向量范数证明

向量范数证明
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2020-12-22 11:07:22

在很多实际问题中，我们需要对向量和矩阵的大小引进度量，这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数约定：用表示所有 n 维实的列向量的实线性空间。在上引入向量范数的定义如下：定义6.2：上的向量范数是定义在的某个实值函数，它满足如下的三个条件： 6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0，||x||=0当且仅当x=0，(非负性) (2)对任意实数 ? ，|| ? x||=| ? | ||x||，(齐次性) (3)对任意向量 y?Rn，||x+y||?||x||+||y||，(三角不等性)。称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x 的范数。例如，下面的函数就是向量的一种范数：这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。常用的范数是：按上述定义，常用范数：例6.7 计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数，，。解：范数的两个常用性质：此性质也称为向量范数的等价关系，可以证明三种常用范数是相互等价的。定义6.4 (向量序列收敛)：定理6.4 (向量序列收敛的必要充分条件)： 6.6.2 矩阵范数约定记表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。定义6.4：上的一个矩阵范数是定义在上的某个实值函数 ,对所有的 A, B ,它满足以下四个条件：矩阵 A 的F-范数：矩阵 A 的算子范数(定义6.5)：算子范数与其相应的向量范数满足的关系式是一种矩阵范数依赖于向量范数的含义是一种矩阵范数相容性条件：用于误差估计常用矩阵范数有下面三种情形：例4. 求矩阵A的各种常用范数解: 由于特征方程为容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感使用最广泛性质较好矩阵 A 的谱半径(定义6.6)：定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系证明：定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6 (矩阵序列收敛)：定理6.7 (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价： 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数) 6.7 误差分析 2、条件数的性质 3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论：设 * * * * * * * * * * * * * * * * * *

向量范数证明例题

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其中，赫尔德氏不等式：

证明详见：

赫尔德氏不等式（Holder‘s inequality)和柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）的证明_woshirenchengaji的博客-CSDN博客

摘抄自： Foundations of Machine Learning - second edition - Mehryar Mohri 等 - page 411。

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向量范数和矩阵范数

研究意义：为了研究解的误差分析和迭代法的收敛性

什么是向量范数？

说到底，向量范数就是一种函数f(x)，目的就是把一个向量和一个数值进行映射
由于平时你根本不会用这些东西来进行设计，所以下面给出

几个经典的向量范数的例子。

向量的1范数：向量的各个元素的绝对值之和
向量的2范数即：向量的每个元素的平方和再开平方根（像不像柯西不等式？）
向量的正无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最大的。

如果你学过数学竞赛，你应该反应过来了：这不就是柯西不等式的高次扩展吗?

矩阵范数

这里只比向量范数

几个经典的矩阵范数的例子。

矩阵的1范数就是每一列元素之和的最大值
矩阵的∞范数就是每一行元素之和的最大值

至于为什么是这样其实比较复杂
因为任何一个矩阵范数的得到都是可以通过向量范数产生的从属范数而定义的。
也就是说，得到一个一个矩阵范数有两种途径：
1.依据定义直接凭空构造
2.通过向量范数构造
然后你把两种都构造出来，发现两者是一模一样的，那你肯定选向量范数构造啊（毕竟简单啊）

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向量范数和矩阵范数
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范数范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即 ①非负性；②齐次性；③三角不等式。...一、向量范数 总体公式举例先定义一个向量为： 1.1 ..

范数

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即 ①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数可以为非零的矢量赋予零长度。

总的来说，范数的定义就是一种具有“长度”概念的函数

一、向量范数

总体公式

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{p}=( \left | v_{1} \right |^{p}+ \left | v_{2} \right |^{p} +...+ \left | v_{n} \right |^{p} )^{\frac{1}{p}}$

举例先定义一个向量为： $\LARGE v=[-1,2,3,-4]$ .

1.1 向量的1范数

即 p=1 也就是向量的各个元素的绝对值之和。

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|= \left | v_{1} \right |+ \left | v_{2} \right |+...+ \left | v_{n} \right |$

那么上述向量 $\LARGE v=1+2+3+4=10$ .

1.2 向量的2范数

即 p=2 向量的每个元素的平方和再开平方根，也就是欧氏距离。

$\LARGE \left \| \vec{v} \right \|^{2}=\sqrt { \left | v_{1} \right |^{2}+ \left | v_{2} \right |^{2} +...+ \left | v_{n} \right |^{2} }$

那么上述向量 $\LARGE v=1+4+9+16=30$ .

1.3 向量的无穷范数

即 $p= \infty$ , 向量的所有元素的绝对值中最大的。

$\LARGE \begin{equation} \begin{aligned}\left \| \vec{v} \right \| & =( \left | v_{1} \right |^{\infty }+ \left | v_{2} \right |^{\infty} +...+ \left | v_{n} \right |^{\infty} )^{\frac{1}{\infty}} \\ & =( (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}})max|v_{i}|^{\infty } )^{\frac{1}{\infty}} \\ & = (\frac{\left | v_{1} \right |^{\infty }}{max|v_{i}|^{\infty }}+ \frac{\left | v_{2} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}} +...+ \frac{\left | v_{n} \right |^{\infty}}{{max|v_{i}|^{\infty }}})^{\frac{1}{\infty}}max|v_{i}| \\ & =max|v_{i}| \end{aligned} \end{equation}$

那么上述向量 $\LARGE \LARGE v=4$ .

二、矩阵范数

举例矩阵

   $\LARGE A= \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}$

2.1 矩阵的L0范数

         矩阵的L0范数即：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是4.

2.2 矩阵的L1范数

        矩阵的L1范数即：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵A最终结果就是13.

2.3 矩阵的F范数

         矩阵的F范数即：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的有点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是： $\LARGE \sqrt{57}$ .

2.4 矩阵的1范数(列和范数)

        矩阵的1范数（列和范数，列模）() ,即：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（列和最大），上述矩阵A的1范数先得到[5,8]，再取最大的最终结果就是8.

2.5 矩阵的2范数(谱范数)

        矩阵的2范数（谱范数，谱模）, 即：矩阵 $\LARGE A^{T}A^{}$ 的最大特征值开平方根，上述矩阵A的2范数得到的最终结果是：7.545179782593587.

2.6 矩阵的无穷范数(行和范数)

        矩阵的1范数（行和范数，行模），即：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵A的1范数先得到[3,10]，再取最大的最终结果就是10.

2.7 矩阵的核范数

        矩阵的核范数即：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：7.810249675906655.

2.8 矩阵的L21范数

        矩阵的L21范数即：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵A最终结果就是：10.4476609.

参考博客

https://blog.csdn.net/Michael__Corleone/article/details/75213123

https://blog.csdn.net/qq_35154529/article/details/82754157

https://blog.csdn.net/tinkle2015/article/details/85106003

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