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向量范数证明例题_数值与计算方法第六章向量范数和矩阵范数试题.ppt
2020-12-22 11:07:22在很多实际问题中,我们需要对向量和矩阵的... 在 上引入向量范数的定义如下: 定义6.2: 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ,它满足如下的三个条件: 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0,||x||=0当且仅当x=0...在很多实际问题中,我们需要对向量和矩阵的大小引进度量,这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数 约定:用 表示所有 n 维实的列向量 的实线性空间。 在 上引入向量范数的定义如下: 定义6.2: 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ,它满足如下的三个条件: 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0,||x||=0当且仅当x=0,(非负性) (2)对任意实数 ? ,|| ? x||=| ? | ||x||,(齐次性) (3)对任意向量 y?Rn,||x+y||?||x||+||y||,(三角不等性)。 称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x 的范数。 例如,下面的函数就是向量的一种范数: 这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。 常用的范数是: 按上述定义,常用范数: 例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 , , 。 解: 范数的两个常用性质: 此性质也称为向量范数的等价关系,可以证明三种常用范数 是相互等价的。 定义6.4 (向量序列收敛): 定理6.4 (向量序列收敛的必要充分条件): 6.6.2 矩阵范数 约定 记 表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。 定义6.4: 上的一个矩阵范数是定义在 上的某个实值函数 ,对所有的 A, B ,它满足以下四个条件: 矩阵 A 的F-范数: 矩阵 A 的算子范数(定义6.5): 算子范数与其相应的向量范数满足的关系式 是一种矩阵范数 依赖于向量范数的含义 是一种矩阵 范数 相容性条件: 用于误差估计 常用矩阵范数有下面三种情形: 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 矩阵 A 的谱半径(定义6.6): 定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系 证明: 定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6 (矩阵序列收敛): 定理6.7 (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价: 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数) 6.7 误差分析 2、条件数的性质 3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论: 设 * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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向量范数证明例题_利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件
2020-12-31 03:17:26利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件谭畅,马淑芳【摘要】基于线性代数中向量范数的相关理论,给出二元函数极值的充分性定理的一个新的证明,此方法形式简明且便于理解。【期刊名称】林区教学【年(卷),期】...利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件
谭
畅,马淑芳
【摘
要】
基于线性代数中向量范数的相关理论,给出二元函数极值的充分性定
理的一个新的证明,此方法形式简明且便于理解。
【期刊名称】
林区教学
【年
(
卷
),
期】
2017(000)009
【总页数】
2
【关键词】
二元函数;极值;充分条件;范数
一、定理证明的现行方法
二元函数取极值的充分性定理如下:
定理
1
设二元函数
f(x
,
y)
在点
P(x0
,
y0)
的某邻域内存在二阶连续的偏导数,
且
fx(x0
,
y0)=0
,
fy(x0
,
y0)=0
,记
A=fxx(x0
,
y0)
,
B=fxy(x0
,
y0)
,
C=fyy(x0
,
y0)
(1)
若
AC-B2>0
,则
f(x
,
y)
在点
P(x0
,
y0)
取得极值,进一步地,当
A>0
时,
取极小值;当
A<0
时,取极大值;
(2)
若
AC-B2<0
,则
f(x
,
y)
在点
P(x0
,
y0)
不取极值;
(3)
若
AC-B2=0
,则
f(x
,
y)
在点
P(x0
,
y0)
可能取极值,也可能不取极值。
许多教材,如菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》
[1]359
中对二元函数极值充分
条件的证明是充分且严格的,大致思想是将函数
f(x
,
y)
在点
P(x0
,
y0)
做二阶
泰勒展开得:
f(x
,
y)-f(x0
,
y0)
=[fxx(x0+θ1h
,
y0+θ2k)h2+2fxy(x0+θ1h
,
y0+θ2k)hk+fxy(x0+θ1h
,
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向量范数证明例题_对于向量范数等价性的一点讨论
2021-01-06 00:10:16向量范数的等价性Theorem 设 , 是 上向量的任意两种范数,则存在常数 使得 对一切 成立 注:此定理在无穷维空间不成立Proof 设 为一个有界闭集 则 在 上存在最大、最小值 即对 接下来就是将 中的向量映到 上: 故 ...从一道课后题引发的思考,不够全面,但自我感觉……还行?
向量范数的等价性
Theorem 设
,
是
上向量的任意两种范数,则存在常数
使得
对一切
成立
注:此定理在无穷维空间不成立
Proof
设
为一个有界闭集
则
在
上存在最大、最小值
即对
接下来就是将
中的向量映到
上:
故
从而得到
这个不等式对
成立
而其实当
时,显然不等式同样成立.
