• b×aa×b=−b×a 加法的分配律： a×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×ca×(b+c)=a×b+a×c 与标量乘法兼容： (ra)×b=a×(rb)=r(a×b)(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)(ra)×b=a×(rb)=r(a×b) 不满足结合律，但满足雅可比...


a

⋅

b

=

b

⋅

a

a·b = b·a

a

(

b

⋅

c

)

≠

(

a

⋅

b

)

c

a(b·c)≠(a·b)c

(

a

+

b

)

⋅

c

=

a

⋅

c

+

b

⋅

c

(a+b)·c = a·c+b·c

a

×

b

=

−

b

×

a

a×b = - b×a

(

r

a

)

×

b

=

a

×

(

r

b

)

=

r

(

a

×

b

)

,

其

中

r

是

标

量

(ra)×b=a×(rb)=r(a×b),其中r是标量

(

a

+

b

)

×

c

=

a

×

c

+

b

×

c

(a+b)×c = a×c+b×c

(

a

×

b

)

×

c

=

b

(

a

⋅

c

)

−

a

(

b

⋅

c

)

(a×b)×c = b(a·c) - a(b·c)

a

×

(

b

×

c

)

=

b

(

a

⋅

c

)

−

c

(

a

⋅

b

)

a×(b×c) = b(a·c) - c(a·b)

a

×

(

b

×

c

)

≠

(

a

×

b

)

×

c

a×(b×c) ≠ (a×b)×c

(

a

×

b

)

⋅

(

c

×

d

)

=

a

⋅

[

b

×

(

c

×

d

)

]

(a×b)·(c×d) = a·[b×(c×d)]

a

×

(

b

×

c

)

+

b

×

(

c

×

a

)

+

c

×

(

a

×

b

)

=

0

a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

a

×

(

b

×

c

)

=

(

a

T

c

)

b

−

(

a

T

b

)

c

=

[

a

T

c

−

c

a

T

]

b

a×(b×c)=(a^{T}c)b-(a^{T}b)c=[a^{T}c-ca^{T}]b

a

×

b

=

[

0

−

a

3

a

2

a

3

0

−

a

1

−

a

2

a

1

0

]

[

b

1

b

2

b

3

]

a \times b=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right]

a

×

(

b

×

c

)

=

[

0

−

a

3

a

2

a

3

0

−

a

1

−

a

2

a

1

0

]

[

0

−

b

3

b

2

b

3

0

−

b

1

−

b

2

b

1

0

]

[

c

1

c

2

c

3

]

a \times(b \times c)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3} & 0 & -a_{1} \\ -a_{2} & a_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0 & -b_{3} & b_{2} \\ b_{3} & 0 & -b_{1} \\ -b_{2} & b_{1} & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}\right]

代数规则
反交换律：

a

×

b

=

−

b

×

a

a×b=-b×a

加法的分配律：

a

×

(

b

+

c

)

=

a

×

b

+

a

×

c

a×(b+c)=a×b+a×c

与标量乘法兼容：

(

r

a

)

×

b

=

a

×

(

r

b

)

=

r

(

a

×

b

)

(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)

不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

a

×

(

b

×

c

)

+

b

×

(

c

×

a

)

+

c

×

(

a

×

b

)

=

0

a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。

验算：
clear,clc;
syms px py pz wx wy wz real;
c = [px;py;pz]
w = [wx;wy;wz]

temp1 = c*c'*w-c'*c*diag([1 1 1])*w+cross(c,cross(w,c))
simplify(temp1)

temp2 = cross(c,cross(w,cross(w,c))) + cross(w,c*c'*w)-cross(w,c'*c*diag([1 1 1])*w)
simplify(temp2)


展开全文
• ## 【线性代数】向量的乘法运算

万次阅读 多人点赞 2018-06-29 17:30:45
最近把向量乘法运算搞混了，故而温习一下。 内容主要来自以下两个文档     向量乘法运算,长于举例丰富,形象生动 向量乘法,长于公式性质列举完整   0. 综述 常用的,   a·b=||a||||b||cosθ, 这个是...
最近把向量乘法运算搞混了，故而温习一下。
内容主要来自以下两个文档

向量的乘法运算,长于举例丰富,形象生动向量的乘法,长于公式性质列举完整

0. 综述
常用的,

a·b=||a||||b||cosθ, 这个是向量的内积，又叫数量积，又叫点积。axb = ||a||||b||sinθ，这个是向量的外积，又叫向量积，又叫叉积。[a b c] = (axb)·c , 这个是向量的混合积。

