文章目录
极大线性无关组
定理
向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)
定理
行秩与列秩
定理
例题
参考


极大线性无关组
一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。



全是0的向量组没有极大线性无关组

线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身

任何一个极大线性无关组和其向量组可以相互表示，即等价
定理
这个部分组是极大线性无关组的条件是：



极大无关组不唯一，但是任意两个极大无关组所含的向量个数是相同的

向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)
极大无关组含有向量的个数是几则向量组的秩就是几


定理


特别的，若这两个向量组等价则这两个向量组的秩相等。

行秩与列秩
一个矩阵，行向量组组的秩为行秩，列向量组的秩叫做列秩。

定理：矩阵的行秩一定等于列秩，并且等于矩阵的秩。求向量组的秩一般转化为求矩阵的秩


定理



例题
下面的例题是求一个向量组的极大无关组





参考
以上图片均摘自宋浩老师视频，以方便以后自己查阅，感谢宋老师。

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本篇笔记首先介绍了线性组合，并给出了线性表示、线性表出和组合系数的概念；然后介绍了线性组合的相关性质，其中还介绍了单位向量组或基本单位向量组的定义，并将判断是否是线性组合转化为求方程组的解；最后介绍了向量组等价的定义和向量组等价的性质，包括反身性、对称性和传递性。
1 线性组合
比如向量$\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$和向量$\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$之间，很明显，后者是前者的两倍，所以倍数是一种线性关系。
再比如$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=1\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+2\times\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，即通过后两个向量可以表示出前面的向量，这也是一种线性关系。
线性组合：设$\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$是一组$m$维向量，若存在数$k_1,k_2,...,k_n$，使得$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n$成立，则称$\beta$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$的线性组合。或称$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$线性表示或线性表出，称$k_1,k_2,...,k_n$为一组组合系数。
组合系数$k_1,k_2,...,k_n$是否可以全取$0$呢？

答案是肯定的。
例如零向量：$\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=0\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$。
那么，如何验证向量是向量组的线性组合呢？

找到组合系数。能找到就是线性组合，找不到或不存在，则不是线性组合。
2 相关性质
① 零向量可由任意向量组来线性表示。

$O=0\alpha_1+0\alpha_2+...+0\alpha_n$。
② 向量组中任意一个向量可由向量组来线性表示。

例如：$\alpha_3=0\alpha_1+0\alpha_2+\color{red}{1}\color{black}{\alpha_3}+0\alpha_4$。
③ 任意一个向量都可由向量组$\varepsilon_1=(1,0,...,0),\varepsilon_2=(0,1,...,0),...,\varepsilon_n=(0,0,...,1)$来线性表示。
例如：$(1,2,3)=1\times(1,0,0)+2\times(0,1,0)+3\times(0,0,1)$。
组合系数正好是向量的分量，即$\alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+...+a_n\varepsilon_n$。称$\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n$为$n$维单位向量组或$n$维基本单位向量组。
例4：设$\beta=(-3,2,-4)$，$\alpha_1=(1,0,1)$，$\alpha_2=(2,1,0)$，$\alpha_3=(-1,1,-2)$，判断$\beta$是否可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示？

解：设$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$，

则$(-3,2,-4)=k_1(1,0,1)+k_2(2,1,0)+k_3(-1,1,-2)$，
即得到如下线性方程组：

$\begin{cases}
k_1&+&2k_2&-&k_3&=&-3\\
&&k_2&+&k_3&=&2\\
k_1&&&-&2k_3&=&-4
\end{cases}$
解得：

$\begin{cases}
k_1=2\\
k_2=-1\\
k_3=3
\end{cases}$
则$\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3$，故$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示。
总结：不管给的向量是行向量还是列向量，$\alpha$向量组均按列写成方程组的系数，$\beta$也是按列写成右边的常数项。
$\color{red}{线性组合{\Longleftrightarrow}方程组有解}$。
还有可能不是线性组合的形式吗？

有可能。

例如：向量$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$无论如何，都不可能由向量组$\begin{pmatrix}1\\0\\\color{red}{0}\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0\\1\\\color{red}{0}\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}-1\\1\\\color{red}{0}\end{pmatrix}$线性表示。
3 向量组的等价
回顾：

矩阵等价是指矩阵A经过初等变换得到矩阵B，就叫A等价于B。
那么，什么是向量组等价呢？

向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$和$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$，若其中一个向量组中的每个向量，都可由另一个向量组线性表示，则称两个向量组等价。记作：$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}$。
需要注意的是：向量组中的向量是同维的，即两个向量组中所有向量的分量个数相同。
向量组等价的性质：

① 反身性：

任一向量组与自身等价。

即：$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}$。
② 对称性：

若$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}$，则$\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}≌\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}$。
③ 传递性：

若$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}$，且$\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}≌\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\}$，则$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\}$。
例如：

