精华内容
下载资源
问答
  • 本文以求解最小加工周期为目标 ,基于目前已知的性能最好的算法 NEH算法的基本思想 ,提出了一种新的启发式算法 -组合指标算法 .大量的数据实验表明 ,新的算法具有很好的计算结果 ,而且这种算法可以说是给出了求解 ...
  • 启发式搜索算法中,衡量Best标准是基于评价函数(启发式函数)基本思路: 后继状态中,具有"best"期望值状态首先选择并继续扩展 best这里指是期望代价度量,而非实际代价度量。精确与否取决于启发函数...

    人智导(二):启发式搜索

    概述:Best-First搜索

    在这里插入图片描述
    启发式搜索算法本质上都是Best-First搜索,当然,无信息搜索也是一种Best-First搜索,只不过衡量Best的标准不同。启发式搜索算法中,衡量Best的标准是基于评价函数(启发式函数)的。
    基本思路:

    • 后继状态中,具有"best"期望值的状态首先选择并继续扩展
    • best这里指的是期望代价度量,而非实际代价度量。精确与否取决于启发函数的质量
      算法:
    Function Best-First-Search(problem, EVAL-FN) returns a solution sequence
    input: problem: a problem EVAL-FN: an evalution function
    	Queuing-FN <--- a function that orders nodes by EVAL-FN
    	return General-Search(problem, Queueing-FN)
    

    贪心搜索(Greedy Search)

    • 一种最简单的best-first搜索策略(最小化到达目标状态的期望代价)
    • 预估离目标状态最接近的节点总是被先扩展
    • 启发式函数hh: h(n)=h(n)=从状态nn到目标状态的最少路径的期望代价
    • 搜索过程中,到达目标状态的路径代价是预估的,而不是真实而准确的
      算法:
    Function Greedy-Search(problem) returns a solution or failure
    return Best-First-Search(problem, h)
    
    • nn为目标状态,h(n)=0h(n)=0
    • 一般来说,hh可以为任何形式的函数
    • 启发式函数依赖于问题相关的背景知识

    举例:

    在这里插入图片描述
    特点:

    • 与深度优先算法类似
    • 不完备,不最优
    • 时间与空间复杂度:最坏情况下O(bm)O(b^m),但好的启发式可以大幅度改善性能

    A*搜索

    在这里插入图片描述
    思路:
    避免扩展已经是最高代价的路径
    原理:
    组合两种函数:
    f(n)=g(n)+h(n)f(n) = g(n) + h(n)
    其中:

    • h(n)h(n):从状态n到目标状态的预估(期望)代价(由贪心搜索得到)
    • g(n)g(n):从初始状态到当前状态n的实际路径代价(由最少路径代价搜索给出)
    • f(n)f(n):通过状态n节点的整体路径代价

    寻找最佳的解,最小化g(n)+h(n)g(n)+h(n)是合理的
    A*搜索是完备的和最优的前提:”可接受的“启发式(admissible heuristic)
    h(n)h(n)h(n)\le h^*(n),其中h(n)h^*(n)是真实的代价
    h(n)h(n)是可接受的:预估的不可以过于夸大
    A*搜索:约束搜索

    • A*搜索始终是在朝向最优解的范围内进行
    • A*扩展所有的满足f(n)<ff(n)<f*的节点(ff*是最优路径的代价)
    • f(n)f(n)单调递增:一步步地扩展
    • 扩展到目标节点,f=gf=g恰为实际距离且h=0h=0

    算法:

    Function A*-Search(problem) returns a solution or failure
    	return Best-First-Search(problem, g+h)
    

    特点:

    • 完备的
    • 最优的
    • 空间复杂度:所有产生的节点都驻留内存,好的启发式大大减小空间
    • 时间复杂度:不适合的启发式hh导致复杂度指数性增长

    IDA*搜索:空间限定的搜索

    引入:

    • 空间复杂度:搜索技术的第一限定要素
    • 迭代深度方法:减少内存空间需求的实用技术
    • IDA*搜索:迭代深度的A*搜索算法:迭代深度修改为使用f-cost限制(单调递增,一步步扩展),而非深度限制

