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  • 向量组线性相关性

    千次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a

    目录

     

    一、行向量和列向量

    二、矩阵和向量

    3.向量组等价、系数矩阵

    4、向量组的线性相关性


    一、行向量和列向量

    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。

    aT= \bigl(\begin{smallmatrix} a1 & a2 & a3 &... & ... & an \end{smallmatrix}\bigr)横着的是行向量;

    a=\begin{pmatrix} \\ a1 \\ a2 \\ a3 \\ . \\ . \\an \end{pmatrix}是竖着的,是列向量;

    还要注意一下表示法,通常带T的是行向量,不带T的是列向量。

     

    二、矩阵和向量

    我们知道的矩阵的分块法,我们可以按每列进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是列向量。

    如果我们对每行进行分块,那么我们就可以得到一个向量组,里面的元素是行向量。

    三、向量组的线性组合

    1.向量组A:a1,a2,......,an 对于任何一组实数k1,k2,......,kn表达式:k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n}称为向量组A的线性组合,k1,k2,...kn也称为线性组合的系数。


    2.若给定向量组A,和向量b,如果存在一组数使\begin{align*} \underset{b}{\rightarrow}&= k1 \underset{a}{\rightarrow}_{1}+k2\underset{a}{\rightarrow}_{2}+...+kn\underset{a}{\rightarrow}_{n} \end{align*},那么向量b则是向量组A 的线性组合,也称向量b能由向量组A线性表示。

    将ki用xi替换也等价为:\begin{align*} x_{1}\underset{a}{\rightarrow}_{1}+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n}+...+x_{2}\underset{a}{\rightarrow}_{n} &= \underset{b}{\rightarrow} \end{align*}有解。若有解则有R(A)=R(A,b)。

    =>定理:向量b能由向量组A线性表示的充要条件是:R(A)=R(A,b)


    3.向量组等价、系数矩阵

    向量组B能由向量组A线性表示:B中的每个向量都可以由A线性表示。

    向量组B和向量组A等价:二者可以相互线性表示。

     

    \begin{align*} C_{m\times n} &= A_{m\times l}B_{l\times n} \end{align*}

    我们可以称:C的列向量组能由A的列向量组线性表示。B称这一表示的系数矩阵

    或称:C的行向量组能由B的行向量组线性表示,A为这一表示的系数矩阵

    笔:这一点可以结合前面的理解,行变换和列变换来理解,系数矩阵在左边时可以认为是对行进行线性变换,在右边时可以认为对列进行线性变换


    =>定理:向量组B \begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A: \begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示的充要条件是R(A)=R(A,B)。

    笔:注意B,A是列向量组。所以系数矩阵应该在右边:AX=B,即有解,易得上面定理。

    =>推论:借用上面定理调换AB位置可知A和B等价的充要条件:R(A)=R(A,B)=R(B)

    笔:注意R(A,B)=R(B,A)即可


    =>定理:设向量组B:\begin{matrix} b1 &b2 &b3 &...&bn \end{matrix}能由向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性表示,则R(B)\leqR(A)

    笔:即AX=B有解时二者秩的关系,有解则有 R(A)=R(A,B),又知道R(B)\leqR(A,B)=R(A),所以推知。


     

    4、向量组的线性相关性

    上面介绍的是线性表示

    下面介绍的是线性相关性

    向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix},如果存在不全为零的数\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}使

    \begin{align*} k1\underset{a1}{\rightarrow}+k2\underset{a2}{\rightarrow}+...+kn\underset{an}{\rightarrow} &= \underset{0}{\rightarrow} \end{align*}则称A是线性相关的,否则是线性无关的。

     

    如果\begin{matrix} k1 &k2 &...&kn \end{matrix}不全为0那么势必有一个或多个向量\underset{ai}{\rightarrow}能由其他向量线性表示,

     

    反之也能推导到A是线性相关的。


    有了向量组的线性相关性后我们再看下方程组。

    当方程组中某个方程是其余方程的线性组合时,那么经过逆过程此方程会被消去,此方程也就成为了多余的方程,此时称方程组是线性相关的;当方程组中没有多余的方程时,我们称为方程组线性无关(独立)。

    二者结合起来:方程组AX=b线性相关时,即(A,b)的行向量组线性相关,因为(A,b)就代表了方程组。

     

