定义：
 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s(s⩾1)$ 称为线性相关,如果有数域 $P$ 中不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$,使
 
$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$$
 
 
例题：
 判断下列向量组是否线性相关：
 $$\begin{array}{r}{\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ 3\\ -4\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}-5\\ 11\\ 3\\ 10\end{array}\right],{\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}-3\\ 7\\ -1\\ 6\end{array}\right],{\alpha }_4=\left[\begin{array}{c}13\\ -30\\ 2\\ -26\end{array}\right],\end{array}$$
 
 
 
例题来源：《高等代数学习指导书》.丘维声著.第二版.P76
 
 
解法一：定义法：
 
设 $k_1,k_2,k_3,k_4\in R$ 满足 $$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3+k_4{\alpha }_4=0$$
 
即：
 
$$\{\begin{array}{rlrlr}2k_1& -5k_2& -3k_3& +13k_4& =0\\ -5k_1& +11k_2& 7k_3& -30k_4& =0\\ 3k_1& +3k_2& -1k_3& +2k_4& =0\\ -4k_1& +10k_2& 6k_3& -26k_4& =0\end{array}$$
 
写成矩阵形式即为：
 
$$\left[\begin{array}{cccc}2& -5& -3& 13\\ -5& 11& 7& -30\\ 3& 3& -1& 2\\ -4& 10& 6& -26\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ k_3\\ k_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
 
经过矩阵的初等行变换，我们得到上面的方程组与下面的方程组等价：
 
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{2}{3}& \frac{7}{3}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& -\frac{5}{3}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ k_3\\ k_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$
 
显然,系数矩阵的行列式等于零,从而方程有非零解。所以向量组线性相关
 
 
 
如果题目只问向量组是否相关，可以只作答到这一步。下面的步骤是为了求出一组不为零的系数k
 
 
方程的一般解为
 
$$\{\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{2}{3}{x}_3-\frac{7}{3}{x}_4\\ x_2& =-\frac{1}{3}{x}_3+\frac{5}{3}{x}_4\end{array}$$
 
其中一个特解为
 
$$k_1=3,k_2=-2,k_3=1,k_4=-1$$
 
从而：
 
$$3{\alpha }_1-2{\alpha }_2+{\alpha }_3-{\alpha }_4=0$$
 
 
总结：
 
 
 
设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=0$
把 1. 中的方程写成矩阵的形式，化成阶梯型行列式，即可判断是否存在非零解
求出一组非零解
 
 
 
2021年1月4日19:26:01
 
 
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2021年6月26日 有改动

线性代数之线性相关线性表示的求法
 
线性相关
 
向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量，若存在一组不全为0的 
 
   使得  则 是线性相关的，反之线性无关。 
 
线性无关即等价于以下命题：
 
线性不相关
找不到一组不全0的   使得 
  全为0
几种情况:
 
关于单个向量
 
向量组中两个向量成比例，则两个向量必线性相关
含零向量的任向量组必线性相关(取0向量的系数为1或者k，其余均为0)
一个零向量必线性相关
一个非零向量必然线性无关
一个向量线性相关的充要条件是向量为0向量
线性表示
 
如果向量   则b是向量组A的线性组合，这是向量b可有向量组A线性表示。这里其实转换为了方程有解，全是0也是有解。 
 
特别的：
 
线性表示时系数可以全是0
0向量可有任意向量组表示。
任何向量都可由 (1,0,...0),(0,1,0...0),(0,0,1...0) ...(0,0...0...1)表示
 
