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  • 线性空间的基和维数

    千次阅读 2020-12-19 12:50:01
    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.一. 域F上线性空间...

    本节就线性空间的基和维数进行分析总结,这一节是考研中容易出现的一部分,虽然概念性比较多,但是容易理解,也是很基础容易掌握的一部分,所以希望大家掌握本节老师给出的所有定义,定理及其例题.

    一. 域F上线性空间的定义及其简单性质

    定义1. 一个非空集合V,如果它有加法运算(即V×V到V的一个映射),其元素与域F的元素之间的纯量乘法运算(即F×V到V的一个映射),并满足下述8条运算法则

    1.

    2.

    3.V中有一个元素,记作0,它使得

    具有该性质的元素0称为V的零元;

    4.对于

    ,存在

    ,使得

    具有该性质的元素

    称为 V 的零元.

    5.

    其中 1 是 F 的单位元.

    6.

    7.

    8.

    那么称V是域F上的一个线性空间.

    从域F上的线性空间V满足的8条运算法则可以推导出线性空间V的一些简单性质:

    性质1. V中的零元是唯一的.

    性质2. V中每个元素

    的负元是唯一的.

    性质3.

    性贾 4.

    性质 5.

    性质 6.

    二.向量集的线性相关与线性无关

    命题1. 在域F上的线性空间V中,如果向量组的一个部分组线性相关,那么这个向量组线性相关.

    命题2. 在域F上的线性空间V中,包含零向量的向量集是线性相关的.

    命题3. 在域F上的线性空间V中,元素个数大于1的向量集W线性相关当且仅当W中至少有一个向量可以由其余向量中的有限多个线性表出.

    命题4. 在域F上的线性空间V中,设非零向量

    可以由向量集W线性表出,则表法唯一的充分必要条件为向量集W线性无关.

    命题 5. 在域 F 上的线性空间 V 中, 设向量组

    线性无关, 则向量

    可以由向量

    线性表出的充分必要条件为

    线性相关.

    三.基和维数

    定义2.设V是域F上的线性空间,V中的向量集S如果满足下述两个条件:

    1.向量集S是线性无关的;

    2.V中每一个向量可以由向量集S中有限多个向量线性表出, 那么称S是V的一个基.

    定义3. 设V是域F上的线性空间,如果V有一个基是由有限多个向量组成,那么称V是有限维的;如果V有一个基含有无穷多个向量,那么称V是无限维的.

    定理1.如果域F上的线性空间V是有限维的,那么V的任意两个基所含向量的个数相等.

    推论1. 如果域F上的线性空间V是无限维的,那么V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    证明: 假如V有一个基为

    那么可知V的任意一个基都含有n个向量,这与V是无限维的线性空间相矛盾.因此V的任意一个基都含有无穷多个向量.

    定义4.设V是域F上的线性空间,如果V是有限维的,那么把V的一个基所含向量个数称为V的维数,记作

    如果V是无限维的,那么记

    岩宝小提示:只含零向量的线性空间的维数为0.

    命题6. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n+1个向量都线性相关.

    命题7. 设V是域F上的n维线性空间,则V中任意n个线性无关的向量都是V的一个基.

    命题8.设V是域F上的n维线性空间,如果V中的每一个向量都可以由向量组

    线性表出,那么

    是 V 的一个基.

    命题9.设V是域F上的n维线性空间,则V中任意一个线性无关的向量组都可以扩充成V的一个基.例1.(2003大连理工)设

    (1)证明:全体与 A 可交换的矩阵构成实数域上的线性空间,记为 C(A).

    (2)求C(A)的维数与基.

    证明 :(1)

    任意

    由于

    所以

    所以

    对任意的

    所以

    又因为矩阵都满足线性空间的运算律

    所以C(A)是R上的线性空间.

    (2)设

    且AB=BA,可得

    故可得

    为C(A)的一组基,从而

    岩宝小提示:当出现可交换矩阵的时候,一定要想到AB=BA.例2.(2004 大连理工)设 P 是数域,

    表示 P 上的所有3×3 矩阵的集合,对于矩阵的加法及数乘运算,

    是 P 上的线性空间,令

    求 V 的基.

