-
向量代数
2020-11-04 23:57:32规定长度为0的向量叫做零向量(zero vector),记为0\boldsymbol{0}0,零向量的起点和终点重合,方向是任意的;模为1的向量叫做单位向量(Unit vector),与向量a\boldsymbol{a}a长度相等而方向相反的向量,称为a\...一、向量的概念及其运算
1.1 向量的概念
在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector),向量的大小叫做向量的长度或模(Modulus)。规定长度为0的向量叫做零向量(zero vector),记为,零向量的起点和终点重合,方向是任意的;模为1的向量叫做单位向量(Unit vector),与向量长度相等而方向相反的向量,称为的相反向量,记为。
1.2 向量的夹角
设有两个非零向量,,在空间中任取一点,作,,规定不超过的为向量,的夹角。将两个平行向量的起点放在同一个点时,它们的终点和起点应该在同一条直线上。因此两向量平行也叫做两向量共线。类似的,设有个向量,当把他们的起点放在同一个点时,如果个终点和公共起点在同一个平面上,就称这个向量共面。
1.3 线性运算
线性运算包括加减法和数乘运算。
-
加减法
向量的运算几何上符合三角形法则和平行四边形法则。
交换律:
结合律: -
数乘运算
向量与实数的乘积记作,规定为一个向量,它的模
结合律:
分配律: -
定理一:设向量,则向量平行于的充分必要条件是:存在唯一实数使得。这个定理建立数轴的理论依据,起点相同方向相同的向量可以和一个实数一一对应。
-
定理二:设向量和不共线,向量与,共面的充要条件是存在实数对使:成立。
-
定理三:(待补充)
空间中任意两个向量都是共面的,三个向量则不一定。平行于同一个平面的向量共面向量(coplanar vectors)。
1.4 数量积(inner product)运算
已知两个非零向量和,则叫做和的数量积,记作,即:
对于零向量因为没有夹角的定义,进行了规定:零向量与任何向量的数量积都为0。特别的:。如果向量,这个标量是做向量在向量上的投影。记作:
式(2)可以写作:
这也就是说,一个向量在另一个向量的向量积等于该向量的模与投影的乘积。在几何上投影,两个同起点的向量,实际就是过终点且是所有垂直面的交点与起点的连线。向量积还满足以下运算律:
如果两个向量的数量积为0是两个向量垂直的充分必要条件。1.5 向量积
设向量由两个向量、按以下方式定出:
的模,为、间的夹角;的方向垂直于、所决定的平面(与、都垂直),的方向由右手规则从转向决定,向量叫做与的向量积,即:右手法则最重要的是确定其方向,以为例,的方向是四指沿着的正方向,以不超过180度的角度弯向的反方向,拇指方向即为叉积的方向。
向量积有以下性质:
两向量平行的充要条件是
1.6 混合积
先向量积后数量积。
-
-
Ax=0的系数矩阵A的行向量和解向量的关系
2020-05-17 11:05:28可见,以解向量作为行向量得到的新的方程组,解向量为A的行向量 例: 已知两个方程四个未知量的齐次线性方程组的通解为x=k1[1,0,2,3]T+k2[0,1,-1,1],求原齐次线性方程组 记x=k1+k2,则有A[,]=0。两边同时求转置...对于齐次线性方程组
有解β=[b1,b2...bn]
记行向量αi=[ai1,ai2...ain]
则有
可见,以解向量作为行向量得到的新的方程组,解向量为A的行向量
例:
已知两个方程四个未知量的齐次线性方程组的通解为x=k1[1,0,2,3]T+k2[0,1,-1,1],求原齐次线性方程组
记x=k1
+k2
,则有A[
,
]=0。两边同时求转置得
即以原方程组得基础解析作为新的方程组的系数矩阵的行向量,求解新的方程组,因此得到
求得新方程组解为k1[-2,1,1,0]T+k2[-3,-1,=,1]T
所以原方程为
-
向量简述
2017-12-31 21:01:401 定义 向量,指具有大小和方向的量。 ...模为0的向量是零向量(方向不确定),模为1的向量是单位向量 4 向量的加减法:(如图) 加法: 1 首位相接,结果是从第一个始点到最后一个终点1 定义 向量,指具有大小和方向的量。
2 向量的记法:印刷体记作粗体的字母(下文所有未说明的字母都为向量),书写时在字母顶上加一小箭头“→”
3 向量的长度叫做向量的模。符号是|...| (形同绝对值符号)
模为0的向量是零向量(方向不确定),模为1的向量是单位向量
4 向量的加减法:(如图)
加法:
1 首位相接,结果是从第一个始点到最后一个终点的向量;
2 平行四边形法则,同始点的两个向量相加得到得向量是以它们两边的平行四边形的对角线,始点与它们相同.
