一、向量的概念及其运算
1.1 向量的概念
在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（Modulus）。规定长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记为$\boldsymbol{0}$，零向量的起点和终点重合，方向是任意的；模为1的向量叫做单位向量（Unit vector），与向量$\boldsymbol{a}$长度相等而方向相反的向量，称为$\boldsymbol{a}$的相反向量，记为$-\boldsymbol{a}$。
1.2 向量的夹角
设有两个非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，在空间中任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$，规定不超过$\pi$的$\angle{AOB}$为向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角。将两个平行向量的起点放在同一个点时，它们的终点和起点应该在同一条直线上。因此两向量平行也叫做两向量共线。类似的，设有$k$个向量，当把他们的起点放在同一个点时，如果$k$个终点和公共起点在同一个平面上，就称这$k$个向量共面。
1.3 线性运算
线性运算包括加减法和数乘运算。


加减法

向量的运算几何上符合三角形法则和平行四边形法则。

交换律：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$

结合律：$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$


数乘运算

向量$\boldsymbol{a}$与实数$\lambda$的乘积记作$\lambda\boldsymbol{a}$，规定$\lambda\boldsymbol{a}$为一个向量，它的模

$\tag{1}
|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$结合律：$\lambda(\mu\boldsymbol{a})=\mu(\lambda\boldsymbol{a})=(\lambda\mu)\boldsymbol{a}$

分配律：$(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}\quad \lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$


定理一：设向量$\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$，则向量$\boldsymbol{b}$平行于$\boldsymbol{a}$的充分必要条件是：存在唯一实数$\lambda$使得$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$。这个定理建立数轴的理论依据，起点相同方向相同的向量可以和一个实数一一对应。


定理二：设向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$不共线，向量$\boldsymbol{p}$与$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共面的充要条件是存在实数对$(x,y)$使：$\boldsymbol{p}=x\boldsymbol{a}+y\boldsymbol{b}$成立。


定理三：（待补充）

空间中任意两个向量都是共面的，三个向量则不一定。平行于同一个平面的向量共面向量（coplanar vectors）。


1.4 数量积（inner product）运算
已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$，则$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>$叫做$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的数量积，记作$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，即：

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>\tag{2}$对于零向量因为没有夹角的定义，进行了规定：零向量与任何向量的数量积都为0。特别的：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}|\cos<\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}>=|\boldsymbol{a}|^2$。如果向量$\boldsymbol{a}\ne\boldsymbol{0}$，$|\boldsymbol{b}|\cos<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>$这个标量是做向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影。记作：

$Prj_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|\cos<\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}>\tag{3}$式（2）可以写作：

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|Prj_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b} \tag{4}$这也就是说，一个向量在另一个向量的向量积等于该向量的模与投影的乘积。在几何上投影，两个同起点的向量，实际就是过$\boldsymbol{b}$终点且是$\boldsymbol{a}$所有垂直面的交点与起点的连线。
向量积还满足以下运算律：

$(\lambda\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\\
\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}\\
\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}\tag{5}$

如果两个向量的数量积为0是两个向量垂直的充分必要条件。
1.5 向量积
设向量$\boldsymbol{c}$由两个向量$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$按以下方式定出：

$\boldsymbol{c}$的模$|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，$\theta$为$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$间的夹角；$\boldsymbol{c}$的方向垂直于$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$所决定的平面（与$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$都垂直），$\boldsymbol{c}$的方向由右手规则从$\boldsymbol{a}$转向$\boldsymbol{b}$决定，向量$\boldsymbol{c}$叫做$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的向量积，即：$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$
右手法则最重要的是确定其方向，以$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$为例，$\boldsymbol{c}$的方向是四指沿着$\boldsymbol{a}$的正方向，以不超过180度的角度弯向$\boldsymbol{b}$的反方向，拇指方向即为叉积的方向。
向量积有以下性质：

$\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$
$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}$
$(\lambda\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\times(\lambda\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$

两向量平行的充要条件是$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$
1.6 混合积
先向量积后数量积。

$[\boldsymbol{a}\quad\boldsymbol{b}\quad\boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$

对于齐次线性方程组



有解β=[b1,b2...bn]

记行向量αi=[ai1,ai2...ain]

则有



可见，以解向量作为行向量得到的新的方程组，解向量为A的行向量

例：

已知两个方程四个未知量的齐次线性方程组的通解为x=k1[1,0,2,3]T+k2[0,1,-1,1]，求原齐次线性方程组

记x=k1+k2，则有A[,]=0。两边同时求转置得



即以原方程组得基础解析作为新的方程组的系数矩阵的行向量，求解新的方程组，因此得到



求得新方程组解为k1[-2,1,1,0]T+k2[-3,-1,=,1]T

所以原方程为

1 定义 向量，指具有大小和方向的量。


2 向量的记法：印刷体记作粗体的字母（下文所有未说明的字母都为向量），书写时在字母顶上加一小箭头“→”



