,向量表示一组数
    • 符号表示向量,在这里插入图片描述
    • 向量的另外一种展示在这里插入图片描述
    • 在这里插入图片描述

    2.3 实现自己的向量

    class Vector:
        def __init__(self, lst):
            self._values = lst
    
    	# 系统用于显示的(比如说在jupyter里面进行显示)
        def __repr__(self):
            return "Vector({})".format(self._values)
    
    	# print显示的时候用,或者是str()强转的时候用
        def __str__(self):
            return "({})".format(', '.join(str(item) for item in self._values))
    
        def __len__(self):
            '''长度'''
            return len(self._values)
    
        def __getitem__(self, index):
            '''获取索引元素'''
            return self._values[index]
    
    
    if __name__ == '__main__':
        print(Vector([1, 2]))
        print(len(Vector([1, 2, 3, 4, 5])))
        print(Vector([1, 2, 3, 4, 19])[-1])
    

    运行结果如下
    在这里插入图片描述

    评语

    • python基础在之后会出一系列的博客进行阐述
    • 实现了自己的向量,更加直观的理解
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  • 不少学习过线性代数的同学可能都有这样的疑惑...方程尤其当未知数的个数非常多的情况下,计算量相当大的。但有了矩阵计算的这个工具后,计算方程就变得十分简便了。随着这一学科的发展,其应用也变得更为广...

    e6a999c1d347d145954942c6489c4342.png

    不少学习过线性代数的同学可能都有这样的疑惑,就是线性代数到底是什么?我们算的这些东西究竟有什么用?回忆起这门课来可能仅有的印象也就是矩阵、向量、还有一个特征什么来着?

    线性代数是一门相对较为年轻的学科,起源于十九世纪。其最初的作用是求解线性方程组。方程组尤其是当未知数的个数非常多的情况下,计算量是相当大的。但有了矩阵计算的这个工具后,计算方程组就变得十分简便了。随着这一学科的发展,其应用也变得更为广泛,比如未知数比方程个数多的情况,或无解的情况(没有一条直线能够无误差地满足所有方程)。

    在我看来,线性代数同时也是一门数据科学中的重要学科,因为矩阵、向量就是直接用来描述量化数据的最好的工具。同时,线性代数在几何上也有着重要的应用。我们知道向量是既有大小又有方向的量,由向量定义了向量空间,以及在其中的直线、平面、超平面等,以及他们之间的线性关系。比如线性方程组,

    写成矩阵的形式

    矩阵A的作用相当于在二维空间中将向量(x,y)变换为(3,-1)。而A的逆矩阵

    的作用就是按照A将(x,y)变成(3,1)的变换轨迹将(3,-1)变回到(x,y)。

    这个矩阵能够将
    变换为
    ,将
    变成

    可以发现,向量在变换之后,其方向发生了变化。那么,有没有这样的矩阵,将向量变换完之后,得到的新向量与原来的向量的方向相同呢?

    下面就要介绍矩阵的特征向量与特征值了。

    对于矩阵

    和向量
    ,如果新得到的向量与原向量是同向的,那么

    的结果是一个与v同向的向量,可以表示为
    为常数,也即

    也就是说,满足这个等式的向量就是经矩阵

    变换后方向不变的向量了。这样的向量就叫做特征向量(eigenvector),这个
    就是向量被拉伸或压缩的倍数,称为特征值(eigenvalue)。

    下面我们试着求一下一个矩阵的特征值和特征向量。

    为了计算过程的直观,我们考虑二维矩阵

    的特征值和特征向量。

    由特征向量的定义,我们知道

    其中

    为同阶的单位矩阵。

    如果

    为非零向量的话,

    时,

    就是一个特征向量,也就是说这个向量经过矩阵A的转换后,得到的向量是与原向量相同方向的向量。特征值是经过矩阵A的转换后,新的与原向量同向的向量v的伸缩倍数。例如,对于一个三阶矩阵A来说,其特征向量的方向就是矩阵A对任意向量变换时的旋转轴。