    启发式函数:
    启发式的质量:取决于搜索过程中分支数b的控制
    比如对于某一问题而言:
    N:A*搜索产生的全部节点数目
    d:问题解决途径的深度
    b:分支数目
    那么
    N=b+b2++bdN=b+b^2+\dots +b^d
    例如:
    若解决途径的深度为5,全部扩展节点数量为52,计算可得分支数b=1.92
    一个好的启发式函数:b应当尽可能接近于1
    示例:八数码问题
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    那么,如何构建合适的启发式函数?
    松弛原则(relaxation):降低问题的约束条件
    问题经过”松弛”后的代价,即是原始问题的一个“可接受的”启发式
    原始问题(以八数码问题为例):
    A tile can move from square A to square B if A is horizontally or vertically adjacent to B and B is blank
    松弛条件后:
    (1) A tile can move from square A to square B if A adjacent to B
    (2) A tile can move from square A to square B if B is blank
    (3) A tile can move from square A to square B

    构造启发式的特征及其选择:

    • 状态的特征:对于预估/预测是关键的因素
    • 八数码问题:
      • 特征x_1:不在目标位置的数码快数量
      • 特征x_2:邻近目标位置的数码快数量
      • 特征x_n:。。。
    • 启发式函数形式:h=f(x1,x2,xn)h = f(x_1,x_2,\dots x_n)
      如何确定这个函数?一个可行的方法是线性回归
      线性回归:
      Y=α+βXY=\alpha +\beta X
    • XX:特征变量
    • YY:预测变量
    • α\alpha, β\beta为系数,可通过最小二乘法获得
      给定一系列实例(x_1,y_1),…,(x_s,y_s),则
      β=Σi=1s(xix)(yiy)Σi=1s(xix)2\beta = \frac{\Sigma^s_{i=1}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\Sigma^s_{i=1}(x_i-\overline{x})^2}
      α=yβx\alpha = \overline{y}-\beta \overline{x}
      其中:
    • x\overline{x}:x_1,…,x_s的平均值
    • y\overline{y}:y_1,…,y_s的平均值
      多元回归与非线性回归
    • 多元回归:有多个特征变量x_1,…,x_n情况 Y=b0+b1X1++bnXnY = b_0+b_1X_1+\dots +b_nX_n
    • 非线性回归:可以转换为多项式回归
      • 例如三次多项式Y=α+β1X+β2X2+β3X3Y = \alpha +\beta_1X+\beta_2X^2+\beta_3X^3其中可以令X1=XX_1=X,X2=X2X_2=X^2,X3=X3X_3=X^3

    搜索算法总结

    • 搜索: 问题求解(p g) roblem solving)中发现动作序列的过程
    • 问题(problem)形式化表示:初始状态 (initial state)、后继(successor)函数、
      目标测试( l t t) (goal test)、代价( t) cos 函数
    • 解决途径(solution): 状态空间中从初始状态到目标状态一个路径
    • 搜索的通用框架: 形式化的问题作为输入, 算法返回解决途径(solution), 即动作序列
      不同 搜 策略(算法),体现在不同 队列 的搜索策略(算法),体现在不同的队列函数(q g ueuin function)
    • 搜索策略性能评价: 完备性、最优性、时间复杂性和空间复杂性
    • 无信息搜索策略/算法: 广度优先搜索 最少路径代价搜索 深度优先搜索 限定 广度优先搜索、最少路径代价搜索、深度优先搜索、限定
      深度搜索、深度迭代搜索
    • 启发式搜索: 使用启发式函数减少搜索代价 使用启发式函数减少搜索代价(最小代价节点有限扩展 最小代价节点有限扩展)
    • 贪心搜索算法: 到达目标状态的预估代价最小化原则(算法既不最优也不完备)
    • A* 搜索算法: 组合了最少路径代价搜索和贪心搜索算法的优势(算法是完备和最
      优的,但空间复杂性仍不可控)
    • 空间限定的启发式搜索算法: IDA*
    • AI通用技术的目标: 构建能够自主寻找途径解决各类问题的智能体。
    展开全文
  • 之前有介绍A算法的代码注释和提供了MATLAB版的源码下载,这次主要是讲解A算法的基本组成和运行机制,相信能为刚开始学习路径规划的同学们提供到一点帮助。 目录 概述 1968年,一篇名为《A Formal Basis for the ...

    之前有介绍A* 算法的代码注释和提供了MATLAB版的源码下载,这次主要是讲解A* 算法的基本组成和运行机制,相信能为刚开始学习路径规划的同学们提供到一点帮助。
    声明:这篇博客是基于我个人对A*算法的理解基础上写出来的,与原作者或者现在的主流思想有没有出入现在尚未知晓,如果文中有哪些地方书写或者描述有错误,可以在评论区打出来,大家一起交流学习,共同进步,感谢!