减法:
1 可以利用相反向量,a-b = a+(-b)
2 减法是加法的逆运算.
如果a+b=c,那么a = c - b
向量是可以这个用道理进行减法
AB - AC = CB
5 向量的坐标表示
将向量放入平面直角坐标系中,使其始点是原点,终点的坐标就是向量的坐标
6 向量的数乘:功能是放缩.
坐标运算:a(x, y). λa=(λx,λy);
应用:判断向量共线
a(x1, y1), b(x2, y2)
a // b⇔x1*y2-y1*x2 = 0
7 向量的数量积(点乘、内积):是a的模乘以b的模乘以它们夹角的余弦值
a · b = |a| |b| cos<a,b>
坐标运算:a(x1, y1), b(x2, y2). a · b = x1 * x2 + y1 * y2
应用:判断向量垂直
a ⊥ b⇔a · b = 0
8 向量的向量积(叉乘、外积):以a,b为两边组成的三角形有向面积的2倍.
坐标运算:a(x1, y1), b(x2, y2). a × b = x1 * y2 + y1 * x2
应用:
1 判断向量共线
a // b⇔a × b = 0(本质是数乘)
-------------------------
例1 : 判断点与三角形的位置关系
题目描述
判断一个点与已知三角形的位置关系。
输入输出格式
输入格式:前三行:每行一个坐标,表示该三角形的三个顶点
第四行:一个点的坐标,试判断该点与前三个点围成三角形的位置关系
所有坐标值均为整数。
若点在三角形内(不含边界),输出1;
若点在三角形外(不含边界),输出2;
若点在三角形边界上(不含顶点),输出3;
若点在三角形顶点上,输出4。
输入输出样例
输入样例#1:(0,0) (3,0) (0,3) (1,1)
输出样例#1:1
【code】#include <iostream> #include <cstdio> #include <cmath> using namespace std; struct Vector { int x, y; Vector(int x=0, int y=0):x(x), y(y) {} }; typedef Vector Point; Vector operator -(const Point a, const Point b) { return Vector(a.x-b.x, a.y-b.y); } bool operator ==(const Point a, const Point b) { return (a.x == b.x && a.y == b.y); } double cross(const Vector a, const Vector b) { return a.x * b.y - b.x * a.y; } bool On_Edge(Point a, Point b, Point x) { if(min(a.x, b.x) <= x.x && x.x <= max(a.x, b.x) && min(a.y, b.y) <= x.y && x.y <= max(a.y, b.y)) if(cross(a-x, b-x) == 0) return true; return false; } bool In(Point x, Point a, Point b) { Vector A = x - a, B = b - a; if(cross(B, A) > 0) return true; return false; } int main() { Point a, b, c, x; scanf("(%d,%d)\n", &a.x, &a.y); scanf("(%d,%d)\n", &b.x, &b.y); scanf("(%d,%d)\n", &c.x, &c.y); scanf("(%d,%d)\n", &x.x, &x.y); if(x == a || x == b || x == c) printf("4"); else if(On_Edge(a, b, x) || On_Edge(a, c, x) || On_Edge(b, c, x)) printf("3"); else { if(cross(b-a, c-a) < 0) swap(b, c); if(In(x, a, b) && In(x, b, c) && In(x, c, a)) printf("1"); else printf("2"); } }
-
3.1 向量的模和单位向量
2020-08-25 16:50:30在向量上记^为单位向量。长度为1,只表示方向。 根据向量求出该向量的单位向量,这一过程称为:归一化,规范化。 单位向量有无数个。 但在二维空间中有两个特殊的单位向量 ——标准单位向量 e1=(1,0) e2=(0,1) ...向量的长度和单位向量
向量的长度(模)
u=(3,4) 该向量的大小是多少?
||u|| = 5
二范数、欧拉距离
在二维空间中,可以直接根据勾股定理计算出。u=OP=(2,3,5) 该向量的大小是多少?