    解:任取

    而 B 可由

    线性表示,而 c 的对角元满足

    其基础解系为

    故C可由

    线性表示,从而V的基为

    岩宝同步思考练习

    1.(2004 陕西师范大学)设

    矩阵,其中

    (1) 求 det(A).

    (2)设

    求 W 的维数及一组基.

    2.(2003武汉大学)设

    (1)求A的秩.

    (2)求A的零化子空间N(A)(即满足Ax=0的4维向量组成的子空间)的维数和一组基.

    3.(2005武汉大学)设A是元素全为1的n阶方阵. (1)求行列式|aE+bA|的值,其中a,b为实常数;

    (2) 已知 1< r(aE+bA)< n,试确定a,b所满足的条件,并求下列线性子空间的维数

    4.(2005浙江师范大学)如果齐次线性方程组

    的解空间W是3维的,试求a,b的值,并求W的一组基,解空间有可能为2维空间吗?

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  • 叉乘的集合意义是已知道N空间中的N-1基向,可以求出与这N-1向量正交的另一向量吧.有的书上说叉乘只在3上有定义,就是vec1和vec2相乘得:(vec1.y * vec2.z - vec1.z * vec2.y,vec1.z * vec2.x - vec1.x * ...

    叉乘的集合意义是已知道N维空间中的N-1个基向,可以求出与这N-1个基向量正交的另一个基向量吧.

    有的书上说叉乘只在3维上有定义,就是vec1和vec2相乘得:

    (vec1.y   *   vec2.z   -   vec1.z   *   vec2.y,

    vec1.z   *   vec2.x   -   vec1.x   *   vec2.z,

    vec1.x   *   vec2.y   -   vec1.y   *   vec2.x   )

    其实(我觉得)如果是2维的话那就是一个向量,求它的垂直向量就是叉乘了.

    4维向量的叉乘应该是3个向量相乘.按照某些网上的说法来说是这样定义的:

    V1   x   V2   x   V3   =

    &brvbar;i.   j.   k.   l. &brvbar;

    &brvbar;x1   y1   z1   w1 &brvbar;

    &brvbar;x2   y2   z2   w2 &brvbar;

    &brvbar;x3   y3   z3   w3 &brvbar;

    其中i,j,k,l是4维空间中的4个基向量.

    但我通过程序代码实现后发现测试不对.叉乘我是这么写的:

    inline   Vector4   Vector_Util::cross_product(const   Vector4&   vec1,   const   Vector4&   vec2,   const   Vector4&   vec3)

    {

    /*

    V1   x   V2   x   V3   =

    &brvbar;i.   j.   k.   l. &brvbar;

    &brvbar;x1   y1   z1   w1 &brvbar;

    &brvbar;x2   y2   z2   w2 &brvbar;

    &brvbar;x3   y3   z3   w3 &brvbar;

    */

    Real   a   =   vec1.x*vec2.y   -   vec1.y*vec2.x;

    Real   b   =   vec1.x*vec2.z   -   vec1.z*vec2.x;

    Real   c   =   vec1.x*vec2.w   -   vec1.w*vec2.x;

    Real   d   =   vec1.y*vec2.z   -   vec1.z*vec2.y;

    Real   e   =   vec1.y*vec2.w   -   vec1.w*vec2.y;

    Real   f   =   vec1.z*vec2.w   -   vec1.w*vec2.z;

    return   Vector4(   f*vec3.y   -   e*vec3.z   +   d*vec3.w,

    f*vec3.x   +   c*vec3.z   -   b*vec3.w,

    e*vec3.x   -   c*vec3.y   +   a*vec3.w,

    d*vec3.x   +   b*vec3.y   -   a*vec3.z);

    }

    测试是随便找了3个不共面的向量比如:

    (1,2,3,4)(-4,-2,3,1)(10,-8,6,5)

    应该叉乘得到的向量始终是和这3个向量垂直的,也就是说和它们分别做点乘应该都是得到0.但为什么算出来老是不对么?