    =>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关的充要条件:R(A)<向量个数n; 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关的充要条件:R(A)=向量个数n;

    笔:如果将上面AX=b,b换为0,那么就成为AX=0。线性相关就变成了此方程组存在非零解,如果是0解相应的A就为线性无关。转换为非零解的问题,假定n个变量n个方程,如果R(A)<n,说明有方程被约掉,此时是有无限解的,也就是存在非零解。如果<n个方程,那么此时必有R(A)<n。同上,如果AX=0仅有零解,那么A是线性无关的,仅有零解说明了存在了唯一解,此时必有R(A)=n,n个方程n变量恰好有一组解。


     

    ①=>定理:向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性相关,则向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}也线性相关;若向量组B:\begin{matrix} a1 & a2 & ...&a_{n+1} \end{matrix}线性无关, 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关;

    笔:向量组A线性相关:则R(A)<n, 所以R(B)\leqR(A)+1=n+1,所以B线性相关;向量组B向量无关R(B)=n+1,假若A线性相关那么R(A)<n,所以R(B)\leqR(A)+1<n+1,就会推知B 线性相关,所以知假设不成立,所以A线性无关。

     

    ②=>定理:m个n维向量组成的向量组B即n×m矩阵,如果n<m,那么一定线性相关。

    笔:因为R(B)\leqmin{n,m}=n<m所以知,定线性相关。

    ③=>定理: 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,则

    向量b必能由A线性表示,且表示式唯一。

    笔:向量组B:\begin{matrix} a1 &a2&...&an&b \end{matrix}线性相关,即R(B)<n+1。 向量组A:\begin{matrix} a1 &a2 &...&an \end{matrix}线性无关,所以R(A)=n。所以就可以推知n=R(A)\leqR(B)<n+1,所以R(B)=n。所以AX=b有唯一解。

    注:之前我在此混淆了方程组和向量组的关系。向量组的线性相关性和方程组的线性相关性,方程组的线性相关性只是说明是否有多余的方程,并未透露解的问题,有可能方程组的方程个数很多。所以具体有无解或者是解的个数问题 需要判断R(A)=?R(A,B),且和n的关系。


    向量组的秩

    ->就是最大线性无关向量组所含向量的个数

    ->向量组的任一向量都能由最大线性无关向量组线性表示

    矩阵的秩和它的列向量组的秩、行向量组的秩相等。

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  • 第2节 向量组相关性 第3节 向量组的秩 第4节 线性方程解的结构 第5节 向量空间


    第2节 向量组的相关性 


    第3节 向量组的秩


    第4节 线性方程组解的结构


    第5节 向量空间

     

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  • 第一节 向量组线性相关性   一.数学概念 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。 定义1. 2 给定向量A: ,对于任何一实数 ,...

    第一节 向量组的线性相关性

     

    一.数学概念

    定义1.1  n个有次序的数  ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数  称为第i个分量。

    定义1. 2  给定向量组A:  ,对于任何一组实数  ,向量

                    

    称为向量组A的一个线性组合,  称为这个线性组合的系数。

    定义3  给定向量组A:  和向量β,若存在一组数  ,使

                    

    则称向量β是向量组A的线性组合,这时称向量β能由向量组A线性表示。

    定义4  给定向量组A:  ,若存在一组不全为零的数  ,使

                     

    则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关的。

    定义5  设有两个向量组A:  ,及B:  ,若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称B能向量组A线性表示,若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价。

    二.原理,公式和法则

    1. 判断向量组   的线性相关性的基本原理的:

                         

    当上式成立时,  不全为0,则可确定  线性相关,若只有  ,则可确定 线性无关。

    2. 向量线性相关性的判定

    1) 一个向量a是线性相关的充分必要条件是:a=0

    2) 两个向量是线性相关的充分必要条件是:它们对应的分量成比例。

    3) nn维向量线性相关的充分必要条件是:由它们组成的n阶行列式为零。

    4) 向量组  线性相关的充分必要条件是:向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示。

    5)向量组  线性相关的充分必要条件是:由它构成的矩阵  的秩小于向量的个数m

    6) 若向量组  线性相关,则向量组  也线性相关。

    7) 当m>n时,mn维向量必线性相关。

    8) 一个向量a线性无关的充分必要条件是:≠ 0

    9) 两个向量是线性无关的充分必要条件是:它们对应的分量不成比例。

    10) nn维向量线性无关的充分必要条件是:由它们组成的n阶行列式不等于零。

    11) 向量组  线性无关的充分必要条件是:由它构成的矩阵  的秩等于向量的个数m

    12) 整组向量线性无关,则它们的任何部分组也线性无关。

    13) 若r维的向量组线性无关,而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量,则r+1维的向量也线性无关。