    原创作品,转载请注明出处。

    概述
    1968年,一篇名为《A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths》的文章出版,里面提出了A* 算法,并且使得A* 算法在接下来的几十年中飞速发展,并且广泛应用在导航、迷宫求解、游戏寻路、机器人路径规划等应用中。
    A* 算法原理
    A* 算法是一种高效的启发式搜索算法,在二维的栅格地图上寻路效果好,它通过估算节点的代价评估函数值并作为节点的综合优先级,当选择下一个需要遍历的节点时,再选取综合优先级最高的节点,逐步地找到最优路径。A* 算法可以快速的找到代价值最小,路程最短的路径,但是随着栅格精度的提高和地图尺寸的扩大,对无用节点的重复搜索评估会导致 A* 算法搜索时间呈指数级增长。
    简单的说就是在一个栅格地图中,通过不断计算当前点与目标点的代价值来选择下一步应该怎么走。这个代价值主要是有两部分组成。
    A* 算法的组成
    代价计算公式:F(n)=G(n)+H(n)
    其中, F(n) 是从初始状态经由状态n到目标状态的代价估计,
    G(n) 是在状态空间中从初始状态到状态n的实际代价,
    H(n) 是从状态n到目标状态的最佳路径的估计代价。
    此处用栅格地图中的路径规划问题作为例子讲解。
    讲解可以参照视频。
    以移动机器人的移动为例,假设栅格的大小为10*10(不考虑单位问题),假设移动机器人当前所在的位置坐标为[4,2],要前往目标点[1,5]处。

    在这里插入图片描述
    第一步,对当前位置周围的八个相邻栅格进行代价值计算,计算公式为F(n)=G(n)+H(n);
    上下左右移动是一个栅格的距离,为10,对角线移动的话就是根号200了,此处取近似值14。
    G(n)的值为起始点到某一个栅格的最短行进距离,具体可以在下面图解中详细体会。
    H(n)的计算方法一般有三种;
    1:曼哈顿距离;
    2:欧几里得距离;
    3:切比雪夫距离;
    此处采用的是曼哈顿距离进行展示,其计算公式为:
    H(n)=(abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2))* 10(栅格宽度)
    懂得了计算公式之后就可以计算出当前栅格周围八个邻域的栅格的代价值分别是多少了。在这里插入图片描述
    随后就在这八个栅格中选择代价值F(n)最小的一个栅格作为下一步前进的目标栅格,此处显然是[3,3],移动机器人移动到[3,3]处后同理再对周围八个相邻栅格进行代价值计算,选取代价值最低的栅格作为下一个前进的栅格,依次往复,直到到达目标位置为止。
    在这里插入图片描述
    注意此时的G(n)值变化的规律,这是A*算法的关键之一!
    在这里插入图片描述
    找到目标点!注意此时图中有3个栅格的总代价值为48,但是只对一个栅格进行了八邻域计算,原因是圈起来的两个栅格是后面才搜索计算到的,与此同时出现了代价值为42的栅格,因此也就舍弃了这两个代价值为48的栅格,请读者必须理解好这一点,这对后续的编程帮助非常大。

    这就是A*算法的寻路原理,值得注意的是,当寻路方向上有障碍物时,会出现同时有多个最小代价值栅格出现的情况,此时应当注意这些栅格都应该被作为当前栅格然后去计算相应邻域栅格的代价值大小。
    如下图:
    第一步:
    在这里插入图片描述
    第二步:
    在这里插入图片描述

    第三步:
    在这里插入图片描述
    栅格[2,3]的八邻域内除去障碍物部分,发现[2,2]栅格的代价值最小,与此同时[4,3]栅格处的代价值也为50,因此下一次搜索栅格时应当把这两个位置的栅格都考虑进去。
    在这里插入图片描述
    跟上一张图片一样,出现了多个代价值为64的栅格,每个都应该搜索其相应的八个邻域,但是由于我的栅格地图画小了,所以就不展示出来了,大家明白意思就好了。
    在这里插入图片描述
    这样就搜索到了目标点。在这里插入图片描述
    然后就可以在在搜索过的所有栅格内找出一条最短路径了!这条路径是局部最优的,但是不一定是全局最优。

    由于篇幅原因,A*算法的编程思路就留到下一篇博客进行介绍了,欢迎大家关注我!

    创作不易,如果这篇文章有帮助到您的地方,欢迎点赞、关注、一键三连,感谢支持!

