精华内容
下载资源
问答
  • 向量组线性表示的条件
    万次阅读
    2019-10-22 20:24:25

    重要性质

    1、向量组B=(β1,β2,……,βm)能由向量组A=(α1,α2,……,αm)线性表示的充要条件是:

    矩阵A=(α1,α2,……,αm)的秩=矩阵(α1,α2,……,αm,B)的秩。

    2、向量组B能由向量组A线性表示,则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

    3、一个向量可由向量组中其余向量线性表示,前提是这个向量组线性相关。线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示;但当其余向量线性无关时,这个向量必可由其余向量线性表示。

    4、零向量可由任一组向量线性表示。

    5、向量组α1,α2,……,αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。

    更多相关内容
  • 向量组 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合...向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵 正交向量 当∣∣x∣∣=1||x|| = 1∣∣x∣∣=1时,称x为单位向量 当∣∣x∣∣≠=0,∣∣y∣∣≠0||x|| \neq = 0, ||y||

    向量组

    • 向量组:有限个相同维度的行向量或列向量组合成的一个集合就叫做向量组A
      • 如果是行向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ a 2 ⃗ a 3 ⃗ ⋮ a n ⃗ ⋮ ) A = \left (\begin{array}{cccc}\vec{a_1} \\\vec{a_2} \\\vec{a_3} \\ \vdots \\\vec{a_n} \\ \vdots \\\end{array} \right ) A=a1 a2 a3 an
      • 如果是列向量,那么表示为: A = ( a 1 ⃗ , a 2 ⃗ , a 3 ⃗ , ⋯   , a n ⃗ , ⋯   ) A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \cdots, \vec{a_n}, \cdots) A=(a1 ,a2 ,a3 ,,an ,)
    • 向量组是由多个向量构成,可以表示为矩阵

    正交向量

    • ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x|| = 1 x=1时,称x为单位向量,这里 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||x|| x特指向量x的模
    • ∣ ∣ x ∣ ∣ ≠ 0 , ∣ ∣ y ∣ ∣ ≠ 0 ||x|| \neq 0, ||y|| \neq 0 x=0,y=0时, θ = a r c c o s x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ y ∣ ∣ \theta = arccos \frac{x · y}{||x|| · ||y||} θ=arccosxyxy 称为n维向量x与y的夹角
      • x ⋅ y = 0 x · y = 0 xy=0时,称向量x与y正交
      • x = 0 x=0 x=0,则显然x与任何向量都正交

