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  • 定义向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1​,α2​,⋯,αs​(s⩾1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k...

    定义:
    向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s ( s ⩾ 1 ) \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\geqslant1) α1,α2,,αs(s1) 称为线性相关,如果有数域 P P P 中不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,,ks,使

    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 k1α1+k2α2++ksαs=0


    例题:
    判断下列向量组是否线性相关:
    α 1 = [ − 2 − 5 − 3 − 4 ] , α 2 = [ − 5 11 3 10 ] , α 3 = [ − 3 − 7 − 1 − 6 ] , α 4 = [ − 13 − 30 − 1 2 − 26 ] , \begin{aligned} \alpha_1=\begin{bmatrix}\phantom{-}2\\-5\\\phantom{-}3\\-4\end{bmatrix}, \alpha_2=\begin{bmatrix}-5\\11\\3\\10\end{bmatrix}, \alpha_3=\begin{bmatrix}-3\\\phantom{-}7\\-1\\\phantom{-}6\end{bmatrix}, \alpha_4=\begin{bmatrix}\phantom{-}13\\-30\\\phantom{-1}2\\-26\end{bmatrix}, \end{aligned} α1=2534,α2=511310,α3=3716,α4=13301226,

    例题来源:《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76

    解法一:定义法:

    k 1 , k 2 , k 3 , k 4 ∈ R k_1,k_2,k_3,k_4\in R k1,k2,k3,k4R 满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + k 4 α 4 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+k_4\alpha_4=0 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0

    即:

    { 2 k 1 − 5 k 2 − 3 k 3 + 13 k 4 = 0 − 5 k 1 + 11 k 2 7 k 3 − 30 k 4 = 0 3 k 1 + 3 k 2 − 1 k 3 + 2 k 4 = 0 − 4 k 1 + 10 k 2 6 k 3 − 26 k 4 = 0 \left\{\begin{aligned} 2k_1&-5k_2&-3k_3&+13k_4&=0\\ -5k_1&+11k_2&7k_3&-30k_4&=0\\ 3k_1&+3k_2&-1k_3&+2k_4&=0\\ -4k_1&+10k_2&6k_3&-26k_4&=0\\ \end{aligned}\right. 2k15k13k14k15k2+11k2+3k2+10k23k37k31k36k3+13k430k4+2k426k4=0=0=0=0

    写成矩阵形式即为:

    [ 2 − 5 − 3 13 − 5 11 7 − 30 3 3 − 1 2 − 4 10 6 − 26 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 2&-5&-3&13\\ -5&11&7&-30\\ 3&3&-1&2\\ -4&10&6&-26\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 253451131037161330226k1k2k3k4=0000

    经过矩阵的初等行变换,我们得到上面的方程组与下面的方程组等价:

    [ 1 0 − 2 3 7 3 0 1 1 3 − 5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ k 1 k 2 k 3 k 4 ] = [ 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1&0&-\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\ 0&1&\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix} 10000100323100373500k1k2k3k4=0000

    显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关

    如果题目只问向量组是否相关,可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k

    方程的一般解为

    { x 1 = 2 3 x 3 − 7 3 x 4 x 2 = − 1 3 x 3 + 5 3 x 4 \left\{\begin{aligned} x_1&=\frac{2}{3}x_3-\frac{7}{3}x_4\\ x_2&=-\frac13x_3+\frac53x_4 \end{aligned}\right. x1x2=32x337x4=31x3+35x4

    其中一个特解为

    k 1 = 3 , k 2 = − 2 , k 3 = 1 , k 4 = − 1 k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1 k1=3,k2=2,k3=1,k4=1

    从而:

    3 α 1 − 2 α 2 + α 3 − α 4 = 0 3\alpha_1-2\alpha_2+\alpha_3-\alpha_4=0 3α12α2+α3α4=0


    总结:

    1. k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k n α n = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0 k1α1+k2α2++knαn=0
    2. 把 1. 中的方程写成矩阵的形式,化成阶梯型行列式,即可判断是否存在非零解
    3. 求出一组非零解

    2021年1月4日19:26:01


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    2021年6月26日 有改动

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  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。... 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量 线性表示...