 
线性相关例子汇总
 
判断线性相关（不含参数）
 
该方法是根据矩阵的秩的定义来求，如果找到k阶子式为0，而k-1阶不为0，那么k-1即该矩阵的秩。
 
#Sample1（示例一）,判断如下向量组是否线性相关：
 
1： 
 
2：
 
解：针对第一题：
 
Step1：首先我们先立方程 
 
针对其解的情况来判断向量组是否线性相关(有解)或者无关（无解）。
 
Step2：于是我们得到下式：
 
 
Step3： 我们对k的行列式化简得到如下行列式：
 
 
该行列式不为0，所以当前关于k的方程组有唯一解，即
 
 所以当前向量组里的向量 线性无关。
 
针对第二题：同样的思路
 
Step1：设
 
Step2：于是我们得到
 
 
Step3：针对k化简得到如下行列式，易得其为0,所以k有非零解。
 
 
Step4：因为关于k的解有无穷个，所有这里取
 
 
换言之存在不全为0的数使得 即 线性相关。
 
判断线性相关(含参数)
 
针对这种类型的问题，一般将它们按照列(行)的形式构成矩阵，对矩阵做行(列)变换，使矩阵变成阶梯型。最后根据矩阵中参数的取值是否使得其所在行（列）为零行来判断向量组的线性相关性。（参数所在行全为0则行列式为0，线性无关，否则相关）。
 
#Sample2（示例二）：已知向量组
 
判断其相关性。
 
解：
 
Step1：因这里向量组的向量个数和向量的维数相同，所以可以按照列组成行列式。
 
 
Step2：第1行的-1倍加到第2行上去，第1行的-5倍加到第3行上去，则得:
 
 
即行列式等于2(t-1)
 
Step3:针对Step2里的t进行讨论，如果t=1，则行列式等于0(即方程有无穷非非零解)，则线性相关，如果t≠1则行列式不等于0（即方程只有零解），则线性无关。
 
线性表示例子汇总
 
阶梯法判断线性表示
 
利用矩阵的初等变换不改变矩阵的列的线性关系的特点求解。
 
#Sample3（示例三）
 
向量β=（4,4,1，2）是否可由如下向量组线性表示，如果可以，写出表达式。
 
1:
 
2:
 
解：
 
针对第一题：
 
Step1：用 作为列向量构成矩阵A，则A为
 
 
 
Step2：交换第1和第2行，则化为：
 
 
Step3：第1行的2倍加到第2行上去，第1行的5倍加到第4行上去，第1行乘-1，则最终化为：
 
 
Step4：在对step3里的矩阵化简，第3行的3倍加到第2、4行上去，则得：
 
 
Step5：在对step4里的矩阵化简，第2行的-3倍加到第3行上去，第2行的1倍加到第3行上去，则得：
 
 
Step6：在对step5里的矩阵化简，第3行的1倍加到第4行上去，第3行除以-5，则得：
 
 
Step7：由A的阶梯型可知  这5个向量的向量组的秩（阶梯型里非零行的行数）是4，所以该向量组的秩必定包含β，即β不能由 线性表示。
 
 
针对第二题：
 
类似第一题，可将构成的矩阵
 
 
化简为：
 
 
则可见即β可由 线性表示，即
 
 

向量组
 
向量组：有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A 
  
如果是行向量，那么表示为：$A=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{a_1}\\ \overrightarrow{a_2}\\ \overrightarrow{a_3}\\ ⋮\\ \overrightarrow{a_n}\\ ⋮\end{array}\right)$
如果是列向量，那么表示为：$A=(\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2},\overrightarrow{a_3},\cdots ,\overrightarrow{a_n},\cdots )$
 
向量组是由多个向量构成，可以表示为矩阵
 
正交向量
 
当$||x||=1$时，称x为单位向量，这里$||x||$特指向量x的模
当$||x||\ne 0,||y||\ne 0$时，$\theta =arccos\frac{x\cdot y}{||x||\cdot ||y||}$ 称为n维向量x与y的夹角 
  
当$x\cdot y=0$时，称向量x与y正交
若$x=0$,则显然x与任何向量都正交
 
 
向量的线性表示
 
对于向量组：$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$， 表达式 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_n{\alpha }_n(k_i\in R)$ 称为向量组A的一个线性组合
又如果$\beta$是向量组A的一个线性组合，即存在数${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, 使得 $\beta ={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+...+{\lambda }_n{\alpha }_n$, 则称向量 $\beta$ 可由向量组A线性表示 
  
