在很多实际问题中，我们需要对向量和矩阵的大小引进度量，这些度量便是向量与矩阵范数的概念。 6.6.1 向量范数 约定：用      表示所有 n 维实的列向量 的实线性空间。 在     上引入向量范数的定义如下： 定义6.2：     上的向量范数是定义在     的某个实值函数     ，它满足如下的三个条件：   6.6 向量范数和矩阵范数 (1)||x||?0，||x||=0当且仅当x=0，(非负性) (2)对任意实数 ? ，|| ? x||=| ? | ||x||，(齐次性) (3)对任意向量 y?Rn，||x+y||?||x||+||y||，(三角不等性)。  称满足上述三个条件的函数 ||x|| 为向量 x  的范数。  例如，下面的函数就是向量的一种范数：    这里称上述定义的范数为向量 x 的 p- 范数。 常用的范数是： 按上述定义，常用范数： 例6.7   计算向量 x=(1,2,-3)T的向量范数        ，      ，       。 解：   范数的两个常用性质： 此性质也称为向量范数的等价关系，可以证明三种常用范数 是相互等价的。  定义6.4  (向量序列收敛)： 定理6.4  (向量序列收敛的必要充分条件)： 6.6.2  矩阵范数 约定 记       表示所有 n 阶实矩阵 A=(aij) 的实线性空间。 定义6.4：     上的一个矩阵范数是定义在         上的某个实值函数       ,对所有的 A, B          ,它满足以下四个条件：    矩阵 A 的F-范数： 矩阵 A 的算子范数(定义6.5)： 算子范数与其相应的向量范数满足的关系式 是一种矩阵范数 依赖于向量范数的含义 是一种矩阵 范数 相容性条件： 用于误差估计 常用矩阵范数有下面三种情形： 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 使用最广泛 性质较好 矩阵 A 的谱半径(定义6.6)： 定理6.5 矩阵范数与谱半径的关系 证明： 定理6.6(矩阵范数的等价关系) 定义6.6  (矩阵序列收敛)： 定理6.7  (矩阵序列收敛的等价条件)下列命题等价： 6.7.1 方程组的条件数 1、定义(条件数)  6.7 误差分析 2、条件数的性质  3、方程组右端摄动 4、方程组系数矩阵摄动 5、结论： 设  * * * * * * * * * * * * * * * * * *

利用向量的范数证明二元函数极值的充分条件
谭
畅，马淑芳
【摘
要】
基于线性代数中向量范数的相关理论，给出二元函数极值的充分性定
理的一个新的证明，此方法形式简明且便于理解。
【期刊名称】
林区教学
【年
(
卷
),
期】
2017(000)009
【总页数】
2
【关键词】
二元函数；极值；充分条件；范数
一、定理证明的现行方法
二元函数取极值的充分性定理如下：
定理
1
设二元函数
f(x
，
y)
在点
P(x0
，
y0)
的某邻域内存在二阶连续的偏导数，
且
fx(x0
，
y0)=0
，
fy(x0
，
y0)=0
，记
A=fxx(x0
，
y0)
，
B=fxy(x0
，
y0)
，
C=fyy(x0
，
y0)
(1)
若
AC-B2>0
，则
f(x
，
y)
在点
P(x0
，
y0)
取得极值，进一步地，当
A>0
时，
取极小值；当
A<0
时，取极大值；
(2)
若
AC-B2<0
，则
f(x
，
y)
在点
P(x0
，
y0)
不取极值；
(3)
若
AC-B2=0
，则
f(x
，
y)
在点
P(x0
，
y0)
可能取极值，也可能不取极值。
许多教材，如菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》
[1]359
中对二元函数极值充分
条件的证明是充分且严格的，大致思想是将函数
f(x
，
y)
在点
P(x0
，
y0)
做二阶
泰勒展开得：
f(x
，
y)-f(x0
，
y0)
=[fxx(x0+θ1h
，
y0+θ2k)h2+2fxy(x0+θ1h
，
y0+θ2k)hk+fxy(x0+θ1h
，