    (1,2,3,4)(-4,-2,3,1)(10,-8,6,5)这3个做叉集算出来是

    72,-63,266,-36

    这个,着实不知道怎么回事了

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  • 线代有个很难理解的知识点,即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。 这个结论是怎么来的呢?本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点(结论推导所用的都是基础的线代知识,只是有些数学式子...

    线代有个很难理解的知识点,即同一特征值的线性无关特征向量个数要小于等于特征值重数。 这个结论是怎么来的呢?本文用最朴素的证明来帮助大家弄懂这个知识点(结论推导所用的都是基础的线代知识,只是有些数学式子比较复杂,认真看完,理解很容易,相信自己!)。

    a.首先一起看下会用到的两个tips:

    tip 1:一定可以找到n个线性无关的n维向量,且它们可以表示任何一个n维向量

    比如2维向量:能找到 α 1 = ( 1 , 0 ) T 和 α 2 = ( 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0)^{T} 和 \alpha_{2}=(1,1)^{T} α1=(1,0)Tα2=(1,1)T
    两个线性无关的向量,能表示二维平面里面的所有向量。
    3维向量:能找到 α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T , α 2 = ( 1 , 1 , 0 ) T , α 3 = ( 0 , 1 , 1 ) T \alpha_{1}=(1,0,0)^{T} , \alpha_{2}=(1,1,0)^{T} ,\alpha_{3}=(0,1,1)^{T} α1=(1,0,0)Tα2=(1,1,0)Tα3=(0,1,1)T三个线性无关的向量,能表示三维立体空间里面的所有向量。

    例图

    tip 2:来计算一下某种行列式的值

    n阶行列式:
    在这里插入图片描述
    以5阶为例,一起来找规律。
    找规律
    由此可见,其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子。

    于是我们将此规律扩展到n维:
    在这里插入图片描述

    拓展到n维(为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
    至此两个需要用到的tips讲完了,接着开始证明。

    b.准备就绪,开始证明:

    设A为n阶矩阵, λ 1 \lambda_{1} λ1 是它特征值(重根), α 1   α m \alpha_{1} ~ \alpha_{m} α1 αm 分别为其m个线性无关的特征向量。所以我们所要证明的就是 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m

    证明:
    1.构造一个n阶可逆矩阵P:

    由于 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α m \alpha_{m} αm 为n维向量,所以一定能找到 α m + 1 \alpha_{m+1} αm+1 ~ α n \alpha_{n} αn,使 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性无关且可以表示任何一个n维向量(根据前面tip 1得到的)
    因此可以构造出一个n阶可逆矩阵
    P = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … , α n ) P=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right) P=(α1,α2,,αm,αm+1,αn)

    2.A左乘可逆矩阵P:

    A P = ( A α 1 , A α 2 , … , A α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( A\alpha_{1} ,A\alpha_{2} ,…,A\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(Aα1,Aα2,,Aαm,Aαm+1,Aαn)
    由特征值与特征向量的关系: A α i = λ 1 α i A\alpha_{i}=\lambda_{1}\alpha_{i} Aαi=λ1αi (其中i=1,2,……,m)得
    A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,Aαm+1,Aαn)
    又因为: A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果为n维向量(i=m+1,m+2,…,n)
    所以 A α i A\alpha_{i} Aαi 的结果可以用 α 1 \alpha_{1} α1 ~ α n \alpha_{n} αn 线性表示出来(根据tip 1得到的),即:
    A α i = a 1 i α 1 + a 2 i α 2 + … + a n i α n = ∑ k = 1 n a k i α k ( i = m + 1 , m + 2 , … , n ) A\alpha_{i}=a_{1i}\alpha_{1}+a_{2i}\alpha_{2}+…+a_{ni}\alpha_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{ki}\alpha_{ k}} (i=m+1,m+2,…,n) Aαi=a1iα1+a2iα2++aniαn=k=1nakiαki=m+1m+2n

    2.把AP的结果用矩阵表示:

