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  • 摘自 张绍飞, 赵迪. 矩阵论教程[M]. 机械工业出版社, 2012.p94

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    摘自 程云鹏. 矩阵论[M]// 矩阵论(第二版). 西北工业大学出版社, 2000. p110
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    摘自 张绍飞, 赵迪. 矩阵论教程[M]. 机械工业出版社, 2012.p94

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  • 向量范数

    千次阅读 2019-09-06 19:31:55
      从度量上讲:内积、...首先,矩阵是无法比较大小的,例如 a=[3,5] 和 b=[4,4] ,问a和b这两个向量那个大?所以,任何需要度量的东西都需要投影到 RRR 空间。这里,我们取 a 和 b 的范数(满足非负性、齐次性和...

      从度量上讲:内积、积分、投影讲是一个意思。都是: ϕ : R n → R \phi : R^n \rightarrow R \quad ϕ:RnR的映射。我们将这样的 ϕ \phi ϕ 在广义上称为某种度量。首先,矩阵是无法比较大小的,例如 a=[3,5] 和 b=[4,4] ,问a和b这两个向量那个大?所以,任何需要度量的东西都需要投影到 R R R 空间。这里,我们取 a 和 b 的范数(满足非负性、齐次性和三角不等式)来将他们投影到 R R R 空间,得到 ||a|| = ||b||,这样,我们知道这两个向量是相等的。

      那么,对于矩阵 M M M 怎样比较大小呢?换句话我们怎样选择 ϕ \phi ϕ s.t. ∣ ∣ M ∣ ∣ → R ||M|| \rightarrow R MR? 那么,我们自然而然会想到矩阵范数(除了满足范数的三条型之外,对于 n × n n \times n n×n 的矩阵,我们希望其满足 相容性,即所谓的服从乘法范数(sub-multiplicative norm): ||AB||<=||A|| ||B||. )。如果不考虑相容性,那么矩阵范数和向量范数就没有区别,因为 m × n m\times n m×n 矩阵全体和 m × n m \times n m×n 维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征,这一点和算子范数的相容性一致,并且可以得到Mincowski定理(有限维线性空间的所有范数都等价)以外的信息。

    向量范数:
    1-norm:   ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ ||x||_1=\sum_{i=1}^N{|x_i|} x1=i=1Nxi

    2-norm:   ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ 2 ) 1 2 ||x||_2=\big(\sum_{i=1}^N{|x_i|^2}\big)^{\frac{1}{2}} x2=(i=1Nxi2)21

    ∞ \infty -norm:   ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 = max ⁡ i ∣ x i ∣ ||x||_1=\max \limits_{i} {|x_i|} x1=imaxxi

    p-norm:  ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 N ∣ x i ∣ p ) 1 p ||x||_p=\big(\sum_{i=1}^N{|x_i|^p}\big)^{\frac{1}{p}} xp=(i=1Nxip)p1

    矩阵范数:

    1-norm:   ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ j ∑ i = 1 N ∣ a i , j ∣ ||A||_1=\max \limits_{j} \sum_{i=1}^N {|a_{i,j}|} A1=jmaxi=1Nai,j  列和范数

    2-norm:   ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 = λ 1 ||A||_2=\sqrt{\lambda_1} A2=λ1 ,   λ 1 \lambda_1 λ1 A T A A^TA ATA 的最大特征值。该范数也被称为谱范数。

    ∞ \infty -norm: ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 = max ⁡ i ∑ j = 1 N ∣ a i , j ∣ ||A||_1=\max \limits_{i} \sum_{j=1}^N {|a_{i,j}|} A1=imaxj=1Nai,j   行和范数

    F-norm:  ∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i = 1 M ∑ j = 1 N ∣ a i , j ∣ 2 ) 1 2 ||x||_p=\big(\sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^{N} {|a_{i,j}|^2}\big)^{\frac{1}{2}} xp=(i=1Mj=1Nai,j2)21 ,Frobenius-norm,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方。

