精华内容
下载资源
问答
  • 方程线性相关 定理 向量组的秩 定义 定理 线性方程的解的结构 齐次线性方程解的结构 (5)的解 定理 非齐次线性方程的通解 向量空间 定义 ...

    向量组及其线性组合

    向量的定义

    若干个列向量组成的集合叫做向量组

    线性表示定义

    线性表示定理

    向量组的线性相关性

    线性相关的定义

    方程组的线性相关

    定理

    向量组的秩

    定义

    定理

    线性方程组的解的结构

    齐次线性方程组解的结构

    (5)的解

    定理

    非齐次线性方程的通解

    向量空间

    定义

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 至此:《向量组线性表示与线性相关》我们就先学习到这里,~接下来进入《齐次与非齐次方程解的结构定理》相关的学习! !!!版权声明!!! 本系列为博主学心得与体会,所有内容均为原创(✿◡‿◡) 欢迎传播、...

    上一节呢,我们学习了《矩阵的初等变换》,这次我们续接上一节的内容,来学习下《向量组线性表示与线性相关》

    一、向量组

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二、向量的线性表示

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    三、向量组的线性相关

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    至此:《向量组线性表示与线性相关》我们就先学习到这里,~接下来进入《齐次与非齐次方程组解的结构定理》相关的学习!


    !!!版权声明!!!

    本系列为博主学心得与体会,所有内容均为原创(✿◡‿◡)

    欢迎传播、复制、修改。引用、转载等☞请注明转载来源。感谢您的配合

    用于商业目的,请与博主采取联系,并请与原书版权所有者联系,谢谢!\(≧▽≦)/

    我的联系方式:email–> 1209551258@qq.com

    !!!版权声明!!!


    生活嘛~ 最重要的就是开心喽~ O(∩_∩)O~~

    这里写图片描述


    展开全文
  • 向量组α1,⋯ ,αs\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}α1​,⋯,αs​线性无关,则向量β\betaβ可以由α1,⋯ ,αs\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s}α1​,⋯,αs​线性表示的充分必要条件是α1,⋯ ,αs,β\alpha_{1}...

    1.相关定理及推论

    命题一:设向量组 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性无关,则向量 β \beta β可以由 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性表示的充分必要条件是 α 1 , ⋯   , α s , β \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s},\beta α1,,αs,β线性相关。

    证明:必要性是显然的,下面证明充分性:
    α 1 , ⋯   , α s , β \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s},\beta α1,,αs,β线性相关,则 K K K中有不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k s , , l k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s},, l k1,k2,,ks,,l,使得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s + l β = 0 k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}+{l} \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0} k1α1+k2α2++ksαs+lβ=0
    假如 l = 0 l=0 l=0,则 k 1 , k 2 , ⋯   , k s k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s} k1,k2,,ks不全为零,并且从(1)式得
    k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} k1α1+k2α2++ksαs=0
    于是 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性相关。这与已知条件矛盾,于是 l ≠ 0 l \neq 0 l=0
    从而由上式得
    β = − k 1 l a 1 − k 2 l α 2 − ⋯ − k 3 l α s \boldsymbol{\beta}=-\frac{k_{1}}{l} \boldsymbol{a}_{1}-\frac{k_{2}}{l} \boldsymbol{\alpha}_{2}-\cdots-\frac{k_{3}}{l} \boldsymbol{\alpha}_{s} β=lk1a1lk2α2lk3αs

    推论一:设向量组 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性无关,则向量 β \beta β不可以由 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性表示的充分必要条件是 α 1 , ⋯   , α s , β \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s},\beta α1,,αs,β线性无关。

    注解:这里讨论的是 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性无关的情况,对于其线性有关的情况,则是到下面的极大线性无关组中去考虑,也就是找到线性有关的向量组里面最大的那个无关组来进行证明。

    命题二 β \beta β可以由向量组 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs线性表示当且仅当 β \beta β可以由 α 1 , ⋯   , α s \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{s} α1,,αs的一个极大线性无关组线性表示。

    命题三:设向量组 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr可以由向量组 α 1 , α 2 ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2} \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,αs线性表示,如果 r > s r>s r>s,那么 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr线性相关。

