向量组及其线性组合

向量的定义



若干个列向量组成的集合叫做向量组

线性表示定义







线性表示定理









向量组的线性相关性

线性相关的定义



方程组的线性相关



定理





向量组的秩

定义





定理







线性方程组的解的结构

齐次线性方程组解的结构











（5）的解

定理



非齐次线性方程的通解



向量空间

定义









 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	

线性相关性证明(4)
前言
(1)今天我们继续讨论向量组线性相关性的证明。为了复习之前几天讲解的内容, 本题可分别尝试“定义法”和“秩”的相关结论来证明。
(2)①第1问：线性相关的证明, “秩”的信息更明确, 优先考虑证明r(β1, β2)<2
②“正交”这个条件如何翻译？向量内积为0。行*列的矩阵乘法注意和线性方程组的联系, 这里其实我们可以得出“齐次线性方程组系数矩阵的行向量组与它的解向量正交”。
③齐次线性方程组基础解系的定义是什么？从线性表出的角度来考虑, 即任意解可以有基础解系线性表出, 那么这里就有了明确的秩的不等式关系。
④本题其实可以由夹逼定理得出r(β1, β2)=1
(3)①第2问: 线性无关的证明, 考虑定义法, 那么零(向量)在哪儿, 非零(向量)在哪儿？
②“正交”构造出了数0, 非零向量与自己的内积(向量的模)构造出了非0。注意这里和之前用定义法证明的联系与区别, 我们不再是去找零向量与非零向量, 而是找数0和非0数, 但是证明的思路与方法本质上还是一致的。
(4)今天这道题除了复习了我们之前学习的线性相关性的两种证明方法, 同时也引出了正交向量以及线性方程组的一些性质和结论, 请大家注意整理小结。
题目
讲解文稿
目前2021长线基础班3月1日已开班3~6月共4个月时间讲解数一、二、三公共部分的内容，包括：(1)微积分：①极限与连续 ②一元函数微分学 ③一元函数积分学 ④多元函数微分学 ⑤多元函数积分学(二重积分) ⑥常微分方程(2)线性代数：①线性方程组 ②向量组 ③矩阵与行列式 ④相似矩阵 ⑤二次型同时采用视频课程+群内问题答疑授课方式期待能在今年的考研征途中与各位同学并肩作战具体详情与课程安排点击下图了解

	

	

在线性表示、线性相关、秩这三个概念中，最容易理解的是线性表示.于是就从向量由向量组线性表示谈起，其定义如下：
若有在一组数 使则称向量能由向量组线性表示.
乍一看这个定义，难免让人摸不着头脑.可只要取和，便豁然开朗：
若存在  使
则向量能由向量线性表示，而根据向量的数乘(长度伸缩)的几何意义，此时与共线(下图(a))；
若存在  使
则向量能由向量组线性表示，而根据向量的加法(平行四边形法则)和数乘(长度伸缩)的几何意义，此时与共面(下图(b)).
换个角度说，若与不共线，则不能由线性表示(下图(c))；若与不共面，则不能由线性表示(下图(d)).
推而广之，便不难得到这样的结论：
向量 能由向量组线性表示  与 在同一  维空间内.
由此可见，我们之所以探讨1个向量能否由个向量所组成的向量组线性表示，只不过是为了给这个向量“找朋友”.能线性表示，意味着这个向量和它们能“做朋友”，这时候彼此一定是“同道中人”，在同一维空间内.而一旦它和它们不在同一维空间内，那恐怕“不是一个世界的人”，必然“做不了朋友”，这就是不能线性表示的时候了.
如果说探讨向量由向量组线性表示，是为了给这个向量组“找朋友”，那么探讨向量组的线性相关性，就是为了看这个向量组有没有“堕落”.
还是先看线性相关的定义：
若存在不全为零的数  使则称向量组线性相关.
如果面对  个向量感觉一头雾水,那么可以取  和  :
若存在  使  则向量  线性相关，而此时 ;
若存在不全为零的数  使
则向量组 线性相关，而此时不妨设
若存在不全为零的数  使
则向量组  线性相
关，而此时不妨设  则
如此看来，线性相关的概念原来并没有那么抽象！且看下面3个结论：
(1)  线性相关
(2)  线性相关  共线  下图 ;
(3) 线性相关 共面 下图 .
换个角度说，便有
(1)  线性无关 ;
(2)   线性无关  不共线  下图  ;
(3) 线性无关 不共面 下图 .
现在就不难得到推广后的结论了：
向量组线性相关在同一维空间内.
哈！向量组所在空间的维数小于向量的个数，看来这个向量组“堕落”了.
实际上，向量组所在空间的维数是由向量组中向量的维数和向量的个数共同决定的：个维向量所组成的向量组，其所在空间的维数既不可能超过，也不可能超过. 就好比众所周知，2维向量最多在2维平面内，3个向量最多在3维空间内.
没错，向量组的“先天条件”限制了它所在的空间，它永远都无法挣脱自己的“出身”所带来的束缚.
然而，向量组虽不能“屌丝逆袭”，但却可以“自甘堕落”.
请看下面这三个向量组，他们都是由3个3维向量所组成的向量组：
(I) ;
(II) ;
(III) .
很显然，虽然这三个向量组有着相同的“出身”，但是只有向量组(I)在3维空间“坚挺”(它线性无关，可参看上图(a))，而向量组(II)“堕落”到了2维平面内(它线性相关，可参看上图(b))，向量组(III)干脆“堕落”到了一条直线上(它线性相关，可参看上图(c)).
如此说，一个向量组即使“堕落”了，其“堕落”的程度也是有所不同的. 那么，该如何具体地刻画出它“堕落”到什么程度呢？这就是我们探讨秩这个概念的意义所在了.
本文节选自拙著《线性代数轻松学》

	

一、向量组的线性相关性定义
二、向量组线性相关性的判定
三、相关结论
课后作业
线性代数目录
线性代数001|前言
线性代数002|劝学篇.什么是学习？
线性代数003|劝学篇.为什么要学习？
线性代数004|劝学篇.如何学习？
线性代数005|1.0 行列式从哪里来？
线性代数006|1.1 二阶和三阶行列式
线性代数007|1.2 全排列与对换
线性代数008|1.3 n阶行列式
线性代数009|1.4 行列式的性质
线性代数010|1.5.1 化零降阶法
线性代数011|1.5.2 行列式按行(列)展开
线性代数012|1.6 习题课(第1章)
线性代数013|2.4 克拉默法则
线性代数014|2.1.1 矩阵从哪里来
线性代数015|2.1.2 特殊矩阵，矩阵应用举例
线性代数016|2.2.1 矩阵的运算
线性代数017|2.2.2 矩阵的行列式和伴随矩阵
线性代数018|2.3.1 逆矩阵的定义
线性代数019|2.3.2 逆矩阵的性质和例题
线性代数020|2.5 分块矩阵
线性代数021|2.6 习题课(第2章)
线性代数022|3.1.1 矩阵的初等变换(上)
线性代数023|3.1.2 矩阵的初等变换(下)
线性代数024|3.2.1 矩阵秩的定义
线性代数025|3.2.2 矩阵秩的性质与计算
线性代数026|3.3 线性方程组的解
线性代数027|3.4 习题课(第3章)
线性代数028|4.1 向量组及其线性组合
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