    诱导范数

    把矩阵看作线性算子,利用算子范数的性质,那么,矩阵范数可以由向量范数诱导得到:
    ║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}
    它自动满足对向量范数的相容性
    ║Ax║ ≤ ║A║║x║ 即: ║AB║ ≤ ║A║║B║。

    容易验证F-norm是相容的,但当min{m,n}>1时, F-norm 不能由向量范数诱导( ∣ ∣ E 11 + E 22 ∣ ∣ F = 2 &gt; 1 ||E_{11}+E_{22}||_F=2&gt;1 E11+E22F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。来自这里

    另外还有以下结论:
    ║ A B ║ F ≤ ║ A ║ F ║ B ║ 2 ║AB║_F \le ║A║_F ║B║_2 ABFAFB2

    ║ A B ║ F ≤ ║ A ║ 2 ║ B ║ F ║AB║_F \le ║A║_2 ║B║_F ABFA2BF

    矩阵的谱半径

    定义: 设 A 是 n 阶方阵, λ i \lambda_i λi 是其特征值,i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为 A 的谱半径,记为 ρ ( A ) \rho(A) ρ(A)
    注:注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来,谱范数是指A的最大奇异值,即 A T A A^TA ATA的最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数,但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论:
    定理1:
    谱半径不大于矩阵范数,即 ρ ( A ) ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ \rho(A) \le ||A|| ρ(A)A
    因为任一特征对λ,x,Ax=λx,可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
    定理2:
    对于任何方阵A以及任意正数e,存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
    定理3(Gelfand定理):
    ρ ( A ) = lim ⁡ k → ∞ ║ A k ║ 1 / k \rho(A)= \lim \limits_{k \rightarrow \infty} ║A_k║_1/k ρ(A)=klimAk1/k
    推论:
    推论1:矩阵序列 I , A , A 2 , … A k , … I,A,A_2,…A_k,… I,A,A2Ak 收敛于零的充要条件是 ρ ( A ) &lt; 1 \rho(A) &lt; 1 ρ(A)<1
    推论2:级数 I + A + A 2 + . . . I+A+A2+... I+A+A2+... 收敛到(I-A)-1的充要条件是 ρ ( A ) &lt; 1 \rho(A) &lt; 1 ρ(A)<1
    酉不变范数
    定义:
    如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立,那么这个范数称为酉不变范数。
    容易验证,2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值,所以由奇异值得到的范数是酉不变的,比如2-范数是最大奇异值,F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。反之可证明,所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系:
    Von Neumann定理:在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。

    范数的等价

      对任何两个向量范数 ∣ ∣ ∙ ∣ ∣ α ||\bullet ||_{\alpha} α ∣ ∣ ∙ ∣ ∣ β ||\bullet||_{\beta} β,我们有
    r ∣ ∣ A ∣ ∣ α ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ β ≤ s ∣ ∣ A ∣ ∣ α r||A||_{\alpha} \le ||A||_{\beta} \le s||A||_{\alpha} rAαAβsAα
    对某个正数 r r r s s s K m × n K^{m\times n} Km×n中所有矩阵 A 成立。换句话说,它们是等价的范数;它们在 K m × n K^{m\times n} Km×n上诱导了相同的拓扑。这里,再提一下前文提到的Minkowski定理:有限维线性空间的所有范数都等价。
    此外,当,A为方阵时,对任何向量范数 ∣ ∣ ∙ ∣ ∣ ||\bullet|| ,存在惟一一个正数 k k k 使得 k ∣ ∣ A ∣ ∣ k||A|| kA 是一个(服从乘法)矩阵范数,即满足相容性。

    • 一个矩阵范数||·||α称为“极小的”,如果不存在其它矩阵范数||·||β满足||·||β≤||·||α。
    • ∣ ∣ A ∣ ∣ p ||A||_p Ap表示由向量p-范数诱导的矩阵范数。
    • 向量范数之间另一个有用的不等式是 ∣ ∣ A ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ ∞ ||A||_2 \le \sqrt{||A||_1||A||_{\infty}} A2A1A