    线性代数之线性相关线性表示的求法

    线性相关

    向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一组不全为0的 

      使得 是线性相关的,反之线性无关。 

    线性无关即等价于以下命题:

    1. 线性不相关
    2. 找不到一组不全0的   使得
    3.  全为0

    几种情况:

    关于单个向量

    1. 向量组中两个向量成比例,则两个向量必线性相关
    2. 含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k,其余均为0)
    3. 一个零向量必线性相关
    4. 一个非零向量必然线性无关
    5. 一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量

    线性表示

    如果向量   则b是向量组A的线性组合,这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解,全是0也是有解。 

    特别的:

    1. 线性表示时系数可以全是0
    2. 0向量可有任意向量组表示。

    任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示

    线性相关例子汇总

    判断线性相关(不含参数)

    该方法是根据矩阵的秩的定义来求,如果找到k阶子式为0,而k-1阶不为0,那么k-1即该矩阵的秩。

    #Sample1(示例一),判断如下向量组是否线性相关:

    1:

    2:

    :针对第一题:

    Step1:首先我们先立方程

    针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关(无解)。

    Step2:于是我们得到下式:

    Step3: 我们对k的行列式化简得到如下行列式:

    该行列式不为0,所以当前关于k的方程组有唯一解,即

    所以当前向量组里的向量 线性无关。

    针对第二题:同样的思路

    Step1:设

    Step2:于是我们得到

    Step3:针对k化简得到如下行列式,易得其为0,所以k有非零解。

    Step4:因为关于k的解有无穷个,所有这里取

    换言之存在不全为0的数使得 线性相关。

    判断线性相关(含参数)

    针对这种类型的问题,一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵,对矩阵做行(列)变换,使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行(列)为零行来判断向量组的线性相关性。(参数所在行全为0则行列式为0,线性无关,否则相关)。

    #Sample2(示例二):已知向量组

    判断其相关性。

    Step1:因这里向量组的向量个数和向量的维数相同,所以可以按照列组成行列式。

    Step2:第1行的-1倍加到第2行上去,第1行的-5倍加到第3行上去,则得:

    即行列式等于2(t-1)

    Step3:针对Step2里的t进行讨论,如果t=1,则行列式等于0(即方程有无穷非非零解),则线性相关,如果t≠1则行列式不等于0(即方程只有零解),则线性无关。

    线性表示例子汇总

    阶梯法判断线性表示

    利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。

    #Sample3(示例三)

    向量β=(4,4,1,2)是否可由如下向量组线性表示,如果可以,写出表达式。

    1:

    2:

    针对第一题:

    Step1:用 作为列向量构成矩阵A,则A为

     

    Step2:交换第1和第2行,则化为:

    Step3:第1行的2倍加到第2行上去,第1行的5倍加到第4行上去,第1行乘-1,则最终化为:

    Step4:在对step3里的矩阵化简,第3行的3倍加到第2、4行上去,则得:

    Step5:在对step4里的矩阵化简,第2行的-3倍加到第3行上去,第2行的1倍加到第3行上去,则得:

    Step6:在对step5里的矩阵化简,第3行的1倍加到第4行上去,第3行除以-5,则得:

    Step7:由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩(阶梯型里非零行的行数)是4,所以该向量组的秩必定包含β,即β不能由 线性表示。

    针对第二题

    类似第一题,可将构成的矩阵

    化简为:

    则可见即β可由 线性表示,即

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  • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,...) 向量...