若$\alpha_5=3\beta_1+2\beta_2-\beta_3+...+5\beta_n$，

$\beta_1=2\gamma_1-\gamma_2+...+6\gamma_s$，

$\beta_2=6\gamma_1+3\gamma_2+...-\gamma_s$，

…

则$\alpha_5=3(2\gamma_1-\gamma_2+...+6\gamma_s)+2(6\gamma_1+3\gamma_2+...-\gamma_s)+...$，

即$\alpha_5=k_1\gamma_1+k_2\gamma_2+...+k_s\gamma_s$，

故每个向量$\alpha$都可由向量组$\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s$线性表示，同理反过来，每个向量$\gamma$也都可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性表示。
4 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.2 向量间的线性关系（一）

1. 线性无关；
2. 新加向量必然线性相关；
3. 极大无关组不唯一；
4. 极大无关组的个数唯一：称作秩(rank)；
5. 极大无关组与向量组等价；
6. 线性无关的向量组的极大无关组为自身 $\leftrightarrow$秩=个数；
7.等价的向量组有相同的秩；
推论：
新加的向量一定可以由线性无关组线表出
习题1：
秩为r的向量组中任意r个线性无关向量都构成极大无关组
Proof. 只需证这r个无关的，再+1个就会得到线性相关组（事实上，这第r+1个能由前r个线性表出）；
秩为r说明有r个线性无关的极大无关组，进而等价原组，从而要证明的这r+1个可由r个极大无关组表出，从而相关；
 8. 秩为r的向量组中任意r个线性无关向量都为极大无关组；
习题2：
如果秩为r的向量组中存在r个向量，使得向量组所有向量都可以由其表出，则它必是极大无关组；
Proof. 由性质6，只需证明这r个向量线性无关，证1：如果相关，必有一向量可以由r-1个向量线性表出，
因此向量组也能由这r-1个表出，进而r个极大无关组也能由这r-1个表出，因此得到r个无关组相关的矛盾。
证2：由题向量组和这r个等价，因此r个极大无关向量和这r个向量组等价，等价组有相同的秩，因此这r个
向量秩为r，说明这r个向量线性无关；
 
转载于:https://www.cnblogs.com/mathlife/p/9710644.html

知识点

定义1：n维向量。[《线代》P81]
定义2：线性组合。[《线代》P82]
定理1：向量b能由向量组A线性表示的充要条件。[《线代》P83]
定义3：向量组等价。[《线代》P83]
定理2：向量组A和向量组B等价的充要条件及推论。[《线代》P84]
定理3：线性表示与秩之间的关系。[《线代》P86]
定义4：线性相关/无关。[《线代》P87]
定理4：向量组A线性相关/无关的充要条件。[《线代》P88]
定理5。[《线代》P90]

含零向量的向量组必线性相关。


定义5：最大线性无关向量组。[《线代》P91]
推论：最大无关组的等价定义。[《线代》P92]
定理6：矩阵的秩和它的行向量的秩以及列向量的秩的关系。[《线代》P93]
解向量的两个性质。[《线代》P96~97]
定理7：Ax=0的系数矩阵A的秩与解集s的秩的关系。[《线代》P99]
解向量的另外两个性质。[《线代》P102]
定义6：向量空间、封闭。[《线代》P104]
定义7：子空间。[《线代》P106]
定义8：基、维数、r维向量空间。[《线代》P106]
定义9：坐标、自然基。[《线代》P107]
定义：基变换公式、过度矩阵、坐标变换公式。[《线代》P108]
定义1：内积的定义。[《线代》P114]
内积的四个性质。[《线代》P114]
施瓦兹不等式。[《线代》P114]
定义2：长度（范数）、单位向量、单位化、夹角、正交、正交向量组。[《线代》P115]
向量长度的两个性质。[《线代》P115]
定理1：正交向量组的性质。[《线代》P115]
定义3：标准正交基。[《线代》P116]
施密特正交化。[《线代》P117]
定义4：正交矩阵（正交阵）。[《线代》P118]
方阵A为正交矩阵的充要条件。[《线代》P119]
正交矩阵的两个性质。[《线代》P119]
定义5：正交变换。[《线代》P119]

做题技巧

讨论带参数的向量组的相关性时，可以先讨论它不带参量的部分分量。[《660解析》P183,对应《660》P142]

全书例题分析
线性相关性判别
特征值不同的特征向量是线性无关的。
向量的线性表示

常用将为问题转化为方程组是否有解。
向量的坐标未知时，要用推理分析的方法来判断能否线性表出，此时，出发点是：线性相关，线性无关，线性表示的概念、定理，还要注意反证法。

线性相关与线性无关的证明
证明线性无关的通常思路是：用定义法（同乘或拆项重组），用秩（等于向量个数），齐次方程组只有零解或反证法。
秩与极大线性无关组

将向量组处理成列向量并作初等行变换，其效果和将向量组处理成行向量并作初等行变换是一样的。
求向量组的极大线性无关组时，只能都作行变换（或都作列变换），不能混合着既作行变换又作列变换，如果只是求向量组的秩，则行变换、列变换都可以进行也可以混用。
向量组（或矩阵）的秩是唯一的，其极大无关组可以是不唯一的。

正交化、正交矩阵