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  • 摘要:本节主要介绍欧氏... 长度称为向量和的距离,记为岩宝小提示:距离的三条基本性质(1)(2) 并且仅当时等号才成立;(3) (三角不等式).定义2. 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为...

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    摘要:本节主要介绍欧氏空间中子空间的距离和酉矩阵的概念,这一板块大家在第一遍的复习过程中可以考虑记住概念,当第二遍复习强化刷题阶段,看自己报考得院校是否考察酉变换,在确定是否刷对应的题目.

    一.子空间的距离.

    定义1. 长度

    称为向量
    的距离,记为

    岩宝小提示:距离的三条基本性质

    (1)

    (2)

    并且仅当时等号才成立;

    (3)

    (三角不等式).

    定义2. 设V是复数域上的线性空间,在V上定义了一个二元复函数,称为内积,记作

    ,它具有以下性质:

    (1)

    这里
    的共轭复数;

    (2)

    (3)

    (4)

    是非负实数,且
    当且仅当

    这里

    是V中任意的向量,k为任意复数,这样的线性空间称为酉空间.

    岩宝小提示:由于酉空间的讨论与欧式空间的讨论很相似,有一套平行的理论,这里给大家一一列出来.

    首先由内积的定义可以得到:

    (1)

    (2)

    和欧式空间一样,因为

    故可定义向量的长度.

    (3)

    叫做向量
    的长度,记为
    (4)柯西-布涅夫斯基不等式仍然成立,即对于任意的向量

    当且仅当

    线性相关时,等号成立.

    这里岩宝要强调一点,酉空间中的内积

    一般是复数,故向量之间不易定义夹角,但我们仍引入:

    (5)向量

    ,当
    时称为正交或者互相垂直.

    在n维酉空间中,同样可以定义正交基和标准正交基,并且关于标准正交基也有下述一些重要的性质:

    (6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化,并扩充成为一组标准正交基.

    (7)对n级复矩阵A,用

    表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足
    就叫做酉矩阵,它的行列式绝对值等于1.

    类似于欧氏空间的正交变换和对称变换,可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.他们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质,如下

    (8)酉空间V的线性变换

    ,如果满足
    就称为V的一个酉变换,酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.

    (9)如果矩阵A满足

    叫做埃尔米特矩阵.在酉空间
    中令

    也是对称变换.

    (10)V是酉空间,

    是子空间,
    的正交补,则

    (11)埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交.

    (12)若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使得

    是对角矩阵.

    (13)设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数

    叫做艾尔米特二次型,必有酉矩阵C,当

    时,


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  • 在机器学习里,我们的运算一般都是基于向量的,一条用户具有100个特征,那么他对应的就是一个100维的向量,通过计算两个用户对应向量之间的距离值大小,有时候能反映出这两个用户的...曼哈顿距离的Python实现: f...

    在机器学习里,我们的运算一般都是基于向量的,一条用户具有100个特征,那么他对应的就是一个100维的向量,通过计算两个用户对应向量之间的距离值大小,有时候能反映出这两个用户的相似程度。这在后面的KNN算法和K-means算法中很明显。

    设有两个n维变量A=\left[ x_{11}, x_{12},...,x_{1n} \right]B=\left[ x_{21} ,x_{22} ,...,x_{2n} \right],则一些常用的距离公式定义如下:

    1、曼哈顿距离

    曼哈顿距离也称为城市街区距离,数学定义如下:

    d_{12} =\sum_{k=1}^{n}{\left| x_{1k}-x_{2k} \right| }

    曼哈顿距离的Python实现:

    from numpy import *
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print sum(abs(vector1-vector2))
    

    2、欧氏距离

    欧氏距离其实就是L2范数,数学定义如下:

    d_{12} =\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{\left( x_{1k} -x_{2k} \right) ^{2} } }

    欧氏距离的Python实现:

    from numpy import *
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print sqrt((vector1-vector2)*(vector1-vector2).T)
    

