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  • 基础线性代数知识点总结与回顾(四):向量空间和二次型 骨骼向量空间

    基础线性代数知识点总结与回顾(三):向量空间和二次型

    骨骼图:
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    向量空间

    对加法、数乘封闭。
    W——n维向量的非空集合,且满足:

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    则:W为n维向量空间的子空间。

    如果向量空间V中的向量(a1,a2,a3…am)满足:

    • a1,a2,a3…am线性无关
    • V中任意(贝塔)均可由a1,a2,a3…am线性表出。即:
      在这里插入图片描述
      则称a1,a2,a3…am是向量空间V的,m是向量空间的维数,称V是m维向量空间。称x1,x2,…,xm是向量(贝塔)在基(a1,a2,a3…am)下的坐标。

    过渡矩阵:

    基(a1,a2,a3)——>基(b1,b2,b3):
    [b1,b2,b3]=[a1,a2,a3]*C,C称为过渡矩阵。

    向量的内积:在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    单位化:在这里插入图片描述
    柯西-施瓦茨不等式:在这里插入图片描述
    等号当且仅当在这里插入图片描述线性相关时成立。
    在这里插入图片描述正交,在这里插入图片描述
    定理: 若n维向量a1,a2,…,an是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,an线性无关。

    施密特(Schmidt)正交化:
    在这里插入图片描述线性无关:

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    特征值(eignvalue)、特征向量(eignvector):
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    在这里插入图片描述为特征值,在这里插入图片描述为特征向量。
    在这里插入图片描述
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    若A可逆:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述但是AB与BA的特征向量不同。

    在这里插入图片描述

    不同特征值对应的特征向量线性无关。
    A可逆,A的n个特征值全不为0。

    二次型

    二次型及其矩阵表示:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    二次型的秩: r(f)=r(A)

    合同: 如果在这里插入图片描述,其中C可逆,称矩阵A、B合同,记:在这里插入图片描述
    合同性质: 反身性,对称性,可传递性。

    标准型:
    在这里插入图片描述
    任何一个二次型都能通过坐标变换化成标准型。

    • 配方法
    • 正交变换(**重要)
      A实对称,存在正交矩阵Q,使得在这里插入图片描述
      这里Q可以看作特征向量,在这里插入图片描述可以看作特征值组成的对角矩阵。
      为了更直观,上面式子可以进行变形:
      在这里插入图片描述
      这样就一目了然了。

    定理: 任意一个二次型在这里插入图片描述,其中在这里插入图片描述
    ,总存在正交变换x=py,(p为A的特征向量,是正交矩阵),使得二次型化为标准型:
    在这里插入图片描述
    其中,在这里插入图片描述是A的n个特征根。

    规范性:
    首先它必须是标准型,其次它只能由1,-1,0组成。
    例如:
    在这里插入图片描述
    任意一个n元二次型在这里插入图片描述都存在坐标变换X=CZ,使f化为规范型。

    正惯性指数p,负惯性指数q(针对标准型)
    在这里插入图片描述
    惯定性定理: 对一个二次型,经过坐标变换化为标准型,其正惯性指数p,负惯性指数q是唯一确定的。
    实对称矩阵A和B合同(等价于)

    在这里插入图片描述
    正定二次型: 设二次型在这里插入图片描述
    ,如果在这里插入图片描述
    恒有f(x)>0,则称f为正定二次型,二次型矩阵A称为正定矩阵。(f(x)>=0:半正定)
    是否与E合同是正定的必要条件。

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  • 基础线性代数知识点总结与回顾 骨骼

    基础线性代数知识点总结与回顾(二):秩与线性相关

    骨骼图
    在这里插入图片描述

    矩阵的秩: 若矩阵的r阶子式不为0,r+1阶子式全为0,则称矩阵的秩为r。

    定理:经过初等变换,矩阵的秩不变。

    推论
    在这里插入图片描述
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    秩的性质:
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    定理: n元齐次线性方程组 AX=0有非零解等价于r(A)<n。

