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  • 向量组秩和极大无关组(修改整理)向量组极大无关组和秩.doc
  • 向量组1 极大线性无关组2 向量组3 极大线性无关组的求解 手动反爬虫:原博地址 知识梳理不易,请尊重劳动成果,文章仅发布在CSDN网站上,在其他网站看到该博文均属于未经作者授权的恶意爬取信息 如若转载...


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    1 极大线性无关组

    如下,四个向量构成的向量组,其实经过简化后可以直接使用两个向量进行表示
    ( 1 0 ) ( 2 0 ) ( 0 10 ) ( 0 5 ) ⇒ ( 1 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\10\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (10)(20)(010)(05)(10)(05)极大线性无关组: α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4},\alpha_{5} α1,α2,α3,α4,α5的部分组 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2满足
    1) α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2线性无关
    2)每个向量均可由 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2表示
    则称 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2是这个向量组的极大无关组(这里的极大是指:找无关的向量组的向量个数最大),比如上面的示例可以选择是 ( 1 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (10)(05)也可以是 ( 2 0 ) ( 0 5 ) \left(\begin{matrix} 2\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 0\\5\end{matrix}\right) (20)(05),故极大无关组不是唯一的,但是任意两个极大无关组中向量的个数是相同的

    2 向量组的秩

    定义:极大线性无关组含向量的个数,记作 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) r(α1,α2,...,αs)
    回故一下矩阵的秩:非零子式的最高阶数

    1) 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = s 0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=s 0<=r(α1,α2,...,αs)<=s

    比如下面向量组,根据上述结论,可知极大无关组的个数在0-5之间,但是实际上根据上一节里面的结论:n+1个n维向量组必定线性相关,所以 0 < = r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = m i n { 向 量 的 个 数 , 向 量 的 维 数 } 0<=r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s})<=min\{向量的个数,向量的维数\} 0<=r(α1,α2,...,αs)<=min{,}
    ( 1 1 2 ) ( 1 1 0 ) ( 1 2 2 ) ( 1 8 9 ) ( 3 4 5 ) \left(\begin{matrix} 1\\1\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\1\\0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1\\8\\9\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 3\\4\\5\end{matrix}\right) 1121101221893452) α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs线性无关    ⟺    r = s \iff r =s r=s
    3) α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs线性相关    ⟺    r < s \iff r <s r<s

    定理: α 1 , α 2 , . . . , α s \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s} α1,α2,...,αs可由 β 1 , β 2 , . . . , β t \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t} β1,β2,...,βt表示,则 r ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) < = r ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) r(\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{s}) <= r(\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{t}) r(α1,α2,...,αs)<=r(β1,β2,...,βt)
    注意:等价的向量组有相同的秩,但是有相同秩的向量组不一定等价

    行秩与列秩
    比如
    A = ( 1 1 1 1 1 3 0 2 1 1 5 6 9 1 0 0 1 1 ) A = \left(\begin{matrix} 1&1&1&1&1&3\\0&2&1&1&5&6\\9&1&0&0&1&1\end{matrix}\right) A=109121110110151361这个向量可以分作行向量组 α 1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 ) , α 2 = ( 0 , 2 , 1 , 1 , 5 , 6 ) , α 3 = ( 9 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1 ) \alpha_{1} = (1,1,1,1,1,3),\alpha_{2}=(0,2,1,1,5,6),\alpha_{3} = (9,1,0,0,1,1) α1=(1,1,1,1,1,3),α2=(0,2,1,1,5,6),α3=(9,1,0,0,1,1)与列向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 , β 6 \beta_{1},\beta_{2},\beta_{3},\beta_{4},\beta_{5},\beta_{6} β1,β2,β3,β4,β5,β6

    结论:行秩 = 列秩 = 矩阵的秩 r ( A ) r(A) r(A)

    就是利用上面的式子,直接求解矩阵的秩就可以得到行秩和列秩的值

    B = ( 3 3 3 2 − 1 5 − 5 3 − 13 4 − 3 11 ) ⇒ ( 1 1 1 0 − 3 3 0 0 0 0 0 0 ) B = \left(\begin{matrix} 3&3&3\\2&-1&5\\-5&3&-13\\4&-3&11\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&1&1\\0&-3&3\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) B=32543133351311100013001300