    向量组

    • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
      • 如果是行向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=a1 a2 a3 an
      • 如果是列向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯   , a n ⃗ , ⋯   ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1 ,a2 ,a3 ,,an ,)
    • 向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵

    正交向量

    • ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 x=1时,称x为单位向量,这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x特指向量x的模
    • ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 x=0,y=0时, θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccosxyxy 称为n维向量x与y的夹角
      • x ⋅ y = 0 x · y = 0 xy=0时,称向量x与y正交
      • x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交

    向量的线性表示

    • 对于向量组: A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn, 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n     ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn   (kiR) 称为向量组A的一个线性组合
    • 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合,即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
      • 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,,αn]λ1λ2λn
      • 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
        • ⇔ \Leftrightarrow (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
        • ⇔ \Leftrightarrow (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即: A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
    • 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示
      • 设B由A表示如下:
      • { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. β1=c11α1+c21α2++cp1αpβ2=c12α1+c22α2++cp2αpβq=c1qα1+c2qα2++cpqαp
      • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
      • 改写为矩阵
        • [ β 1 , β 2 , ⋯   , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,,βq]=[α1,α2,,αp]c11c21cp1c12c22cp2...c1qc1qcpqp×q
        • 即:B = A × C系数矩阵
      • 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
    • 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示,则称这两个向量组等价
      • 关于向量组的等价关系:
        • 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=α1α2αm行变换B=β1β2βm
        • 则称A与B行等价.
        • 同理可定义列等价.
    • 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关,否则,如果任意向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立)
      • 如何用数学数字表达?
        • 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
        • k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 则称该向量组线性相关.
        • 否则,如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
    • 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
    • 向量组的线性相关性与线性表示有何关系?
      • 向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
      • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
    • 定理:向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n r(A)=n (满秩)

    例1

    • α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(123)T,α2=(210)T,α3=(179)T 问这组向量是否线性相关?
    • 分析
      • A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=123210179100256156100210110
      • 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
      • 所以线性相关

    例2

    • α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=111,α2=011,α3=245, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
    • 分析
      • [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=111011245100010221
      • r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关
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  • 向量组线性相关性

    万次阅读 2017-10-15 15:07:40
    向量组及其线性组合 向量组线性相关性 向量组的秩 向量空间 线性方程解的结构 向量组及其线性组合 nn个有次序的数a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_n所组成的一个有序数组(a1,a2,...,an)(a_1,a_2,...,a_n)...

    向量组及其线性组合

    1. n n 个有次序的数a1,a2,...,an所组成的一个有序数组 (a1,a2,...,an) ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) 称为一 n n 维向量,这n个数称为该向量的 n n 个分量,其中ai称为第 i i 个分量.ai(i=1,2,...,n)都为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.n维向量可写成一行或一列,分别称为行向量或列向量,即行矩阵或列矩阵.列向量一般用小写黑体字母 α,β,γ α , β , γ 等表示,行向量则用 αT,βT,γT α T , β T , γ T 等表示.若干个同维数的列向量(行向量)组成的集合称为向量组.
      • 设向量 Aα1,α2,...,αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m ,对于任意实数 k1,k2,...,km k 1 , k 2 , . . . , k m ,表达式 k1α1,k2α2,...,kmαm k 1 α 1 , k 2 α 2 , . . . , k m α m 称为向量组 A A 的一个线性组合.k1,k2,...,km称为这个线性组合的系数
      • 设向量组 Aα1,α2,...,αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m 和向量 β β ,若存在一组数 λ1,λ2,...,λm λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ,使得 β=λ1α1,λ2α2,...λmαm β = λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , . . . λ m α m ,则称向量 β β 可由向量组 A A 线性表示
        (向量β能由向量组 A A 线性表示,也就是线性方程组x1α1+x2α2+...+xmαm=β有解)
        • 向量 β β 能由向量组 α1,α2,...,αm α 1 , α 2 , . . . , α m 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(α1,α2,...,αm) A = ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) 的秩等于矩阵 B=(α1,α2,...,αm,β) B = ( α 1 , α 2 , . . . , α m , β ) 的秩.
        • 设向量组 Aα1,α2,...,αs A : α 1 , α 2 , . . . , α s 及向量组 Bβ1,β2,...,βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t ,若向量组 B B 中的每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组 A,B A , B 可互相线性表示,则称这两个向量组等价
        • 向量组的等价性具有下列性质:
          1. 反身性:任一向量组 Aα1α2...αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m 与其自身等价;
          2. 对称性:如果向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 , . . . , α s 与向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 等价,则向量组 B B 与向量组A等价;
          3. 传递性:如果向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 , . . . , α s 与向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 等价,且向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 与向量组 Cγ1,γ2,...,γm C : γ 1 , γ 2 , . . . , γ m 等价,则向量组 A A 与向量组C等价.
        • 向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 能由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s 线性表示的充分必要条件是矩阵 A=(α1α2...αs) A = ( α 1 , α 2 . . . , α s ) 的秩等于矩阵 (A,B)=(α1α2...αsβ1β2...βt) ( A , B ) = ( α 1 , α 2 . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t ) 的秩,即 R(A)=R(A,B) R ( A ) = R ( A , B )
        • 向量组 A(α1α2...αs) A : ( α 1 , α 2 . . . , α s ) 与向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B) R ( A ) = R ( B ) = R ( A , B ) ,其中 (A,B) ( A , B ) 是由向量组 A A B所构成的矩阵
        • 设向量组 Bβ1,β2,...,βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 能由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s 线性表示,则 R(B)R(A) R ( B ) ≤ R ( A )
        • 向量组 Bβ1,β2,...,βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 能由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s 线性表示:
          K使B=AK ⟺ 存 在 矩 阵 K , 使 B = A K
          AX=B ⟺ 矩 阵 方 程 A X = B 有 解
        • n n 维列向量组Aα1α2...αm构成 n×m n × m 矩阵 A=(α1α2...αm) A = ( α 1 , α 2 . . . , α m ) n n 阶单位阵E=(e1,e2,...,en)的列向量称为 n n 维基本单位向量.n维基本单位向量组 e1,e2,...,en e 1 , e 2 , . . . , e n 能由向量组 A A 线性表示的充分必要条件是R(A)=n.

