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  • 常用的几种向量运算法则

    千次阅读 2020-05-05 16:47:04
    b×aa×b=−b×a 加法的分配律: a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c 与标量乘法兼容: (ra)×b=a×(rb)=r(a×b)(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)(ra)×b=a×(rb)=r(a×b) 不满足结合律,但满足雅可比...

    a ⋅ b = b ⋅ a a·b = b·a ab=ba

    a ( b ⋅ c ) ≠ ( a ⋅ b ) c a(b·c)≠(a·b)c a(bc)=(ab)c

    ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (a+b)·c = a·c+b·c (a+b)c=ac+bc

    a × b = − b × a a×b = - b×a a×b=b×a

    ( r a ) × b = a × ( r b ) = r ( a × b ) , 其 中 r 是 标 量 (ra)×b=a×(rb)=r(a×b),其中r是标量 (ra)×b=a×(rb)=r(a×b),r

    ( a + b ) × c = a × c + b × c (a+b)×c = a×c+b×c (a+b)×c=a×c+b×c

    ( a × b ) × c = b ( a ⋅ c ) − a ( b ⋅ c ) (a×b)×c = b(a·c) - a(b·c) (a×b)×c=b(ac)a(bc)

    a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b) a×(b×c)=b(ac)c(ab)

    a × ( b × c ) ≠ ( a × b ) × c a×(b×c) ≠ (a×b)×c a×(b×c)=(a×b)×c

    ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = a ⋅ [ b × ( c × d ) ] (a×b)·(c×d) = a·[b×(c×d)] (a×b)(c×d)=a[b×(c×d)]

    a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

    a × ( b × c ) = ( a T c ) b − ( a T b ) c = [ a T c − c a T ] b a×(b×c)=(a^{T}c)b-(a^{T}b)c=[a^{T}c-ca^{T}]b a×(b×c)=(aTc)b(aTb)c=[aTccaT]b

    a × b = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] [ b 1 b 2 b 3 ] a \times b=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right] a×b=0a3a2a30a1a2a10b1b2b3

    a × ( b × c ) = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] [ 0 − b 3 b 2 b 3 0 − b 1 − b 2 b 1 0 ] [ c 1 c 2 c 3 ] a \times(b \times c)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & -b_{3} & b_{2} \\ b_{3} & 0 & -b_{1} \\ -b_{2} & b_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}\right] a×(b×c)=0a3a2a30a1a2a100b3b2b30b1b2b10c1c2c3


    • 代数规则
      1. 反交换律: a × b = − b × a a×b=-b×a a×b=b×a
      2. 加法的分配律: a × ( b + c ) = a × b + a × c a×(b+c)=a×b+a×c a×(b+c)=a×b+a×c
      3. 与标量乘法兼容: ( r a ) × b = a × ( r b ) = r ( a × b ) (ra)×b=a×(rb)=r(a×b) (ra)×b=a×(rb)=r(a×b)
      4. 不满足结合律,但满足雅可比恒等式: a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0 a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0
      5. 分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
      6. 两个非零向量a和b平行,当且仅当a×b=0。

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    验算:

    clear,clc;
    syms px py pz wx wy wz real;
    c = [px;py;pz]
    w = [wx;wy;wz]
    
    temp1 = c*c'*w-c'*c*diag([1 1 1])*w+cross(c,cross(w,c))
    simplify(temp1)
    
    temp2 = cross(c,cross(w,cross(w,c))) + cross(w,c*c'*w)-cross(w,c'*c*diag([1 1 1])*w)
    simplify(temp2)
    
    
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  • 【线性代数】向量乘法运算

    万次阅读 多人点赞 2018-06-29 17:30:45
    最近把向量乘法运算搞混了,故而温习一下。 内容主要来自以下两个文档     向量乘法运算,长于举例丰富,形象生动 向量乘法,长于公式性质列举完整   0. 综述 常用的,   a·b=||a||||b||cosθ, 这个是...

