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  • 展开全部表示唯一即需要A中向量不能相互表示,也就是A中向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb...也就说,这个向量可以被向量组A线性表示向量组个该...

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    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

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    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

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  • 1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是: 矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。 2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的...

    重要性质

    1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是:

    矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。

    2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

    3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示;但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。

    4、零向量可由任一组向量线性表示。

    5、向量组α1,α2,……,αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

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  • 4.3向量组线性相关性1. 齐次线性方程组与线性相关设有方程组记向量则上述线性方程组可以转化为从而... 线性相关两个判定定理定理(1) 向量组线性相关充分必要条件是:中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.(...

    4.3向量组的线性相关性

    1. 齐次线性方程组与线性相关

    设有方程组记向量则上述线性方程组可以转化为从而将齐次方程有非零解问题转化为向量方程的有非零解问题,自然而然地引出线性相关的概念.

    2. 线性相关的定义

    给定向量组如果存在不全为零的数使则称向量组是线性相关的,否则称它线性无关.

    3. 线性相关的两个判定定理

    定理

    (1) 向量组线性相关的充分必要条件是:中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

    (2) 维列向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数向量组线性无关的充分必要条件是

    4. 例题

    1. 维向量组称为维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.2线性相关判定定理

    视频讲解

    1. 已知 试讨论向量组的线性相关性.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.3线性相关性例题

    视频讲解

    1. 已知向量组线性无关,试证线性无关.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.4线性相关性例题2

    视频讲解

    5. 向量组增减元素对线性相关性的影响

    定理

    若向量组线性相关,则向量组也线性相关.反言之,若向量组线性无关,则向量组也线性无关.

    6. 向量维数改变对线性相关性的影响

    定理

    添上一个分量后得向量若向量组线性无关,则向量组也线性无关.反言之,若向量组线性相关,则向量组也线性相关.

    7.向量组个数、维数与线性相关的关系

    定理

    维向量组成的向量组,当时向量组一定线性相关.

    8. 向量组线性相关性的联系

    定理

    设向量组线性无关,而向量组线性相关, 则向量必能由向量组线性表示,且表示式是唯一的.

    9. 例题

    试证明:

    (1)一个向量线性相关的充要条件是

    (2)一个向量线性无关的充要条件是

    (3)两个向量线性相关的充要条件是或者两式不一定同时成立.

    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.9线性相关定理例题

    视频讲解

    例题答案

    例4答案

    1. 向量组线性无关.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.2线性相关判定定理
    1. 线性相关,线性无关.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.3线性相关性例题
    1. 证明略.
    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.4线性相关性例题2

    例9答案

    证明略

    课堂索引:13 第四章 4.3线性相关性
    4.3.9线性相关定理例题

    视频讲解

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  • 向量组的线性相关性

    2018-12-13 15:58:00
    定理1 向量b能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩等于矩阵B=(a1, a2, …, am, b)的秩。 定理2 向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件...

     

    定理1 向量b能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩等于矩阵B=(a1, a2, …, am, b)的秩。

    定理2 向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示的充要条件是矩阵A=( a1, a2, …, am)的秩等于矩阵(A, B)=( a1, a2, …, am, b1, b2, …, bl)的秩,即R(A) = R(A, B)。

    推论:向量组A:a1, a2, …, am 与向量组B:b1, b2, …, bl 等价的充要条件是R(A) = R(B) = R(A, B)。

    定理3 设向量组B:b1, b2, …, bl 能由向量组A:a1, a2, …, am 线性表示,则R(A)≥ R(B)。

    定理4 向量组A:a1, a2, …, am线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=( a1, a2, …, am) 的秩小于向量个数m;向量组A线性无关的充要条件是R(A) = m。

    定理5 (1) 若向量组A:a1…,am线性相关,则向量组B:a1, …, am, am+1也线性相关。反之,若向量组B线性无关,则向量组A也线性无关。

    (2) m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量个数m时一定线性相关。特别地,n+1个n维向量一定线性相关。

    (3) 设向量组A:a1, a2, …, am线性无关,而向量组B:a1, …, am, b线性相关,则向量b必能由向量组A线性表示,且表示式是惟一的。

    定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩

     

    解的性质,

    Ax = 0  (2)

    Ax = b  (5)

    性质1 若x = ξ1x = ξ2为向量方程(2)的解,则x = ξ1 + ξ2 也是向量方程(2)的解。

    性质2 若x = ξ1 为向量方程(2)的解,则x = kξ1 也是向量方程(2)的解。

    性质3 设x = η1x = η2 都是向量方程(5)的解,则x = η1 – η2 为对应齐次线性方程组Ax = 0 的解。

    性质4 设x = η 是方程(5)的解,x = ξ 是方程(2)的解,则x = η + ξ 仍是方程(5)的解。

     

    1. 向量组及其线性组合

     

    线性组合和线性表示只是概念的描述方式不同。

    上章定理5,线性方程组Ax = b有解的充分必要条件是R(A) = R(A, b).

