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  • 3.3向量组的

    2020-01-08 21:20:51
    文章目录极大线性无关组定理向量组的秩(与矩阵定义完全不同)定理行秩与列秩定理例题参考 极大线性无关组 一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多一个。 全是0...


    极大线性无关组

    一个向量组用极大无关组就可以表示剩余所有向量。极大无关组是所含线性无关向量最多的一个。
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    全是0的向量组没有极大线性无关组
    线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身
    任何一个极大线性无关组和其向量组可以相互表示,即等价

    定理

    这个部分组是极大线性无关组的条件是:
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    极大无关组不唯一,但是任意两个极大无关组所含的向量个数是相同的


    向量组的秩(与矩阵的秩定义完全不同)

    极大无关组含有向量的个数是几则向量组的秩就是几
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    定理

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    特别的,若这两个向量组等价则这两个向量组的秩相等。


    行秩与列秩

    一个矩阵,行向量组组的秩为行秩,列向量组的秩叫做列秩。
    定理:矩阵的行秩一定等于列秩,并且等于矩阵的秩。求向量组的秩一般转化为求矩阵的秩
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    定理

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    例题

    下面的例题是求一个向量组的极大无关组
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    参考

    以上图片均摘自宋浩老师视频,以方便以后自己查阅,感谢宋老师。
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  • 本篇笔记首先介绍了线性组合,并给出了线性表示、线性表出和组合系数的概念;然后介绍了线性组合的相关性质,其中还介绍了单位向量组或...最后介绍了向量组等价的定义和向量组等价的性质,包括反身性、对称性和传递性。

    本篇笔记首先介绍了线性组合,并给出了线性表示、线性表出和组合系数的概念;然后介绍了线性组合的相关性质,其中还介绍了单位向量组或基本单位向量组的定义,并将判断是否是线性组合转化为求方程组的解;最后介绍了向量组等价的定义和向量组等价的性质,包括反身性、对称性和传递性。

    1 线性组合

    比如向量(123)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}和向量(246)\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}之间,很明显,后者是前者的两倍,所以倍数是一种线性关系。

    再比如(12)=1×(10)+2×(01)\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=1\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+2\times\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix},即通过后两个向量可以表示出前面的向量,这也是一种线性关系。

    线性组合:设β,α1,α2,...,αn\beta,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n是一组mm维向量,若存在数k1,k2,...,knk_1,k_2,...,k_n,使得β=k1α1+k2α2+...+knαn\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n成立,则称β\beta是向量组α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n的线性组合。或称β\beta可由向量组α1,α2,...,αn\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n线性表示线性表出,称k1,k2,...,knk_1,k_2,...,k_n为一组组合系数

    组合系数k1,k2,...,knk_1,k_2,...,k_n是否可以全取00呢?
    答案是肯定的。

    例如零向量:(00)=0×(10)+0×(12)\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=0\times\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+0\times\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}

    那么,如何验证向量是向量组的线性组合呢?
    找到组合系数。能找到就是线性组合,找不到或不存在,则不是线性组合。

    2 相关性质

    ① 零向量可由任意向量组来线性表示。
    O=0α1+0α2+...+0αnO=0\alpha_1+0\alpha_2+...+0\alpha_n

    ② 向量组中任意一个向量可由向量组来线性表示。
    例如:α3=0α1+0α2+1α3+0α4\alpha_3=0\alpha_1+0\alpha_2+\color{red}{1}\color{black}{\alpha_3}+0\alpha_4

    ③ 任意一个向量都可由向量组ε1=(1,0,...,0),ε2=(0,1,...,0),...,εn=(0,0,...,1)\varepsilon_1=(1,0,...,0),\varepsilon_2=(0,1,...,0),...,\varepsilon_n=(0,0,...,1)来线性表示。

    例如:(1,2,3)=1×(1,0,0)+2×(0,1,0)+3×(0,0,1)(1,2,3)=1\times(1,0,0)+2\times(0,1,0)+3\times(0,0,1)

    组合系数正好是向量的分量,即α=a1ε1+a2ε2+...+anεn\alpha=a_1\varepsilon_1+a_2\varepsilon_2+...+a_n\varepsilon_n。称ε1,ε2,...,εn\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_nnn单位向量组nn基本单位向量组

    例4:设β=(3,2,4)\beta=(-3,2,-4)α1=(1,0,1)\alpha_1=(1,0,1)α2=(2,1,0)\alpha_2=(2,1,0)α3=(1,1,2)\alpha_3=(-1,1,-2),判断β\beta是否可由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示?
    解:设β=k1α1+k2α2+k3α3\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3
    (3,2,4)=k1(1,0,1)+k2(2,1,0)+k3(1,1,2)(-3,2,-4)=k_1(1,0,1)+k_2(2,1,0)+k_3(-1,1,-2)