    定理: 矩阵方程 AX=B有非解等价于r(A)=r(A,B) (A和B拼起来)

    有解判定:

    n元线性方程AX=b:

    • 无解:
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    • 唯一解:
      在这里插入图片描述
    • ∞解:
      在这里插入图片描述

    线性相关

    重要定理: 若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示,则:
    在这里插入图片描述
    若向量组b1,b2,b3…bt可以由向量组a1,a2,a3…ar线性表示,且t>r,则b1,b2,b3…bt必线性相关。

    若向量组A和向量组B等价,则r(A)=r(B)=r(A,B)。

    等价:若向量组A和向量组B可以相互线性表示,则向量组A等价于向量组B。

    n个n维向量a1,a2,…,an线性相关,等价于|a1 a2 … an|=0

    n+1个n维向量必线性相关。
    几何意义

    • a线性相关 等价于 a=0
    • a1,a2线性相关 等价于 a1、a2共线
    • a1,a2,a3线性相关 等价于 a1、a2、a3共面

    向量的秩:向量组的极大线性无关组中所含的个数r称为向量的秩。

    矩阵的秩=矩阵行向量的秩=矩阵列向量的秩
    在这里插入图片描述

    如果齐次方程组的系数矩阵的秩r<n,则齐次方程组有n-r个线性无关的解,且任意一个解都可以由n-r个线性无关的解线性表示。
    因此非齐次方程组(r<n)的解为通解+特解。

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  • 本文是对向量线性相关性相关知识的梳理,希望大家喜欢。

    向量空间

    齐次方程组无数解的集合求极大无关组

    定义

    • 向量空间中的向量对加法和数乘具有封闭性

      • 任意两个向量的加和都可以在向量空间中找到

      • 任意一个向量的任意实数倍都可以在向量空间中找到

    性质

    • 向量空间非空

      • 零向量一定在
    • 单个0向量就可以作为向量空间

    • 向量空间中有一个非零向量,就有无限个向量

    判断

    • 对加法和数乘的封闭性

    线性相关

    定义

    • 存在一组不全为0的常数,使向量组中的各个向量各自数乘后等于0向量

    • 反之

      • 能使向量组中的全部向量之和的常数组全部为零,说明该向量组线性无关

    判断线性相关性

    • 含有0向量的向量组一定线性相关

    • 两向量对应分量成比例,两向量线性相关

    • 向量的个数大于每个向量的分量个数,该向量组线性相关

    • 部分线性相关,整体一定线性相关

      • 整体线性无关,部分一定线性无关
    • 线性无关,则常数组必须为零

    性质

    • 线性相关等价于至少有一个向量是其余向量的线性组合

    • 向量组线性无关等价于对应方程组只有零解

    • 线性无关的向量组,每个向量添加有限个分量仍然线性无关

      • 相当于添加方程个数
    • 向量组线性无关,添加一个向量线性相关,则添加的向量可由原向量组线性表示

    • 同步互换分量位置不影响相关性 #线性变换

    • 向量扩大倍数不改变相关性 #线性变换

    • 向量组转化的矩阵,某一行加另一行的常数倍不改变线性相关性 #线性变换

    等价

    • 两个向量组可以互相线性表示,两向量组等价

    性质

    • 自身性

    • 对称性

    • 传递性

    正交

    定义

    • a,b内积等于零

      • 垂直

    正交矩阵

    定义

    • A的转置✖️A= 单位阵

    • A阵的列向量都是单位向量,且两两正交

    内积

    定义

    • (a,b) = aT*b

      • a向量的转置乘b

    运算律

    • 交换律

    • 数乘

    • 分配律

    基本性质

    • 向量组的秩一定小于等于向量个数(列数)和分量个数(行数)

