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  • 向量距离和相似度

    2021-02-25 10:42:12
    1.汉明距离

    图片、文本等往往通过提取它们的特征向量,再计算距离作为相似性判断的依据。常见的距离有如下几个:

    1.欧式距离
    欧式距离是最常见的距离度量,指的是多维空间中两个点之间的绝对距离,可以理解为真实距离,自然长度。
    计算公式如下:
    在这里插入图片描述
    实现代码:

    d1=np.sqrt(np.sum(np.square(x-y)))
    

    2.余弦距离
    余弦距离也称为余弦相似度,是通过计算两个向量之间夹角的余弦值大小来表示二者之间的相似度。余弦值接近1,即两向量夹角接近0度,表示两向量越相似。图片等可以通过算子(如orb、sift)或者神经网络预训练模型提取特征向量,再计算二者之间的余弦距离判断相似度。可以用于图片的匹配,识别等任务中。
    计算公式如下:
    在这里插入图片描述
    实现代码:

    d1 = np.dot(x, y) / (np.linalg.norm(x) * np.linalg.norm(y))
    

    3.编辑距离
    编辑距离用来比较两个字符串之间的相似度,表示的是两个字符串之间互相转换所需要的最少字符操作,包括删除、插入、替换。主要用于DNA分析、抄袭、语音辨识,也可以作为OCR识别结果的判断指标之一。特殊的,当两个字符串的长度相同时,编辑距离也可以理解为汉明距离,表示两个字符串对应位置的不同字符的个数。
    实现代码:

    def edit_distance(word1, word2):
        len1 = len(word1)
        len2 = len(word2)
        dp = np.zeros((len1 + 1,len2 + 1))
        for i in range(len1 + 1):
            dp[i][0] = i    
        for j in range(len2 + 1):
            dp[0][j] = j
         
        for i in range(1, len1 + 1):
            for j in range(1, len2 + 1):
                delta = 0 if word1[i-1] == word2[j-1] else 1
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + delta, min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1))
        return dp[len1][len2]
    

    4.SSIM和PSNR
    PSNR为峰值信噪比,是一种图像压缩领域中信号重建质量的测量方法,它通过均方差(MSE)进行定义。SSIM由亮度对比、结构对比、对比度对比三部分组成,用来判断图片压缩后的质量。

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  • 1.欧几里得距离 M维空间中两点的直线距离,也就是两点连线后的直线距离。 2.曼哈顿距离: ...二个点之间的距离定义为其各座标数值差绝对值的最大值。以(x1,y1)和(x2,y2)二点为例,其切比雪夫距离为max(|

    1.欧几里得距离

    M维空间中两点的直线距离,也就是两点连线后的直线距离。

    2.曼哈顿距离:

    曼哈顿距离——两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离,即d(i,j)=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道,从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离,因此,曼哈顿距离又称为出租车距离

    3.切比雪夫距离

    二个点之间的距离定义为其各座标数值差绝对值的最大值。以(x1,y1)和(x2,y2)二点为例,其切比雪夫距离为max(|x2-x1|,|y2-y1|)。

    若将国际象棋棋盘放在二维直角坐标系中,格子的边长定义为1,座标的x轴及y轴和棋盘方格平行,原点恰落在某一格的中心点,则王从一个位置走到其他位置需要的步数恰为二个位置的切比雪夫距离,因此切比雪夫距离也称为棋盘距离。

    4.马氏距离:

    协方差距离(如果要建立矩阵的话,感觉这个可以用,因为是矩阵的协方差求相似度)

    马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量之间的差异程度。

    如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。

    5.夹角余弦距离:

    衡量向量方向的差异

    余弦相似度,又称为余弦相似性,是通过计算两个向量的夹角余弦值来评估他们的相似度。余弦相似度将向量根据坐标值,绘制到向量空间中,如最常见的二维空间。

    6.海明距离

    在信息编码中,两个合法代码对应位上编码不同的位数称为码距,又称海明距离。举例如下:10101和00110从第一位开始依次有第一位、第四、第五位不同,则海明距离为3。

    (计算海明距离的一种方法,就是对两个位串进行异或(xor)运算,并计算出异或运算结果中1的个数。例如110和011这两个位串,对它们进行异或运算,其结果是

    110⊕011=101

    异或结果中含有两个1,因此110和011之间的海明距离就等于2。)

    7.杰卡德距离

    杰卡德距离(Jaccard Distance) 是用来衡量两个集合差异性的一种指标,它是杰卡德相似系数的补集,被定义为1减去Jaccard相似系数。而杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient),也称杰卡德指数(Jaccard Index),是用来衡量两个集合相似度的一种指标。

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  • 展开全部在数学中,向量(也称为欧几里得向62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333431373333量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向...

