本篇笔记首先介绍了线性组合,并给出了线性表示、线性表出和组合系数的概念;然后介绍了线性组合的相关性质,其中还介绍了单位向量组或基本单位向量组的定义,并将判断是否是线性组合转化为求方程组的解;最后介绍了向量组等价的定义和向量组等价的性质,包括反身性、对称性和传递性。
1 线性组合
比如向量⎝⎛123⎠⎞和向量⎝⎛246⎠⎞之间,很明显,后者是前者的两倍,所以倍数是一种线性关系。
再比如(12)=1×(10)+2×(01),即通过后两个向量可以表示出前面的向量,这也是一种线性关系。
线性组合:设β,α1,α2,...,αn是一组m维向量,若存在数k1,k2,...,kn,使得β=k1α1+k2α2+...+knαn成立,则称β是向量组α1,α2,...,αn的线性组合。或称β可由向量组α1,α2,...,αn线性表示或线性表出,称k1,k2,...,kn为一组组合系数。
组合系数k1,k2,...,kn是否可以全取0呢?
答案是肯定的。
例如零向量:(00)=0×(10)+0×(12)。
那么,如何验证向量是向量组的线性组合呢?
找到组合系数。能找到就是线性组合,找不到或不存在,则不是线性组合。
2 相关性质
① 零向量可由任意向量组来线性表示。
O=0α1+0α2+...+0αn。
② 向量组中任意一个向量可由向量组来线性表示。
例如:α3=0α1+0α2+1α3+0α4。
③ 任意一个向量都可由向量组ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)来线性表示。
例如:(1,2,3)=1×(1,0,0)+2×(0,1,0)+3×(0,0,1)。
组合系数正好是向量的分量,即α=a1ε1+a2ε2+...+anεn。称ε1,ε2,...,εn为n维单位向量组或n维基本单位向量组。
例4:设β=(−3,2,−4),α1=(1,0,1),α2=(2,1,0),α3=(−1,1,−2),判断β是否可由α1,α2,α3线性表示?
解:设β=k1α1+k2α2+k3α3,
则(−3,2,−4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(−1,1,−2),
即得到如下线性方程组:
⎩⎪⎨⎪⎧k1k1+2k2k2−+−k3k32k3===−32−4
解得:
⎩⎪⎨⎪⎧k1=2k2=−1k3=3
则β=2α1−α2+3α3,故β可由α1,α2,α3线性表示。
总结:不管给的向量是行向量还是列向量,α向量组均按列写成方程组的系数,β也是按列写成右边的常数项。
线性组合⟺方程组有解。
还有可能不是线性组合的形式吗?
有可能。
例如:向量⎝⎛111⎠⎞无论如何,都不可能由向量组⎝⎛100⎠⎞,⎝⎛010⎠⎞和⎝⎛−110⎠⎞线性表示。
3 向量组的等价
回顾:
矩阵等价是指矩阵A经过初等变换得到矩阵B,就叫A等价于B。
那么,什么是向量组等价呢?
向量组α1,α2,...,αm和β1,β2,...,βn,若其中一个向量组中的每个向量,都可由另一个向量组线性表示,则称两个向量组等价。记作:{α1,α2,...,αm}≌{β1,β2,...,βn}。
需要注意的是:向量组中的向量是同维的,即两个向量组中所有向量的分量个数相同。
向量组等价的性质:
① 反身性:
任一向量组与自身等价。
即:{α1,α2,...,αm}≌{α1,α2,...,αm}。
② 对称性:
若{α1,α2,...,αm}≌{β1,β2,...,βn},则{β1,β2,...,βn}≌{α1,α2,...,αm}。
③ 传递性:
若{α1,α2,...,αm}≌{β1,β2,...,βn},且{β1,β2,...,βn}≌{γ1,γ2,...,γs},则{α1,α2,...,αm}≌{γ1,γ2,...,γs}。
例如:
若α5=3β1+2β2−β3+...+5βn,
β1=2γ1−γ2+...+6γs,
β2=6γ1+3γ2+...−γs,
…
则α5=3(2γ1−γ2+...+6γs)+2(6γ1+3γ2+...−γs)+...,
即α5=k1γ1+k2γ2+...+ksγs,
故每个向量α都可由向量组γ1,γ2,...,γs线性表示,同理反过来,每个向量γ也都可由向量组α1,α2,...,αm线性表示。
4 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.2 向量间的线性关系(一)