    向量的线性表示

    • 对于向量组: A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn, 表达式 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k n α n     ( k i ∈ R ) k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n \alpha_n \ \ \ (k_i \in R) k1α1+k2α2+...+knαn   (kiR) 称为向量组A的一个线性组合
    • 又如果 β \beta β是向量组A的一个线性组合,即存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn, 使得 β = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n \beta = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n β=λ1α1+λ2α2+...+λnαn, 则称向量 β \beta β 可由向量组A线性表示
      • 通常写成 β = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α n ] [ λ 1 λ 2 ⋮ λ n ] \beta = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n]\left [\begin{array}{cccc}\lambda_1 \\\lambda_2 \\ \vdots \\\lambda_n\end{array} \right ] β=[α1,α2,,αn]λ1λ2λn
      • 向量 β \beta β 可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示
        • ⇔ \Leftrightarrow (按定义) 存在数 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n λ1,λ2,...,λn 使 λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + . . . + λ n α n = β \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + ... + \lambda_n \alpha_n = \beta λ1α1+λ2α2+...+λnαn=β
        • ⇔ \Leftrightarrow (转换为方程组) 方程组 x 1 α 1 + x 2 α 2 + . . . + x n α n = β x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... + x_n \alpha_n = \beta x1α1+x2α2+...+xnαn=β 即: A x = β ( A = [ α 1 , α 2 , . . . , α n ] ) Ax = \beta (A = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]) Ax=β(A=[α1,α2,...,αn]) 有解
    • 如果向量组 B : β 1 , β 2 , . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, ..., \beta_q B:β1,β2,...,βq中的每个向量都可由向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性表示,则称向量组B可由向量组A线性表示
      • 设B由A表示如下:
      • { β 1 = c 11 α 1 + c 21 α 2 + ⋯ + c p 1 α p β 2 = c 12 α 1 + c 22 α 2 + ⋯ + c p 2 α p ⋯ β q = c 1 q α 1 + c 2 q α 2 + ⋯ + c p q α p \left \{\begin{array}{cccc}\beta_1 = c_{11}\alpha_1 + c_{21}\alpha_2 + \cdots + c_{p1}\alpha_p \\ \beta_2 = c_{12}\alpha_1 + c_{22}\alpha_2 + \cdots + c_{p2}\alpha_p \\ \cdots \\ \beta_q = c_{1q}\alpha_1 + c_{2q}\alpha_2 + \cdots + c_{pq}\alpha_p \\ \end{array} \right. β1=c11α1+c21α2++cp1αpβ2=c12α1+c22α2++cp2αpβq=c1qα1+c2qα2++cpqαp
      • 一个向量组表示另一向量组就是矩阵乘法的关系
      • 改写为矩阵
        • [ β 1 , β 2 , ⋯   , β q ] = [ α 1 , α 2 , ⋯   , α p ] [ c 11 c 12 ⋯ c 1 q c 21 c 22 ⋯ c 1 q ⋮ ⋮ ⋮ c p 1 c p 2 . . . c p q ] p × q [\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_q] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_p]\left [\begin{array}{cccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1q} \\c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{1q} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\c_{p1} & c_{p2} & ... & c_{pq}\end{array} \right ]_{p×q} [β1,β2,,βq]=[α1,α2,,αp]c11c21cp1c12c22cp2...c1qc1qcpqp×q
        • 即:B = A × C系数矩阵
      • 转换为矩阵方程 A X = B AX = B AX=B 有解
    • 如果向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α p A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_p A:α1,α2,...,αp 与向量组 B : β 1 , β 2 , β 3 . . . , β q B: \beta_1, \beta_2, \beta_3 ..., \beta_q B:β1,β2,β3...,βq 可以相互表示,则称这两个向量组等价
      • 关于向量组的等价关系:
        • 如果 A = ( α 1 α 2 ⋮ α m ) → 行变换 B = ( β 1 β 2 ⋮ β m ) A =\left (\begin{array}{cccc}\alpha_1 \\\alpha_2 \\ \vdots \\\alpha_m\end{array} \right ) \overset{\text{行变换}}{\to} B =\left (\begin{array}{cccc}\beta_1 \\\beta_2 \\ \vdots \\\beta_m\end{array} \right ) A=α1α2αm行变换B=β1β2βm
        • 则称A与B行等价.
        • 同理可定义列等价.
    • 设向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α m A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m A:α1,α2,...,αm, 如果其中一个向量可由其余的向量线性表示,则称该向量组线性相关,否则,如果任意向量都不能由其余向量线性表示,则称该向量组线性无关(或独立)
      • 如何用数学数字表达?
        • 如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1, k_2, ..., k_m k1,k2,...,km
        • k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 则称该向量组线性相关.
        • 否则,如果设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k m α m = 0 k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0
        • 只能推出 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1 = k_2 = ... = k_m = 0 k1=k2=...=km=0 则称该向量组线性无关
    • 线性相关与线性无关统称为向量组的线性相关性
    • 向量组的线性相关性与线性表示有何关系?
      • 向量组线性相关的充要条件是:向量组中至少存在一个向量是其余向量的线性组合
      • 同理, 可回答线性无关与线性表示的关系
    • 定理:向量组 A : α 1 , α 2 , . . . , α n A: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n A:α1,α2,...,αn 线性相关的充要条件是矩阵 A = ( α 1 , α 2 , . . . , α n ) A=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) A=(α1,α2,...,αn)的秩小于向量个数n,向量组 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n α1,α2,...,αn 线性无关 ⇔ r ( A ) = n \Leftrightarrow r(A) = n r(A)=n (满秩)