    空间范数

    基本性质
    有限维空间上的范数具有良好的性质,主要体现在以下几个定理:

    • 性质1:对于有限维赋范线性空间的任何一组基,范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数。
    • 性质2(Minkowski定理):有限维线性空间的所有范数都等价。
    • 性质3(Cauchy收敛原理):实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。
    • 性质4:有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。
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  • 向量范数和矩阵范数

    2021-08-09 21:11:53
    范数 范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即 ①非负性;②齐次性;③三角不等式。...一、向量范数 总体公式 举例 先定义一个向量为: 1.1 ..

    范数

      范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即 ①非负性;②齐次性;③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小。范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范数是一个函数,是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

    总的来说,范数的定义就是一种具有“长度”概念的函数

    一、向量范数

    总体公式

    \LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{p}=( \left | v_{1} \right |^{p}+ \left | v_{2} \right |^{p} +...+ \left | v_{n} \right |^{p} )^{\frac{1}{p}}

    举例 先定义一个向量为: \LARGE v=[-1,2,3,-4].

    1.1 向量的1范数

    即 p=1   也就是向量的各个元素的绝对值之和。

    \LARGE \left \| \vec{v} \right \|= \left | v_{1} \right |+ \left | v_{2} \right |+...+ \left | v_{n} \right |

    那么上述向量 \LARGE v=1+2+3+4=10.

    1.2 向量的2范数

    即 p=2 向量的每个元素的平方和再开平方根,也就是欧氏距离。

    \LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{2}=\sqrt { \left | v_{1} \right |^{2}+ \left | v_{2} \right |^{2} +...+ \left | v_{n} \right |^{2} }

    那么上述向量 \LARGE v=1+4+9+16=30.

    1.3 向量的无穷范数

    即 p= \infty , 向量的所有元素的绝对值中最大的。

    \LARGE \begin{equation} \begin{aligned}\left \| \vec{v} \right \| & =( \left | v_{1} \right |^{\infty }+ \left | v_{2} \right |^{\infty} +...+ \left | v_{n} \right |^{\infty} )^{\frac{1}{\infty}} \\ & =( (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{​{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{​{max|v_{i}|^{\infty }}})max|v_{i}|^{\infty } )^{\frac{1}{\infty}} \\ & = (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{​{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{​{max|v_{i}|^{\infty }}})^{\frac{1}{\infty}}max|v_{i}| \\ & =max|v_{i}| \end{aligned} \end{equation}

     

    那么上述向量 \LARGE \LARGE v=4.

    二、矩阵范数

    举例 矩阵

                          \LARGE A= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}

    2.1  矩阵的L0范数

             矩阵的L0范数即:矩阵的非0元素的个数,通常用它来表示稀疏,L0范数越小0元素越多,也就越稀疏,上述矩阵A最终结果就是4.

    2.2 矩阵的L1范数

            矩阵的L1范数即:矩阵中的每个元素绝对值之和,它是L0范数的最优凸近似,因此它也可以表示稀疏,上述矩阵A最终结果就是13.

    2.3 矩阵的F范数

             矩阵的F范数即:矩阵的各个元素平方之和再开平方根,它通常也叫做矩阵的L2范数,它的有点在它是一个凸函数,可以求导求解,易于计算,上述矩阵A最终结果就是:\LARGE \sqrt{57}.

    2.4 矩阵的1范数(列和范数)

            矩阵的1范数(列和范数,列模)() ,即:矩阵的每一列上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(列和最大),上述矩阵A的1范数先得到[5,8],再取最大的最终结果就是8.

    2.5 矩阵的2范数(谱范数)

            矩阵的2范数(谱范数,谱模), 即:矩阵\LARGE A^{T}A^{}的最大特征值开平方根,上述矩阵A的2范数得到的最终结果是:7.545179782593587.

