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  • 在很多实际问题中,我们需要对向量和矩阵的... 在 上引入向量范数的定义如下: 定义6.2: 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ,它满足如下的三个条件: 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0,||x||=0当且仅当x=0...

    在很多实际问题中,我们需要对向量和矩阵的大小引进度量,这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数 约定:用 表示所有 n 维实的列向量 的实线性空间。 在 上引入向量范数的定义如下: 定义6.2: 上的向量范数是定义在 的某个实值函数 ,它满足如下的三个条件: 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0,||x||=0当且仅当x=0,(非负性) (2)对任意实数 ? ,|| ? x||=| ? | ||x||,(齐次性) (3)对任意向量 y?Rn,||x+y||?||x||+||y||,(三角不等性)。 称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x 的范数。 例如,下面的函数就是向量的一种范数: 这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。 常用的范数是: 按上述定义,常用范数: 例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数 , , 。 解: 范数的两个常用性质: 此性质也称为向量范数的等价关系,可以证明三种常用范数 是相互等价的。 定义6.4 (向量序列收敛): 定理6.4 (向量序列收敛的必要充分条件): 6.6.2 矩阵范数 约定 记 表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。 定义6.4: 上的一个矩阵范数是定义在 上的某个实值函数 ,对所有的 A, B ,它满足以下四个条件: 矩阵 A 的F-范数: 矩阵 A 的算子范数(定义6.5): 算子范数与其相应的向量范数满足的关系式 是一种矩阵范数 依赖于向量范数的含义 是一种矩阵 范数 相容性条件: 用于误差估计 常用矩阵范数有下面三种情形: 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 矩阵 A 的谱半径(定义6.6): 定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系 证明: 定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6 (矩阵序列收敛): 定理6.7 (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价: 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数) 6.7 误差分析 2、条件数的性质 3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论: 设 * * * * * * * * * * * * * * * * * *

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  • 利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件谭畅,马淑芳【摘要】基于线性代数中向量范数的相关理论,给出二元函数极值的充分性定理的一个新的证明,此方法形式简明且便于理解。【期刊名称】林区教学【年(卷),期】...

    利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件

    畅,马淑芳

    【摘

    要】

    基于线性代数中向量范数的相关理论,给出二元函数极值的充分性定

    理的一个新的证明,此方法形式简明且便于理解。

    【期刊名称】

    林区教学

    【年

    (

    ),

    期】

    2017(000)009

    【总页数】

    2

    【关键词】

    二元函数;极值;充分条件;范数

    一、定理证明的现行方法

    二元函数取极值的充分性定理如下:

    定理

    1

    设二元函数

    f(x

    y)

    在点

    P(x0

    y0)

    的某邻域内存在二阶连续的偏导数,

    fx(x0

    y0)=0

    fy(x0

    y0)=0

    ,记

    A=fxx(x0

    y0)

    B=fxy(x0

    y0)

    C=fyy(x0

    y0)

    (1)

    AC-B2>0

    ,则

    f(x

    y)

    在点

    P(x0

    y0)

    取得极值,进一步地,当

    A>0

    时,

    取极小值;当

    A<0

    时,取极大值;

    (2)

    AC-B2<0

    ,则

    f(x

    y)

    在点

    P(x0

    y0)

    不取极值;

    (3)

    AC-B2=0

    ,则

    f(x

    y)

    在点

    P(x0

    y0)

    可能取极值,也可能不取极值。

    许多教材,如菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》

    [1]359

    中对二元函数极值充分

    条件的证明是充分且严格的,大致思想是将函数

    f(x

    y)

    在点

    P(x0

    y0)

    做二阶

    泰勒展开得:

    f(x

    y)-f(x0

    y0)

    =[fxx(x0+θ1h

    y0+θ2k)h2+2fxy(x0+θ1h

    y0+θ2k)hk+fxy(x0+θ1h

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  • 向量范数的等价性Theorem 设 , 是 上向量的任意两种范数,则存在常数 使得 对一切 成立 注:此定理在无穷维空间不成立Proof 设 为一个有界闭集 则 在 上存在最大、最小值 即对 接下来就是将 中的向量映到 上: 故 ...

    5dbe975036bed8607e3ea82e0b14d0c5.png

    从一道课后题引发的思考,不够全面,但自我感觉……还行?


    向量范数的等价性

    Theorem

    ,
    上向量的任意两种范数,则存在常数
    使得

    对一切

    成立

    注:此定理在无穷维空间不成立

    Proof

    为一个有界闭集

    上存在最大、最小值

    即对

    接下来就是将

    中的向量映到
    上:

    从而得到

    这个不等式对

    成立

    而其实当

    时,显然不等式同样成立.