    • 转置不影响秩

    • 向量组B可由向量组A线性表示,B的秩小于A的秩

    • 等价的向量组秩相等

    • 乘积的秩小于各因子的秩

    • 初等变换不影响秩

      • 若PQ可逆,A乘QP的秩不变
    • 含有0向量的向量组秩为0

    • 向量组个数大于秩,向量组线性相关

    • 向量组个数等于秩,向量组线性无关

    求解

    • 将向量合并成矩阵

    • 进行初等行变换得到行阶梯形

    • 非零行数为秩

    极大无关组

    • 向量组中最多有r个向量线性无关,组成该向量组的极大无关组

      • 其中r称为秩R(A)
    • 极大无关组不唯一但互相等价

    • 极大无关组的向量个数必相等

    求解

    • 将向量合并成矩阵

    • 进行初等行变换得到行阶梯形

    • 主元所在列对应为极大无关组中的向量

    维度

    定义

    • 解空间中向量的个数(秩)

    求解公式

    • 维度=n(未知数个数) - R(A)(系数矩阵的秩)

    基向量

    定义

    • 解空间(向量空间)中的极大无关组

      • 又称向量组是由基向量生产的空间

    证明

    • 线性无关

    • 其他任意向量可由其表示

    求解

    • 将方程组化成增广矩阵

    • 将增广矩阵经过行变换变成行最简型

      • 主元对应的列为基向量

      • 个数等于维度

      • 原常数部分为线性表示的系数

    基向量组成的矩阵为单位阵,称标准正交基

    思维导图

    向量的线性相关性
    下期预告:第三章·行列式

    展开全文
  • 前言:前一节我们讨论了向量的基本概念,并得出向量的两个基本操作,这节我们依据上节的向量知识,将向量线性代数的线性相关性的概念拿出来讨论,从而深刻理解什么叫线性相关性: Mathematics requires a small ...

    前言:前一节我们讨论了向量的基本概念,并得出向量的两个基本操作,这节我们依据上节的向量知识,将向量和线性代数的线性相关性的概念拿出来讨论,从而深刻理解什么叫线性相关性:

    Mathematics requires a small dose,not of genius,but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity. --- Angus K. Rodgers


    1 两个基本单位向量:

    上一节我们提到,向量坐标和缩放这2个概念。现在我们来应用一下。

    我们把原来的坐标点概念拓展一下,原来坐标表示的是单位长度,我们生活中的距离。我们可以用绝对单位来赋值他,比如单位长度单位是1米,那么2就是2米,这个简单。

    现在,我们拓展一下,单位长度我们定义为一个基本的向量(因为是向量,那么他就不仅仅是有长度,还有方向对不对)。那么,我们用单位向量去描述我们要的向量,是不是就可以用缩放的倍数概念了。这样就构成了一个,缩放因子表达的坐标系(或者说是矢量坐标系)

    【案】向量 = 矢量

    【案】这个理解起来有点绕,理解为把原来XY坐标系的概念改一下,变成向量坐标系。原来的点的绝对坐标,变成了向量的一个缩放比例,记住,向量是运动的,那么在原点上,他的运动(如果用tip的长度)来衡量,不就是他运动的缩放比例吗?

    既然用基本单位向量来表示,我们就定义一下这个基本向量分别为:

     设定为XY坐标系的指向X方向,且单位为1的向量(X方向单位向量)

    设定为XY坐标系的指向Y方向,且单位为1的向量(Y方向单位向量)

     有了这两个基本向量,我们就可以把矢量(向量)的坐标看成是缩放因子去乘以基本向量,从而得到两个基础向量缩放的和,

    【案】这个概念非常重要,以这两个基础向量构建的XY坐标系的方法。

    如果我们将两个基础向量改成其他的基础向量,马上,我们就会得出一个全新的坐标系。

    这也许就是为了,坐标系变换的基础。

    2 坐标系的构建

    我们继续深入一下刚才重要的概念,现在我们选取一对任意的向量【1.5单位长度的一个第一象限的向量v,0.6单位长度的第四象限的向量w】作为基础向量,那么通过改变缩放因子(向量的坐标值),我们是不是还是可以得出在这个XY向量系的其他所有的向量吗?