    2.6 矩阵的无穷范数(行和范数)

            矩阵的1范数(行和范数,行模),即:矩阵的每一行上的元素绝对值先求和,再从中取个最大的,(行和最大),上述矩阵A的1范数先得到[3,10],再取最大的最终结果就是10.

    2.7 矩阵的核范数

            矩阵的核范数即:矩阵的奇异值(将矩阵svd分解)之和,这个范数可以用来低秩表示(因为最小化核范数,相当于最小化矩阵的秩——低秩),上述矩阵A最终结果就是:7.810249675906655.

    2.8 矩阵的L21范数

            矩阵的L21范数即:矩阵先以每一列为单位,求每一列的F范数(也可认为是向量的2范数),然后再将得到的结果求L1范数(也可认为是向量的1范数),很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数,上述矩阵A最终结果就是:10.4476609.

    参考博客

    https://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

    https://blog.csdn.net/qq_35154529/article/details/82754157

    https://blog.csdn.net/tinkle2015/article/details/85106003

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  • 我们知道,一个函数:f:Rn↦Rf:R^n\mapsto Rf:Rn↦R 被称为RnR^nRn空间的一个范数,如果它满足以下三条性质:(以下以∥⋅∥\left\|\cdot\right\|∥⋅∥来代表这个函数) (1)正定性:∥x∥≥0,∀x∈Rn\left\|x\right\...

    【一.向量范数的几何直观理解】
    \quad 我们知道,一个函数: f : R n ↦ R f:R^n\mapsto R f:RnR 被称为 R n R^n Rn空间的一个范数,如果它满足以下三条性质:(以下以 ∥ ⋅ ∥ \left\|\cdot\right\| 来代表这个函数)
    \quad (1)正定性: ∥ x ∥ ≥ 0 , ∀ x ∈ R n \left\|x\right\|\geq0,\forall x\in R^n x0,xRn,且: ∥ x ∥ = 0 ⟺ x = 0 ; \left\|x\right\|=0\Longleftrightarrow x=0; x=0x=0;
    \quad (2)齐次性: ∥ c x ∥ = ∣ c ∣ ⋅ ∥ x ∥ , ∀ x ∈ R n , c ∈ R ; \left\|cx\right\|=|c|\cdot\left\|x\right\|,\forall x\in R^n,c\in R; cx=cx,xRn,cR;
    \quad (3)三角不等式: ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ , ∀ x , y ∈ R n ; \left\|x+y\right\|\leq\left\|x\right\|+\left\|y\right\|,\forall x,y\in R^n; x+yx+y,x,yRn;

    \quad 接下来,我们将从几何角度理解范数:首先,在有一个范数的情况下,我们可以在 R n R^n Rn空间中画出一个单位球 S ≜ { x ∣ x ∈ R n , ∥ x ∥ ≤ 1 } S\triangleq \{x|x\in R^n,\left\|x\right\|\leq1\} S{xxRn,x1}.为了有一个简单的直观理解,我们给出二维情形下,几个常见范数的单位球图像:
    二维下几个常见范数对应的单位凸球

    \quad 这个单位球显然有以下几个性质:
    \quad (1)关于原点对称,即 ∀ x ∈ S , \forall x\in S, xS,均有 − x ∈ S ; -x\in S; xS;
    \quad (2)是一个有界闭集,且零向量0是它的一个内点;
    \quad (3)是一个凸集:这点由范数满足的三角不等式保证;

    \quad 范数的几何直观理解就是,如果一个非零向量 x x x的端点落在这个单位凸球的边界上,那么 ∥ x ∥ = 1 \left\|x\right\|=1 x=1;否则,如果 a x ax ax的端点落在这个单位凸球的边界上,那么 ∥ x ∥ = ∣ α ∣ \left\|x\right\|=|\alpha| x=α.