    例1

    • α 1 = ( 1 − 23 ) T , α 2 = ( 210 ) T , α 3 = ( 1 − 79 ) T \alpha_1 = (1 -2 3)^T, \alpha_2 = (2 1 0)^T, \alpha_3 = (1 -7 9)^T α1=(123)T,α2=(210)T,α3=(179)T 问这组向量是否线性相关?
    • 分析
      • A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 1 2 1 − 2 1 − 7 3 0 9 ) → ( 1 2 1 0 5 − 5 0 − 6 6 ) → ( 1 2 1 0 1 − 1 0 0 0 ) A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\-2 & 1 & -7 \\3 & 0 & 9\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 5 & -5 \\0 & -6 & 6\end{array} \right ) \to\left (\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 0\end{array} \right ) A=(α1,α2,α3)=123210179100256156100210110
      • 因为 r ( A ) = 2 < 3 r(A) = 2 < 3 r(A)=2<3
      • 所以线性相关

    例2

    • α 1 = [ 1 1 1 ] , α 2 = [ 0 1 1 ] , α 3 = [ 2 4 5 ] \alpha_1 = \left [\begin{array}{cccc}1 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_2 = \left [\begin{array}{cccc}0 \\1 \\1 \\\end{array} \right ],\alpha_3 = \left [\begin{array}{cccc}2 \\4 \\5 \\\end{array} \right ] α1=111,α2=011,α3=245, 问向量组 { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3}的线性相关性?
    • 分析
      • [ α 1 , α 2 , α 3 ] = [ 1 0 2 1 1 4 1 1 5 ] → [ 1 0 2 0 1 2 0 0 1 ] [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3] = \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\1 & 1 & 4 \\1 & 1 & 5 \end{array} \right ] \to \left [\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1 \end{array} \right ] [α1,α2,α3]=111011245100010221
      • r ( [ α 1 , α 2 , α 3 ] ) = 3 r([\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3]) = 3 r([α1,α2,α3])=3, { α 1 , α 2 , α 3 } \{ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \} {α1,α2,α3} 线性无关
    展开全文
  • 展开全部表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb...也就说,这个向量可以被向量组A线性表示向量组个该...

    展开全部

    表示唯一即需要A中的向量不能相互表示,也就是A中的向量线性无关时,由A中向量表示成b时表示方法唯32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643061一。

    条件:等价于AX=b这个方程有解。要理解一个问题,矩阵A实际上就是列向量组构成的,它与一个X向量相乘,得到的就是另外一个向量。也就说,这个向量可以被向量组A线性表示。

    向量组个该向量组成的矩阵的秩等于或小于向量组中向量的个数,取自定理:若向量组α1,α2...αn线性无关,且α1,α2...αn,β线性相关,则β可由这个向量组α线性表出,且表示法唯一。

    9cf84f606241e108d2b4e5ac347693c5.png

    扩展资料

    注意

    1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

    2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关;若a≠0, 则说A线性无关。

    3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

    4、含有相同向量的向量组必线性相关。

    5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。

    6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。

    7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

    8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。

    9、若向量组所包含向量个数等于分量个数时,判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零,则向量组线性相关;否则是线性无关的。

    展开全文
  • 索引 原问题 证明 原问题   向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1​​β2​​⋯​βs​​]可由线性无关...

    原问题

      向量组 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]可由线性无关的向量组 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]线性表示,即有 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] B , \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]B, [β1β2βs]=[α1α2αr]B,
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k ( B ) . rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left( B \right). rank{[β1β2βs]}=rank(B).