1. 内积

1.1 定义

1.2 向量内积性质

注意，向量内积不满足结合律，即一般情况下 (a·b)·c != a·(b·c), 因为向量的内积结果是一个标量。

1.3 向量内积的物理意义

向量内积的物理意义是，力通过位移做功。

1.4 向量内积的用途

1.4.1 求两个非零向量的夹角

1.4.2 判断两个非零向量是否垂直

简单的对应坐标相乘再求和，结果为0就垂直，否则就不垂直。

2. 外积
2.1 向量外积的定义

向量外积的结果是垂直于原向量所定义平面的向量。
通过坐标进行外积的直接计算比较复杂，写成行列式的形式，再展开，方便记忆。

2.2 向量外积的性质

2.3 向量外积的几何意义

再除以2的话，就是以 a，b 为边的三角形的面积。

2.4 向量外积的用途
2.4.1 求与三角形面积相关的问题

3. 混合积

3.1 向量混合积的定义
三个向量，先外积后内积，最后出个标量结果，就是三个向量的混合积。

混合积的坐标表达式非常规整优美。

3.2 混合积的性质

3.3 混合积的几何意义

3.4 混合积的用途
3.4.1 求四面体体积相关

3.4.2 判断三个向量共面

展开全文
• 向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量向量b|=|a||b|sin，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量向量b=-向量向量a。点乘和叉乘的区别点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。向量a·...

向量的叉乘运算法则为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。

点乘和叉乘的区别
点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量c的方向与a，b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向)。
向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。
物理学中的应用
在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。
将向量用坐标表示(三维向量)，
若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，
则向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
(i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。

展开全文
• 四元数与三维向量相乘运算法则 参考网站： https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html 四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。 例如：向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90...
四元数与三维向量相乘运算法则
参考网站： https://www.cnblogs.com/jeason1997/p/9822353.html
四元数和向量相乘可以表示这个向量按照这个四元数进行旋转之后得到的新的向量。 例如：向量 c(0,0,10) 绕着Y轴旋转90°，得到新的向量是 c(10,0,0)。
通常四元ss被记为(w,x,y,z)或(x,y,z,w)，以下q表示四元数，v表示向量，那么四元数和向量相乘的运算法则表示为： q x v = (q) x (v) x (q-1) 例： q = (√2/2 , 0 ， √2/2 ， 0); 这里需要将三维向量v扩充为四元数(0,v)， 如c(0,0,10)变为c(0,0,0,10)； q-1 是四元数q的逆，求逆过程如下： 共轭四元数：q*=(w,-x,-y,-z) 则为 （√2/2 , 0 ，-√2/2 ， 0） 四元数的模：N(q) = √(x2 + y2 + z2+ w2 )，通常四元数表示为单位四元数，所以模等于1 四元数的逆： q-1 = q*/N(q) 则为 （√2/2 , 0 ，-√2/2 ， 0）
四元数的乘法公式：  按照上述公式可得到新四元数（0,10,0,0），则旋转后新坐标为(10,0,0) 按上述方法计算所得到的新四元数的首项一定等于0。
上述方法 R语言实现：
计算共轭四元数
q_star <- function(q){
qstar <- c(q[1],-q[2],-q[3],-q[4])
return(qstar)
}

计算四元数模
Nq <- function(q){
N <- sqrt(q[1]^2+q[2]^2+q[3]^2+q[4]^2)
return(N)
}

计算四元数的逆
q_reverse <- function(q){
qreverse <- q_star(q)/Nq(q)
return(qreverse)
}

叉乘公式
q_multiply <- function(a,b){
w1 <- a[1]
x1 <- a[2]
y1 <- a[3]
z1 <- a[4]
w2 <- b[1]
x2 <- b[2]
y2 <- b[3]
z2 <- b[4]
amulb <- c((w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2),(w1*x2+x1*w2+y1*z2-z1*y2),
(w1*y2+y1*w2+z1*x2-x1*z2),(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2))
return(amulb)
}

四元数与三维向量相乘
mul <- function(q,v){
a <- q_multiply(q,v)
b <- q_multiply(a, q_reverse(q))
return(b)
}

展开全文
•   设a, b, c为R3上的三个向量，λ, μ为两个标量，×表示两向量之间的向量积，·表示两向量之间的数量积。则：    1. 向量积的定义   a与b的向量积为一向量，记为a×b。记a与b之间的夹角为θ，则它的模与方向...
• 本系列文章由birdlove1987编写，转载请注明出处。文章链接：http://blog.csdn.net/zhurui_idea/article/details/24782661开始之前：接上上篇说的，张宇老师说过线性代数研究的就是向量。...3D数学主要关心向量向量...
• 神经网络中最常见的操作为向量，矩阵乘法，在求导的时候经常需要用到链式法则，链式法则计算过程中会稍微麻烦，下面我们来详细推导一下，推导过程全程简单明了，稍微有点数学基础的同学都能看明白。 1.标量对标量...
• ## 向量及其线性运算

万次阅读 2020-03-09 08:42:29
一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
• 向量运算的基本性质 向量加法也遵循交换律、结合律。 数量乘法也遵循分配律、结合律。 这些并不是定义得来的，而是通过严谨的数学证明得来。 例如 零向量 不定义什么是零向量，我们从推导出一个性质出发。 举例...
• 除了正常的加减乘除以外，向量的最常见的三个运算是点积、叉积、正交基。 对于向量乘法和除法要做一下说明，因为除发的效率要远低于乘法，因此会将除法尽可能的化为乘法来实现。比如我们要对向量缩放一半，则可以...
• ## 向量运算

