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  • 本文用与传统体系迥然不同的方法证明了外积的向量定义与坐标法定义等价。从而介绍了解析几何向量代数部份的两种新体系。
  • 【一.向量范数的几何直观理解】 ...所以我们有了另一种定义向量范数的方式:画一个凸集即可(当然,这个凸集要满足上面说的几条性质),然后我们就可以说,看:我定义了一个向量范数。 很酷,不是吗?

    【一.向量范数的几何直观理解】
    \quad 我们知道,一个函数: f : R n ↦ R f:R^n\mapsto R f:RnR 被称为 R n R^n Rn空间的一个范数,如果它满足以下三条性质:(以下以 ∥ ⋅ ∥ \left\|\cdot\right\| 来代表这个函数)
    \quad (1)正定性: ∥ x ∥ ≥ 0 , ∀ x ∈ R n \left\|x\right\|\geq0,\forall x\in R^n x0,xRn,且: ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0 ; \left\|x\right\|=0\Longleftrightarrow x=0; x=0x=0;
    \quad (2)齐次性: ∥ c x ∥ = ∣ c ∣ ⋅ ∥ x ∥ , ∀ x ∈ R n , c ∈ R ; \left\|cx\right\|=|c|\cdot\left\|x\right\|,\forall x\in R^n,c\in R; cx=cx,xRn,cR;
    \quad (3)三角不等式: ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ , ∀ x , y ∈ R n ; \left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in R^n; x+yx+y,x,yRn;

    \quad 接下来,我们将从几何角度理解范数:首先,在有一个范数的情况下,我们可以在 R n R^n Rn空间中画出一个单位球 S ≜ { x ∣ x ∈ R n , ∥ x ∥ ≤ 1 } S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\} S{xxRn,x1}.为了有一个简单的直观理解,我们给出二维情形下,几个常见范数的单位球图像:
    二维下几个常见范数对应的单位凸球

    \quad 这个单位球显然有以下几个性质:
    \quad (1)关于原点对称,即 ∀ x ∈ S , \forall x\in S, xS,均有 − x ∈ S ; -x\in S; xS;
    \quad (2)是一个有界闭集,且零向量0是它的一个内点;
    \quad (3)是一个凸集:这点由范数满足的三角不等式保证;

    \quad 范数的几何直观理解就是,如果一个非零向量 x x x的端点落在这个单位凸球的边界上,那么 ∥ x ∥ = 1 \left\|x\right\|=1 x=1;否则,如果 a x ax ax的端点落在这个单位凸球的边界上,那么 ∥ x ∥ = ∣ α ∣ \left\|x\right\|=|\alpha| x=α.

    【二.从几何上定义向量范数】
    \quad 一个重要结论是:几何上,一个范数和一个满足以上三个条件的凸球一一对应。也就是说,范数能定义一个单位凸球;反过来,如果有了一个满足以上三条性质的凸集,那么可以唯一定义一个向量范数。

    \quad 假设我们有了一个满足以上三个性质的凸集 C C C,定义一个映射:
    \quad ∥ ⋅ ∥ B : R n ↦ R : ∥ x ∥ = s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 \left\|\cdot\right\|_{B}:R^n\mapsto R:\left\|x\right\|=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1} B:RnR:x=sup{t0txC}1
    \quad 那么这个映射就是该凸集定义的一个向量范数。

    \quad 哈哈,上面这个式子是否很难理解呢?其实它理解起来很简单,和之前范数的几何理解一样:在我们定义这样一个凸集之后,如果一个非零向量 x x x的端点落在这个凸集的边界上,那么 ∥ x ∥ = 1 \left\|x\right\|=1 x=1;否则,如果 a x ax ax的端点落在这个凸集的边界上,那么 ∥ x ∥ = ∣ α ∣ \left\|x\right\|=|\alpha| x=α.