同理,
于是得到
从而,
,
使得
成立
证毕
p-范数的等价性
p-范数的等价性有更精准的形式 本来是一道作业题:
设
, 证明:
但是我寻思着,这个题背后一定有深意,至少会有一个统一的不等式吧。
那么首先思考如何将无穷范数
与有限的p-范数
统一。
Definition
p-范数:
无穷范数:
那么如果它这样定义是有联系的话,应该有:
Lemma 1
那我们接下来证明它。
Proof[1]
不妨令
则
从而
故
证毕
那么接下来就可以安心观察不等式了
首先注意到左侧不等式很好理解,就是说 p-范数 的值会随着 p 的增加而减小。
那么接下来我们证明:
Lemma 2 对
, 函数
单调递减
Proof
这个证明就很简单了,利用高中学过的导数就能很容易求出来。为了完整性还是写一下吧。
不妨设
(若存在一个
,那么去掉,
,一样的)
这样可以取对数:
由
知
,而
,故
,即
单调递减
证毕
接下来就剩下右边的不等式了。
仔细观察一下,系数都是
的函数,而且当2-范数和1-范数、以及无穷范数相比较的时候都有
,但是位置不一样,
那么就想很可能是这样:一个是
,另一个是
。
而很幸运的是,发现1-范数和无穷范数相比的时候系数也是可以写成这样的形式:
好的,那么接下来我们尝试证明:
Lemma 3
Proof
说实话,个人感觉这个证明还是有一定技巧性的,一下可能还想不到,不过慢慢想,也还是能想个大概吧,慢慢想。那这里就直接上证明过程。
构造一个凸函数:
从而根据其凸性可得:
对
,有
即:
令
,则有:
即:
那么由前两个引理,知这里对
的情况也得以推广成立.
证毕
于是我们便得到了一般的 p-范数 所满足的范围限定:
题外
这里我们只证明了离散情形的 p-范数 的等价性,而且
的情况也没有讨论了。
但觉得
的情况应该也满足,然后这个不等式对连续情形好像也是成立的。这里就不探讨了。(毕竟只是数值分析上的一个习题稍微推广一下,暂时也没精力往深了推,以后应该会遇到的)
如果有其它有趣的想法或者意见欢迎讨论。
参考
- ^证明方法参照了@方铭 的回答,感谢!链接: https://www.zhihu.com/question/267575473/answer/326930598
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向量范数证明例题_3.7 矩阵范数
2020-12-31 08:39:353.7.1 方阵的范数1....证明思路:把向量范数写成矩阵范数的形式,用矩阵范数相容性证。向量范数的从属性定义:若矩阵范数和向量范数是相容的,且对每个 ,都存在非零向量 ,使得 ,则称该矩阵范数从属于...3.7.1 方阵的范数
1.定义从
上的实函数满足:
- 正定性
- 齐次性
- 三角不等式
- 相容性
则称实函数
为矩阵A的一种范数。
2.矩阵范数和向量范数的相容性定义:
定理:任给
上的矩阵范数,总存在
上的向量范数使得两者是相容的。
证明思路:把向量范数写成矩阵范数的形式,用矩阵范数相容性证。
向量范数的从属性定义:
若矩阵范数和向量范数是相容的,且对每个
,都存在非零向量
,
使得
,则称该矩阵范数从属于相对于的向量范数。
由上面的从属性定义,可以给出另一种的向量范数。
,称矩阵范数
从属于向量范数
而
这样一来,就有了另一种矩阵范数从属性定义的表示,最后一个等式相当于向量的单位化,所以模为1.
值得注意的是:矩阵范数从属于某种向量范数的必要条件是:
由定义:
便得证。
故不是所有的矩阵范数都能够从属于某一个向量范数。
下面介绍三种常用的矩阵范数:
矩阵范数的等价定义:和向量范数等价定义类似。
定理:任意两种矩阵范数都是等价的(证这两种范数都与范数
等价即可)
类似向量的一致连续函数定义,矩阵也有。
定理:矩阵范数中,2范数(谱范数是最小的那个)
证明:用到特征值的定义,再用一下矩阵范数相容性,小于等于便出来了。
下面的定理保证了矩阵范数的等价性:
定理(Banach定理)(给定了矩阵(E+A)的逆的范数与A的
范数的估计)
矩阵的范数:前面三个性质与方阵一样,最后一个相容性定义:
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