3 向量的长度叫做向量的模。符号是|...|     (形同绝对值符号)
模为0的向量是零向量（方向不确定），模为1的向量是单位向量


4 向量的加减法：（如图）
加法：
1 首位相接，结果是从第一个始点到最后一个终点的向量；
2 平行四边形法则，同始点的两个向量相加得到得向量是以它们两边的平行四边形的对角线，始点与它们相同.
减法：
1 可以利用相反向量，a-b = a+（-b）
2 减法是加法的逆运算.
如果a+b=c，那么a = c - b
向量是可以这个用道理进行减法
AB - AC = CB
 




5 向量的坐标表示
将向量放入平面直角坐标系中，使其始点是原点，终点的坐标就是向量的坐标


6 向量的数乘：功能是放缩.
坐标运算：a(x, y).  λa=(λx,λy)；
应用：判断向量共线
a(x1, y1), b(x2, y2)
a // b⇔x1*y2-y1*x2
 = 0


7 向量的数量积(点乘、内积)：是a的模乘以b的模乘以它们夹角的余弦值
a · b = |a| |b| cos<a,b>
坐标运算：a(x1, y1), b(x2, y2).  a · b = x1 * x2 + y1 * y2
应用：判断向量垂直
a ⊥ b⇔a
 · b = 0


8 向量的向量积(叉乘、外积)：以a，b为两边组成的三角形有向面积的2倍.
坐标运算：a(x1, y1), b(x2, y2).  a × b = x1 * y2 + y1 * x2
应用：
1 判断向量共线
a // b⇔a
 × b = 0（本质是数乘）







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例1
 ： 判断点与三角形的位置关系




题目描述


判断一个点与已知三角形的位置关系。

输入输出格式
输入格式：



前三行：每行一个坐标，表示该三角形的三个顶点

第四行：一个点的坐标，试判断该点与前三个点围成三角形的位置关系

所有坐标值均为整数。


输出格式：



若点在三角形内（不含边界），输出1；

若点在三角形外（不含边界），输出2；

若点在三角形边界上（不含顶点），输出3；

若点在三角形顶点上，输出4。

输入输出样例


输入样例#1： 
(0,0)
(3,0)
(0,3)
(1,1)



输出样例#1： 
1












【code】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

struct Vector {
    int x, y;
    Vector(int x=0, int y=0):x(x), y(y) {}
};
typedef Vector Point;

Vector operator -(const Point a, const Point b) {
    return Vector(a.x-b.x, a.y-b.y);
}
bool operator ==(const Point a, const Point b) {
    return (a.x == b.x && a.y == b.y);
}

double cross(const Vector a, const Vector b) {
    return a.x * b.y - b.x * a.y;
}
bool On_Edge(Point a, Point b, Point x) {
    if(min(a.x, b.x) <= x.x && x.x <= max(a.x, b.x) && min(a.y, b.y) <= x.y && x.y <= max(a.y, b.y))
        if(cross(a-x, b-x) == 0) return true;
    return false;
}
bool In(Point x, Point a, Point b) {
    Vector A = x - a, B = b - a;
    if(cross(B, A) > 0) return true;
    return false;
}

int main() {
    Point a, b, c, x;
    scanf("(%d,%d)\n", &a.x, &a.y);
    scanf("(%d,%d)\n", &b.x, &b.y);
    scanf("(%d,%d)\n", &c.x, &c.y);
    scanf("(%d,%d)\n", &x.x, &x.y);
    if(x == a || x == b || x == c) printf("4");
    else if(On_Edge(a, b, x) || On_Edge(a, c, x) || On_Edge(b, c, x)) printf("3");
    else {
        if(cross(b-a, c-a) < 0) swap(b, c);
        if(In(x, a, b) && In(x, b, c) && In(x, c, a)) printf("1");
        else printf("2");
    }
}

向量的长度和单位向量
向量的长度（模）
u=(3,4) 该向量的大小是多少？

||u|| = 5

二范数、欧拉距离

在二维空间中，可以直接根据勾股定理计算出。
u=OP=(2,3,5) 该向量的大小是多少？


n维向量 求模 同理。


单位向量
在向量上记^为单位向量。长度为1，只表示方向。


根据向量求出该向量的单位向量，这一过程称为：归一化，规范化。

单位向量有无数个。

但在二维空间中有两个特殊的单位向量 ——标准单位向量 e1=(1,0)  e2=(0,1) 分别指向x,y轴正方向


三维空间中，有三个标准单位向量 e1=(1,0,0) e2=(0,1,0) e3=(0,0,1) 分别指向x,y，z轴正方向
n维空间中，有n个标准单位向量 e1=(1,0,…,0)  e2=(0,1,…,0)  en=(0,0,…,1)