    最近把向量乘法运算搞混了,故而温习一下。

    内容主要来自以下两个文档

     

     

     

    0. 综述

    常用的,

     

    • a·b=||a||||b||cosθ, 这个是向量的内积,又叫数量积,又叫点积。
    • axb||a||||b||sinθ,这个是向量的外积,又叫向量积,又叫叉积。
    • [a b c] = (axbc , 这个是向量的混合积。

     

     

    1. 内积

     

    1.1 定义

     

    1.2 向量内积性质

     

    注意,向量内积不满足结合律,即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量

     

     

    1.3 向量内积的物理意义

    向量内积的物理意义是,力通过位移做功。

     

    1.4 向量内积的用途

     

    1.4.1 求两个非零向量的夹角 

     

     

    1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

    简单的对应坐标相乘再求和,结果为0就垂直,否则就不垂直。

     

     

    2. 外积

    2.1 向量外积的定义

     

    向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。

    通过坐标进行外积的直接计算比较复杂,写成行列式的形式,再展开,方便记忆。

     

    2.2 向量外积的性质

     

    2.3 向量外积的几何意义

    再除以2的话,就是以 a,b 为边的三角形的面积。

     

    2.4 向量外积的用途

    2.4.1 求与三角形面积相关的问题

    3. 混合积

     

    3.1 向量混合积的定义

    三个向量,先外积后内积,最后出个标量结果,就是三个向量的混合积。

     

    混合积的坐标表达式非常规整优美。

     

    3.2 混合积的性质

     

    3.3 混合积的几何意义

     

     

    3.4 混合积的用途

    3.4.1 求四面体体积相关

     

    3.4.2 判断三个向量共面

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  • 向量的叉乘运算法则

    万次阅读 2021-01-13 03:30:55
    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量向量b=-向量向量a。点乘和叉乘的区别点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。向量a·...

    向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin,向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    点乘和叉乘的区别

    点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

    向量a·向量b=|a||b|cos

    在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

    叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

    |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

    向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

    向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

    物理学中的应用

    在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

    将向量用坐标表示(三维向量),

    若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),

    则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

    (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

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  • 四元数与三维向量相乘运算法则

    千次阅读 2020-09-04 10:15:57
    四元数与三维向量相乘运算法则 参考网站: https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html 四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。 例如:向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90...

    四元数与三维向量相乘运算法则

    参考网站:
    https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html

    四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。
    例如:向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90°,得到新的向量是 c(10,0,0)。

    通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w),以下q表示四元数,v表示向量,那么四元数和向量相乘的运算法则表示为:
    q x v = (q) x (v) x (q-1)
    例: q = (√2/2 , 0 , √2/2 , 0);
    这里需要将三维向量v扩充为四元数(0,v), 如c(0,0,10)变为c(0,0,0,10);
    q-1 是四元数q的逆,求逆过程如下:
    共轭四元数:q*=(w,-x,-y,-z) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)
    四元数的模:N(q) = √(x2 + y2 + z2+ w2 ),通常四元数表示为单位四元数,所以模等于1
    四元数的逆: q-1 = q*/N(q) 则为 (√2/2 , 0 ,-√2/2 , 0)

    四元数的乘法公式:
    四元数叉乘
    按照上述公式可得到新四元数(0,10,0,0),则旋转后新坐标为(10,0,0)
    按上述方法计算所得到的新四元数的首项一定等于0。

    上述方法 R语言实现:

    1. 计算共轭四元数
    q_star <- function(q){
      qstar <- c(q[1],-q[2],-q[3],-q[4])
      return(qstar)
    }
    
    1. 计算四元数模
    Nq <- function(q){
      N <- sqrt(q[1]^2+q[2]^2+q[3]^2+q[4]^2)
      return(N)
    }
    
    1. 计算四元数的逆
    q_reverse <- function(q){
      qreverse <- q_star(q)/Nq(q)
      return(qreverse)
    }
    
    1. 叉乘公式
    q_multiply <- function(a,b){
      w1 <- a[1]
      x1 <- a[2]
      y1 <- a[3]
      z1 <- a[4]
      w2 <- b[1]
      x2 <- b[2]
      y2 <- b[3]
      z2 <- b[4]
      amulb <- c((w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2),(w1*x2+x1*w2+y1*z2-z1*y2),
                 (w1*y2+y1*w2+z1*x2-x1*z2),(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2))
      return(amulb)
    }
    
    1. 四元数与三维向量相乘
    mul <- function(q,v){
      a <- q_multiply(q,v)
      b <- q_multiply(a, q_reverse(q))
      return(b)
    }
    
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