千次阅读 2019-03-30 22:16:58
向量 任意一维都是0的向量，例如[0，0，0]，3D零向量。 零向量是唯一大小为零的向量，也是唯一一个没有方向的向量。但不是点，只是没有位移。 负向量 要得到任意向量的负向量，只需要简单的将向量的每个分量都变负...
• 1.2平面向量乘法运算 两个向量，； 向量乘表示为 ; 相比于向量运算向量运算要复杂点，很难看明白向量乘的几何意义； 将和用极坐标表示： 则向量乘法表示为： 2.空间向量 如果三个向量、、不共面，...
• 文章目录矩阵的概念矩阵的加法矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的逆伴随矩阵矩阵的行列式矩阵的导数 矩阵的概念 矩阵的加法 矩阵的乘法 矩阵的转置 矩阵的逆 伴随矩阵 矩阵的行列式 矩阵的导数 参考资料 [1] 《工程数学...
• ## 向量叉乘计算公式

千次阅读 2021-11-08 11:16:24
二维向量叉乘 A=(a1,a2) B=(b1,b2) A×B =(a1,a2)×(b1,b2) =a1b2-a2b1 三维向量叉乘 A=(a1,a2,a3) B=(b1,b2,b3) A×B =(a1,a2,a3)×(b1,b2,b3) =(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
• 3维向量的点乘叉乘运算 文章目录3维向量的点乘叉乘运算三维向量的点乘三维向量的叉乘点到直线的距离点到平面的距离 三维向量的点乘 点乘得到的是对应元素乘积的和，是一个标量，没有方向 V1( x1, y1, z1)·V2(x2, y2...
• 这一段细枝末节很多，一篇下来篇幅很长，读下来耗时，所以分了两个部分。九、解释距离公式的原理。下面介绍计算几何中最重要的公式之一：距离...先计算从a到b的向量d,在3D情况中:a到b的距离等于向量d的长度。之前学...
• 今天接触到了量子计算，原理正在摸索，但是从数学角度，复数计算应该会用到。 以前学习复数的时候，纯属应付考试，...2、看起来复数计算好像跟向量计算很像，但是还是不一样。下面就把学习内容写下来： 1）向量可...
• 本文介绍了向量的定义、向量的模、负向量、单位向量、零向量以及向量加减法的三种实现方法。
• 二、向量的线性运算 向量加法 ①平行四边形法则 如图，两个向量相加，做两个向量的平行向量组成平行四边形，即可得到结果向量 ②三角形法则向量OA起点指向向量AB终点的向量即为两个向量之和 向量加法的符合...
• 对于二维中的列向量运算，则遵从矩阵的运算法则，比如：1xN * Nx1 = 1x1。 一维的行向量相乘： v3 = np.array([1, 2, 3, 4]) ##一维的行向量 v4 = np.array([1, 1, 1, 1]) ##一维的行向量 np.dot(v3, v4) Out[42]:...
• 1、关于 "*" 的用法"*" 也为对于元素的乘积，但是 "*" 作为乘法运算时，必须满足 numpy 的 broadcasting(广播) 的原则 ，当两个矩阵相乘时，其法则为两矩阵的对应的元素相乘，其用法与multiply相同。感觉“*”很鸡肋...
• 下述代码计算向量（一维数组，元素个数为M）bufX与矩阵（二维数组，M行N列）bufA的乘积，结果保存在向量（一维数组，元素个数为N）bufY中。 for ( i = 0 ; i < N ; i ++ ) { sum = 0 ; for ( j = 0 ; ...
• 定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）:设P1、P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)...
• 向量复习（一）：定义、求解、四则运算、点积和叉积
• ## 向量的加减和乘除

千次阅读 2020-09-25 11:05:09
三角形法则计算多个向量相加的时候非常方便，所以下面着重介绍三角形法则。 1.1 三角形法则 下面用动画来演示下通过三角形法则如何让两个向量相加： 、、三者最后形成了一个三角形，所以称为三角形法则。...
• 实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi)一维插值◆ yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值。x为节点向量值，y为对应的节点...
• 答：数字的加、减、乘、除的基本运算同理，上一篇学习了什么是向量之后，我们接着来学习向量的基本运算我们先来看一个东西，如下图相信，很多人都不会陌生，我们高中学习物理的时候，都学习过平行四边形定则。...
• 第1节：零向量 1.零向量的概念 　对于任意向量x，都有x+y=x，则x被称为零向量...2.负向量运算法则 　 　将此法则应用到2D，3D，4D中，则 　-[x y] = [-x -y] 　-[x y z] = [-x -y -z] 　-[w x y z] = [-w -x -
• ## 向量的点乘和叉乘

千次阅读 2021-03-07 10:36:29
向量的点乘和叉乘2019-12-09 15:46:24文/董月点乘，也叫...点乘：点乘的结果是一个实数a·b=|a|·|b|·cos叉乘：叉乘的结果是一个向量几何意义点乘的几何意义可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在...

...