通常写成 $\beta =[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right]$
向量$\beta$ 可由向量组 $A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性表示 
    
$\iff$ (按定义) 存在数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 使 ${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+...+{\lambda }_n{\alpha }_n=\beta$
$\iff$ (转换为方程组) 方程组 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+...+x_n{\alpha }_n=\beta$ 即：$Ax=\beta (A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n])$ 有解
 
 
如果向量组$B:{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_q$中的每个向量都可由向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性表示，则称向量组B可由向量组A线性表示 
  
设B由A表示如下：
$\{\begin{array}{c}{\beta }_1=c_{11}{\alpha }_1+c_{21}{\alpha }_2+\cdots +c_{p1}{\alpha }_p\\ {\beta }_2=c_{12}{\alpha }_1+c_{22}{\alpha }_2+\cdots +c_{p2}{\alpha }_p\\ \cdots \\ {\beta }_q=c_{1q}{\alpha }_1+c_{2q}{\alpha }_2+\cdots +c_{pq}{\alpha }_p\end{array}$
一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
改写为矩阵 
    
$[{\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_q]=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_p]{\left[\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1q}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{1q}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{p1}& c_{p2}& ...& c_{pq}\end{array}\right]}_{p\times q}$
即：B = A × C系数矩阵
 
转换为矩阵方程 $AX=B$ 有解
 
如果向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_p$ 与向量组 $B:{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3...,{\beta }_q$ 可以相互表示，则称这两个向量组等价 
  
关于向量组的等价关系： 
    
如果 $A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_m\end{array}\right)\stackrel{\text{行变换}}{\to }B=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_m\end{array}\right)$
则称A与B行等价.
同理可定义列等价.
 
 
设向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_m$, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示，则称该向量组线性相关，否则，如果任意向量都不能由其余向量线性表示，则称该向量组线性无关(或独立) 
  
如何用数学数字表达？ 
    
如果存在不全为零的数$k_1,k_2,...,k_m$
$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$
则称该向量组线性相关.
否则，如果设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0$
只能推出 $k_1=k_2=...=k_m=0$ 则称该向量组线性无关
 
 
线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
向量组的线性相关性与线性表示有何关系？ 
  
向量组线性相关的充要条件是：向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
 
定理：向量组$A:{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性相关的充要条件是矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)$的秩小于向量个数n，向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff r(A)=n$ (满秩)
 
例1
 
${\alpha }_1=(1-23{)}^T,{\alpha }_2=(210{)}^T,{\alpha }_3=(1-79{)}^T$ 问这组向量是否线性相关?
分析 
  
$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& 1& -7\\ 3& 0& 9\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 5& -5\\ 0& -6& 6\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
因为 $r(A)=2<3$
所以线性相关
 
 
例2
 
${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right]$, 问向量组 
     
      
       
        
         {
        
        
         
          α
         
         
          1
         
        
        
         ,
        
        
         
          α
         
         
          2
         
        
        
         ,
        
        
         
          α
         
         
          3
         
        
        
         }
        
       
       
        \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}
       
      
     {α1​,α2​,α3​}的线性相关性?
分析 
  
$[{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 1& 4\\ 1& 1& 5\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$
$r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3])=3$, 
       
        
         
          
           {
          
          
           
            α
           
           
            1
           
          
          
           ,
          
          
           
            α
           
           
            2
           
          
          
           ,
          
          
           
            α
           
           
            3
           
          
          
           }
          
         
         
          \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \}
         
        
       {α1​,α2​,α3​} 线性无关
 

 
 
向量组及其线性组合
向量组的线性相关性
向量组的秩
向量空间
线性方程组解的结构
 
 
 
向量组及其线性组合
 
$n$个有次序的数$a_1,a_2,...,a_n$所组成的一个有序数组$(a_1,a_2,...,a_n)$称为一$n$维向量，这$n$个数称为该向量的$n$个分量，其中$a_i$称为第$i$个分量.$a_i(i=1,2,...,n)$都为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量.n维向量可写成一行或一列，分别称为行向量或列向量，即行矩阵或列矩阵.列向量一般用小写黑体字母$\alpha,\beta,\gamma$等表示，行向量则用$\alpha^T,\beta^T,\gamma^T$等表示.若干个同维数的列向量（行向量）组成的集合称为向量组.
 