    3. 若向量组  线性无关,而  ,β线性相关,则β能由  线性表示,且表示法是唯一的

    4. 判定向量组线性相关性的方法:①定义法;②反证法;③判定法;④计算法。

    三.重点,难点分析

    本节的定义,定理,性质,推论较多,且又非常抽象,不易理解,有一定的难度。

    重点是向量组的线性相公性的定义理解,和如何判断一组向量的线性相关性。

     

    四.典型例题

    例1. 设向量组  。当t为何值  线性相关;当t为何值时  线性无关。

    :设                                   

        

    显然,当t=5 时,R(A)=2<3,故  线性相关。

    t  5时,R(A)=3,故  线性无关。

    本题由于向量个数与向量的维数相同,也可以由它们所组成的3阶行列式是否等于零来确定向量组的线性相关性,也可以用定义,采用计算法来判定。

    例2. 向量β由向量组  线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是  线行无关。

    必要性,设  使

                                  (1)

    β能由  线性表示,

    所以有                       (2)

    将(2)—(1)得                                                  

    由表示法的唯一性,知:

        

    得,  ,故  线性无关。

    充分性,假设有两种表示法,即

    两式相减得                                             

    由于  线性无关,所以

    故表示法是唯一的。

     




    第二节. 向量组的秩

    一.数字概念

    定义2.1  设有向量组A,如果在A中存在r个向量  ,满足

    (1)向量组A0:  线性无关;

    (2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关,那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。

    定义2.2  向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩

    矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩,行向量组中秩称为矩阵行秩

    二.原理,公式与法则

    定理2.1  R(A)=A的行秩=A的列秩

    定理2.2  向量组A与其最大无关组  等价。

    定理2.3  设向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。

    推论1  等价向量组的秩相等。

    推论2  设  ,则  

    推论3  设向量组B是向量组A的部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个最大无关组。

    三.重点,难点分析

    本节的重点是向量组的最大无关组和秩的定义,求向量组的最大无关组和秩的方

    法,这对于下面将要学习向量空间和求齐次线性方程组的基础解系是非常重要的。难点是上面讲述的定理的证明,需要同学们具有一定抽象思维能力和逻辑能力。

    四.典型例题

    例1.设向量组

    求向量组  的秩和一个最大无关向量组。

    分析:解此类问题可根据矩阵与向量组的关系以及矩阵列(行)秩的关系,把向量组  拼成矩阵,从而可知其秩又可得矩阵A的最高阶非零子式所在列是该向量组的最大无关组。

    :设  ,对A施行初等行变换,得  

    显然R(A)=2,所以向量组  的秩为2,且    的一个最大无关组。 

    例2.向量组中的任一向量必是向量组中某个最大无关组的线性组合。

    :设向量组A:  的某个最大无关组是A0: 

    αi是向量组A中的任一向量,分情况讨论如下:

     ①αi在向量组A0中,则有

             

    ②若αi不在向量组A0中,由于A0是A的最大无关组,而  线性相关,故αi可由  线性表示。

    对于最大无关组的证明要注意以下两点:

    (1)证明该向量组是线性无关;

    (2)整个向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示;或利用等价的关系证整个向量组与其等价。




    from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

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  • 判别线性相关性的七大定理4.1 定理14.2 定理24.3 定理34.4 定理44.5 定理54.6 定理6 1. 引入 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算...
    • 参考:张宇高等数学基础30讲

