【一.向量范数的几何直观理解】
\quad
我们知道，一个函数：
f
:
R
n
↦
R
f:R^n\mapsto R
f:Rn↦R 被称为
R
n
R^n
Rn空间的一个范数,如果它满足以下三条性质：（以下以
∥
⋅
∥
\left\|\cdot\right\|
∥⋅∥来代表这个函数）
\quad
(1)正定性：
∥
x
∥
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
\left\|x\right\|\geq0,\forall x\in R^n
∥x∥≥0,∀x∈Rn，且：
∥
x
∥
=
0
⟺
x
=
0
;
\left\|x\right\|=0\Longleftrightarrow x=0;
∥x∥=0⟺x=0;
\quad
(2)齐次性：
∥
c
x
∥
=
∣
c
∣
⋅
∥
x
∥
,
∀
x
∈
R
n
,
c
∈
R
;
\left\|cx\right\|=|c|\cdot\left\|x\right\|,\forall x\in R^n,c\in R;
∥cx∥=∣c∣⋅∥x∥,∀x∈Rn,c∈R;
\quad
(3)三角不等式：
∥
x
+
y
∥
≤
∥
x
∥
+
∥
y
∥
,
∀
x
,
y
∈
R
n
;
\left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in R^n;
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥,∀x,y∈Rn;
\quad
接下来，我们将从几何角度理解范数：首先，在有一个范数的情况下，我们可以在
R
n
R^n
Rn空间中画出一个单位球
S
≜
{
x
∣
x
∈
R
n
,
∥
x
∥
≤
1
}
S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\}
S≜{x∣x∈Rn,∥x∥≤1}.为了有一个简单的直观理解，我们给出二维情形下，几个常见范数的单位球图像：
\quad
这个单位球显然有以下几个性质：
\quad
(1)关于原点对称，即
∀
x
∈
S
,
\forall x\in S,
∀x∈S,均有
−
x
∈
S
;
-x\in S;
−x∈S;
\quad
(2)是一个有界闭集，且零向量0是它的一个内点；
\quad
(3)是一个凸集：这点由范数满足的三角不等式保证；
\quad
范数的几何直观理解就是，如果一个非零向量
x
x
x的端点落在这个单位凸球的边界上，那么
∥
x
∥
=
1
\left\|x\right\|=1
∥x∥=1；否则，如果
a
x
ax
ax的端点落在这个单位凸球的边界上，那么
∥
x
∥
=
∣
α
∣
\left\|x\right\|=|\alpha|
∥x∥=∣α∣.
【二.从几何上定义向量范数】
\quad
一个重要结论是：几何上，一个范数和一个满足以上三个条件的凸球一一对应。也就是说，范数能定义一个单位凸球；反过来，如果有了一个满足以上三条性质的凸集，那么可以唯一定义一个向量范数。
\quad
假设我们有了一个满足以上三个性质的凸集
C
C
C，定义一个映射：
\quad
∥
⋅
∥
B
:
R
n
↦
R
:
∥
x
∥
=
s
u
p
{
t
≥
0
∣
t
x
∈
C
}
−
1
\left\|\cdot\right\|_{B}:R^n\mapsto R:\left\|x\right\|=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}
∥⋅∥B:Rn↦R:∥x∥=sup{t≥0∣tx∈C}−1
\quad
那么这个映射就是该凸集定义的一个向量范数。
\quad
哈哈，上面这个式子是否很难理解呢？其实它理解起来很简单，和之前范数的几何理解一样：在我们定义这样一个凸集之后，如果一个非零向量
x
x
x的端点落在这个凸集的边界上，那么
∥
x
∥
=
1
\left\|x\right\|=1
∥x∥=1；否则，如果
a
x
ax
ax的端点落在这个凸集的边界上，那么
∥
x
∥
=
∣
α
∣
\left\|x\right\|=|\alpha|
∥x∥=∣α∣.