    即得到如下线性方程组:
    {k1+2k2k3=3k2+k3=2k12k3=4\begin{cases} k_1&+&2k_2&-&k_3&=&-3\\ &&k_2&+&k_3&=&2\\ k_1&&&-&2k_3&=&-4 \end{cases}

    解得:
    {k1=2k2=1k3=3\begin{cases} k_1=2\\ k_2=-1\\ k_3=3 \end{cases}

    β=2α1α2+3α3\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3,故β\beta可由α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性表示。

    总结:不管给的向量是行向量还是列向量,α\alpha向量组均按列写成方程组的系数,β\beta也是按列写成右边的常数项。

    线\color{red}{线性组合{\Longleftrightarrow}方程组有解}

    还有可能不是线性组合的形式吗?
    有可能。
    例如:向量(111)\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}无论如何,都不可能由向量组(100)\begin{pmatrix}1\\0\\\color{red}{0}\end{pmatrix}(010)\begin{pmatrix}0\\1\\\color{red}{0}\end{pmatrix}(110)\begin{pmatrix}-1\\1\\\color{red}{0}\end{pmatrix}线性表示。

    3 向量组的等价

    回顾:
    矩阵等价是指矩阵A经过初等变换得到矩阵B,就叫A等价于B。

    那么,什么是向量组等价呢?
    向量组α1,α2,...,αm\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_mβ1,β2,...,βn\beta_1,\beta_2,...,\beta_n,若其中一个向量组中的每个向量,都可由另一个向量组线性表示,则称两个向量组等价。记作:{α1,α2,...,αm}{β1,β2,...,βn}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}

    需要注意的是:向量组中的向量是同维的,即两个向量组中所有向量的分量个数相同。

    向量组等价的性质:
    反身性
    任一向量组与自身等价。
    即:{α1,α2,...,αm}{α1,α2,...,αm}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}

    对称性
    {α1,α2,...,αm}{β1,β2,...,βn}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\},则{β1,β2,...,βn}{α1,α2,...,αm}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}≌\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}

    传递性
    {α1,α2,...,αm}{β1,β2,...,βn}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\},且{β1,β2,...,βn}{γ1,γ2,...,γs}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\}≌\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\},则{α1,α2,...,αm}{γ1,γ2,...,γs}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}≌\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s\}

    例如:
    α5=3β1+2β2β3+...+5βn\alpha_5=3\beta_1+2\beta_2-\beta_3+...+5\beta_n
    β1=2γ1γ2+...+6γs\beta_1=2\gamma_1-\gamma_2+...+6\gamma_s
    β2=6γ1+3γ2+...γs\beta_2=6\gamma_1+3\gamma_2+...-\gamma_s

    α5=3(2γ1γ2+...+6γs)+2(6γ1+3γ2+...γs)+...\alpha_5=3(2\gamma_1-\gamma_2+...+6\gamma_s)+2(6\gamma_1+3\gamma_2+...-\gamma_s)+...
    α5=k1γ1+k2γ2+...+ksγs\alpha_5=k_1\gamma_1+k_2\gamma_2+...+k_s\gamma_s
    故每个向量α\alpha都可由向量组γ1,γ2,...,γs\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_s线性表示,同理反过来,每个向量γ\gamma也都可由向量组α1,α2,...,αm\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m线性表示。

    4 引用

    《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_3.2 向量间的线性关系(一)

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  • 5. 极大无关组与向量组等价; 6. 线性无关的向量组的极大无关组为自身 $\leftrightarrow$秩=个数; 7.等价的向量组有相同的秩; 推论: 新加的向量一定可以由线性无关组线表出 习题1: 秩为r的向量组中任意r个...

    1. 线性无关;

    2. 新加向量必然线性相关;

    3. 极大无关组不唯一;

    4. 极大无关组的个数唯一:称作秩(rank);

    5. 极大无关组与向量组等价;

    6. 线性无关的向量组的极大无关组为自身 $\leftrightarrow$秩=个数;

    7.等价的向量组有相同的秩;

    推论:

    新加的向量一定可以由线性无关组线表出

    习题1:

    秩为r的向量组中任意r个线性无关向量都构成极大无关组

    Proof. 只需证这r个无关的,再+1个就会得到线性相关组(事实上,这第r+1个能由前r个线性表出);

    秩为r说明有r个线性无关的极大无关组,进而等价原组,从而要证明的这r+1个可由r个极大无关组表出,从而相关;

     8. 秩为r的向量组中任意r个线性无关向量都为极大无关组;

    习题2:

    如果秩为r的向量组中存在r个向量,使得向量组所有向量都可以由其表出,则它必是极大无关组;