    1. 引入

    • 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面我们将从更本质的向量角度来分析。在前文 线性代数(2)—— 矩阵定义及基本运算 我们提到过:矩阵是由若干行(列)向量拼成的,而且它们之间存在着某种联系,这种联系说到底就是线性无关的向量个数(独立信息的个数)的问题,也就是这若干个向量组成的向量组中,有几个就足够代表这整个向量组(其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来)。比如向量组 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 中,向量 [2,4,6] 可以用向量 [1,2,3] 的两倍表示,因此 [2,4,6] 这个向量就是 “多余” 的,不是独立信息
    • 经过仔细排查,我们可以找出某个向量组中能够代表所有成员的一组向量,把它们组成的向量组叫做原向量组的 极大线性无关组这个组是原向量组的 “代表”。比如 [1,2,3],[6,7,9] 就是 [1,2,3],[2,4,6],[6,7,9] 的极大线性无关组。后面我们会说明,对于同一个向量组,其极大线性无关组中 “代表” 的个数是唯一的。事实上,“代表” 的个数就是独立信息的个数,这个个数就叫做向量组的秩。秩就是独立信息的个数,用这几个独立信息就能表示其他所有信息了。
    • 注意到矩阵就是由向量组拼成的,因此 矩阵的秩向量组的秩都反映了 “代表” 个数,其本质是一样的
    • 后面我们还会说明一个重要观点:向量与向量间的关系要么线性相关,要么线性无关,这种关系是 “非黑即白” 的

    2. 向量的概念和运算

    • n维向量:n个数构成的一个有序数组 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] 称为一个 n n n 维向量,记作 α = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \pmb{\alpha} = [a_1,a_2,...,a_n] ααα=[a1,a2,...,an],并称 α \pmb{\alpha} αααn维行向量 α ⊤ = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ \pmb{\alpha}^\top = [a_1,a_2,...,a_n]^\top ααα=[a1,a2,...,an] 称为 n维列向量,其中 a i a_i ai 称为向量 α \pmb{\alpha} ααα α ⊤ \pmb{\alpha}^\top ααα 的第 i i i分量
    • 向量的运算
      在这里插入图片描述

    3. 向量组的线性表出与线性相关

    3.1 基础概念

    1. 线性组合:设有 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 和 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,则向量
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 称为向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合

    2. 线性表出:若向量 β \pmb{\beta} βββ 能表示成 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 的线性组合,即存在 m 个数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m \pmb{\beta} = k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m βββ=k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm 则称向量 β \pmb{\beta} βββ 能被 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性表出

    3. 线性相关:对 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关

    4. 线性无关:若不存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km,使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,就称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关;亦即若只有 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0 时才有 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kmαααm=000 成立,称向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关

    3.2 线性相关、线性无关的进一步说明

    1. 含有零向量或有成比例向量的向量组一定线性相关
      1. 若含有零向量,可以把零向量对应的系数 k i k_i ki 设为任意非零数,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
      2. 若有成比例向量,可以把成比例向量的系数 k i k_i ki 按比例设为正负数值,其他系数 k i k_i ki 都设成 0,即满足线性相关定义
    2. 单个非零向量、两个不成比例向量均线性无关
      1. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
      2. 对于两个不成比例向量 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2,对于 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2 =0 k1ααα1+k2ααα2=0,有 k 1 = − k 2 α 2 / α 1 k_1 = -k_2 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 k1=k2ααα2/ααα1,若 α 1 , α 2 \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2 ααα1,ααα2 线性相关, α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 必为常数,而这代表 α 2 / α 1 \pmb{\alpha}_2/\pmb{\alpha}_1 ααα2/ααα1 成比例,矛盾
    3. 只有 零向量自己一个向量就能线性相关;其他 所有非零向量自己一个向量都是线性无关的
      1. 对于单个零向量,若有 k ⋅ 0 = 0 k·\pmb{0} = \pmb{0} k000=000 k k k 可取任意非零数
      2. 对于单个非零向量 α \pmb{\alpha} ααα,只有 0 ⋅ α = 0 0 ·\pmb{\alpha} = \pmb{0} 0ααα=000
    4. 向量组要么线性相关要么线性无关,二者必居其一且仅居其一
    5. 使用定义法解题:
      1. 写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0
      2. k i k_i ki 不全为0 ⇒ \Rightarrow 线性相关; k i k_i ki 全为0 ⇒ \Rightarrow 线性无关

    4. 判别线性相关性的七大定理

    4.1 定理1

    • 原命题向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中至少有一个向量可以由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 逆否命题:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n    ( n ≥ 2 ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n\space\space(n\geq2) ααα1,ααα2,...,αααn  (n2) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 向量组中任意一个向量不能由其他 n − 1 n-1 n1 个向量线性表出
    • 原命题证明:
      在这里插入图片描述
      • ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 时,哪个系数 k i ≠ 0 k_i \neq 0 ki=0,其对应的 α i \pmb{\alpha}_i αααi 就能被其他向量线性表出