n维向量 求模 同理。
单位向量
在向量上记^为单位向量。长度为1,只表示方向。
根据向量求出该向量的单位向量,这一过程称为:归一化,规范化。
单位向量有无数个。
但在二维空间中有两个特殊的单位向量 ——标准单位向量 e1=(1,0) e2=(0,1) 分别指向x,y轴正方向
三维空间中,有三个标准单位向量 e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) 分别指向x,y,z轴正方向
n维空间中,有n个标准单位向量 e1=(1,0,…,0) e2=(0,1,…,0) en=(0,0,…,1)
-
线性代数MIT 18.06 记录(二十一)特征值和特征向量
2020-04-21 08:46:17特征向量 一个向量x,乘上矩阵A后的 Ax 中仍然平行于 x的那部分,就是特征向量 特征值 ...由于这个 A−λIA- \lambda IA−λI必须是奇异矩阵,所以特征值为0 这就是特征值方程 例子 下一步: 这里... -
向量乘向量的转置的平方_线性代数(七)向量空间
2020-12-31 08:22:58数轴所有的实数都在数轴上,把每一个实数解释为“原点到某点的向量”,x就是0到x表示的向量 ,并把所有向量的集合记为 到了平面上,我们就需要两条垂直的数轴来表示一个点 记这个平面上原点到的集合为 以此类推,三... -
支持向量SVM分类器的学习记录
2015-06-03 11:23:10其方程可以表示为: W^T*x + b = 0 y取1或者-1表示两个不同的类别,该分类标准起源于logistic回归。2、logistic回归 目的是从特征学习出一个0/1分类模型,该模型是将特征的线性组合作为自变量,自变量取值范围是... -
Spark--SVM(支持向量机)--记录
2018-01-26 19:31:53SVM支持向量机:是常见的一种判别方法。在机器学习领域,是一个有监督的学习模型,通常用来进行模式识别、分类以及回归分析。 支持向量机算法:训练集散落在空间中,寻找一个超...点到超平面的距离为|W.X+b|/||W||, -
向量简介
2010-11-22 18:28:00长度为0的向量叫做零向量,记为0,零向量没有确定方向,换句话说,它的方向是任意的。 <br />一、向量的基本运算 <br /> 1、向量加法:a+b等于使b的始点与a的终点重合时,以a的始点为始点,以b的终点... -
【线性代数】为什么点积为零可以用来判别向量是否正交
2019-09-27 06:06:21一般的课本上都会告诉我们判断两个向量是否正交可以通过它们的点积为0判断,那么到底为什么? 向量 一个向量是有方向和长度的,我们记向量\(\overrightarrow{a}\)的长度为\(\left\|a\right\|\),也叫向量的长度为模... -
向量求导
2017-09-25 11:46:011、向量的导数设A为m×n的矩阵,x为n×1的列向量,记y⃗ =A⋅x⃗ \vec{y}=A\cdot \vec{x} 则:∂y⃗ ∂x⃗ =?\frac{\partial \vec{y}}{\partial \vec{x}}=?令: A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21...am1a12a22...am2......... -
两个向量的夹角公式_【数学第10篇】:平面向量
2021-01-02 19:01:43一.平面向量1.向量表示⑴.数量有大小,无方向的量叫数量。(物理中叫标量)⑵.向量有大小,也有方向的量叫做向量。(物理中叫矢量)⑶....大小为零的向量叫做零向量,记做0;大小为1的向量叫做单位向量。2... -
记深入理解支持向量机SVM的学习过程(问答)
2018-01-09 16:04:351.问:拉格朗日乘子法中,为什么目标函数加上约束条件可以变形为L(X,α,β) ... 为了能使f(X)=L(X,α,β)(记为等式1)就必须αh(X)+βg(X)这两项为零,显然当满足约束条件的时候自然会使得 -
方向向量转欧拉角
2019-08-01 00:14:47最近需要通过方向向量转换为欧拉角,做个记录 ...方向向量(X,Y,Z)对应的欧拉角为向量(0,0,1)即Z轴旋转到(X,Y,Z)方向对应的欧拉角。C#下计算代码为 public Vector3 LookRotation(Vector3 fromDir) { Vec... -
图形学知识基础:向量
2020-08-04 15:36:30向量指具有大小和方向的量,一般记做:a ,,,同时...向量的大小,也就是向量的长度(一般称作为 模),向量a的模记为:,若,则 单位向量:即模为1的向量 零向量:即模为0的向量,零向量的方向是任意的 ... -
复数特征值求特征向量_特征值与特征向量
2020-12-05 11:22:51有些省份会考察特征值与特征向量这...步骤一:求解A的特征多项式步骤二:求特征值,及令该特征多项式为0,求出所有的根步骤三:求出A的全部特征向量其中有一道例题,是求零向量的特征向量,我们可以发现实际上无法计... -
理解和应用向量积与数量积
2020-04-27 00:06:26模为0的向量,记作:θ,它的方向任意。 单位向量: 模为1的向量。 负向量: 方向与某向量相反的向量,称为某向量的负向量。记作:-某向量。例如:向量(1,2,3)是向量(-1,-2,-3)的负向量... -