    Proof. 由性质6,只需证明这r个向量线性无关,证1:如果相关,必有一向量可以由r-1个向量线性表出,

    因此向量组也能由这r-1个表出,进而r个极大无关组也能由这r-1个表出,因此得到r个无关组相关的矛盾。

    证2:由题向量组和这r个等价,因此r个极大无关向量和这r个向量组等价,等价组有相同的秩,因此这r个

    向量秩为r,说明这r个向量线性无关;

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/mathlife/p/9710644.html

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  • 【线代】向量

    2019-09-13 07:11:38
    定义3:向量组等价。[《线代》P83] 定理2:向量组A和向量组B等价的充要条件及推论。[《线代》P84] 定理3:线性表示与秩之间的关系。[《线代》P86] 定义4:线性相关/无关。[《线代》P87] 定理4:向量组A线性相关/无关...

    知识点

    • 定义1:n维向量。[《线代》P81]
    • 定义2:线性组合。[《线代》P82]
    • 定理1:向量b能由向量组A线性表示的充要条件。[《线代》P83]
    • 定义3:向量组等价。[《线代》P83]
    • 定理2:向量组A和向量组B等价的充要条件及推论。[《线代》P84]
    • 定理3:线性表示与秩之间的关系。[《线代》P86]
    • 定义4:线性相关/无关。[《线代》P87]
    • 定理4:向量组A线性相关/无关的充要条件。[《线代》P88]
    • 定理5。[《线代》P90]
      • 含零向量的向量组必线性相关。
    • 定义5:最大线性无关向量组。[《线代》P91]
    • 推论:最大无关组的等价定义。[《线代》P92]
    • 定理6:矩阵的秩和它的行向量的秩以及列向量的秩的关系。[《线代》P93]
    • 解向量的两个性质。[《线代》P96~97]
    • 定理7:Ax=0的系数矩阵A的秩与解集s的秩的关系。[《线代》P99]
    • 解向量的另外两个性质。[《线代》P102]
    • 定义6:向量空间、封闭。[《线代》P104]
    • 定义7:子空间。[《线代》P106]
    • 定义8:基、维数、r维向量空间。[《线代》P106]
    • 定义9:坐标、自然基。[《线代》P107]
    • 定义:基变换公式、过度矩阵、坐标变换公式。[《线代》P108]
    • 定义1:内积的定义。[《线代》P114]
    • 内积的四个性质。[《线代》P114]
    • 施瓦兹不等式。[《线代》P114]
    • 定义2:长度(范数)、单位向量、单位化、夹角、正交、正交向量组。[《线代》P115]
    • 向量长度的两个性质。[《线代》P115]
    • 定理1:正交向量组的性质。[《线代》P115]
    • 定义3:标准正交基。[《线代》P116]
    • 施密特正交化。[《线代》P117]
    • 定义4:正交矩阵(正交阵)。[《线代》P118]
    • 方阵A为正交矩阵的充要条件。[《线代》P119]
    • 正交矩阵的两个性质。[《线代》P119]
    • 定义5:正交变换。[《线代》P119]

    做题技巧

    • 讨论带参数的向量组的相关性时,可以先讨论它不带参量的部分分量。[《660解析》P183,对应《660》P142]

    全书例题分析

    线性相关性判别

    特征值不同的特征向量是线性无关的

    向量的线性表示

    • 常用将为问题转化为方程组是否有解。
    • 向量的坐标未知时,要用推理分析的方法来判断能否线性表出,此时,出发点是:线性相关,线性无关,线性表示的概念、定理,还要注意反证法。

    线性相关与线性无关的证明

    证明线性无关的通常思路是:用定义法(同乘或拆项重组),用秩(等于向量个数),齐次方程组只有零解或反证法。

    秩与极大线性无关组

    • 将向量组处理成列向量并作初等行变换,其效果和将向量组处理成行向量并作初等行变换是一样的。
    • 求向量组的极大线性无关组时,只能都作行变换(或都作列变换),不能混合着既作行变换又作列变换,如果只是求向量组的秩,则行变换、列变换都可以进行也可以混用。
    • 向量组(或矩阵)的秩是唯一的,其极大无关组可以是不唯一的。

    正交化、正交矩阵

    展开全文
  • 文章目录三、向量1 向量的定义和运算1.1 定义1.2 运算2 线性组合与线性表示2.1 线性组合2.2 线性表示2.3 向量组等价3 线性相关与线性无关3.1 定义3.2 性质4 向量组的秩4.1 向量组的极大线性无关组4.2 向量组的秩5 ...
  • 矩阵的等价,相似,合同,正定判定和关系

    万次阅读 多人点赞 2018-11-02 11:43:52
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空空如也

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向量组等价的定义