    证明

    1. 引理1:矩阵的初等行变换和初等列变换不改变原矩阵的秩。
    2. 定义1:对单位矩阵 I I I进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。
    3. 引理2:对矩阵进行一次初等行(列)变换相当于在原矩阵左(右)边乘一个相应的初等矩阵。
    4. 引理3:初等矩阵的逆还是初等矩阵。

      首先对矩阵 B B B进行拆解。 B B B是一个 r × s r\times s r×s的矩阵。令 t = r a n k ( B ) ≤ min ⁡ { r , s } t=rank\left( B \right)\le \min \left\{ r,s \right\} t=rank(B)min{r,s},则 B B B一定可以由矩阵 [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] \left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] [It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]经过有限的一系列初等行列变换得到,即存在初等矩阵 P 1 ( a ) ,   P 2 ( a ) , . . . , P m ( a ) ( a ) P_{1}^{\left( a \right)},\text{ }P_{2}^{\left( a \right)},...,P_{m\left( a \right)}^{\left( a \right)} P1(a), P2(a),...,Pm(a)(a) P 1 ( b ) ,   P 2 ( b ) , . . . , P m ( b ) ( b ) P_{1}^{\left( b \right)},\text{ }P_{2}^{\left( b \right)},...,P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} P1(b), P2(b),...,Pm(b)(b),使得
    B = ( ∑ i m ( a ) P i ( a ) ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) . B=\left( \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right)\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right). B=im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b).
    所以我们得到
    [ β 1 β 2 ⋯ β s ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] { ∑ i m ( a ) P i ( a ) [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] ∑ i m ( b ) P i ( b ) } \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\left\{ \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right\} [β1β2βs]=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)]im(b)Pi(b)
    ⇒ [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ⋅ ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 = { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ⋅ ∑ i m ( a ) P i ( a ) } [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ] . \Rightarrow \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}=\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\centerdot \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} \right\}\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right]. [β1β2βs]im(b)Pi(b)1=[α1α2αr]im(a)Pi(a)[It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)].

    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ β 1 β 2 ⋯ β s ] ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 , \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right]{{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}}, [β1(1)β2(1)βs(1)]=[β1β2βs]im(b)Pi(b)1,
    [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] = [ α 1 α 2 ⋯ α r ] ∑ i m ( a ) P i ( a ) , \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right]\sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}}, [α1(1)α2(1)αr(1)]=[α1α2αr]im(a)Pi(a),
    则可简写成
    [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] [ I t × t O t × ( s − t ) O ( r − t ) × t O ( r − t ) × ( s − t ) ]   = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ]   ( t ≤ r ) \begin{aligned} & \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{I}_{t\times t}} & {{O}_{t\times \left( s-t \right)}} \\ {{O}_{\left( r-t \right)\times t}} & {{O}_{\left( r-t \right)\times \left( s-t \right)}} \\ \end{matrix} \right] \\ & \text{ }=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right]\text{ }\left( t\le r \right) \\ \end{aligned} [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1)α2(1)αr(1)][It×tO(rt)×tOt×(st)O(rt)×(st)] =[α1(1),α2(1),...,αt(1)] (tr)