    相关文章:
    A* 算法的MATLAB源码下载。
    A* 算法的MATLAB源码讲解。
    原创作品,转载请注明出处。

    展开全文
  • 序列最小最优化(Sequential Minimal Optimization ,SMO)算法的推导、理解 John Platt 提出了序列最小最优化算法 (SMO) 算法...SMO 算法是一种启发式算法,其基本思路是:一次迭代只优化两个变量而固定剩余的变量。

    内容是自己做的 ppt 的截图,有需要的小伙伴可以去 下载,也可以给我留言,看到会回复的。

    前言

    1998 年,John Platt 提出了序列最小最优化算法 (SMO) 算法用于训练 SVM 分类器。SMO 算法是一种启发式算法,其基本思路是:一次迭代只优化两个变量而固定剩余的变量。
    在这里插入图片描述
    SMO 要解如下凸二次规划的对偶问题
    在这里插入图片描述
    其实就是训练 SVM 分类器
    在这里插入图片描述

    算法过程

    在这里插入图片描述
    精度ϵ\epsilon指 KKT 条件的容错率 toler。
    部分 KKT 条件:
    在这里插入图片描述
    比如第二个条件,不要求严格等于 1 ,在容错率范围内都是可以接收的。原文内容如下:

    在这里插入图片描述
    SMO 算法主要有两个部分组成:

    1. 选取两个α\alpha进行优化;
    2. 求解两个α\alpha的解析解。

    先说第二个内容

    求解α\alpha的解析解

    子问题

    假设选择的变量是α1,α2\alpha_1,\alpha_2,其余变量αi(i=3,,N)\alpha_i (i=3,\cdots,N)是固定的,则 SMO 的最优化问题的子问题如下,其中 K(xi,xj)=KijK(x_{i},x{j})=K_{ij}
    在这里插入图片描述
    首先分析约束条件,重新定义α2\alpha_2的取值范围

    取值范围

    根据约束条件得到α2\alpha_2的表达式,然后分情况讨论,并根据α1[0,C]\alpha_1 \in [0,C]进行放缩

    在这里插入图片描述
    还可以将约束条件用图形表示出来,也可以得到相同的结果

    在这里插入图片描述

    解析解

    目标函数是含α1new,α2new\alpha_1^{new},\alpha_2^{new}两个变量的二次函数,为了方便求解,我们利用等式约束,将目标函数转化成只含α2new\alpha_2^{new}的函数,然后求极小值,并与之前求得的取值范围进行比较,确定α2new\alpha_2^{new}最终的表达式,最后根据等式约束也可以得到α1new\alpha_1^{new}.

    将已知的量用νi\nu_i替换,其中
    f(xi)=j=1NyjαjnewKij+b f(x_{i})=\sum_{j=1}^{N}y_{j}\alpha_{j}^{new}K_{ij}+b
    在这里插入图片描述
    下一步转化成只含α2new\alpha_{2}^{new}的函数

    在这里插入图片描述
    对目标函数求导,并令其等于00

    在这里插入图片描述
    定义一些等式,使表达式更简洁

    在这里插入图片描述
    得到的极值点不一定在α2new\alpha_{2}^{new}的取值范围里,所以需要剪辑,则最终的α1new,α2new\alpha_{1}^{new},\alpha_{2}^{new}的表达式如下

    在这里插入图片描述

    更新b,Eib,E_{i}

    根据 KKT 条件得到相应的等式,然后求解就可以了。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    之前一直不明白当αi\alpha_{i}都在边界上时bnewb^{new}的取值为什么要取中点,试着推导,恍然大悟 。

    在这里插入图片描述
    可以看出,当四种yiy_{i}的情况放在一起时,bnewb^{new}只能取中点。
    其他在边界的情况也可以推导出相同的结论,同时关于bnewb^{new}其他情况的取值也清晰了。

    选取α1,α2\alpha_{1},\alpha_{2}

    在这里插入图片描述
    多次遍历αi[0,C]\alpha_{i}\in[0,C]的样本点,个人的理解是因为:根据 KKT 条件,这时
    在这里插入图片描述
    这样的样本点很容易违背 KKT 条件,对它们进行判断更新可以加快求解速度。

    在这里插入图片描述
    SMO 算法的理论推导就到这里了,最后贴一下李航老师《统计学习方法》里的算法流程。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    算法实现

    关于算法的实现,可以参考
    支持向量机|SMO算法实现
    如有错误,请指正,谢谢

    参考资料

    [1] 李航. 统计学习方法[M]. 清华大学出版社, 2012.
    [2]https://www.jianshu.com/p/436d429ce91b

    展开全文
  • 对于整形和其他的基本类型, Arrays.sort() 综合利用了双枢轴快速排序、归并排序和启发式插入排序。这个算法是很强大的,可以在很多情况下通用。针对大规模的数组还支持更多变种。我拿自己仓促写的排序算法跟Java...
  • 图划分算法

    2021-03-12 14:36:40
    启发式算法(单级算法):以拓扑排序作为初始划分,在局部邻域分区之间移动节点,得到更加优化划分。 多级算法:对不同级别图,逐级用启发式进行优化。 进化算法:把划分看作种群中个体,进行演化,演化需要...