    矩阵A与B行等价,即矩阵A经初等行变换变成矩阵B,则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合,即B的行向量组能由A的行向量组线性表示

    把向量组的线性组合、线性表示、等价等概念,移到线性方程组:对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合;若方程组B的每个方程都是方程A的线性组合,就成方程组B能由方程组A线性表示,这时方程组A的解一定是方程组B的解;若方程组A与方程组B能相互线性表示,就称这两个方程可互推,可互推的线性方程组一定同解。

    上章定理6,矩阵方程AX = B有解的充分必要条件是R(A) = R(A, B).

     

    线性组合、线性表示、线性相关

    2. 向量组的线性相关性

    线性组合、线性表示对一组数没有要求,线性相关要求不全为零的一组数。

    方程组Ax = b线性相关的充要条件是矩阵B(A, b) 的行向量组线性相关。琢磨了好久

    线性相关就是齐次线性方程组Ax = 0有非零解

    上章定理4,n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充要条件是R(A) < n.

    向量组A线性相关,A中的某一向量可以由组中其他向量线性表示,齐次线性方程组Ax = 0有非零解,R(A) < n,R(A) < 向量个数

    向量个数等于未知数x的个数,即元数。

    |E| ≠ 0 可能是表示没有全零行,故R(E) = n,,,

     

    向量组A线性无关,向量组B=(A, b)线性相关,则:R(A) = R(B) = m,方程组Ax = b有惟一解,向量b能由向量组A线性惟一表示。后面就是定理1了。

     

    3. 向量组的秩

    “A中每个向量都能由A组线性表示”,比如,(a1 = k1*a1 + k2*a2 +…+ km*am 一组数为1, 0,…,0a2 = k1*a1 + k2*a2 +…+ km*am 一组数为0,1,0,…,0),同样地,A0中每个向量也能有A0线性表示。

    “由定义5的条件(ii)知,对于A中任一向量a,r+1个向量a1, a2,…, ar,a 线性相关,而a1, a2,…, ar 线性无关,根据定理5(3)知a能由a1, a2,…, ar 线性表示”,对于既属于A0中又属于A中的向量,以a1为例,当一组数为(1, 0, 0, ..., 0)时有k1*a1 + k2*a2 +…+ kr*ar = a1,即a1能被A0线性表示,这个与A0是否线性相关无关。

    结论:向量组A与它自己的最大无关组A0等价,反之,与向量组A等价的无关组A0一定是最大无关组。

     

    4. 线性方程组的解的结构

     

    5. 向量空间

    齐次线性方程组的解集是向量空间,非齐次线性方程组的解集不是向量空间。

    子空间,

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yangxiaoling/p/10114500.html

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  • 参考:《线性代数》同济大学第四版 1. 向量组及其线性组合  1)向量:定义;实向量、复向量;行向量、列向量; ... 2)向量空间:定义;... 4)定理1:向量能由向量组线性表示的充要条件  5)定理2
  • 定义4:给定向量组,如果存在不全为零数,使得,则称向量...定理4:向量组线性相关充分必要条件是它所构成矩阵秩小于向量个数m; 向量组线性无关充分必要条件是 特别,当m=n,即向量组中向量个数等于向量
  • 2、[定理1]向量b能由向量组A线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)。 3、若A与B列等价,则A的列向量组与B的列向量组等价;若A与B行等价,则A的行向量组与B的行向量组等价。 4、[定理2]向量组B能由向量组
  • n维向量组 注意点 任意一个n维向量都可以由n维基本单位向量表示 0向量时任意向量组线性组合 向量组A中任意一个向量都可以由这个向量组表示 ...向量组线性相关充要条件是其中至少一个向量可以由
  • (3)4、向量组相关性与线性表示理论性质1:若线性相关,则其中至少有一个向量可由其余向量表出。性质2:设线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示方法唯一。性质3:若一个向量线性无关,则其中任意一个部分...
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向量组线性表示的条件