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    在数学中,向量(也称为欧几里得向62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333431373333量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量(物理学中称标量),数量(或标量)只有大小,没有方向。

    向量的记法:印刷体记作黑体(粗体)的字母(如a、b、u、v),书写时在字母顶上加一小箭头“→”。[1] 如果给定向量的起点(A)和终点(B),可将向量记作AB(并于顶上加→)。在空间直角坐标系中,也能把向量以数对形式表示,例如xOy平面中(2,3)是一向量。

    在物理学和工程学中,几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量,比如一个物体的位移,球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量,即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系,例如向量势对应于物理中的势能。

    几何向量的概念在线性代数中经由抽象化,得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素,要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示,大小和方向的概念亦不一定适用。因此,平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过,依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系,也可以透过选取恰当的定义,在向量空间上介定范数和内积,这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

    代数表示

    一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,如

    ,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。

    几何表示

    向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量,记作长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。

    向量表示

    箭头所指的方向表示向量的方向。[1]

    坐标表示

    在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点P为终点作向量a。由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数(x,y),使得a=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点

    的坐标。向量a称为点P的位置向量。[1]

    向量的坐标表示

    在空间直角坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j,k作为一组基底。若为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量a。由空间基本定理知,有且只有一组实数(x,y,z),使得a=ix+jy+kz,因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y,z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y,z),就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

    当然,对于多维的空间向量,可以通过类推得到,此略。

    向量的矩阵表示

    向量加法

    向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则,

    向量的加法

    向量加法的运算律:

    交换律:a+b=b+a;

    结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

    向量减法

    如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0

    OA-OB=BA.即“共同起点,指向被

    向量的减法

    减”

    a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则a-b=(x1-x2,y1-y2).

    如图:c=a-b 以b的结束为起点,a的结束为终点。

    加减变换律:a+(-b)=a-b

    向量数乘

    实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量,记作λa,且|λa|=|λ|*|a|。 [1]

    当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 [1]

    注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

    实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

    当 |λ| >1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍

    当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的 |λ|倍。

    实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

    数与向量的乘法满足下面的运算律

    结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

    向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

    数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

    数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

    需要注意的是:向量的加减乘(向量没有除法)运算满足实数加减乘运算法则。

    向量数量积

    定义:已知两个非零向量a,b,作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π

    定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向),记作a·b。

    若a、b不共线,则

    ;若a、b共线,则

    。 [1]

    向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x'+y·y'。

    向量的数量积的运算律

    a·b=b·a(交换律)

    (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

    (a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

    向量的数量积的性质

    a·a=|a|的平方。

    a⊥b〈=〉a·b=0。

    |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)

    向量的数量积与实数运算的主要不同点

    1.向量的数量积不满足结合律,即:(a·b)·c≠a·(b·c);例如:(a·b)²≠a²·b²。

    2.向量的数量积不满足消去律,即:由a·b=a·c(a≠0),推不出b=c。

    3.|a·b|与|a|·|b|不等价

    4.由 |a|=|b| ,不能推出a=b,也不能推出a=-b,但反过来则成立。

    向量向量积

    定义:两个向量a和b的向量积

    向量的几何表示

    (外积、叉积)是一个向量,记作a×b(这里“×”并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直,则∣a×b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同,请注意),若a×b=0,则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

    运算法则:运用三阶行列式

    设a,b,c分别为沿x,y,z轴的单位向量

    A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2),则

    向量的向量积性质:

    |a×b|是以a和b为边的平行四边形面积。

    a×a=0。

    a平行b〈=〉a×b=0

    向量的向量积运算律

    a×b=-b×a

    (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)

    a×(b+c)=a×b+a×c.

    (a+b)×c=a×c+b×c.