    \quad 我们需要证明:这样定义的这个映射满足范数定义中的三条性质,这样才能说这个映射是一个向量范数。
    \quad 证明:
    \quad (1)正定性:由定义, ∥ x ∥ B ≥ 0 , ∀ x ∈ R n \left\|x\right\|_B\geq0,\forall x\in R^n xB0,xRn自然地满足。由于零向量0是集合 C C C的一个内点,也就是说存在一个0的小领域包含于C,因此显然: ∥ x ∥ B = 0 ⟺ x = 0 ; \left\|x\right\|_B=0\Longleftrightarrow x=0; xB=0x=0;
    \quad (2)齐次性: ∀ x ∈ R n , c ∈ R , \forall x\in R^n,c\in R, xRn,cR,
    ∥ c x ∥ B = s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 = ∣ c ∣ ⋅ s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 = ∣ c ∣ ⋅ ∥ x ∥ B \left\|cx\right\|_{B}=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot\left\|x\right\|_B cxB=sup{t0txC}1=csup{t0txC}1=cxB
    \quad (3)三角不等式:
    \quad x , y ∈ R n x,y\in R^n x,yRn,如果 x , y x,y x,y 都为0,显然三角不等式成立;
    \quad 如果 x , y x ,y x,y至少有一个不为0,那么:
    \quad x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B = ∥ x ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B x ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B y ∥ y ∥ B \frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{x}{\left\|x\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{y}{\left\|y\right\|_B} xB+yBx+y=xB+yBxBxBx+xB+yByByBy
    ∥ ⋅ ∥ B \left\|\cdot\right\|_{B} B定义: x ∥ x ∥ B ∈ C , y ∥ y ∥ B ∈ C . \frac{x}{\left\|x\right\|_B}\in C,\frac{y}{\left\|y\right\|_B}\in C. xBxC,yByC.
    再联系到 ∥ x ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B = 1 \frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=1 xB+yBxB+xB+yByB=1, C C C是一个凸集,所以:
    \quad x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∈ C \frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\in C xB+yBx+yC,于是 ∥ x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ B ≤ 1 \left\|\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\right\|_B\leq 1 xB+yBx+yB1,于是 ∥ x + y ∥ B ≤ ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ; \left\|x+y\right\|_B\leq\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B; x+yBxB+yB;

    综上,证毕。

    从上面我们看到了:一个向量范数和一个 R n R^n Rn空间的一个凸集一一对应。所以我们有了另一种定义向量范数的方式:画一个凸集即可(当然,这个凸集要满足上面说的几条性质),然后我们就可以说,看:我定义了一个向量范数。

    很酷,不是吗?

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  • 抽象向量组无关等价于具体向量组无关 抽象向量组相关等价于具体向量组相关 一下分两种情况证明: 如果B无关 那么BX=0只有零界 那么aAX=0也只有0解 (aA)X=0 r(aA)=n r(aA)<=r(a) r(...

    (1)抽象向量与其坐标建立一一对应关系;抽象向量组与矩阵建立一一对应关系;

    (2)定理:抽象向量组的相关性与矩阵表达的具体的向量组的相关性完全一致

    抽象向量组无关等价于具体向量组无关

    抽象向量组相关等价于具体向量组相关

    一下分两种情况证明:

    如果B无关

    那么BX=0只有零界

    那么aAX=0也只有0解

    (aA)X=0

    r(aA)=n

    r(aA)<=r(a)

    r(A)=n  A满秩

    A中向量线性无关

     

    (如有不足之处,请大家指正)

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  • 第一节 向量组的线性相关性   一.... 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。...定义3 给定向量A: 和向量β,若存在一数 ,使  

    第一节 向量组的线性相关性

     

    一.数学概念

    定义1.1  n个有次序的数  ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数  称为第i个分量。

    定义1. 2  给定向量组A:  ,对于任何一组实数  ,向量

                    

    称为向量组A的一个线性组合,  称为这个线性组合的系数。

    定义3  给定向量组A:  和向量β,若存在一组数  ,使

                    

    则称向量β是向量组A的线性组合,这时称向量β能由向量组A线性表示。

    定义4  给定向量组A:  ,若存在一组不全为零的数  ,使

                     

    则称向量组A是线性相关的,否则称它是线性无关的。

    定义5  设有两个向量组A:  ,及B:  ,若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称B能向量组A线性表示,若向量组A与向量组B能互相线性表示,则称这两个向量组等价。

    二.原理,公式和法则

    1. 判断向量组   的线性相关性的基本原理的:

                         