    图划分算法

    目前调研的几种对于有向无环图的划分算法的大致思路:

    • 启发式算法(单级算法):以拓扑排序作为初始划分,在局部邻域分区之间移动节点,得到更加优化的划分。
    • 多级算法:对不同级别的图,逐级用启发式进行优化。
    • 进化算法:把划分看作种群中的个体,进行演化,演化需要用到多级算法,最终得到更优秀的划分。

    基本概念

    定义

    G:有向无环图,有n个节点,m条有向边,V为节点的集合,E为边的集合。节点和边的权重都要求大于等于零。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    分区之间不能有公共节点。

    一个分区的大小,用分区内部所有节点的权重之和表示。

    如果一个分区的大小超过限制Lmax,称为超载。

    划分的约束与目标

    • 平衡约束:

    • 无环约束:分区之间不能有循环的依赖关系
    • 目标函数:

    增益

    增益表示一个节点的移动对目标函数能带来的优化。一次移动带来的增益主要取决于该节点来自于目标分区的入边,以及该节点指向原所在分区内部的出边。前者可以带来正的增益,后者带来负的增益。为此定义两个函数:

    第一个式子,表示节点v移动到分区Vi带来的增益。第二个式子,表示节点v从分区Vi移除后减少的增益。所以如果节点v从Vi移动到Vj,那么带来的增益就是

    启发式算法

    参考文献:Moreira O , Popp M , Schulz C . Graph Partitioning with Acyclicity Constraints[J]. 2017.

    包含Simple Moves,Advanced Moves,Global Moves, FM Moves。这几种算法都以拓扑排序作为构造算法,区别在于局部搜索的范围不同。是要设定分区个数k,和不平衡参数𝜖。

    构造算法

    我们选择用修改版本的Kahn算法计算图的拓扑序。

    Kahn的思想是:

    • 从有向图中选取一个没有前驱的顶点,并输出之;
    • 从有向图中删去此顶点以及所有以它为尾的弧;
    • 重复上述两步,直至图空,或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。没有前驱,即入度为零,删除顶点及以它为尾的弧,即弧头顶点的入度减1。

    具体实现:

    算法利用一个用所有入度为零的节点初始化的列表S和一个空列表T,然后重复以下步骤直到S为空

    • S中随机均匀地选择一个节点并将其从列表中删除
    • 将节点添加到T的尾部,删除节点的所有出边。
    • 如果这使另一个节点的入度减少为零,则将其添加到S。

    当算法终止时,列表T是所有节点的拓扑排序,除非图有环。

    然后将排序分成k个大小约为c(V)/k的分区。c(V)代表图中所有节点权重之和,要求各个分区的权重接近,满足平衡约束。这就作为后续操作的初始划分P={V1, V2, …, Vk}。

    Simple Moves

    搜索范围限定在当前节点所在分区的前后两个相邻分区,相邻是指在拓扑序意义下的分区顺序。即属于Vi分区的节点v,仅考虑将其移动到Vi-1或Vi+1。

    首先要保证移动不会打破两个约束,然后再决定是否移动,以及接受哪个方向的移动。最终接受的移动一定能带来正的增益或者增益为零但能改善分区平衡的移动。

    如果两种移动都满足条件,选择增益较大的;若两者增益相同,随机选择一个移动。

    每个节点最多进行一次移动。

    Advanced Moves

    搜索范围扩大。

    计算移动范围的方法:对于节点v ∈ Vi,检查所有入边以找到节点u∈VA,其中A是最大的。 还检查所有出边以找到节点w∈VB,其中B是最小的。节点可以移动到分区Vj,其中 j ∈ {A, . . . , B}\{i}。这样的范围,可以保证移动后不会违背无环约束,因此不需要进行无环检查。

    因为初始分区由拓扑序得到,A<=i<=B一定成立,否则排序中会有后向边就不可能是拓扑序。

    假设节点v从Vi移动到Vj,计算增益的公式:

    注意:当j < i时,后两项必然为零;当i < j时,前两项必然为零。否则移动前后的划分都存在环,违背了无环约束。

    与SM相同,只考虑满足约束,并且能带来正的增益或没有增益但可以改善平衡的移动。优先选择增益最大的;若存在增益相同,则随机选择一个移动。

    每个节点中最多进行一次移动。

    Global Moves

    GM将搜索范围扩大到所有分区。这种情况更加复杂的原因是,不能保证移动节点后不会被违背无环约束,因此,对于每个移动都要检查是否满足无环约束。(AM算法的搜索范围是无环约束的充分不必要条件,可以保证移动后仍然无环,但是也因此可能忽略了一些可行的移动。)

    检查划分是否满足无环约束的方法:从初始分区开始,维护商图的邻接表。在整个算法中,商图不断更新。 移动节点时,我们更新商图的邻接信息,并记录是否创建新边。 如果是这种情况,我们使用Kahn算法检查商图是否存在环,并在创建环时撤消上次移动。(商图,相当于把原图划分后的各个分区看作一个节点的图。)

    移动的选择方法与之前一样。每个节点最多进行一次移动。

    FM Moves

    前几种启发式的缺点是,很容易陷入局部极小值,为此结合AM和改进的Fiduccia-Mattheyses算法,是算法跳出局部极小值。

    首先,节点的交换在一对分区之间进行,考虑其移动的节点称为启用的节点(enabled)。假设根据拓扑序,分区A在分区B之前,那么启用的节点为:

    • 属于A,且没有出边指向B之前的分区
    • 属于B,且没有入边来自A之后的分区

    这保证了移动不会打破无环约束。

    启用的节点到另一分区的移动为候选移动。将候选移动加入优先级队列,保存了移动的增益和节点标识,按照增益从大到最小排序,如果增益相同,则利用随机数进行排序(比较器可能需要自己实现)。

    每次从优先级队列提取第一个移动,检查其是否可用以及是否会违反平衡约束,若可行,则提交该移动,并修改相邻移动的可用性,即相邻节点的启用或禁用状态。

    如果所选移动将超载目标分区或由于在上一个循环迭代中禁用而未启用,则启发式操作将继续进行下一个迭代。否则,即使增益为负,移动也将被执行。然后,节点被锁定,即在此过程中不能再次移动。这可以防止抖动并保证算法的终止。(本轮内部传递结束后,锁定被解除)

    状态修改规则:

    • If节点w从A移动到B,锁定w
      • 禁用B中所有满足(𝐰,𝒗)∈𝐄的节点v
      • 启用A中拥有指向w的出边&移动w后没有其他出边指向B之前的分区的节点
    • If节点w从B移动到A,锁定w
      • 禁用A中所有满足(𝒗,𝐰)∈𝐄的节点v
      • 启用B中拥有来自w的入边&移动w后没有其他入边来自A之后的分区的节点

    新启用的节点,都要计算增益,并加入优先级队列。

    当优先级队列为空时,这对分区间的节点移动结束,即内部传递结束。不过由于节点的重新插入,难以估计迭代次数,可以认为限制为2n/k,这不会明显影响分区质量。

    外部传递将重复随机选择一对分区进行内部传递,但是要求所选的两个分区中,至少有一个分区是活跃的,即拥有一个可以启用的节点。当没有活跃分区时,算法停止。(也可以限制迭代次数)

    多级算法

    参考文献

    1. Sanders P , Schulz C . Engineering Multilevel Graph Partitioning Algorithms[J]. 2011.
    2. Holtgrewe M , Sanders P , Schulz C . Engineering a scalable high quality graph partitioner[C]// Parallel & Distributed Processing (IPDPS), 2010 IEEE International Symposium on. IEEE, 2010.
    3. Moreira O, Popp M, Schulz C. Evolutionary Acyclic Graph Partitioning[J]. 2017.
    4. Maue J , Sanders P . Engineering Algorithms for Approximate Weighted Matching[C]// Experimental Algorithms, 6th International Workshop, WEA 2007, Rome, Italy, June 6-8, 2007, Proceedings. Springer-Verlag, 2007.