    特征向量和特征值是线性代数研究中的一个重要工具,其在图像处理和数据处理等等许多领域都发挥着重要作用。希望这篇文章能够让矩阵和向量看上去不再那么毫无意义。

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  • 什么是矩阵

    万次阅读 2006-03-30 23:28:00
    如果矩阵A有一个r阶子式不为零,所有的r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于零,则可推出A的... 说到矩阵的秩就不得不提到向量组的秩,即向量组的极大无关组所含向量的个数,而极大无关组则一个向量组中的一组线
  • 什么矩阵行秩等于列秩?

    千次阅读 2019-04-23 14:53:26
    向量组的秩的定义:向量组的极大线性无关组所包含向量的个数,称为向量组的秩。 其次再弄清楚3个定理: 1,矩阵A的行列式不为0的充要条件A的行(列)向量线性无关 2,无关组加分量仍无关 3, r个n维列向量组线性无关...
  • 线性代数基础

    2021-03-24 10:39:38
    线性代数基础 ...向量组的秩 极大线性无关组向量的个数 什么是矩阵的秩? 若r阶子式不为0,所有r+1阶子式全为0,则r为矩阵的秩。或者用线性方程组表示为r个独立方程的个数 正交阵 1)AT=A−1A^T = A
  • 2015-06-24 17:19:20
    设矩阵的秩=n,这个n就代表了线性无关的向量的个数,也就是说,这个n代表了这一向量可以表示的空间的维数。 n=3的时候,很好想,三维向量空间。 “不过当n>3时,他没有直观的几何意义”。 第四维应该是什么呢?是...
  • 你必须知道495个C语言问题

    千次下载 热门讨论 2015-05-08 11:09:25
    1.4 新64位机上64位类型是什么? 指针声明 1.5 这样声明有什么问题?char*p1,p2;我在使用p2时候报错了。 1.6 我想声明一个指针,并为它分配一些空间,但却不行。这样代码有什么问题?char*p;*p=...
  • Dimensionality Reduction 降维若原特征空间D维的,现希望降至d维的。...通俗一点说,如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量,秩就是这些行向量或者列向量的秩,也就是极大无关中所含向量的个数
  • 1.4 新64位机上64位类型是什么? 3 指针声明 3 1.5 这样声明有什么问题?char *p1, p2; 我在使用p2时候报错了。 3 1.6 我想声明一个指针,并为它分配一些空间,但却不行。这样代码有什么问题?...
  • 《你必须知道495个C语言问题》

    热门讨论 2010-03-20 16:41:18
    1.4 新64位机上64位类型是什么? 3 指针声明 3 1.5 这样声明有什么问题?char *p1, p2; 我在使用p2时候报错了。 3 1.6 我想声明一个指针,并为它分配一些空间,但却不行。这样代码有什么问题?...
  • CNN

    2019-02-27 21:28:44
    启发 为什么不使用将图像拉成一维向量,采用全连接...使用卷积核操作后产生的叫做特征图(feature map)(特征图的个数叫做输出的channel数)。 卷积核可以二维或三维,都叫做2D卷积(在二维平面上滑动) 感受...
  • LINGO软件学习

    2009-08-08 22:36:50
    因此,派生集的索引个数最终原始父集的个数,索引的取值从原始父集到当前派生集所作限制的总和。 总的来说,LINGO可识别的集只有两种类型:原始集和派生集。 在一个模型中,原始集基本的对象,不能再被拆分成...
  • [机器学习]DAY 15

    2019-09-06 18:36:06
    行秩与列秩为什么相等呢? 因为一旦行秩/列秩确定,就意味着确定了维度为rank的空间,意味着只有rank个线性无关的向量,那么其他...①当r(A,b)=r(A)=n(未知量的个数)时,方程有唯一解; ②当r(A,b)=r(A)< n,...
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向量组的个数是什么