    3、闵可夫斯基距离

    从严格意义上讲,闵可夫斯基距离不是一种距离,而是一组距离的定义:

    d_{12} =\sqrt[p]{\sum_{k=1}^{n}{\left( x_{1k} -x_{2k} \right) ^{p} } }

    实际上,当p=1时,就是曼哈顿距离;当p=2时,就是欧式距离。

     

    4、切比雪夫距离

    切比雪夫距离就是L_{\varpi},即无穷范数,数学表达式如下:

    d_{12} =max\left( \left| x_{1k}-x_{2k} \right| \right)

    切比雪夫距离额Python实现如下:

    from numpy import *
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print sqrt(abs(vector1-vector2).max)
    

    5、夹角余弦

    夹角余弦的取值范围为[-1,1],可以用来衡量两个向量方向的差异;夹角余弦越大,表示两个向量的夹角越小;当两个向量的方向重合时,夹角余弦取最大值1;当两个向量的方向完全相反时,夹角余弦取最小值-1。

    机器学习中用这一概念来衡量样本向量之间的差异,其数学表达式如下:

    cos\theta =\frac{AB}{\left| A \right| \left|B \right| } =\frac{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}x_{2k} } }{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{1k}^{2} } } \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{x_{2k}^{2} } } }

    夹角余弦的Python实现:

    from numpy import *
    vector1 = mat([1,2,3])
    vector2 = mat([4,5,6])
    print dot(vector1,vector2)/(linalg.norm(vector1)*linalg.norm(vector2))
    

    6、汉明距离

    汉明距离定义的是两个字符串中不相同位数的数目。

    例如:字符串‘1111’与‘1001’之间的汉明距离为2。

    信息编码中一般应使得编码间的汉明距离尽可能的小。

    汉明距离的Python实现:

    from numpy import *
    matV = mat([1,1,1,1],[1,0,0,1])
    smstr = nonzero(matV[0]-matV[1])
    print smstr
    

    7、杰卡德相似系数

    两个集合A和B的交集元素在A和B的并集中所占的比例称为两个集合的杰卡德相似系数,用符号J(A,B)表示,数学表达式为:

    J\left( A,B \right) =\frac{\left| A\cap B\right| }{\left|A\cup B \right| }

    杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度的一种指标。一般可以将其用在衡量样本的相似度上。

    8、杰卡德距离

    与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离,其定义式为:

    J_{\sigma} =1-J\left( A,B \right) =\frac{\left| A\cup B \right| -\left| A\cap B \right| }{\left| A\cup B \right| }

    杰卡德距离的Python实现:

    from numpy import *
    import scipy.spatial.distance as dist
    matV = mat([1,1,1,1],[1,0,0,1])
    print dist.pdist(matV,'jaccard')
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  • 定义在两个向量(两个点)上:点x\mathbf{x}x和点y\mathbf{y}y欧氏距离为: dEuclidean=(x−y)⊤(x−y) d_{Euclidean}=\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\top (\mathbf{x}-\mathbf{y})} dEuclidean​=(x−y)⊤(x−y)...

    向量距离度量


    距离的定义:

    在一个集合中,如果每一对元素均可唯一确定一个实数,使得三条距离公理(正定性,对称性,三角不等式)成立,则该实数可以称为这对元素之间的距离。

    欧氏距离

    定义在两个向量(两个点)上:点x\mathbf{x}和点y\mathbf{y}的欧氏距离为:

    dEuclidean=(xy)(xy) d_{Euclidean}=\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\top (\mathbf{x}-\mathbf{y})}

    曼哈顿距离

    Manhattan Distance(L1范数),也称为城市街区距离(City Block distance)。
    定义在两个向量(两个点)上:点x\mathbf{x}和点y\mathbf{y}的曼哈顿距离为:

    dManhattan=xy d_{Manhattan}=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|