    A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , A α m + 1 , … , A α n ) AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,A\alpha_{m+1} ,…,A\alpha_{n} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,Aαm+1,Aαn)
    ⇒ A P = ( λ 1 α 1 , λ 1 α 2 , … , λ 1 α m , ∑ k = 1 n a k ( m + 1 ) α k , … , ∑ k = 1 n a k n α k ) \Rightarrow AP=\left( \lambda_{1}\alpha_{1} ,\lambda_{1}\alpha_{2} ,…,\lambda_{1}\alpha_{m} ,\sum_{k=1}^{n}{a_{k(m+1)}\alpha_{ k}} ,…,\sum_{k=1}^{n}{a_{kn}\alpha_{ k}} \right) AP=(λ1α1,λ1α2,,λ1αm,k=1nak(m+1)αk,k=1naknαk)
    ⇒ A p = ( α 1 , α 2 , … , α m , α m + 1 , … , α n ) \Rightarrow Ap=\left( \alpha_{1} ,\alpha_{2} ,…,\alpha_{m} ,\alpha_{m+1} ,…,\alpha_{n} \right) Ap=(α1,α2,,αm,αm+1,αn)· ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nann
    所以就有: P − 1 A P = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) P^{-1}AP= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} P1AP=λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nann

    3.减去 λ E \lambda E λE后,取行列式 :

    P − 1 A P − λ E = ( λ 1 a 1 ( m + 1 ) ⋯ a 1 n λ 1 a 2 ( m + 1 ) ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 a m ( m + 1 ) ⋯ a m n 0 0 ⋯ 0 a ( m + 1 ) ( m + 1 ) ⋯ a ( m + 1 ) n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n ( m + 1 ) ⋯ a n n ) − λ E P^{-1}AP-\lambda E= \begin{pmatrix} \lambda_{1}& & & & a_{1(m+1)}&\cdots&a_{1n} \\ & \lambda_{1} & & & a_{2(m+1)}&\cdots&a_{2n}\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1} & a_{m(m+1)}&\cdots&a_{mn}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{(m+1)(m+1)}&\cdots&a_{(m+1)n} \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&a_{n(m+1)}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} -\lambda E P1APλE=λ100λ100λ100a1(m+1)a2(m+1)am(m+1)a(m+1)(m+1)an(m+1)a1na2namna(m+1)nannλE
    左边: P − 1 A P − λ E = P − 1 A P − λ P − 1 P = P − 1 ( A − λ E ) P P^{-1}AP-\lambda E=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}P=P^{-1}(A-\lambda E)P P1APλE=P1APλP1P=P1AλEP
    右边: ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} λ1λ00λ1λ00λ1λ00 (为了方便,将后面的常数用“星号”代替)
    即得: P − 1 ( A − λ E ) P = ( λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ ⋱ ⋮ ⋮ λ 1 − λ ∗ ⋯ ∗ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ) P^{-1}(A-\lambda E)P= \begin{pmatrix} \lambda_{1}-\lambda& & & & *&\cdots&* \\ & \lambda_{1}-\lambda & & & *&\cdots&*\\ & & \ddots & & \vdots& &\vdots \\ & & & \lambda_{1}-\lambda & *&\cdots&*\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & *&\cdots&* \\\vdots& \vdots& & \vdots& \vdots& &\vdots \\0&0& \cdots & 0&*&\cdots&*\\ \end{pmatrix} P1AλEP=λ1λ00λ1λ00λ1λ00
    最后取行列式得:
    左边: ∣ P − 1 ( A − λ E ) P ∣ = ∣ P − 1 ∣ ∣ A − λ E ∣ ∣ P ∣ = ∣ A − λ E ∣ |P^{-1}(A-\lambda E)P|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=|A-\lambda E| P1AλEP=P1AλEP=AλE
    右边:根据之前的tip 2得: ( λ 1 − λ ) m ( 一 堆 式 子 ) (\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) (λ1λ)m()
    即得: ∣ A − λ E ∣ = ( λ 1 − λ ) m ( 一 堆 式 子 ) |A-\lambda E|=(\lambda_{1}-\lambda)^{m}(一堆式子) AλE=(λ1λ)m()
    所以可以得到 λ 1 \lambda_{1} λ1 至少为m重根,为什么至少呢?因为有可能后面乘以的一堆式子中可以提取出若干个 ( λ 1 − λ ) (\lambda_{1}-\lambda) (λ1λ) 出来,所以用至少这个词。
    到此为止,我们得到想证的 λ 1 \lambda_{1} λ1 的重数要≥m,命题成立。

    到此结束~
    我是煜神学长,考研我们一起加油!!!