    下面分步骤进行分析。

    1. [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]是由 [ β 1 β 2 ⋯ β s ] \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] [β1β2βs]右乘 ( ∑ i m ( b ) P i ( b ) ) − 1 {{\left( \sum\limits_{i}^{m\left( b \right)}{P_{i}^{\left( b \right)}} \right)}^{-1}} (im(b)Pi(b))1得到,即右乘一系列初等矩阵 ( P m ( b ) ( b ) ) − 1 , ( P m ( b ) − 1 ( b ) ) − 1 , . . . , ( P 1 ( b ) ) − 1 {{\left( P_{m\left( b \right)}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},{{\left( P_{m\left( b \right)-1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}},...,{{\left( P_{1}^{\left( b \right)} \right)}^{-1}} (Pm(b)(b))1,(Pm(b)1(b))1,...,(P1(b))1得到,所以有
      r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\} rank{[β1β2βs]}=rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}
    2. [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]是由 [ α 1 α 2 ⋯ α r ] \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] [α1α2αr]右乘一系列初等矩阵 ∑ i m ( a ) P i ( a ) \sum\limits_{i}^{m\left( a \right)}{P_{i}^{\left( a \right)}} im(a)Pi(a)得到,有
      r a n k { [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 α 2 ⋯ α r ] } = r rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\alpha }_{1}} & {{\alpha }_{2}} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=r rank{[α1(1)α2(1)αr(1)]}=rank{[α1α2αr]}=r
    3. 在步骤2已经知道 [ α 1 ( 1 ) α 2 ( 1 ) ⋯ α r ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\alpha }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\alpha }_{r}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] [α1(1)α2(1)αr(1)]也是一个极大线性无关组的基础上,结合上面得到的 [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] = [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right]=\left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] [β1(1)β2(1)βs(1)]=[α1(1),α2(1),...,αt(1)] t ≤ r t\le r tr的条件,显然有
      r a n k { [ β 1 ( 1 ) β 2 ( 1 ) ⋯ β s ( 1 ) ] } = r a n k { [ α 1 ( 1 ) , α 2 ( 1 ) , . . . , α t ( 1 ) ] } = t . rank\left\{ \left[ {{\begin{matrix} {{\beta }_{1}}^{\left( 1 \right)} & {{\beta }_{2}}^{\left( 1 \right)} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix}}^{\left( 1 \right)}} \right] \right\}=rank\left\{ \left[ \alpha _{1}^{\left( 1 \right)},\alpha _{2}^{\left( 1 \right)},...,\alpha _{t}^{\left( 1 \right)} \right] \right\}=t. rank{[β1(1)β2(1)βs(1)]}=rank{[α1(1),α2(1),...,αt(1)]}=t.

    综上即可证得
    r a n k { [ β 1 β 2 ⋯ β s ] } = t = r a n k ( B ) rank\left\{ \left[ \begin{matrix} {{\beta }_{1}} & {{\beta }_{2}} & \cdots & {{\beta }_{s}} \\ \end{matrix} \right] \right\}=t=rank\left( B \right) rank{[β1β2βs]}=t=rank(B)

    展开全文
  • 线性代数之线性相关线性表示的求法 线性相关 向量是n个m维(每个向量分量的个数)的向量,若存在一不全为0的 使得 则 是线性相关的,反之线性无关。 线性无关即等价于以下命题: 线性不相关 找不到一不全0...
  • 向量组线性相关性

    万次阅读 2021-06-05 23:45:21
    n维列向量和n维行向量,分别是竖着的和横着的。 aT=(a1,a2,a3,......,an) 横着的是行向量; a
  • 线性代数——向量及向量组线性相关性
  • 向量组的线性相关性1.向量组:多个向量组成的,向量组的线性相关性? 前提:向量:之前用一条线表示,坐标...一个向量B能由向量组A线性表示:充分必要条件矩阵A=(a1,a2,a3,a4,a5,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,a3,a4,a5,
  • 第一节 向量组线性相关性   一.数学概念 定义1.1 n个有次序的数 ,所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 称为第i个分量。 定义1. 2 给定向量组A: ,对于任何一组实数 ,...
  • 比较两个矩阵的秩,也可以先证明其中一个矩阵可以被另一个矩阵线性表示
  • 前言一、(非)齐次方程组解的判定二、易混知识点1.线性相关与线性表答(出)2.秩与最大线性无关组3.向量个数与维数三、补充 前言 ... 行列式(注:在n个n维向量组) 解的情况 b=0齐次线性方程组
  • 能相互线性表示,则称这两个向量组等价。 定理 向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯   , b l B:b_{1},b_{2},\cdots, b_{l} B : b 1 ​ , b 2 ​ , ⋯ , b l ​ 能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯   , a ...
  • 文章目录前言往期文章4.2 向量组线性相关性定义4线性相关/无关特殊情况定理4举例例题4例5例6定理5结语 前言 Hello!小伙伴! 非常感谢您阅读海轰的文章,倘若文中有错误的地方,欢迎您指出~   自我介绍 ଘ...
  • 第四章 向量组的线性相关性向量组及其线性组合 向量组及其线性组合 定义1 n 个有次序的数 a1,a2,…,an所组成的数组称为 n...定理1 向量 b 能由向量组 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …,
  • 线性代数 向量组