    向量组的线性相关性

    1. 设向量组 Aα1α2...αm A : α 1 , α 2 . . . , α m ,如果存在不全为零的数 k1,k2,...km k 1 , k 2 , . . . k m ,使得
      k1α1+k2α2+...+kmαm=0 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0
      成立,则称向量组 A A 线性相关,否则称向量组A线性无关.
      特别地, m=1 m = 1 时, α(0) α ( ≠ 0 ) 是线性相关的.对于含两个向量 α1,α2 α 1 , α 2 的向量组线性相关的充分必要条件是 α1α2 α 1 , α 2 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线.三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面
      向量组 α1α2...αm(m2) α 1 , α 2 . . . , α m ( m ≥ 2 ) 线性相关,也就是在向量组中至少有一个向量可由其余 m1 m − 1 个向量线性表示
    2. 向量组 α1α2...αm α 1 , α 2 , . . . , α m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(α1,α2,...,αm) A = ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) 的秩小于向量个数 m m ;向量组α1,α2,...,αm线性无关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(α1,α2,...,αm) A = ( α 1 , α 2 , . . . , α m ) 的秩等于向量个数 m m .
    3. 若向量组α1α2...αm线性相关,则向量组 α1α2...αmαm+1 α 1 , α 2 . . . , α m , α m + 1 也线性相关;反之,若 α1α2...αm+1 α 1 , α 2 . . . , α m + 1 线性无关,则向量组 α1α2...αm α 1 , α 2 . . . , α m 也线性无关
    4. m m n维向量组成的向量组,当维数 n n 小于向量个数m时一定线性相关.特别地, n+1 n + 1 n n 维向量一定线性相关
    5. 设向量组Aα1α2...αm线性相关,而向量组 Bα1α2...αmβ B : α 1 , α 2 . . . , α m , β 线性相关,则向量 β β 能由向量组 A A 线性表示,且表达式是唯一的
    6. 设向量组Bβ1β2...βt可由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s 线性表示,且 s<t s < t ,则向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 线性相关.
    7. 设向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 可由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s 线性表示,若向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 线性无关,则 st s ≥ t .
    8. 设向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 . . . , α s Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 等价,若向量组 A A B都是线性无关,则 s=t s = t