    证明:为了证明 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr线性相关,需要找到一组不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯   , k r k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r} k1,k2,,kr,使得
    k 1 β 1 + k 2 β 2 + ⋯ + k r β r = 0 k_{1} \boldsymbol{\beta}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+k_{r} \boldsymbol{\beta}_{r}=\mathbf{0} k1β1+k2β2++krβr=0
    为此,考虑线性组合 x 1 β 1 + x 2 β 2 + ⋯ + x r β r x_{1} \boldsymbol{\beta}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\beta}_{2}+\cdots+x_{r}\boldsymbol{\beta}_{r} x1β1+x2β2++xrβr

    β 1 = a 11 α 1 + a 21 a 2 + ⋯ + a 31 a s β 2 = a 12 α 1 + a 22 a 2 + ⋯ + a 12 a 3 ⋯ ⋯ ⋯ β r = a 1 r α 1 + a 2 r α 2 + ⋯ + a x α s \begin{aligned} &\boldsymbol{\beta}_{1}=a_{11} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{21} \boldsymbol{a}_{2}+\cdots+a_{31} \boldsymbol{a}_{s}\\ &\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{2}=a_{12} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{22} \boldsymbol{a}_{2}+\cdots+a_{12} \boldsymbol{a}_{3} \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ \boldsymbol{\beta}_{r}=a_{1 r} \boldsymbol{\alpha}_{1}+a_{2 r} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+a_{x} \boldsymbol{\alpha}_{s} \end{array} \end{aligned} β1=a11α1+a21a2++a31asβ2=a12α1+a22a2++a12a3βr=a1rα1+a2rα2++axαs
    带入后可得下列齐次线性方程组

    a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 r x r = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 r x r = 0 … … … … … a s 1 x 1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a s r x r = 0 \begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\dots+a_{1 r} x_{r}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\dots+a_{2 r} x_{r}=0 \\ \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\dots+a_{s r} x_{r}=0 \end{array} a11x1+a12x2++a1rxr=0a21x1+a22x2++a2rxr=0as1x1+as2x2++asrxr=0

    由已知条件 s < r s<r s<r,因此线性方程组有非零解,只需要取其中一个非零解,即可得 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr线相关。

    注解:注意这里并没有要求向量组 α \alpha α是线性无关

    推论二:设向量组 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr可以由向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs线性表示,如果 β 1 , β 2 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,β2,,βr线性无关,那么 r ⩽ s r \leqslant s rs 这个不等式证明经常用

    注解:这个是上个命题的逆否命题

    命题四:如果向量组 ( I ) (I) (I)可以由向量组 ( I I ) (II) (II)线性表示,那么
    ( I ) 的 秩 ⩽ ( I I ) 的 秩 (I)的秩 \leqslant (II)的秩 (I)(II)

    证明:设 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs ( I ) (I) (I)的一个极大线性无关组, β 1 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,,βr ( I I ) (II) (II)的一个极大线性无关组。则 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs可以由 ( I ) (I) (I)线性表示,而 ( I ) (I) (I)又可以由向量组 ( I I ) (II) (II)线性表示, ( I I ) (II) (II)又可以由 β 1 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,,βr线性表示,因此 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,,αs可以由 β 1 , ⋯   , β r \boldsymbol{\beta}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{r} β1,,βr线性表示,所以
    ( I ) 的 秩 ⩽ ( I I ) 的 秩 (I)的秩 \leqslant (II)的秩 (I)(II)


    延伸组和缩短组
    如果向量组线性无关,那么把每个向量填上 m m m个分量(所添分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关

    证明:设 α 1 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,,αs的一个延伸组为 α ~ 1 , ⋯   , α ~ s \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s} α~1,,α~s,则从
    k 1 α ~ 1 + ⋯ + k s a ~ s = 0 k_{1} \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}+\cdots+k_{s} \tilde{\boldsymbol{a}}_{s}=\mathbf{0} k1α~1++ksa~s=0
    可得出
    k 1 α 1 + ⋯ + k s α s = 0 k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0} k1α1++ksαs=0
    α 1 , ⋯   , α s \boldsymbol{\alpha}_{1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s} α1,,αs线性无关,则从上式得 k 1 = ⋯ = k s = 0 k_{1}=\dots=k_{s}=0 k1==ks=0
    从而 α ~ 1 , ⋯   , α ~ s \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{1}, \cdots, \tilde{\boldsymbol{\alpha}}_{s} α~1,,α~s也线性无关