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  • 本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。

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    一、向量

    1.1、向量定义

    向量也称为欧几里得向量、几何向量、矢量,指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

    1. 在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。
    2. 一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如 :
      在这里插入图片描述
      也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。但由于输入法不支持,本文后面的向量表示就不输箭头,如直接叫向量a、b、c。

    定义
    n个有顺序的数a1,a2,…,an组成的数组:
    a=(a1,a2,…,an)
    叫做n维向量,a1,a2,…,an叫做a的分量,ai叫做a的第i个分量。分量都是0的向量叫零向量

    两个向量相等当且仅当它们分量数量相同,且各分量都相等。

    1.2、向量的模和范数

    向量的模就是向量的大小,也就是向量的长度,表示符号为在向量两侧各加一竖线,如向量AB记作:
    在这里插入图片描述
    为了输入方便,以后老猿记为|向量AB|

    对于二维平面向量(x,y),其模长即为原点到该点的距离,大小为:
    在这里插入图片描述
    对于三维立体空间的向量(x,y,z),其模长为:
    在这里插入图片描述
    对于n维空间向量x(V1,V2,…,Vn),其模长为:
    在这里插入图片描述

    模是绝对值在二维和三维空间的推广,可以认为就是向量的长度。推广到高维空间中称为范数。

    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。

    1.3、向量的属性及自由向量

    • 向量规定了方向和大小,常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。
    • 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,向量a与b相等,记作a=b。 零向量与零向量相等。
    • 当用有向线段表示向量时,起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示相同向量。
    • 一个向量只要不改变它的大小和方向,它的起点和终点可以任意平行移动的向量,叫做自由向量。自由向量可以平移至空间任意点,这样一来,若已知向量的大小和方向,则向量就算给出。例如物体运动时的速度和加速度就是自由向量,在数学中把自由向量,简称为向量。数学中只研究自由向量。
    • 因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

    1.4、单位向量

    长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量。与a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量。一个非零向量除以它的模,可得所需单位向量。记作:
    在这里插入图片描述

    关于等式右边的含义,请参考下节关于向量点积的介绍:《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/112411742 人工智能数学基础-线性代数2:向量的点积、內积、数量积和外积》。

    1.5、负向量

    如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反,那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量,也称为相反向量。

    1.6、零向量

    长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。

    规定:所有的零向量都相等。

    1.7、固定向量

    固定向量也叫做胶着向量。在数学上指的是确定方向与大小、以及起点位置的向量。力学中的作用力就是固定向量。数学上不研究固定向量,只研究自由向量。

    1.8、滑动向量

    凡有大小及方向且需沿某一特定直线作用之向量,称之为滑动向量。

    滑动向量的起点在空间内固定的一条直线上,而固定向量是起点位置固定,而自由向量则什么都没有固定。

    1.9、位置向量

    对于坐标平面(原点O)内的任意一点P,我们把向量OP叫做点P的位置向量,记作:向量P。

    1.10、方向向量

    方向向量(direction vector)是一个数学概念,空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示,该向量称为这条直线的一个方向向量。

    1.11、平行向量、共线向量

    方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量。向量a、b平行(共线),记作a∥b。零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定。我们规定:零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。

    1.12、 两向量共线

    两平行向量 a与 b,可以平移至同一条与它们平行的直线上,故称此二向量a与b共线,也称向量a与b线性相关,否则,即 a不平行于b 时,称a与b线性无关。

    1.13、共面向量

    平行于同一平面的三个(或多于三个)向量叫做共面向量。
    空间中的向量有且只有以下两种位置关系:⑴共面;⑵不共面。
    注意:只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。