    分为三个步骤:

    • 初始划分
    • 粗化
    • 去粗化(精化)

    初始划分

    设定k, 𝜖用启发式算法(选择其一)得到初始划分。详情参上一部分内容。

    粗化

    通过对边进行收缩,让“大图”变成“小图”,得到较为“粗糙”的图。

    收缩(contract)的定义:
    收缩边{u, v},则删去节点u和v以及邻边,用新节点x代替节点u和v。

    • 新节点权重 c(x) = c(u) + c(v)
    • 新边权重 w({x,w}) = w({u,w}) + w({v,w})

    当图足够小时,收缩停止。对于小的定义,是指足够用简单的算法进行划分,论文给出一个参考值:当节点数小于max⁡(60𝑘, 𝑛/(60𝑘))。不过用在我们的项目中这个范围肯定要进行修改,最好通过实验进行确定。

    下面介绍如何选择进行收缩的边。有两个部分,评分函数和匹配算法。

    • 评分函数:基于局部信息,衡量收缩该边的意义有多大。
    • 匹配算法:基于全局结构,最大化收缩边的总分。

    评分函数

    如果想要简单的评分函数,可以选择边的权重w({u,v}),但是这样考虑会过于片面,可以考虑上两端节点。

    我们倾向于收缩权重较大的边,因为权重较大的边往往不会考虑被切割,并且倾向于收缩权重更小的节点,为了让各级收缩后的节点的权重比较相近。

    因此选择如下的评分函数:

    匹配算法

    采用GPA(Global Paths Algorithm),结合了greedy algorithm & Path Growing Algorithm。

    算法伪码:

    Line 4,applicable的含义:

    • 如果边连接不同路径的两个端点 或者 奇数长度路径的两个端点,则称为“适用”。
    • 如果边使路径形成奇数长度的环,或者它与连接现有路径的内部两个节点,则边“不适用”。

    Line6,扫描所有边缘后,将为每个路径和循环计算最大权重匹配MaxWeightMatching:

    去粗化(精化)

    逐层解除之前匹配的收缩,在不同级别的图上用启发式算法进行优化,实现精化。

    具体每次解除哪些匹配,多少匹配没有详细规定,依据划分的要求设定。如果要求高,可以分多次解除,反之可以用较少次数完全接触匹配。

    进化算法

    参考文献:

    1. Moreira O, Popp M, Schulz C. Evolutionary Acyclic Graph Partitioning[J]. 2017.
    2. Sanders P , Schulz C . Distributed Evolutionary Graph Partitioning[J]. Computer Science, 2011, 31(29):1958-1960.

    把现有的解作为父代,生成更优的子代,类似进化的过程,繁衍多代,最后得到结果。每种划分作为个体,多个个体组成种群产生进化。

    进化算法从一群个体开始,这里是图的分区,由我们使用多级算法利用不同随机种子创建。然后使用重组和突变操作将种群进化为几轮不同的种群。在每一轮中,进化算法使用二路锦标赛选择规则,基于种群个体的适应性来选择好的个体进行重组或突变。在这里,选择来自种群的两个不同随机个体中的最适合的。我们专注于一个简单的进化方案,每代产生一个后代。当生成后代时,我们使用驱逐规则来选择种群的成员并将其替换为新的后代。一般来说,人们必须同时考虑个体的适应性和种群中个体之间的距离。我们驱逐的目标是群体中与后代最相似的,并且划分更差或与后代本身相同的个体。两个个体的差异被定义为它们的切割边缘组之间的对称差异的大小。

    算法思路伪码:

    交叉重组

    由两个父代生成一个子代。

    一个父代是从种群中选的,另一个父代是算法在第一个父代的基础上生成的。

    第一个父代:用2-way锦标赛算法从种群中选出。也就是从种群中随机选出两个个体,进行锦标赛,冠军作为选出的父代。

    第二个父代:根据第一个父代的k,𝜖,随机选择𝑘′∈[𝑘/4,4𝑘],𝜖′∈[𝑘/4,4𝜖],使用多级算法生成满足平衡约束(max⁡ 𝑐(𝑉𝑖) ≤ (1+𝜖′)𝑐(𝑉)/𝑘′ )的分区。

    用多级算法生成子代。先进行粗化,两个父代的割都不会收缩,剩下的边按照多级算法进行收缩。将两个父代中较好的划分作为初始化分,再进行精化。如果两个父代一样好,随机选一个做初始划分。

    局部搜索算法可以通过仅移动几个节点来有效地在粗略级别上交换解决方案的好部分。 由于我们的多级算法是随机的,使用相同父母执行两次的重组操作可以产生不同的后代。 每次我们执行重组操作时,我们都会随机选择之前描述的局部搜索算法之一。