    推论:如果向量组线性相关,那么把每个向量去掉 m m m个分量(去掉的分量的位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关
    (这是上面命题的逆否命题)


    一个总结:

    • 如果向量组的一个部分组线性相关,那么整个向量组也线性相关。如果向量组线性无关,那么它的任何一个部分组也线性无关

    • 如果向量组线性无关,那么把每个向量填上m个分量(所添的分量的位置对于每个向量都一样)得到的延伸组也线性无关

      如果向量线性相关,那么把每个向量去掉m个分量(去掉的分量的位置对于每个向量都一样)得到的缩短组也线性相关

    展开全文
  • 由一道题目看抽象向量组线性相关问题

    由一道题目看抽象向量组的线性相关问题

    @(数学)

    方法:观察法 || 定理 ||过渡矩阵

    已知向量组 α1,α2,α3 线性无关,则下面的向量组线性相关性是?
    α1+3α2,α2+α3,α12α2+5α3,α1+α2+α3

    分析:这个用的是:以少表多,多必相关。且这个原理中都不要求少的那个是线性无关。

    α1+α2,α2+3α2,α1+2α2+3α3

    这个是可观察型,也就是能被一眼看出来的。即: (α1+α2)+(α2+3α2)(α1+2α2+3α3)=0 ,表示的是存在非零的系数,因此也是线性相关。

    α1α2+α3,α1+2α2+4α3,α1+3α2+9α3

    这个是不易观察型的,那么就计算一下:用过渡矩阵的思路。
    令:

    β1=α1α2+α3,β2=α1+2α2+4α3,β3=α1+3α2+9α3,[β1,β2,β3]=[α1,α2,α3]111124139

    检查过渡矩阵是否可逆,如果可逆,那么线性无关,反之便是线性相关。

    1111241390,线

    常见的说法是:4个三维向量,则他们必线性相关,其中三个线性无关,则第四个必然可以由这三个线性表出。

    上面是一种给定用 (α1,α2,α3) 表示出来的 (β1,β2,β3) ,这样直接可以抽出三列组成过渡矩阵。如果是已知两个向量组的坐标,如何抽出彼此的过渡矩阵呢?
    现在看一道题目的运用。

    α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T;β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,5)T ,如何用 (α1,α2,α3) 表示 (β1,β2,β3)

    这里列出一般用的方法:增广矩阵法。

    令:

    A=(α1,α2,α3|β1,β2,β3)=101011135|||111123345100010001|||2411205102

    从而得出:

    β1=2α1+4α2α3,β2=α1+2α2+0α3,β3=5α1+10α22α3

    展开全文
  • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组 A=(a1⃗,a2⃗,a3⃗,...,an⃗,...)A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, ..., \vec{a_n}, ...)A=(a1​​,a2​​,a3​​,...,an​​,...) 向量...
  • 文章目录向量的线性关系线性组合(线性表示)性质向量组的等价性质线性相关与线性无关一些结论例题定理参考 向量的线性关系 用某些向量来表示另一个向量,这是一个线性关系:线性组合 线性组合(线性表示) 下图...
  • 线性代数-向量组线性相关

    千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量,极大无关,矩阵的秩
  • 第一节 向量组线性相关性   一.数学概念 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。 定义1. 2 给定向量A: ,对于任何一实数 ,...
  • 向量组线性相关性重要定理定理1.2.3:设V为数域P上的线性空间,如果V中向量组 α1,α2,…,αr\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_rα1​,α2​,…,αr​ ...现在你来了另外一组向量组B,不清楚它是线性相关组还是线
  • 向量组的线性表出与线性相关3.1 基础概念3.2 线性相关、线性无关的进一步说明4. 判别线性相关性的七大定理4.1 定理14.2 定理24.3 定理34.4 定理44.5 定理54.6 定理6 1. 引入 前文我们已经讨论过行列式和矩阵,下面...
  • 1向量组及其线性组合 n维向量——n个有次序的苏a1,a2,a3,am所组成的数组成为n维向量, n维向量写出一行成为行向量,组成一列成为列向量 a=(a1a2⋮an) a= \left( \begin{matrix} a1\\ a2\\ \vdots\\ a_n \end{...
  • 向量组一定线性相关向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯   , a m A:a_{1},a_{2},\cdots, a_{m} A : a 1 ​ , a 2 ​ , ⋯ , a m ​ 线性无关,向量组 B : a 1 , a 2 , ⋯   , a m , b B:a_{1},a_{2...
  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......
  • 补充定理:向量A:a1,a2,...,am线性相关的,则 A中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示,反之亦然。 定理4:向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数m; 向量线性无关的充分必要...
  • 线性代数 向量组