    1.14、法向量

    法向量,是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,因此一个平面都存在无数个法向量(包括两个单位法向量)。

    二、向量的加减法

    向量的加法、减法以及向量与数的乘法都称为向量的线性运算

    向量是将几何问题转化为代数问题的桥梁,向量的加减则是用代数方法进行几何运算。向量的加减法有几种方法。

    2.1、分量加减法

    向量的加减法就是对向量各个分量进行加减,假设有向量A(a1,a2,…,an)、向量B(b1,b2,…,bn),则:

    向量A+向量B = (a1+b1,a2+b2,...,an+bn) 
    向量A-向量B = (a1-b1,a2-b2,...,an-bn)
    

    2.2、头尾相接法(三角形定则)

    对n维空间的向量A1、A2、…、An,各向量在n维空间表现为一原点到对应向量点的有向线段,起点为原点,终点为向量对应坐标点。当A1、A2、…、An各向量按顺序相加时,A1对应线段保持位置不变,其他向量对应线段的长度和方向保持不变,但将平移到其起点与前一向量线段的终点重合,如此将所有相加的向量首尾相接,最后构成的图形中,原点到最后一个向量终点的线段即为所有向量相加的结果。

    如果是二维空间,则向量A1+向量A2+向量A3的过程及结果如下图左边:
    在这里插入图片描述

    如果只有两个向量相加,则两个相加的向量和最终的结果向量构成一个三角形,如上图右边。因此这种方法又叫三角形定则。当超出三个的多个向量相加时,可以采用先将第一个和第二个向量相加得到的结果再与第三个向量相加,然后其结果再与第四个向量相加,…,以此类推,直到获得最后的结果。

    以上方法,似乎只能用于求向量和,无法求向量差,其实向量减法也可以通过上述方法进行,将减去某个向量看成加上某个负向量,负向量与原向量的线段相同,只是箭头方向相反,即起点和终点相反,下图是 向量A1+向量A2向量A1-向量A2 三角形定则法计算过程及结果图:
    在这里插入图片描述

    2.3、平行四边形定则

    平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

    平行四边形定则解决向量加法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果为公共起点的对角线。下图为两个向量相加的三角形定则和平行四边形定则的对比,可以看到结果相同。
    在这里插入图片描述

    平行四边形定则解决向量减法的方法:将两个向量平移至公共起点,以向量的两条边作平行四边形,结果由减向量的终点指向被减向量的终点。下图为向量加减法的三角形定则法和平行四边形定则法的运算过程及结果对比:
    在这里插入图片描述
    当将以上两个图中右边图形的线条改成虚线,将二者原点重合,可以得到如下图:
    在这里插入图片描述
    可以看到两种方法得到的加法结果向量完全重叠,而减法向量为平行四边形的对边,只是起点不同。

    三、向量数乘

    3.1、定义

    数乘向量(scalar multiplication of vectors)是与一个实数和一个向量有关的一种向量运算,即数量与向量的乘法运算。n个相等的非零向量a相加所得的和向量,叫作正整数n与向量a的积,记为na。

    数乘向量的定义:一个数m乘一个向量a,结果是一个向量ma,称为数乘向量的积,其模是|m||a|,当m>0时,ma与a同向,当m<0时,ma与a反向,当m=0时,0a=0。

    这个定义可以形象地理解为,把向量a伸缩|m|倍,再由m的符号确定是否调向。

    3.2、相关规则

    • 向量的数乘实际上是加法的乘法表示,因此向量数乘m等于向量的各分量都乘以m
    • 对于任意向量a、b和任意实数λ,μ,有如下规则:
    1. 结合律:λ(μa) = (λμ)a
    2. 第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa
    3. 第二分配律:λ(a+b)=λa+λb。

    四、小结

    本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。

    参考资料:

    百度百科向量介绍

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空空如也

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向量组维数大于向量个数