    突变

    我们定义了两个突变操作。两个突变操作都使用来自当前种群的一个随机个体P1。第一个操作从使用多级方案创建k分区p2开始。然后,它执行如上所述的重新组合操作,但在最粗糙的级别上不使用两个分区中的较好分区,而是使用p2。第二个操作确保不降低质量。它基本上将p1与自身重新组合(通过设置p2=p1)。在这两种情况下,所产生的后代使用上述驱逐策略插入种群。

    适应函数

    评估个体的适应程度。没有确定的表达式,应当为边割和执行时间关键路径的线性组合。通过识别每个组中运行时间最长的程序并总结它们的执行时间来估计整个应用程序的关键路径长度。

    并行杂化

    同时创建多个PE(每个PE都包含一个种群),每个PE并行执行。每个种群都是用不同的随机种子利用多级算法创建。并行通信协议类似于随机谣言传播。 在每轮中,PE在尚未接收P的个体中随机统一选择通信伙伴,并发送当前种群的当前最佳分区P。之后,PE检查是否有进入的个体,如果是,则使用上述驱逐策略将它们插入到局部种群中。 如果P得到改善,所有PE再次符合条件。

    E的数量S取决于计算一次划分的时间,通常时间越长,S越大。两个PE之间会传递best个体,传播对象是随机选择的。

    展开全文
  • SMO算法是一一种启发式算法,它的基本思路是如果所有变量的解的条件都满足最优化问题的KKT条件,那么这个最优化问题的解就得到了。因为KKT条件是该优化问题的充分必要条件。 整个SMO算法包括两个部分: 1)求解两...
  • 现代优化算法又称智能优化算法或启发式算法,是一种具有全局优化性能强、通用性强、且适用于并行处理算法。 基本思路:都是从任意解出发,按照某种机制,以一定概率在整个求解空间中探寻最优解。由于他们可以把...
  • @@问题=>模型=>求解求解问题的时候,我们其实往往是先把问题描述为一个模型,然后给问题的模型求解@@证明问题的基本思路1演绎法2归纳法3反证法4把这个问题转换为它的逆否命题再做证明@@对算法进行分类第一类:评估子...
  • 基本思路: 微分方程求解,**用邻近像素替换那些坏标记,使其看起来像是邻居** 。 假设图像里一个区域要修复。算法从这个区域边界开始,逐渐地进入区域,把边界内所有东西填充上。它取要修复部分周围...
  • SMO算法是一种启发式算法基本思路是:如果所有变量解都满足最优化问题KKT条件,那么最优化问题解就得到了,因为KKT条件是最优化问题充分必要条件。否则,选择两个变量,固定其它变量,针对这两个变量构建...
  • 求解SVM---SMO算法

    2019-03-22 13:08:28
    支持向量机学习可以形式化为凸二次规划...SMO算法是一种启发式的算法基本思路是:如果所有变量解都满足此最优化问题KKT条件,那么这个最优化为题解就找到了。算法大致流程为:选择两个变量和,固定其他变...
  • 算法和其它演化算法一样,是一种模拟生物进化随机模型,重要步骤包括初始化、变异交叉和选择,基本思路为:先随机生成一个初始种群,然后计算种群中每个个体适应度函数值,在此基础上使用选择算子、交叉算子和...
  • 乌鸦搜索算法.rar

    2020-05-22 19:33:24
    通过对乌鸦智能行为进行分析,提出了一种新启发式优化器,称为乌鸦搜索算法(CSA)。CSA是一种基于人口技术,它大概的思路就是乌鸦将多余食物储存在藏身之处,并在需要食物时将其取回。是一个基本的MATLAB...
  • 支持向量机学习问题可以形式化为求解凸二次规划问题。这样凸二次规划问题具有全局最优解,并且有许多最优化算法可以用于这一问题求解。但是当训练样本容量很大时,...SMO算法是一种启发式算法,其基本思路是:...
  • 本文将会简要介绍遗传算法,该方法也是一种启发式搜索的算法,它是来源于生物学进化规律经典概念,就是适者生存、优胜劣汰的思路。该算法是上个世纪70年代被提出,它不需要像神经网络之类方法需要对函数...
  • 神经网络学习-初探模拟退火算法 理解模拟退火思路    在之前的文章中,我们介绍了不同的搜索策略,比如贪心搜索、穷举搜索,以及...那么下面我们将介绍模拟退火算法的思路基本的步骤。   
  • 将蚁群算法应用于解决优化问题的基本思路为:用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解,整个蚂蚁群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多,随着时间的推进,较短的路径上累积的信息...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5
收藏数 94
精华内容 37
关键字:

启发式算法的基本思路