    2021-06-02 16:22:38
    向量组线性相关,线性无关(非常重要) 线性相关 满足上式且k是一不全为0的数,则称α1,…αn线性相关向量组α1,…αn线性相关的充要条件 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出 矩阵A=(α1,…αn...
  • 与前两章一样本章也可以通过研究解线性方程的解把所有知识点串联起来,比如研究齐次线性方程的解可以得到线性相关、线性无关、零空间、解空间的基(基础解系)、解空间的维数、秩定理等概念。研究非齐次线性方程...
  • 向量组线性相关性
  • 线性代数-向量组

    2021-05-16 23:55:44
    定理2 若向量组α1,α2,α3......αn,线性无关,α1,α2,α3......αn,β线性相关,则β可以由α1,α2,α3......αn线性表示,且表示法唯一。 定理3,如果向量组β1,β2,β3......βt,可由向量组α1,α...
  • 向量组线性相关性

    千次阅读 2018-12-13 15:58:00
    定理1 向量b能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩等于矩阵B=(a1, a2, …, am, b)的秩。 定理2 向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件...
  • 参考:《线性代数》同济大学第四版 1. 向量组及其线性组合  1)向量:定义;实向量、复向量;行向量、列向量; ... 2)向量空间:定义;... 4)定理1:向量能由向量组线性表示的充要条件  5)定理2
  • 2. 若给定的向量组线性相关,则向其中加入若干向量后构成的新的向量组也是线性相关的。 反之,若给定的向量组线性无关,则其任何子向量组也是线性无关的。 (口诀:部分相关,则整体相关;整体无关,则部分无关) ...
  • 线性代数(1)--n维向量线性方程

    千次阅读 2016-08-29 10:15:03
    第四章 n维向量线性方程编者注:第四章为n维向量线性方程,在线性代数整个课程学习中的地位都是至关重要的。线性代数作为工科生的一门基础学科,对于以后个人的发展都是有着极大的促进作用的。这一章小助手...
  • 线性表出、线性相关定理总结思考

    万次阅读 多人点赞 2016-10-15 00:43:34
    线性表出、线性相关定理总结思考1.n维向量组α1,α2,α3,...,αs\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_s线性相关, ⟺\Longleftrightarrow齐次方程 (α1,α2,α3,...,αs)⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2...xs⎤⎦...
  • 向量组向量组A的一个线性组合,向量组等价,线性相关,线性无关,向量组的秩,向量空间,解空间,向量组生成的向量空间,向量空间的基,向量空间的维数,r维向量空间 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要...
  • 欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习与数学   [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读,算法和其他互联网技能的学习,概率论、线性代数等高等数学知识的回顾] ...
  • **向量及其线性组合** n 个有次序的数 a1,a2,…,an 所组成的数组称为n 维向量,这 n 个 数称为该向量的 n 个分量,第i个数 a称为第i个分量 向量组的概念 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合...
  • 1. 当向量组A为线性相关时,这至少A中有一个元素可由其他元素表示得到,证明如下: 2. 以下为例子: 3. 给出以下简单定理: 证明如下:  ...
  • 文章目录向量的内积性质柯西不等式范数性质相似度向量组线性相关性向量空间正交规范正交基正交矩阵正交变换 向量的内积 设有n维向量 x=[x1x2⋮xn],y=[y1y2⋮yn],x=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \...
  • 向量组

    2020-04-19 23:10:30
    原来相关,增加一个向量后,向量还是线性相关,只不过它不一定能被其余向量线性表示。原来无关减少一个向量后,还是无关。原来相关减少一个向量后,若减少的是那个唯一能被其余向量线性表示的向量...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 12,798
精华内容 5,119
关键字:

向量组线性相关的定理