    千次阅读 2021-06-02 16:22:38
    向量组线性相关,线性无关(非常重要) 线性相关 满足上式且k是一组不全为0的数,则称α1,…αn线性相关。 向量组α1,…αn线性相关的充要条件 至少存在一个向量αi可以由其他的向量线性表出 矩阵A=(α1,…αn...
  • n维向量及其运算、向量线性相关与线性无关1 向量间的线性关系2 向量组的等价3 线性相关与线性无关4 定理 1 向量间的线性关系 向量定义:n个数a1,a2...ana_{1},a_{2}...a_{n}a1​,a2​...an​组成的有序数组(a1,a2......
  • 线性代数之向量基础点

    千次阅读 2021-03-06 12:53:48
    线性代数之向量基础点 向量的定义 ...向量组:n个同维的行向量(列向量)组成的集合向量组向量组与矩阵 m个n维列向量所组成的向量组A:a1 构成了n*m的矩阵,记作A=(a1 ,a2 … am ) 注:这...
  • 线性代数-向量组

    千次阅读 2021-05-16 23:55:44
    线性代数--向量组 定理2 若向量组α1,α2,α3......αn,线性无关,α1,α2,α3......αn,β线性相关,则β可以由α1,α2,α3......αn线性表示,且表示法唯一。...另,要想构成A的向量组线性无关则只有零解。
  • 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组 **线性相关性** 几个定义 线性组合的系数 给定向量组 A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2,…,km,表达式 k1a1+k2a2+…+km...
  • 这里写目录标题一,n维向量的线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量的线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组...
  • #机器学习--线性代数基础--第三章:向量组线性相关性1、向量的定义2、线性组合3、向量组线性相关性4、向量组的秩5、向量空间 1、向量的定义         nnn 个有次序的数 ...
  • n维列向量组α1,α2,...,αm,m, \alpha_2,...,\alpha_m, m 线性无关,则n维列向量组β1,β2,...,βm\beta_1,\beta_2,...,\beta_m线性无关的充要条件是(D) A. 向量组α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha...
  • (11)向量组及其线性组合

    千次阅读 2016-12-04 14:52:26
    定义1:n个有次序的数 a1,a2,....an所组成的...n维向量表示方法 n维向量写成一行,称为行向量,也就是行矩阵,如: n维向量写成一列,称为列向量,也就是列矩阵,如: 注意: 1.行向量和列向量都按照矩阵
  • 线性代数-向量组线性相关

    千次阅读 2019-03-07 21:37:12
    n维向量,极大无关,矩阵的秩
  • 第三节 向量空间 一.数字概念 定义3.1 设V是n维向量集合,且非空,若 (i) 则, ; (ii) 则 。...定义3.2 设 是两个向量...(ii) V中的任一向量都可由 线性表示,则称向量组 是向量空间V的一个基,r称为向量
  • 线性代数---(2)n维向量组

    千次阅读 2020-05-25 20:17:25
    n维向量组 注意点 任意一个n维向量都可以由n维基本单位向量表示 0向量时任意向量组的线性组合 向量组A中任意一个向量都可以由这个向量组表示 ...向量组线性相关的充要条件是其中至少一个向量可以由
  • 本篇笔记首先回顾了矩阵的秩,然后通过两个例子引入了极大...然后给出了向量组秩的定义,以及一些结论和定理;向量组的秩与矩阵的秩,定义方式完全不同,但两者之间却有千丝万缕的联系,后面还会总结它们之间的关系。
  • 向量这个概念我们在高中就接触到了,它既指一个点在空间中的坐标,也表示一个有向线段,如果我们加入复数概念的话,它还能表示一个数。在线性代数当中,向量就是指的n个有次序的数a1,a2,⋯ ,ana_1, a_2, \cdots, a_...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 51,527
精华内容 20,610
热门标签
关键字:

向量组线性表示的条件