    3 极大线性无关组的求解

    定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系
    ( 1 0 5 0 1 3 0 0 0 ) ⇒ ( 1 0 5 0 1 3 1 1 8 ) \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\0&0&0\end{matrix}\right)\Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&5\\0&1&3\\1&1&8\end{matrix}\right) 100010530101011538比如将第一行和第二行都加到第三行上面去,将向量拆解成向量组进行表示,左侧为 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) , α 3 = ( 5 , 3 , 0 ) \alpha_{1} = (1,0,0),\alpha_{2}=(0,1,0),\alpha_{3} = (5,3,0) α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(5,3,0) ,其中 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2线性无关的, α 3 = 5 α 1 + 3 α 2 \alpha_{3} = 5\alpha_{1}+3\alpha_{2} α3=5α1+3α2。可以发现对于右侧的向量也可以拆解成向量组的形式表示, β 1 = ( 1 , 0 , 1 ) , β 2 = ( 0 , 1 , 1 ) , β 3 = ( 5 , 3 , 8 ) \beta_{1} = (1,0,1),\beta_{2}=(0,1,1),\beta_{3} = (5,3,8) β1=(1,0,1),β2=(0,1,1),β3=(5,3,8),显然 β 1 , β 2 \beta_{1},\beta_{2} β1,β2是线性无关的,而且 β 3 = 5 β 1 + 3 β 2 \beta_{3} = 5\beta_{1}+3\beta_{2} β3=5β1+3β2,也就证明了定理。

    例题,若 α 1 = ( 1 , − 2 , 2 , − 1 ) , α 2 = ( 2 , − 4 , 8 , 0 ) , α 3 = ( − 2 , 4 , − 2 , 3 ) , α 4 = ( 3 , − 6 , 0 , − 6 ) \alpha_{1} = (1,-2,2,-1),\alpha_{2}=(2,-4,8,0),\alpha_{3} = (-2,4,-2,3),\alpha_{4} = (3,-6,0,-6) α1=(1,2,2,1),α2=(2,4,8,0),α3=(2,4,2,3),α4=(3,6,0,6),求解向量组的极大线性无关组

    基本步骤:

    • 1)不管向量是行或者列,均按照列构成矩阵
    • 2)只用初等行变换,化为行简化阶梯型
    • 3)首非零元所在列做极大无关组
    • 4)其余向量表示系数,直接写出来即可

    解:首先按照前两个步骤完成下列的操作,还是以左侧为 α \alpha α,右侧为 β \beta β,发现 β 1 , β 2 \beta_{1},\beta_{2} β1,β2线性无关,按照第三步就是直接作为极大无关组, β 3 , β 4 \beta_{3},\beta_{4} β3,β4直接忽略最后的含0行后数值直接作系数读出来,比如 β 3 = − 3 β 1 + 1 2 β 2 , β 4 = 6 β 1 − 3 2 β 2 \beta_{3} = -3\beta_{1}+\frac{1}{2}\beta_{2},\beta_{4} = 6\beta_{1}-\frac{3}{2}\beta_{2} β3=3β1+21β2,β4=6β123β2
    ( 1 2 − 2 3 − 2 − 4 4 − 6 2 8 − 2 0 − 1 0 3 − 6 ) ⇒ ( 1 0 − 3 6 0 1 1 2 − 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \left(\begin{matrix} 1&2&-2&3\\-2&-4&4&-6\\2&8&-2&0\\-1&0&3&-6\end{matrix}\right) \Rightarrow \left(\begin{matrix} 1&0&-3&6\\0&1&\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}\right) 1221248024233606100001003210062300最后按照刚刚梳理的定理:初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系,故对于 β \beta β适应的线性关系,对于 α \alpha α同样适用,所以原向量组的极大线性无关组为 α 1 , α 2 , α 3 = − 3 α 1 + 1 2 α 2 , α 4 = 6 α 1 − 3 2 α 2 \alpha_{1},\alpha_{2}, \alpha_{3} = -3\alpha_{1}+\frac{1}{2}\alpha_{2},\alpha_{4} = 6\alpha_{1}-\frac{3}{2}\alpha_{2} α1,α2,α3=3α1+21α2,α4=6α123α2

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  • 向量组极大无关组修改整理-向量组极大无关组.doc
  • 向量组(I)可由向量组(II)线性表出,且r(I)=r(II),证明向量组r(I)=r(II)

    设向量组(I)可由向量组(II)线性表出,且秩r(I)=r(II),证明向量组r(I)=r(II)
    在这里插入图片描述

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  • 向量组极大无关组表示问题

    千次阅读 2021-04-18 13:25:11
    已知向量组T:Eqn11.gif (3.16 KB, 下载次数: 1)2013-10-21 19:19 上传....(3) 将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。程序:>> A=[1 1 3 2;-1 1 -1 3;5-2 8 9;-1 3 1 7]>> r=rank(A)>> A1=...

    已知向量组T:

    960807fa182d9024cb79810da6e7f8da.gif

    Eqn11.gif (3.16 KB, 下载次数: 1)

    2013-10-21 19:19 上传

    .