    向量组的秩

    1. 设向量组 A0α1α2...αr A 0 : α 1 , α 2 , . . . , α r 是向量组 A A 的一个部分向量组,如果满足:
      1. 向量组A0α1α2...αr线性无关;
      2. 向量组 A A 中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关,则称向量组 A0 A 0 是向量组 A A 的一个极大线性无关向量组(简称极大无关组).极大无关组所含向量个数r称为向量组 A A ,记作RA R(A) R ( A )
      • 由于一个非零向量本身线性无关,故包含非零向量的向量组一定存在极大无关组;而仅含零向量的向量组不存在极大无关组,规定它的秩为0.特别地,如果一个向量组线性无关,则其极大无关组就是该向量组本身.
      • 向量组 Aα1α2...αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m 线性无关的充分必要条件是向量组 Aα1α2...αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m 的秩等于 m m
      • 向量组Aα1α2...αm线性相关的充分必要条件是向量组 Aα1α2...αm A : α 1 , α 2 , . . . , α m 的秩小于 m m .
      • 设矩阵A的秩为 r r ,即R(A)=r.由矩阵的秩的定义,在矩阵 A A 中至少存在一r阶子式不等于零,而且所有的 r+1 r + 1 阶子式(如果存在)全为零.矩阵 A A 中包含这个r阶非零子式的列(行)向量组线性无关,且任意 r+1 r + 1 个列(行)向量所构成的向量组线性相关.因此,矩阵 A A 中包含这个r阶非零子式的列(行)向量组就是矩阵 A A 的列(行)向量组的一个极大无关组.
      • 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩
      • 极大无关组的等价定义:设向量组A0α1,α2,...,αr是向量组 A A 的一个部分向量组,且满足:
        1. 向量组A0线性无关;
        2. 向量组 A A 中任一向量都能由向量组A0线性表示.
          则向量组 A0 A 0 是向量组 A A 的一个极大无关组
      • 若向量组Bβ1β2...βt可由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 , . . . , α s 线性表示的充分条件是 R(α1α2...αs)=R(α1α2...αs,β1β2...βt) R ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = R ( α 1 , α 2 , . . . , α s , β 1 , β 2 , . . . , β t )
      • 若向量组 Bβ1β2...βt B : β 1 , β 2 , . . . , β t 能由向量组 Aα1α2...αs A : α 1 , α 2 , . . . , α s 线性表示,则 R(β1β2...βt)R(α1α2...αs) R ( β 1 , β 2 , . . . , β t ) ≤ R ( α 1 , α 2 , . . . , α s )
      • 若向量组 B B 能由向量组A线性表示,且它们的秩相等.则向量组 A A 与向量组B等价
      • 向量空间

        • V V n维向量的集合,如果集合 V V 非空,且集合V对向量的加法及数乘两种运算封闭,则称集合 V V 向量空间
          所谓封闭,是指在集合V中可以进行加法及数乘两种运算,具体地说就是:对任意 αVβV α ∈ V , β ∈ V , α+βV α + β ∈ V ;对任意 αV,λR α ∈ V , λ ∈ R ,有 λαV λ α ∈ V
        • αβ α , β 为两个已知的 n n 维向量,集合L={x=λα+μβ|λ,μR}是一个向量空间,称其为由向量 α,β α , β 所生成的向量空间
          一般地,由向量组 α1,α2,...,αm α 1 , α 2 , . . . , α m 所生成的向量空间为
          L={x=λ1α1+λ2α2+...+λmαm|λ1,λ2,...,λmR} L = { x = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ m α m | λ 1 , λ 2 , . . . , λ m ∈ R }
        • 设有向量空间 V1 V 1 V2 V 2 ,若 V1V2 V 1 ⊂ V 2 ,则称 V1 V 1 V2 V 2 的子空间
        • V V 为向量空间,如果r个向量 α1,α2,...,αrV α 1 , α 2 , . . . , α r ∈ V ,且满足:
          1. α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 线性无关;
          2. V V 中任一向量α都可由 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 线性表示.
            则称向量组 α1,α2,...,αr α 1 , α 2 , . . . , α r 为向量空间 V V 一个基.r为向量空间 V V 维数,记为dimV=r,并称 V V r维向量空间(0维向量空间只含一个零向量.任一 n n 个线性无关的n维向量都是向量空间