    通过选取不同的缩放比例相加,我们还是可以得到,整个坐标上的所有的向量。

    如下图,紫红色表述的是由新的基础向量通过scalling缩放得到的新的向量。

     但是,这样相加得到的向量和前面我们用基本的单位向量做同等比例的缩放得到的向量显然是不同的。

    例如:用计算机程序计算,我们用【-0.80,1.30】T这个向量坐标去表述这个紫红色的向量。

     而在,XY坐标系下同一个位置,我们如果用前面的基础向量坐标i head,j head去缩放到这个位置,需要的缩放比例矩阵为【3.1,-2.9】T,

    显然,这个例子里面,虽然位置相同,但是,因为基于不同的基本向量,得出的向量的坐标(缩放比例)是不同的。

     【由此得出另外一个重要的概念】

    任何时候,我们去描述一个向量的值的时候,一定要同时考察该向量是基于那个隐含的基础向量。换句话说,就是要考察不同的坐标系统下的转换关系。


     3 线性、线性相关性和Span:

    上小节,我们讨论了基础向量是如何决定一个坐标系统的。但是,无论基础向量怎么变化,他都是通过两个方法来构建坐标系统,相加和相乘。或者,用缩放理论来描述,就是一组缩放的组合。

     这样就引申出了线性代数里面重要的概念:线性和线性组合

    我们把两个向量通过两个缩放因子通过加法进行表述的结果,称为线性组合。

    如果固定某一个缩放因子a 或者 b,这样就会给出在一条直线上的向量集。


     如果两个缩放因子都自由给出,那么很可能你可以得到所有的2维的向量。

    为什么这里用很可能,因为我们只讨论了缩放因子a或者b的情况,向量V和W的相关性也会影响结构。因为,如果V和W正好在一条直线上(同一个方向或者相反方向),那么缩放因子再怎么改变,两个向量的线性组合都不可能在这条直线外面。

     

    同样,还有可能V,W都是0值,那么两个向量的线性组合就一个原点。

    无论,这两个向量的关系如何,也无论线性缩放因子如何取值,他们组成的线性组合所生成的向量集,其实就表示了这个线性组合所构成的空间,我们定义为SPAN【线性生成空间】.

     


    4 向量和点

    向量是有方向和箭头的,但是,当我们讨论向量的集。我们只考虑向量的tips,也就是他的坐标点集合。


    5 3D 向量空间

    如果只用两个基础向量放到一个3维的坐标空间,我们会看到一个平面的表。

     如果我们增加一个基础向量u,用3个基础向量进行表述,那么就是之前二维的向量组合的一个三维拓展。

    他线性生成空间的定义完全和二维的是类似的。

    如果,这个基础向量u,正好是之前的二维向量线性生成空间的一个元素。(正如之前二维线性生生成空间,两个向量可能在一条直线上一样),我们又得到了和之前用两个基础向量描述的结果一样的平面。

     也就是增加的基础向量u,并不能保证一定可能自由访问任意的向量空间。

    如何描述我们的正确选型能,这里,终于引出了本节最关键的概念:线性相关。

    线性相关的向量v 和 w,构成的向量线性空间就是一个Line up的直线。

    同样,线性相关的三个向量,只能构成一个平面的向量线性空间。

    由此,我们得出结论:

    向量空间的基是由一组线性无关的向量,而且这些向量能够张成一个满的空间。

     【案,感觉这里表述还是有点不清楚,我再加一点】

     

     

    若一个向量集是某个子空间的 Basis,则该向量集必须满足两个条件:

    • 各向量之间线性无关;
    • 该向量集能张成该子空间。

     

     

     

     

     


    参考:同线性代数【12】

    李宏毅-线代总结(三) - 知乎 (zhihu.com)

    Essence of linear algebra: @ Youtube by,3Blue1Brown


    单词表:

    1         Span【线性生成空间】

    The “Span” of v and w is the set of all their linear combinations.

    2         i head, j head 【基础向量 X方向,基础向量Y方向】

     3        Basis,Basis vector:【基,基础向量】

    The Basis vector define the Coordinates which vary the different scalling would result the vector via Span.

    The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

    4         Linear combination 【线性组合】

    5         Linearly dependent & independent 【线性相关和线性无关】

     

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