\quad
我们需要证明：这样定义的这个映射满足范数定义中的三条性质，这样才能说这个映射是一个向量范数。
\quad
证明：
\quad
(1)正定性：由定义，
∥
x
∥
B
≥
0
,
∀
x
∈
R
n
\left\|x\right\|_B\geq0,\forall x\in R^n
∥x∥B≥0,∀x∈Rn自然地满足。由于零向量0是集合
C
C
C的一个内点，也就是说存在一个0的小领域包含于C，因此显然：
∥
x
∥
B
=
0
⟺
x
=
0
;
\left\|x\right\|_B=0\Longleftrightarrow x=0;
∥x∥B=0⟺x=0;
\quad
(2)齐次性：
∀
x
∈
R
n
,
c
∈
R
,
\forall x\in R^n,c\in R,
∀x∈Rn,c∈R,
∥
c
x
∥
B
=
s
u
p
{
t
≥
0
∣
t
x
∈
C
}
−
1
=
∣
c
∣
⋅
s
u
p
{
t
≥
0
∣
t
x
∈
C
}
−
1
=
∣
c
∣
⋅
∥
x
∥
B
\left\|cx\right\|_{B}=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot\left\|x\right\|_B
∥cx∥B=sup{t≥0∣tx∈C}−1=∣c∣⋅sup{t≥0∣tx∈C}−1=∣c∣⋅∥x∥B
\quad
(3)三角不等式：
\quad
设
x
,
y
∈
R
n
x,y\in R^n
x,y∈Rn,如果
x
,
y
x,y
x,y 都为0，显然三角不等式成立；
\quad
如果
x
,
y
x ,y
x,y至少有一个不为0，那么:
\quad
x
+
y
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
=
∥
x
∥
B
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
x
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
y
∥
y
∥
B
\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{x}{\left\|x\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{y}{\left\|y\right\|_B}
∥x∥B+∥y∥Bx+y=∥x∥B+∥y∥B∥x∥B∥x∥Bx+∥x∥B+∥y∥B∥y∥B∥y∥By
由
∥
⋅
∥
B
\left\|\cdot\right\|_{B}
∥⋅∥B定义：
x
∥
x
∥
B
∈
C
,
y
∥
y
∥
B
∈
C
.
\frac{x}{\left\|x\right\|_B}\in C,\frac{y}{\left\|y\right\|_B}\in C.
∥x∥Bx∈C,∥y∥By∈C.
再联系到
∥
x
∥
B
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
+
∥
y
∥
B
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
=
1
\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=1
∥x∥B+∥y∥B∥x∥B+∥x∥B+∥y∥B∥y∥B=1,
C
C
C是一个凸集，所以：
\quad
x
+
y
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
∈
C
\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\in C
∥x∥B+∥y∥Bx+y∈C,于是
∥
x
+
y
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
∥
B
≤
1
\left\|\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\right\|_B\leq 1
∥∥∥∥x∥B+∥y∥Bx+y∥∥∥B≤1,于是
∥
x
+
y
∥
B
≤
∥
x
∥
B
+
∥
y
∥
B
;
\left\|x+y\right\|_B\leq\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B;
∥x+y∥B≤∥x∥B+∥y∥B;
综上，证毕。
从上面我们看到了：一个向量范数和一个
R
n
R^n
Rn空间的一个凸集一一对应。所以我们有了另一种定义向量范数的方式：画一个凸集即可（当然，这个凸集要满足上面说的几条性质），然后我们就可以说，看：我定义了一个向量范数。
很酷，不是吗？
，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数 
称为第i个分量。
，对于任何一组实数 
，向量
，使
，
，
，及B： 
，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。
不全为0，则可确定 
，则可确定
的秩小于向量的个数m。
也线性相关。
。当t为何值 
线性相关；当t为何值时 
5时，R(A)=3，故 
使
(2)
，故 
,满足
线性无关；
等价。
，则 
。
的秩和一个最大无关向量组。
，对A施行初等行变换，得 
是 
的某个最大无关组是A0: 
线性相关，故αi可由 
线性表示。