    上两个分配律分别称为左分配律和右分配律。在演算中应注意不能交换“×”号两侧向量的次序。

    注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

    向量三向量混合积

    定义:给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,

    向量的混合积

    所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

    混合积具有下列性质:

    1.三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数;当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV(当a、b、c构成右手系时ε=1;当a、b、c构成左手系时ε=-1)

    2.上性质的推论:三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0

    3.(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

    向量双重向量积

    给定空间的三个向量a,b,c,如果先做其中两个向量a,b的向量积a×b,再做所得向量与第三向量的向量积,那么最后的结果仍然是一个向量,叫做所给三向量的双重向量积,记做:(a×b)×c。

    性质:

    (a×b)×c=(a·c)·b-(b·c)·a

    a×(b×c)=-(b×c)×a=(a·c)·b-(a·b)·c

    向量关系式

    给定空间内四个向量a、b、c、d,则这四个向量之间满足如下关系:

    证明:

    由混合积的性质可知

    (即把c×d看成一个新的向量e,利用性质(a×b)·e=a·(b×e))

    再根据二重向量积的性质可知

    该公式可用于证明三维的柯西不等式

    证明:令公式中a=c、b=d,则:

    ,那么:

    等号成立的条件是

    ,即a、b共线(

    或b=0)

    向量两个向量构成的平行四边形的面积公式

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  • 向量距离与相似性度量计算(1)欧式距离(2)曼哈顿距离(3)切比雪夫距离(4)闵氏距离(闵可夫斯基)(5)马氏距离(马哈拉诺比斯距离)(6)余弦距离(7)汉明距离(编辑距离)(8)杰卡德相似系数(9)相关系数 ( Correlation ...

    (1)欧式距离

    欧几里得度量(educlidean metric),指在m维空间中两点之间的真实距离,或者向量的自然长度,即该点到原点的距离。
    在这里插入图片描述
    标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进:
    在这里插入图片描述
    如果将方差的倒数看成一个权重,也可称之为加权欧氏距离。

    (2)曼哈顿距离

    Manhattan Distance,也称为城市街区距离(City Block distance)。如果把欧式距离理解成点到点的直线距离,那么曼哈顿距离就指的是两点之间的实际距离(不一定是直线)。
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    (3)切比雪夫距离

    切比雪夫距离(Chebyshev distance)或是L∞度量,是向量空间中的一种度量,二个点之间的距离定义是其各坐标数值差绝对值的最大值。
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    (4)闵氏距离(闵可夫斯基)

    设n维空间中有两点坐标x, y,p为常数,闵式距离定义为
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    (5)马氏距离(马哈拉诺比斯距离)

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    (6)余弦距离

    余弦距离也称为余弦相似度,是通过计算两个向量之间夹角的余弦值大小来表示二者之间的相似度。余弦值接近1,即两向量夹角接近0度,表示两向量越相似。图片等可以通过算子(如orb、sift)或者神经网络预训练模型提取特征向量,再计算二者之间的余弦距离判断相似度。可以用于图片的匹配,识别等任务中。
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    (7)汉明距离(编辑距离)

    汉明距离是使用在数据传输差错控制编码里面的,汉明距离是一个概念,它表示两个(相同长度)字对应位不同的数量,我们以d(x,y)表示两个字x,y之间的汉明距离。对两个字符串进行异或运算,并统计结果为1的个数,那么这个数就是汉明距离。
    2个向量之间的汉明距离的定义为2个向量不同的分量所占的百分比。

    (8)杰卡德相似系数

    杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient):两个集合A和B的交集元素在A,B的并集中所占的比例,称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示:
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    杰卡德距离:与杰卡德相似系数相反,用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度:
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    (9)相关系数 ( Correlation coefficient )与相关距离(Correlation distance)

    相关系数:是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)
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    相关距离:
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    (10) 信息熵

    信息熵描述的是整个系统内部样本之间的一个距离,或者称之为系统内样本分布的集中程度(一致程度)、分散程度、混乱程度(不一致程度)。系统内样本分布越分散(或者说分布越平均),信息熵就越大。分布越有序(或者说分布越集中),信息熵就越小。
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    (11)半正矢距离。

    半正矢距离是指球面上的两点在给定经纬度条件下的距离。
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    (12)Sørensen-Dice 系数

    Sørensen-Dice 系数与雅卡尔指数非常相似,都是度量样本集的相似性和多样性。尽管它们的计算方法相似,但是 Sørensen-Dice 系数更直观一些,因为它可以被视为两个集合之间重叠的百分比,这个值在 0 到 1 之间
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    千次阅读 2021-02-23 13:48:56
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空空如也

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向量距离的定义