设向量$A：\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$，对于任意实数$k_1,k_2,...,k_m$，表达式$k_1\alpha_1,k_2\alpha_2,...,k_m\alpha_m$称为向量组$A$的一个线性组合.$k_1,k_2,...,k_m$称为这个线性组合的系数
设向量组$A：\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$和向量$\beta$，若存在一组数$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$，使得$\beta=\lambda_1\alpha_1,\lambda_2\alpha_2,...\lambda_m\alpha_m$，则称向量$\beta$可由向量组$A$线性表示 

（向量$\beta$能由向量组$A$线性表示，也就是线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+...+x_m\alpha_m=\beta$有解）
 
向量$\beta$能由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)$的秩等于矩阵$B=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta)$的秩.
设向量组$A：\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$及向量组$B：\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$，若向量组$B$中的每个向量都能由向量组$A$线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组$A,B$可互相线性表示，则称这两个向量组等价
向量组的等价性具有下列性质： 
 
    
反身性：任一向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$与其自身等价；
对称性：如果向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s$与向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$等价，则向量组$B$与向量组$A$等价；
传递性：如果向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s$与向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$等价，且向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$与向量组$C：\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_m$等价，则向量组$A$与向量组$C$等价.
向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$能由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$线性表示的充分必要条件是矩阵$A=(\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s)$的秩等于矩阵$(A,B)=(\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s，\beta_1，\beta_2，...，\beta_t)$的秩，即$R(A)=R(A,B)$
向量组$A：(\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s)$与向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$等价的充分必要条件是$R(A)=R(B)=R(A,B)$，其中$(A,B)$是由向量组$A$和$B$所构成的矩阵
设向量组$B：\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$能由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$线性表示，则$R(B)\le R(A)$
向量组$B：\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$能由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$线性表示：
     $$\Longleftrightarrow 存在矩阵K，使B=AK$$ 
     $$\Longleftrightarrow 矩阵方程AX=B有解$$ 
设$n$维列向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m$构成$n\times m$矩阵$A=(\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m)$，$n$阶单位阵$E=(e_1,e_2,...,e_n)$的列向量称为$n$维基本单位向量.$n$维基本单位向量组$e_1,e_2,...,e_n$能由向量组$A$线性表示的充分必要条件是$R(A)=n.$
 

 
向量组的线性相关性
 
   
设向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,...k_m$，使得
      $$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_m\alpha_m=0$$ 成立，则称向量组$A$线性相关，否则称向量组$A$线性无关. 
 特别地，$m=1$时，$\alpha(\not= 0)$是线性相关的.对于含两个向量$\alpha_1,\alpha_2$的向量组线性相关的充分必要条件是$\alpha_1，\alpha_2$的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线.三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面 
 向量组$\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m(m\ge 2)$线性相关，也就是在向量组中至少有一个向量可由其余$m-1$个向量线性表示
向量组$\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)$的秩小于向量个数$m$；向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性无关的充分必要条件是它所构成的矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m)$的秩等于向量个数$m$.
若向量组$\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m$线性相关，则向量组$\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m，\alpha_{m+1}$也线性相关；反之，若$\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_{m+1}$线性无关，则向量组$\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m$也线性无关
$m$个$n$维向量组成的向量组，当维数$n$小于向量个数$m$时一定线性相关.特别地，$n+1$个$n$维向量一定线性相关
设向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m$线性相关，而向量组$B：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_m，\beta$线性相关，则向量$\beta$能由向量组$A$线性表示，且表达式是唯一的
设向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$可由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$线性表示，且$s<t$，则向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$线性相关.
设向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$可由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$线性表示，若向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$线性无关，则$s\ge t$.
设向量组$A：\alpha_1，\alpha_2...，\alpha_s$与$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$等价，若向量组$A$和$B$都是线性无关，则$s=t$
 