    【二.从几何上定义向量范数】
    \quad 一个重要结论是:几何上,一个范数和一个满足以上三个条件的凸球一一对应。也就是说,范数能定义一个单位凸球;反过来,如果有了一个满足以上三条性质的凸集,那么可以唯一定义一个向量范数。

    \quad 假设我们有了一个满足以上三个性质的凸集 C C C,定义一个映射:
    \quad ∥ ⋅ ∥ B : R n ↦ R : ∥ x ∥ = s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 \left\|\cdot\right\|_{B}:R^n\mapsto R:\left\|x\right\|=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1} B:RnR:x=sup{t0txC}1
    \quad 那么这个映射就是该凸集定义的一个向量范数。

    \quad 哈哈,上面这个式子是否很难理解呢?其实它理解起来很简单,和之前范数的几何理解一样:在我们定义这样一个凸集之后,如果一个非零向量 x x x的端点落在这个凸集的边界上,那么 ∥ x ∥ = 1 \left\|x\right\|=1 x=1;否则,如果 a x ax ax的端点落在这个凸集的边界上,那么 ∥ x ∥ = ∣ α ∣ \left\|x\right\|=|\alpha| x=α.

    \quad 我们需要证明:这样定义的这个映射满足范数定义中的三条性质,这样才能说这个映射是一个向量范数。
    \quad 证明:
    \quad (1)正定性:由定义, ∥ x ∥ B ≥ 0 , ∀ x ∈ R n \left\|x\right\|_B\geq0,\forall x\in R^n xB0,xRn自然地满足。由于零向量0是集合 C C C的一个内点,也就是说存在一个0的小领域包含于C,因此显然: ∥ x ∥ B = 0 ⟺ x = 0 ; \left\|x\right\|_B=0\Longleftrightarrow x=0; xB=0x=0;
    \quad (2)齐次性: ∀ x ∈ R n , c ∈ R , \forall x\in R^n,c\in R, xRn,cR,
    ∥ c x ∥ B = s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 = ∣ c ∣ ⋅ s u p { t ≥ 0 ∣ t x ∈ C } − 1 = ∣ c ∣ ⋅ ∥ x ∥ B \left\|cx\right\|_{B}=sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot sup\{t\geq 0|tx\in C\}^{-1}=|c|\cdot\left\|x\right\|_B cxB=sup{t0txC}1=csup{t0txC}1=cxB
    \quad (3)三角不等式:
    \quad x , y ∈ R n x,y\in R^n x,yRn,如果 x , y x,y x,y 都为0,显然三角不等式成立;
    \quad 如果 x , y x ,y x,y至少有一个不为0,那么:
    \quad x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B = ∥ x ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B x ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B y ∥ y ∥ B \frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=\frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{x}{\left\|x\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\frac{y}{\left\|y\right\|_B} xB+yBx+y=xB+yBxBxBx+xB+yByByBy
    ∥ ⋅ ∥ B \left\|\cdot\right\|_{B} B定义: x ∥ x ∥ B ∈ C , y ∥ y ∥ B ∈ C . \frac{x}{\left\|x\right\|_B}\in C,\frac{y}{\left\|y\right\|_B}\in C. xBxC,yByC.
    再联系到 ∥ x ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B = 1 \frac{\left\|x\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}+\frac{\left\|y\right\|_B}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}=1 xB+yBxB+xB+yByB=1, C C C是一个凸集,所以:
    \quad x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∈ C \frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\in C xB+yBx+yC,于是 ∥ x + y ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ∥ B ≤ 1 \left\|\frac{x+y}{\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B}\right\|_B\leq 1 xB+yBx+yB1,于是 ∥ x + y ∥ B ≤ ∥ x ∥ B + ∥ y ∥ B ; \left\|x+y\right\|_B\leq\left\|x\right\|_B+\left\|y\right\|_B; x+yBxB+yB;

    综上,证毕。

    从上面我们看到了:一个向量范数和一个 R n R^n Rn空间的一个凸集一一对应。所以我们有了另一种定义向量范数的方式:画一个凸集即可(当然,这个凸集要满足上面说的几条性质),然后我们就可以说,看:我定义了一个向量范数。

    很酷,不是吗?