    闵可夫斯基距离

    Minkowski distance, 两个向量(点)的pp阶距离:

    dMinkowski=(xyp)1/p d_{Minkowski}=(|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^p)^{1/p}

    p=1p=1时就是曼哈顿距离,当p=2p=2时就是欧氏距离。

    马氏距离

    定义在两个向量(两个点)上,这两个点在同一个分布里。点x\mathbf{x}和点y\mathbf{y}的马氏距离为:

    dMahalanobis=(xy)Σ1(xy) d_{Mahalanobis}=\sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^\top \Sigma^{-1} (\mathbf{x}-\mathbf{y})}

    其中,Σ\Sigma是这个分布的协方差,Cov(X,Y)=E[(Xμx)(Yμy)]\operatorname{Cov}(X, Y)=E\left[\left(X-\mu_{x}\right)\left(Y-\mu_{y}\right)\right]

    Σ=I\Sigma=\mathbf{I}时,马氏距离退化为欧氏距离。

    余弦相似度

    衡量两个向量的相关性(夹角的余弦)。向量x,y\mathbf{x},\mathbf{y}的余弦相似度为:

    cos(x,y)=xyxy \cos (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}|\cdot |\mathbf{y}|}

    理解:向量的内积除以向量的数量积。

    欧式距离与余弦距离的对比:

    1 .欧式距离的数值受到维度的影响,余弦相似度在高维的情况下也依然保持低维完全相同时相似度为1等性质。
    2. 欧式距离体现的是距离上的绝对差异,余弦距离体现的是方向上的相对差异。

    余弦距离满足正定性和对称性,但是不满足三角不等式|a+b|<=|a|+|b|,因此余弦距离不是一个严格定义的距离。

    随机变量的相关性


    皮尔逊相关系数

    衡量两个随机变量的相关性。随机变量X,YX,Y的Pearson相关系数为:

    ρX,Y=Cov(X,Y)σXσY \rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

    理解:协方差矩阵除以标准差之积。

    范围:[-1,1],绝对值越大表示(正/负)相关性越大。

    Jaccard相关系数

    对两个集合X,YX,Y,判断他们的相关性,借用集合的手段:

    J=XYXY J=\frac{X \cap Y}{X \cup Y}

    理解:两个集合的交集除以并集。

    扩展:杰卡德Jaccard距离=1J1-J

    概率分布的差异度量


    交叉熵

    交叉熵度量两个概率分布间的差异性信息:
    H(PQ)=i=1P(x)logQ(x) H(P,Q)=-\sum_{i=1} P(x) \log{Q(x)}
    其中,P为真实分布,Q一般为数据估计的分布。
    信息量,一个具体事件发生所带来的信息。h(x)=logP(x)h(x)=-log {P(x)}

    信息熵,所有可能发生事件所带来的信息量的期望。H(X)=i=1P(x)logP(x)H(X)=-\sum_{i=1} P(x) \log {P(x)}

    KL散度

    Kullback–Leibler divergence,相对熵,衡量两个概率分布P(x),Q(x)P(x),Q(x)的距离:

    DKL(PQ)=i=1P(x)logP(x)Q(x) D_{KL}(P||Q)=\sum_{i=1} P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}

    非对称距离:DKL(PQ)DKL(QP)D_{KL}(P||Q) \ne D_{KL}(Q||P).

    互信息

    定义在两个概率分布X,YX,Y上,xX,yYx \in X,y \in Y.它们的互信息为联合分布p(x,y)p(x,y)和边缘分布p(x)p(y)p(x)p(y)的相对熵:

    I(X;Y)=xXyYp(x,y)logp(x,y)p(x)p(y) I(X;Y)=\sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} p(x,y) \log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}

    JS距离

    Jensen–Shannon divergence,基于KL散度发展而来,是对称度量:

    JSD(PQ)=12DKL(PM)+12DKL(QM) JSD(P||Q)= \frac{1}{2} D_{KL}(P||M) + \frac{1}{2} D_{KL}(Q||M)

    其中M=12(P+Q)M=\frac{1}{2}(P+Q)。是对称度量。

    MMD距离

    Maximum mean discrepancy,度量在再生希尔伯特空间中两个分布的距离,是一种核学习方法。两个随机变量的距离为:

    MMD(X,Y)=i=1n1ϕ(xi)j=1n2ϕ(yj)2H MMD(X,Y)=\left \Vert \sum_{i=1}^{n_1}\phi(\mathbf{x}*i)- \sum*{j=1}^{n_2}\phi(\mathbf{y}*j) \right \Vert^2*\mathcal{H}

    其中ϕ()\phi(\cdot)是映射,用于把原变量映射到高维空间中。

    理解:就是求两堆数据在高维空间中的均值的距离。

    Principal angle

    也是将两个分布映射到高维空间(格拉斯曼流形)中,在流形中两堆数据就可以看成两个点。Principal angle是求这两堆数据的对应维度的夹角之和。对于两个矩阵X,Y\mathbf{X},\mathbf{Y},计算方法:首先正交化两个矩阵,然后:

    PA(X,Y)=i=1min(m,n)sinθi PA(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\sum_{i=1}^{\min(m,n)} \sin \theta_i

    其中m,nm,n分别是两个矩阵的维度,θi\theta_i是两个矩阵第ii个维度的夹角,Θ=θ1,θ2,,θt\Theta={\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_t}是两个矩阵SVD后的角度:

    XY=U(cosΘ)V \mathbf{X}^\top\mathbf{Y}=\mathbf{U} (\cos \Theta) \mathbf{V}^\top

    HSIC

    希尔伯特-施密特独立性系数,Hilbert-Schmidt Independence Criterion,用来检验两组数据的独立性:

    HSIC(X,Y)=trace(HXHY) HSIC(X,Y) = trace(HXHY)

    其中X,YX,Y是两堆数据的kernel形式。

    Earth Mover’s Distance

    推土机距离,度量两个分布之间的距离,又叫Wasserstein distance。以最优运输的观点来看,就是分布XX能够变换成分布YY所需要的最小代价:

    一个二分图上的流问题,最小代价就是最小流,用匈牙利算法可以解决。

    emd(X,Y)=mini,jfijd(xi,yj)jwyj emd(X,Y)=\min{\frac{\sum_{i,j}f_{ij}d(\textbf{x}i,\textbf{y}j)}{\sum{j}w{yj}}}
    约束条件为

    s.t.ifij=wyj,jfij=wxi. s.t. \sum_{i}f_{ij}=w_{yj}, \sum_{j}f_{ij}=w_{xi}.

    References

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  • 正好现学现卖刚学到这个求夹角 遇到了一堆...向量点乘和差乘本质上有什么区别以及两个... | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思​www.guokr.com然后夹角求法实际上 就是看过3d数学就轻松搞定公式是angle = arcc...

    正好现学现卖

    刚学到这个求夹角的 遇到了一堆的新概念 包括 点积dot product 和 corss product

    我学点积的时候最懵逼的就是不知道这个公式的几何意义到底是什么后来看到一个解释,瞬间秒懂.向量点乘和差乘的本质上有什么区别以及两个... | 问答 | 问答 | 果壳网 科技有意思​www.guokr.com

    然后夹角求法实际上 就是看过3d数学就轻松搞定

    公式是

    angle = arccos(dot(A,B) / (|A|* |B|)).

    但应用到unity里面 你还要把vector的长度单位变成1

    直接套用脚本吧

    var angleY = Mathf.Acos(Vector3.Dot(vec.normalized, Vector2.up)) * Mathf.Rad2Deg;

    这里面其实就三个东西

    mathf.Acos 反余弦

    vector3.dot(大爷,二大爷) 向量大爷和向量二大爷的点积

    mathf.rad2ged 这个名字给的太low了 把 弧度变成角度 go2school 这么一个起名方式

    你要彻底想明白求夹角怎么回事

    首先看dot product的概念

    然后看为什么要变成单位向量 就是vec.normalized就是把这个向量的长度变成1

    然后看脚本语言 mathf.acos vector.dot. go2shcool 这样基本就差不多了

    慢慢学吧 共勉

    我也是小白 慢慢学习中

    然后尴尬的一件事情直接用vector3.angle方法貌似就出结果了......

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