    同理,

    于是得到

    从而,

    ,

    使得

    成立

    证毕

    p-范数的等价性

    p-范数的等价性有更精准的形式 本来是一道作业题:

    , 证明:

    但是我寻思着,这个题背后一定有深意,至少会有一个统一的不等式吧。

    那么首先思考如何将无穷范数

    与有限的p-范数
    统一。

    Definition

    p-范数:

    无穷范数:

    那么如果它这样定义是有联系的话,应该有:

    Lemma 1

    那我们接下来证明它。

    Proof[1]

    不妨令

    从而

    证毕

    那么接下来就可以安心观察不等式了

    首先注意到左侧不等式很好理解,就是说 p-范数 的值会随着 p 的增加而减小。

    那么接下来我们证明:

    Lemma 2

    , 函数
    单调递减

    Proof

    这个证明就很简单了,利用高中学过的导数就能很容易求出来。为了完整性还是写一下吧。

    不妨设

    (若存在一个
    ,那么去掉,
    ,一样的)

    这样可以取对数:

    ,而
    ,故
    ,即
    单调递减

    证毕

    接下来就剩下右边的不等式了。

    仔细观察一下,系数都是

    的函数,而且当2-范数和1-范数、以及无穷范数相比较的时候都有
    ,但是位置不一样,

    那么就想很可能是这样:一个是

    ,另一个是

    而很幸运的是,发现1-范数和无穷范数相比的时候系数也是可以写成这样的形式:

    好的,那么接下来我们尝试证明:

    Lemma 3

    Proof

    说实话,个人感觉这个证明还是有一定技巧性的,一下可能还想不到,不过慢慢想,也还是能想个大概吧,慢慢想。那这里就直接上证明过程。

    构造一个凸函数:

    从而根据其凸性可得:

    ,有

    即:

    ,则有:

    即:

    那么由前两个引理,知这里对

    的情况也得以推广成立.

    证毕

    于是我们便得到了一般的 p-范数 所满足的范围限定:

    题外

    这里我们只证明了离散情形的 p-范数 的等价性,而且

    的情况也没有讨论了。

    但觉得

    的情况应该也满足,然后这个不等式对连续情形好像也是成立的。这里就不探讨了。(毕竟只是数值分析上的一个习题稍微推广一下,暂时也没精力往深了推,以后应该会遇到的)

    如果有其它有趣的想法或者意见欢迎讨论。

    参考

    1. ^证明方法参照了@方铭 的回答,感谢!链接: https://www.zhihu.com/question/267575473/answer/326930598
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  • 3.7.1 方阵的范数1....证明思路:把向量范数写成矩阵范数的形式,用矩阵范数相容性证。向量范数的从属性定义:若矩阵范数和向量范数是相容的,且对每个 ,都存在非零向量 ,使得 ,则称该矩阵范数从属于...

    3.7.1 方阵的范数

    1.定义从

    上的实函数满足:
    1. 正定性
    2. 齐次性
    3. 三角不等式
    4. 相容性

    则称实函数

    为矩阵A的一种范数。

    2.矩阵范数和向量范数的相容性定义:

    定理:任给

    上的矩阵范数,总存在
    上的向量范数使得两者是相容的。

    证明思路:把向量范数写成矩阵范数的形式,用矩阵范数相容性证。

    27871a492806760bcbf31d85dfe80f7d.png

    向量范数的从属性定义:

    若矩阵范数和向量范数是相容的,且对每个

    ,都存在非零向量
    ,

    使得

    ,则称该矩阵范数从属于相对于的向量范数。

    由上面的从属性定义,可以给出另一种的向量范数。

    ,称矩阵范数
    从属于向量范数

    这样一来,就有了另一种矩阵范数从属性定义的表示,最后一个等式相当于向量的单位化,所以模为1.

    值得注意的是:矩阵范数从属于某种向量范数的必要条件是:

    由定义:

    便得证。

    故不是所有的矩阵范数都能够从属于某一个向量范数。

    下面介绍三种常用的矩阵范数:

    88a803ca0eeeb78caa513fa4bc31ced8.png

    矩阵范数的等价定义:和向量范数等价定义类似。

    定理:任意两种矩阵范数都是等价的(证这两种范数都与范数

    等价即可)

    类似向量的一致连续函数定义,矩阵也有。

    定理:矩阵范数中,2范数(谱范数是最小的那个)

    证明:用到特征值的定义,再用一下矩阵范数相容性,小于等于便出来了。

    下面的定理保证了矩阵范数的等价性:

    61ad30366ad1751ffd6ef3becefcd028.png

    定理(Banach定理)(给定了矩阵(E+A)的逆的范数与A的

    范数的估计)

    ba3db9921019c989856e3e79a6eb738a.png

    85728e0cfdcd69412fe19a7fbce748de.png

    矩阵的范数:前面三个性质与方阵一样,最后一个相容性定义:

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向量范数证明