向量组的秩
 
   
设向量组$A_0：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_r$是向量组$A$的一个部分向量组，如果满足： 

向量组$A_0：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_r$线性无关；
向量组$A$中任意$r+1$个向量（如果存在的话）都线性相关，则称向量组$A_0$是向量组$A$的一个极大线性无关向量组（简称极大无关组）.极大无关组所含向量个数$r$称为向量组$A$的秩，记作$R_A$或$R(A)$
 
由于一个非零向量本身线性无关，故包含非零向量的向量组一定存在极大无关组；而仅含零向量的向量组不存在极大无关组，规定它的秩为0.特别地，如果一个向量组线性无关，则其极大无关组就是该向量组本身.
向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$线性无关的充分必要条件是向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$的秩等于$m$；
向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$线性相关的充分必要条件是向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_m$的秩小于$m$.
设矩阵$A$的秩为$r$，即$R(A)=r$.由矩阵的秩的定义，在矩阵$A$中至少存在一$r$阶子式不等于零，而且所有的$r+1$阶子式（如果存在）全为零.矩阵$A$中包含这个$r$阶非零子式的列（行）向量组线性无关，且任意$r+1$个列（行）向量所构成的向量组线性相关.因此，矩阵$A$中包含这个$r$阶非零子式的列（行）向量组就是矩阵$A$的列（行）向量组的一个极大无关组.
矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
极大无关组的等价定义：设向量组$A_0：\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$是向量组$A$的一个部分向量组，且满足： 

向量组$A_0$线性无关；
向量组$A$中任一向量都能由向量组$A_0$线性表示. 
 则向量组$A_0$是向量组$A$的一个极大无关组
若向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$可由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s$线性表示的充分条件是$R(\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s)=R(\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s,\beta_1，\beta_2，...，\beta_t)$
若向量组$B：\beta_1，\beta_2，...，\beta_t$能由向量组$A：\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s$线性表示，则$R(\beta_1，\beta_2，...，\beta_t) \le R(\alpha_1，\alpha_2，...，\alpha_s)$
若向量组$B$能由向量组$A$线性表示，且它们的秩相等.则向量组$A$与向量组$B$等价
向量空间
 
 
 
设$V$是$n$维向量的集合，如果集合$V$非空，且集合$V$对向量的加法及数乘两种运算封闭，则称集合$V$为向量空间 

所谓封闭，是指在集合$V$中可以进行加法及数乘两种运算，具体地说就是：对任意$\alpha \in V，\beta \in V，$有$\alpha + \beta \in V$；对任意$\alpha \in V, \lambda \in R$，有$\lambda \alpha \in V$
设$\alpha，\beta$为两个已知的$n$维向量，集合$L=\{x=\lambda \alpha + \mu \beta | \lambda, \mu \in R\}$是一个向量空间，称其为由向量$\alpha,\beta$所生成的向量空间 
 一般地，由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$所生成的向量空间为
      $$L=\{x=\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+...+\lambda_m\alpha_m|\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m\in R\}$$ 
设有向量空间$V_1$及$V_2$，若$V_1\subset V_2$，则称$V_1$是$V_2$的子空间
设$V$为向量空间，如果$r$个向量$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r \in V$，且满足： 
 
     
$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性无关；
$V$中任一向量$\alpha$都可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性表示. 
 则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$为向量空间$V$的一个基.$r$为向量空间$V$的维数，记为$\dim V=r$，并称$V$为$r$维向量空间（0维向量空间只含一个零向量.任一$n$个线性无关的$n$维向量都是向量空间