    4.2 定理2

    • 若向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性无关,而向量组 β , α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\beta},\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n βββ,ααα1,ααα2,...,αααn 线性相关,则 β \pmb{\beta} βββ 可以由 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn 线性表出,且表示法唯一
    • 证明:
      在这里插入图片描述

    4.3 定理3

    • 原命题若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 t > s t > s t>s,则无论 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 是线性相关还是无关, β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 一定线性相关(以少表多,多的相关
    • 逆否命题:若向量组 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 可由向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性表示,且 β 1 , β 2 , . . . , β t \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t βββ1,βββ2,...,βββt 线性无关,则 t ≤ s t\leq s ts
    • 证明原命题
      在这里插入图片描述

    4.4 定理4

    • 原命题:设 m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm,其中
      α 1 = [ a 11 , a 21 , . . . , a n 1 ] ⊤ α 2 = [ a 12 , a 22 , . . . , a n 2 ] ⊤ … α m = [ a 1 m , a 2 m , . . . , a n m ] ⊤ \begin{aligned} &\pmb{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},...,a_{n1}]^\top\\ &\pmb{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},...,a_{n2}]^\top\\ &\dots \\ &\pmb{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},...,a_{nm}]^\top \end{aligned} ααα1=[a11,a21,...,an1]ααα2=[a12,a22,...,an2]αααm=[a1m,a2m,...,anm] 则向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解,其中
      A = [ a 11 a 12 … a 1 m a 21 a 22 … a 2 m ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n m ] , x = [ x 1 x 2 ⋮ x m ] \pmb{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &\dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} &\dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{n1} &a_{n2} &\dots & a_{nm} \end{bmatrix}, \pmb{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} AAA=a11a21an1a12a22an2a1ma2manm,xxx=x1x2xm(即 A x = x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x m α m = 0 \pmb{Ax}= x_1\pmb{\alpha}_1+x_2\pmb{\alpha}_2 + ...+x_m\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} AxAxAx=x1ααα1+x2ααα2+...+xmαααm=000 x \pmb{x} xxx 有非零解)
    • 逆否命题:m 个 n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow 齐次线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
    • 原命题证明
      在这里插入图片描述
    • 注:注意到矩阵 A \pmb{A} AAA 中行数(即向量维度) n n n 是方程个,列数(即向量个数) m m m 是未知数数目
      1. n < m n<m n<m,即方程个数小于未知数个数,线性方程组 A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 求解时必有自由未知量,即必有非零解。因此,任意 n + 1 n+1 n+1 n n n 维向量都是线性相关的 n n n 维空间中,任何一个线性无关向量组最多只能包含 n n n 个向量
      2. n = m n=m n=m,这时是方阵,可以引入行列式。对于 n n n n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n ααα1,ααα2,...,αααn
        1. 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ = ∣ α 1 , α 2 , . . . , α n ∣ = 0 |\pmb{A}| = |\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_n| = 0 AAA=ααα1,ααα2,...,αααn=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 有非零解
        2. 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ∣ A ∣ ≠ 0 |\pmb{A}| \neq 0 AAA=0 ⇔ \Leftrightarrow A x = 0 \pmb{Ax}=\pmb{0} AxAxAx=000 只有零解
      3. n > m n>m n>m,这时方程个数多于未知数个数,但是方程中可能有因线性相关而冗余的方程,此时可以
        1. 化阶梯型,找出真实方程数目
        2. 使用下面的定理6 / 定理7

    4.5 定理5

    • 原命题:
      在这里插入图片描述
    • 逆否命题:
      在这里插入图片描述
    • 说明:
      1. 定理5和定理4把向量组和线性方程组相联系,定理4从线性方程组角度给出了线性相关和线性无关的定义;定理5从线性方程组角度给出了线性表出的定义
      2. 这里 r ( ⋅ ) r(·) r() 代表向量组的秩,下一章再详细说明,这里简单一提:秩代表这组向量中不能被其余向量线性表出的向量的个数,当 β \pmb{\beta} βββ 可以被其他 α \pmb{\alpha} ααα 线性表出时,秩不变;不能时秩改变,其实就是增加了1