    当上式成立时,  不全为0,则可确定  线性相关,若只有  ,则可确定 线性无关。

    2. 向量线性相关性的判定

    1) 一个向量a是线性相关的充分必要条件是:a=0

    2) 两个向量是线性相关的充分必要条件是:它们对应的分量成比例。

    3) nn维向量线性相关的充分必要条件是:由它们组成的n阶行列式为零。

    4) 向量组  线性相关的充分必要条件是:向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示。

    5)向量组  线性相关的充分必要条件是:由它构成的矩阵  的秩小于向量的个数m

    6) 若向量组  线性相关,则向量组  也线性相关。

    7) 当m>n时,mn维向量必线性相关。

    8) 一个向量a线性无关的充分必要条件是:≠ 0

    9) 两个向量是线性无关的充分必要条件是:它们对应的分量不成比例。

    10) nn维向量线性无关的充分必要条件是:由它们组成的n阶行列式不等于零。

    11) 向量组  线性无关的充分必要条件是:由它构成的矩阵  的秩等于向量的个数m

    12) 整组向量线性无关,则它们的任何部分组也线性无关。

    13) 若r维的向量组线性无关,而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量,则r+1维的向量也线性无关。

    3. 若向量组  线性无关,而  ,β线性相关,则β能由  线性表示,且表示法是唯一的

    4. 判定向量组线性相关性的方法:①定义法;②反证法;③判定法;④计算法。

    三.重点,难点分析

    本节的定义,定理,性质,推论较多,且又非常抽象,不易理解,有一定的难度。

    重点是向量组的线性相公性的定义理解,和如何判断一组向量的线性相关性。

     

    四.典型例题

    例1. 设向量组  。当t为何值  线性相关;当t为何值时  线性无关。

    :设                                   

        

    显然,当t=5 时,R(A)=2<3,故  线性相关。

    t  5时,R(A)=3,故  线性无关。

    本题由于向量个数与向量的维数相同,也可以由它们所组成的3阶行列式是否等于零来确定向量组的线性相关性,也可以用定义,采用计算法来判定。

    例2. 向量β由向量组  线性表示,则表示法是唯一的充分必要条件是  线行无关。

    必要性,设  使

                                  (1)

    β能由  线性表示,

    所以有                       (2)

    将(2)—(1)得                                                  

    由表示法的唯一性,知:

        

    得,  ,故  线性无关。

    充分性,假设有两种表示法,即

    两式相减得                                             

    由于  线性无关,所以

    故表示法是唯一的。

     




    第二节. 向量组的秩

    一.数字概念

    定义2.1  设有向量组A,如果在A中存在r个向量  ,满足

    (1)向量组A0:  线性无关;

    (2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关,那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。

    定义2.2  向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩

    矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩,行向量组中秩称为矩阵行秩

    二.原理,公式与法则

    定理2.1  R(A)=A的行秩=A的列秩

    定理2.2  向量组A与其最大无关组  等价。

    定理2.3  设向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。

    推论1  等价向量组的秩相等。

    推论2  设  ,则  

    推论3  设向量组B是向量组A的部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个最大无关组。

    三.重点,难点分析

    本节的重点是向量组的最大无关组和秩的定义,求向量组的最大无关组和秩的方

    法,这对于下面将要学习向量空间和求齐次线性方程组的基础解系是非常重要的。难点是上面讲述的定理的证明,需要同学们具有一定抽象思维能力和逻辑能力。

    四.典型例题

    例1.设向量组

    求向量组  的秩和一个最大无关向量组。

    分析:解此类问题可根据矩阵与向量组的关系以及矩阵列(行)秩的关系,把向量组  拼成矩阵,从而可知其秩又可得矩阵A的最高阶非零子式所在列是该向量组的最大无关组。

    :设  ,对A施行初等行变换,得  

    显然R(A)=2,所以向量组  的秩为2,且    的一个最大无关组。 

    例2.向量组中的任一向量必是向量组中某个最大无关组的线性组合。

    :设向量组A:  的某个最大无关组是A0: 

    αi是向量组A中的任一向量,分情况讨论如下:

     ①αi在向量组A0中,则有

             

    ②若αi不在向量组A0中,由于A0是A的最大无关组,而  线性相关,故αi可由  线性表示。

    对于最大无关组的证明要注意以下两点:

    (1)证明该向量组是线性无关;

    (2)整个向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示;或利用等价的关系证整个向量组与其等价。




    from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm

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  • 向量组

    2020-04-19 23:10:30
    向量组向量添加分量(增维)和向量组增加向量 增加维度:高维相关低维相关,低维无关高维无关 增加向量:原来无关,增加后,若能α能由其余向量线性表示且表示法唯一,则增加后线性相关;若不能则无关(总之不一定)...