    (1) 求向量组T的秩,并判断向量组T的相关性;

    (2) 求T的极大线性无关组;

    (3) 将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

    程序:

    >> A=[1 1 3 2;-1 1 -1 3;5-2 8 9;-1 3 1 7]

    >> r=rank(A)

    >> A1=rref(A)

    >> [r,jb]=rref(A)

    计算结果:

    A =

    1    1     3     2

    -1    1    -1     3

    5   -2     8     9

    -1    3     1     7

    r =

    3

    A1 =

    1    0     2     0

    0    1     1     0

    0    0     0     1

    0    0     0     0

    r =

    1    0     2     0

    0    1     1     0

    0    0     0     1

    0    0     0     0

    jb =

    1    2     4

    红色部分为什么是把向量横着写列成矩阵,我记得是不论向量是行向量还是列向量,都竖着列成矩阵么。

    竖着列>> A=[1 1 3 2;-1 1 -1 3;5 -2 8 9;-1 3 1 7]

    A =

    1     1     3     2

    -1     1    -1     3

    5    -2     8     9

    -1     3     1     7

    >> r=rank(A)

    r =

    3

    >> A1=rref(A)

    A1 =

    1     0     2     0

    0     1     1     0

    0     0     0     1

    0     0     0     0

    >> [r,jb]=rref(A)

    r =

    1     0     2     0

    0     1     1     0

    0     0     0     1

    0     0     0     0

    jb =

    1     2     4

    >> A=[1 -1 5 -1;1 1 -2 3;3 -1 8 1;2 3 9 7]

    A =

    1    -1     5    -1

    1     1    -2     3

    3    -1     8     1

    2     3     9     7

    >> r=rank(A)

    r =

    3

    >> A1=rref(A)

    A1 =

    1.0000         0         0    1.0909

    0    1.0000         0    1.7879

    0         0    1.0000   -0.0606

    0         0         0         0

    >> [r,jb]=rref(A)

    r =

    1.0000         0         0    1.0909

    0    1.0000         0    1.7879

    0         0    1.0000   -0.0606

    0         0         0         0

    jb =

    1     2     3

    >>

    请大家讲解下。

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  • 矩阵向量组极大无关组求法.ppt
  • 首先你这个提问不是很严谨哦ε3ε极大无关组向量组里面的概念,而在矩阵里没有极大无关组这个概念,虽然向量组合并在一起可以看成一个矩阵,但不能说矩阵有极大无关组。我们先从概念出发,极大线性无关:在一个...

    首先你这个提问不是很严谨哦ε3ε

    极大无关组是向量组里面的概念,而在矩阵里没有极大无关组这个概念,虽然向量组合并在一起可以看成一个矩阵,但不能说矩阵有极大无关组。

    我们先从概念出发,极大线性无关组:在一个向量组中,任意找到n个无关的列向量(将向量组合并起来看成矩阵进行初等行变换,画阶梯来找),注意这n个列向量是无关的,如果再加上任意一个列向量,变成线性相关了,我们称它为该向量组的极大无关组,此时我们把极大无关组中列向量的个数定义为向量组的秩,也即看成向量组拼成的矩阵对应矩阵的秩。

    好了,概念就这么多,接下来看这个题:

    图中已经化为阶梯形,我们可以先不谈向量组,先来看这个矩阵,易知该矩阵的秩为3,所以该向量组的秩也为3,即极大无关组中列列向量的个数也为3。接着,再看这个阶梯形,我们只需要找到每一行第一个非0的元素对应的列,注意是第一个非0元素对应的列,即构成极大线性无关组。

    这个矩阵第一行元素为1 0 3 1 2,元素1是第一行第一个非0元素,1对应的是第一列;

    第二行元素为0 1 1 0 1,元素1是第二行的第一个非0的元素,这个1对应的是第二列;

    第三行元素为0 0 0 -1 0,元素-1是第三行第一个非0的元素,这个-1对应的是第四列。

    故极大无关组为第1 2 4列,即α1 α2 α4。

    我们再看,α1,α2,α5线性相关(α5=2α1+α2,这个可以直接看出来) ,α1,α3,α5也相关(α5=α3-α1,同理直接看),这是不满足极大无关组的概念的,所以必不是极大无关组。

    而且极大无关组不是唯一的,就这个题而言,下面还写了其他的几种,总的来说这个题我们主需要找到3个无关的列向量即可构成极大无关组,因为这个向量组秩为3,所以只要找到3个无关的,再多加一个必是相关,这是满足极大无关组的概念的。

    还有为什么一定要化阶梯形呢?因为这样更方便,只要取第一个非0元素对应的列就必是无关的,构成极大无关组,不用再来单独算某几个向量是无关还是相关。

    有的题目可能选项给的不是通过阶梯形看非0元素对应的列求得的向量组,这时我们只需要先看秩,再找和秩的数量相同的无关列列向量即可,由于已经画了阶梯型,所以无关的列向量是很容易看出开的,选择题的话直接把给的选项拿出来,先看看这几个列向量是否相关,相关直接排除,无关的话保留,再看看看它的个数是不是拼成矩阵的秩即可。

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空空如也

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向量组的秩和极大无关组