    4.6 定理6

    • 原命题如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 中有一部分线性相关,则整个向量组也线性相关(部分相关,则整体相关
    • 逆否命题:如果向量组 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 线性无关,则其中任意部分向量组也线性无关(整体无关,则部分无关
    • 证明原命题:不妨设 α 1 , α 2 , . . . , α j    ( j < m ) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_j \space\space(j<m) ααα1,ααα2,...,αααj  (j<m) 线性相关,于是有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j k_1,k_2,...,k_j k1,k2,...,kj 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj=000 从而有不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k j , 0 , . . . , 0 k_1,k_2,...,k_j,0,...,0 k1,k2,...,kj,0,...,0 使得
      k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k j α j + 0 α j + 1 + . . . + 0 α m = 0 k_1\pmb{\alpha}_1+k_2\pmb{\alpha}_2+...+k_j\pmb{\alpha}_j + 0\pmb{\alpha}_{j+1}+...+0\pmb{\alpha}_m = \pmb{0} k1ααα1+k2ααα2+...+kjαααj+0αααj+1+...+0αααm=000 α 1 , α 2 , . . . , α m \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_m ααα1,ααα2,...,αααm 也线性相关

    4.7 定理7

    • 如果一组 n n n 维向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性无关,那么把这些向量各任意添加 m m m 个分量后所得的新( n + m n+m n+m维)向量组 α 1 ∗ , α 2 ∗ , . . . , α s ∗ \pmb{\alpha}_1^*,\pmb{\alpha}_2^*,...,\pmb{\alpha}_s^* ααα1,ααα2,...,αααs 也线性无关;如果 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s ααα1,ααα2,...,αααs 线性相关,那么它们去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的(原来相关,缩短相关;原来无关,延长无关。注意,延长/缩短向量等价于增加/减少方程数目

    • 在这里插入图片描述
    • 例:
      [ 1 2 ] 和 [ 2 3 ] 线 性 无 关 ⇒ [ 1 2 3 ] 和 [ 2 3 4 ] 线 性 无 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} 线性无关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} 线性无关 [12][23]线123234线
      [ 1 2 3 ] 和 [ 2 4 6 ] 线 性 相 关 ⇒ [ 1 2 ] 和 [ 2 4 ] 线 性 相 关 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix} 线性相关 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} 线性相关 123246线[12][24]线

    5. 例题

    5.1 利用行列式判断线性相关/无关

    • 此题中向量个数(未知数个数) = 向量维数(方程个数),根据定理4,可以用行列式进行判断
      在这里插入图片描述

    5.2 利用定义法判断线性相关/无关

    • 这个题用定义法证明线性无关。首先写出 ∑ i m k i α i = 0 \sum_i^mk_i\pmb{\alpha}_i = 0 imkiαααi=0 的形式,然后分析系数是否全为0
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    5.3 分类讨论

    • 这个题没有明确向量个数 s s s(未知数个数) 和向量维数 n n n(方程个数)间的大小关系,需要分类讨论
      在这里插入图片描述
      1. s > n s>n s>n 时,未知数个数多于方程个数,一定有自由变量,有非零解, 必线性相关
      2. s = n s=n s=n 时,用行列式是否等于0判断,注意到这里是范德蒙德行列式,直接展开行列式不等于零,线性无关
      3. s < n s<n s<n 时,取对应齐次线性方程组靠上的 s s s 个方程,这一部分同第2点里 s = n s=n s=n 的情况,发现这部分线性无关,根据定理7,延长后的向量组一定也线性无关
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  • 1. 当向量组A为线性相关时,这至少A中有一个元素可由其他元素表示得到,证明如下: 2. 以下为例子: 3. 给出以下简单定理: 证明如下:  ...
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  • 命题一:设向量组α1,⋯ ,αs\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}α1​,⋯,αs​线性无关,则向量β\betaβ可以由α1,⋯ ,αs\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}α1​,⋯,αs​线性表示的充分必要条件是α1,⋯ ,αs,β\...
  • 向量组线性相关性
  • 向量组线性相关性

    2018-05-23 22:05:41
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  • 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。 3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。 4、[定理2]向量组B能由向量组
  • 3.2 向量的线形相关性

    2019-10-12 22:37:08
    向量向量之间的关系:要么线性相关,要么线性无关。
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  • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,...) 向量...
  • 矩阵 II : 线性线性相关性

    千次阅读 2018-01-28 13:09:40
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向量组的线性相关性定理