方向向量转四元数
2019-08-01 00:28:14四元数可以理解为绕某轴(x,y,z)旋转角度w,记为(cos(w/2),sin(w/2)x,sin(w/2)y,sin(w/2)z)。 需要注意的是,对于四元数来说,如果对应的四个值都互为相反数,可以理解为这两个四元数对应的旋转相同。比... -
向量的点乘(一)
2019-05-18 10:46:52向量的点乘(一) 1.点乘的定义 向量u和向量v之间最小的夹角我们记做为[u,v],如下图所示,两个向量之间的夹角我们用绿色弧形表示,其中一个夹角用...图中左下角表示两个向量0夹角为0,第二行中部表示的是两个向... -
地球物理的向量空间
2020-07-11 22:21:53从向量空间观点来看,将数据和模型参数写为向量d⃗\mathbf{\vec{d}}d和m⃗\mathbf{\vec{m}}m(以后简写为d\mathbf{{d}}d和m\mathbf{{m}}m),那么可将向量空间记为S(d)\mathbf{S(d)}S(d)和S(m)\mathbf{S(m)}S(m)。... -
SVM支持向量机
2019-07-18 08:58:21可以用一个公式来表示:wTx+b=0w^{T}x + b = 0wTx+b=0 我们将其记为(www, bbb) 其中www是列向量,bbb是常数,两者一起确定一个超平面 很简单理解这个公式,想象下: 二维平面中,它是一条直线 w1x+w2y+b=0w_{1}x +... -
c++ 向量的值逆序输出_「csp模式试题 202006-2」稀疏向量 C/C++ 100分
2021-02-06 14:48:08目录题目输入输出样例题解思路题解源码(c/c++)题目 :稀疏向量【问题描述】对于一个 n 维整数向量 v∈Zn,其在第 ...如果 V 仅在少量维度上的取值不为 0,则称其为稀疏向量。例如当 n=10 时,V=(0,0,0,5,0,0,-3,0,... -
支持向量机SVM的推导
2020-06-03 17:51:581、什么是支持向量机? 支持向量机是一种二分类模型,它的基本模型是定义在特征空间上的间隔最大的线性分类器。 支持向量机的学习策略就是...在样本空间中,划分超平面可用wTx+b=0w^Tx+b=0wTx+b=0表示,记为(w,b)(w -
四元数与三维向量相乘运算法则
2020-09-04 10:15:57四元数与三维向量相乘运算法则 参考网站: ...通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w),以下q表示四元数,v表示向量,那么四元数和向量相乘的运算法则表示为: q x v = (q) x (v) x (q-1) 例: q = (√2/2 -
针对有序向量的操作
2020-11-20 14:01:26以冒泡算法为思路,若向量有序,相邻的元素对总维持顺序 逆序对的数目,可以衡量一个向量的逆序程度 template <typename T> int Vector<T>::disorder() const{ int n = 0;//记录逆序对个数 for(int i... -
CCF - 202006 - 2 稀疏向量
2020-08-10 21:15:44稀疏向量(svector) 【题目描述】 对于一个 n 维整数向量... 为 0,则称其为稀. 疏. 向. 量. 。 例如当 n = 10 时,v = (0, 0, 0, 5, 0, 0, −3, 0, 0, 1) 就是一个稀疏向量。 由于稀疏向量的非零值较少,我们可以通过 -
AI笔记: 数学基础之平面向量
2020-06-26 17:01:15零向量:长度为0的向量 单位向量:长度为1个单位的向量 有向线段:带有方向的线段叫有向线段,其方向是由起点指向终点,以A为起点、B为终点的有向线段记做 AB→\overrightarrow{AB}AB, 线段AB的长度也叫做有向线段... -
CCF CSP 202006-2 稀疏向量 Python
2020-07-21 00:12:59对于一个 n 维整数向量 v ∈ Zn,其在第 index 个维度上的取值记作 vindex。这里我 们约定 index 的取值从 1 开始,即 v =(v1, v2, · · · , vn)。下面介绍一种向量的稀疏表示 方法。 如果 v 仅在少量维度上的取值... -
【JS图形学基础】平面向量的计算和运用实例
2018-04-09 10:59:33平面向量的计算和运用实例 相关概念 ...零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作 或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在向量“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度... -
向量空间的基和维数例题_线性相关,极大线性无关组,向量组的秩知识点汇总大全...
2020-12-30 14:18:39本文章内容大部分是笔者读...零元:对于任意一个 维向量 ,存在一个向量 ,使得: ,则称 为零元,记作 。该 并不是数值0,而是一个向量。负元:对于向量 有 ,使得: ,则称 为 的负元。向量的数乘运算和加法运算...