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    • 向量组的线性表出与线性相关


    • 行阶梯(求极大无关组成员个数)

    • 行最简(极大无关组表示其余向量)


    • 求向量组的秩,所有极大线性无关组,并将其余的向量用极大线性无关组线性表出

    1.矩阵初等行变换化成行阶梯矩阵
    2.把所有阶梯上的,所在列向量取 秩的个数个
    3.然后重新组成一个矩阵,重新画一画阶梯,看看阶梯数是否依旧等于秩的个数,是的话,这些个向量组就是一个极大无关线性组,否则就不是啦

    所以直接取行阶梯矩阵每行第一个非0所在列所组成的新矩阵,阶梯数一定等于新矩阵的秩的个数,就一定是原矩阵的一个极大线性无关组。

    • 注意点:

    1.only求秩的时候,可行列混合变换,求解;其他情况都只能用单一行变换或者列变换求到底。
    2.行阶梯到行最简的时候,不要使用列变换!!!
    3.🔺有些新矩阵可以重新再行变换一下,就又是秩等于原矩阵的秩了,所以也是的,不要遗漏。


    • 秩的不等式


    • 判断/证明正确命题(难点)

    定理一:向量组 α1,α2,α3,α4.....αn(n>=2)线性相关的充要条件:向量组中至少有一个向量可由其余的n-1个向量线性表出。

    方法1:举反例
    方法2:反证法/逆否命题
    方法3:定义法(同乘/带入重组)
    方法4:秩
    方法5:Ax=0,x解的情况


    • 判断向量组是否线性相关/线性无关

    n>m时

    方法1:n个m维向量,线性无关

    n=m时

    方法1:以少表多,多的相关
    方法2:凑系数
    方法3:Ax=0,x是否只能是0解
    方法4:|A|=0?线性相关(低阶)
    方法5:化行阶梯,满秩?(高阶/非方阵)

    n<m时

    方法1:化行阶梯,打假,讨论秩
    方法2:定理六,七(部分...,高维...)
    方法3:以少表多,多的相关


    • 抽象向量组判断线性表出,等价矩阵,等价向量组

    问题1:初等行变换不改变行向量的线性相关性,初等列变换不改变列的线性相关性?对

    A的行秩=A的列秩=矩阵的秩
    初等行变换不改变行向量组的秩,初等列变换不改变列向量组的秩→初等行,列变换不改变矩阵的秩→初等变换不改变矩阵行列向量组的线性相关性

    问题2:单个矩阵初等变换后,其行列向量组一定等价吗?一定。

    问题3:矩阵A通过初等列(行)变换变成矩阵B,那么A,B的列(行)向量组等价吗?一定。

    问题4:矩阵A通过初等行列混合变换变成矩阵B,那么A,B的行(列)向量组一定等价吗?不一定。

    如图:B的1,3行(列)不能用A,的行(列)向量线性表示,故不等价


    • 正交规范化,正交矩阵


    • 向量空间

    ✋→ 补充理解篇—向量空间

    日常简单三问:
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  • 线性方程的解与向量组的秩 线性方程的解 向量组的秩 关于秩的重要结论(结合向量组的秩和矩阵的秩进行总结) 矩阵的秩与向量组的秩的关系 常用的秩的等式和不等式 一些重要推论 零矩阵的判定定理 线性...
  • 本文首先用坐标法定义向量的内积外积,然后证明了坐标法定义向量法定义等价。这样做简化了内积外积各种运算规律的证明。
  • 线性代数之向量基础点 ... 向量组定义 向量组:n个同维的行向量(列向量)组成的集合向量组向量组与矩阵 m个n维列向量所组成的向量组A:a1 构成了n*m的矩阵,记作A=(a1 ,a2 … am ) 注:这...
  • 【线代】向量

    2019-09-13 07:11:38
    定义3:向量组等价。[《线代》P83] 定理2:向量组A和向量组B等价的充要条件及推论。[《线代》P84] 定理3:线性表示与秩之间的关系。[《线代》P86] 定义4:线性相关/无关。[《线代》P87] 定理4:向量组A线性相关/无关...

空空如也

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向量组等价的定义