从一道课后题引发的思考，不够全面，但自我感觉……还行？
向量范数的等价性
Theorem 设 
 , 
 是 
 上向量的任意两种范数，则存在常数 
 使得
对一切 
 成立 
注：此定理在无穷维空间不成立
Proof 
设 
 为一个有界闭集 
则 
 在 
 上存在最大、最小值 
即对 
接下来就是将 
 中的向量映到 
 上: 
故 
从而得到 
这个不等式对 
 成立 
而其实当 
 时，显然不等式同样成立. 
同理,  
于是得到 
从而， 
 ,  
使得 
 成立 
证毕
p-范数的等价性
p-范数的等价性有更精准的形式 本来是一道作业题：
设 
 , 证明： 
但是我寻思着，这个题背后一定有深意，至少会有一个统一的不等式吧。
那么首先思考如何将无穷范数 
 与有限的p-范数 
 统一。 
Definition 
p-范数：
无穷范数：
那么如果它这样定义是有联系的话，应该有：
Lemma 1 
那我们接下来证明它。 
Proof[1]
不妨令 
则 
从而 
故
证毕 
那么接下来就可以安心观察不等式了 
首先注意到左侧不等式很好理解，就是说 p-范数 的值会随着 p 的增加而减小。 
那么接下来我们证明：
Lemma 2 对 
 , 函数 
 单调递减
Proof 
这个证明就很简单了，利用高中学过的导数就能很容易求出来。为了完整性还是写一下吧。
不妨设 
 （若存在一个 
 ，那么去掉， 
 ，一样的）
这样可以取对数：
由 
知 
 ，而 
 ，故 
 ，即 
 单调递减 
证毕
接下来就剩下右边的不等式了。 
仔细观察一下，系数都是 
 的函数，而且当2-范数和1-范数、以及无穷范数相比较的时候都有 
 ，但是位置不一样，
那么就想很可能是这样：一个是 
 ，另一个是 
 。
而很幸运的是，发现1-范数和无穷范数相比的时候系数也是可以写成这样的形式： 
好的，那么接下来我们尝试证明：
Lemma 3 
Proof 
说实话，个人感觉这个证明还是有一定技巧性的，一下可能还想不到，不过慢慢想，也还是能想个大概吧，慢慢想。那这里就直接上证明过程。
构造一个凸函数： 
 从而根据其凸性可得： 
对 
 ，有
即：
令 
 ，则有：
即：
那么由前两个引理，知这里对 
 的情况也得以推广成立. 
证毕 
于是我们便得到了一般的 p-范数 所满足的范围限定: 
题外
这里我们只证明了离散情形的 p-范数 的等价性，而且 
 的情况也没有讨论了。
但觉得 
 的情况应该也满足，然后这个不等式对连续情形好像也是成立的。这里就不探讨了。（毕竟只是数值分析上的一个习题稍微推广一下，暂时也没精力往深了推，以后应该会遇到的）
如果有其它有趣的想法或者意见欢迎讨论。
参考
^证明方法参照了@方铭 的回答，感谢！链接： https://www.zhihu.com/question/267575473/answer/326930598

3.7.1 方阵的范数
1.定义从 
 上的实函数满足：
正定性
齐次性
三角不等式
相容性 
则称实函数 
 为矩阵A的一种范数。
2.矩阵范数和向量范数的相容性定义：
定理：任给 
 上的矩阵范数，总存在 
 上的向量范数使得两者是相容的。
证明思路：把向量范数写成矩阵范数的形式，用矩阵范数相容性证。
向量范数的从属性定义：
若矩阵范数和向量范数是相容的，且对每个 
 ,都存在非零向量 
 ,
使得 
 ,则称该矩阵范数从属于相对于的向量范数。
由上面的从属性定义，可以给出另一种的向量范数。
 ,称矩阵范数 
 从属于向量范数 
而 
这样一来，就有了另一种矩阵范数从属性定义的表示，最后一个等式相当于向量的单位化，所以模为1.
值得注意的是：矩阵范数从属于某种向量范数的必要条件是： 
由定义： 
 便得证。
故不是所有的矩阵范数都能够从属于某一个向量范数。
下面介绍三种常用的矩阵范数：
矩阵范数的等价定义：和向量范数等价定义类似。
定理：任意两种矩阵范数都是等价的（证这两种范数都与范数 
 等价即可）
类似向量的一致连续函数定义，矩阵也有。
定理：矩阵范数中，2范数（谱范数是最小的那个）
证明：用到特征值的定义，再用一下矩阵范数相容性，小于等于便出来了。
下面的定理保证了矩阵范数的等价性：
定理（Banach定理）(给定了矩阵（E+A）的逆的范数与A的 
 范数的估计)
 矩阵的范数：前面三个性质与方阵一样，最后一个相容性定义：