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  • 文章目录为何引入向量范数一、向量范数向量加权范数向量范数的等价性定理常用范数的等价关系二、矩阵范数m1m_{1}m1​ -范数 和F -范数谱三、...矩阵范数具有向量范数的一切性质Schatten范数四、Numpy计算范数参考资料...
  • 矩阵是什么? 我们都知道映射指的是一个空间 Rm\...在所有映射中,我们最常见的是线性映射,对这种线性映射关系,我们是用矩阵来刻画,比如我们要将一个向量x∈Rmx \in \mathbb{R}^mx∈Rm映射到另外一个空间Rn\...
  • 第八课:向量范数

    2020-12-31 03:17:27
    写在前面的话:很高兴能够认识...上述三个对象统一记为 ,衡量它们大小的量记为 (我们用单竖线表示绝对值,双竖线表示范数),显然它们满足以下三条性质:这也是范数的定义,满足上述三条性质的映射我们称之为范数...
  • 向量范数+不同范数之间的关系

    千次阅读 2016-01-05 16:56:33
    近期公式证明时候遇到向量范数的运算性质,略作整理: 向量范数 Def. 设VV是Ω\Omega上的线性空间,α∈V\alpha \in V , ||α\alpha||:V→R+V \rightarrow R_+, 满足 非负性 齐次性 ||kα||=|k|⋅||α||,∀...
  • 文章目录一、向量范数二、矩阵范数三、方程组的条件数 一、向量范数 如果向量x的某个实值函数f(x)=∣∣x∣∣f(x)=||x||f(x)=∣∣x∣∣满足如下性质: 正定性:∣∣x∣∣≥0||x|| \geq 0∣∣x∣∣≥0,当且仅当x=0时...
  • 向量范数学习

    2021-10-03 23:49:09
    向量范数 定义 如果VVV是数域PPP上的线性空间,且对于VVV的任一向量xxx,对应着一个数值函数∥x∥\Vert x \Vert∥x∥,他满足以下3个条件: (1)非负性:当x≠0x \neq 0x​=0时,∥x∥>0\Vert x \Vert >0∥x...
  • 4.1 向量范数及其性质 4.1.1 向量范数的概念及P-范数 设给定nnn维向量空间RnR^nRn中的向量序列{χ(k)}\{\boldsymbol\chi^{(k)}\}{χ(k)},其中 χ(k)=(ξ1(k),ξ2(k),...,ξn(k))k=1,2,3,...\boldsymbol\chi^{(k)}=...
  • 范数的概念 向量的范数是一种用来刻画向量大小的一种度量。实数的绝对值,复数的模,三维空间向量的长度,都...我们下面给出向量范数的一些性质: 我们对于第四条性质给出证明。该性质我们可以理解为两边之差小于第三
  • 向量范数和矩阵范数的定义

    千次阅读 2017-05-06 16:05:14
    作者:魏通 ... 来源:知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得...以下分别列举常用的向量范数和矩阵范数的定义。 向量范数 1-范数: ,即向量元素绝对值之和,matlab调用函数norm(x, 1) 。 2-范数:
  • 向量范数与方阵范数的基本性质,与基本计算
  • 设是复数域上的维向量空间,称函数为向量范数,是指对所有,有下列性质: (1)非负性:,并且当且仅当。 (2)齐次性:对任何,。 (3)三角不等式: 若对任意,有: (1) (2) (3) 证明(3):根据...
  • UA MATH567 高维统计II 随机向量1 随机向量范数
  • 向量范数

    2017-12-22 11:47:00
    将学习到什么 范数可以看成 Euclid 长度的...实的或者复的向量空间上的范数的四条公理如下所示:   定义 1: 设 \(V\) 是域 \(\mathbf{F}\)(\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的一个向量空间. ...

空空如也

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