一元一次方程知识点综合
方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：1300+50x=1800， 3(x+1.5x)=15 等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
4. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
注：⑴ 一元一次方程变形后总可以化为ax+b=0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式。
⑵ 判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
等式的性质
等式的性质1.
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。
用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质2. 
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 a/c=b/c.
运算的相关法则
1. 合并法则：
合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变。
2. 移项法则：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
3. 去括号法则：
1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
解方程的一般步骤
1. 去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数。
2. 去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。     
3. 移项：把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。
4. 合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax=b(b≠0)的形式。
5. 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a(a≠0).
解应用题的一般步骤
一元一次方程基本应用题型
题型一、数字问题
(1)多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，(其中a、b均为整数， 1≤a≤9，0≤b≤9)则这个两位数可以表示为10a+b.
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，(其中均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)则这个三位数表示为：100a+10b+c.
(2)奇数与偶数的表示方法：
偶数可表示为2k，奇数可表示为2k+1(其中k表示整数).
(3)三个相邻的整数的表示方法：
可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为a-1,a,a+1.
题型二、日历问题
(1) 在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7。
(2) 日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数。
(3) 一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的。
题型三、和差倍分问题
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几。
(1)当较大量是较小量的几倍多几时；
(2)当较大量是较小量的几倍少几时。
题型四、行程问题
1.行程问题
路程=速度×时间                 
相遇路程=速度和×相遇时间              
追及路程=速度差×追及时间
2.流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度－水流速度
水流速度=×(顺流速度－逆流速度)
3.火车过桥问题
火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：
车速×过桥时间=车长+桥长．
题型五、工程问题
工作总量=工作时间×工作效率
各部分工作量之和=1
题型六、商品销售问题
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价               
利润=进价×利润率                    
实际售价=标价×打折率
题型七、方案决策问题
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案。
题型八、积分问题
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分。
题型九、配套问题
“配套”型应用题中有三组数据：
(1)车间工人的人数；
(2)每人每天平均能生产的不同的零件数；
(3)不同零件的配套比。
一般地说，(2)、(3)两个数据可以预先给定．例如，在给出(2)、(3)两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解。
END

	

一元一次方程知识点综合
方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：1300+50x=1800， 3(x+1.5x)=15 等都是一元一次方程。
3．方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
4. 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
注：⑴ 一元一次方程变形后总可以化为ax+b=0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式。
⑵ 判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
等式的性质
等式的性质1.
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。
用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质2. 
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 a/c=b/c.
运算的相关法则
1. 合并法则：
合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变。
2. 移项法则：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
3. 去括号法则：
1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
2. 括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变。
解方程的一般步骤
1. 去分母：方程两边同乘以各分母的最小公倍数。
2. 去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。     
3. 移项：把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号。
4. 合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax=b(b≠0)的形式。
5. 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a(a≠0).
解应用题的一般步骤
一元一次方程基本应用题型
题型一、数字问题
(1)多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，(其中a、b均为整数， 1≤a≤9，0≤b≤9)则这个两位数可以表示为10a+b.
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，(其中均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)则这个三位数表示为：100a+10b+c.
(2)奇数与偶数的表示方法：
偶数可表示为2k，奇数可表示为2k+1(其中k表示整数).
(3)三个相邻的整数的表示方法：
可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为a-1,a,a+1.
题型二、日历问题
(1) 在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7。
(2) 日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数。
(3) 一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的。
题型三、和差倍分问题
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几。
(1)当较大量是较小量的几倍多几时；
(2)当较大量是较小量的几倍少几时。
题型四、行程问题
1.行程问题
路程=速度×时间                 
相遇路程=速度和×相遇时间              
追及路程=速度差×追及时间
2.流水行船问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度－水流速度
水流速度=×(顺流速度－逆流速度)
3.火车过桥问题
火车过桥问题是一种特殊的行程问题，需要注意从车头至桥起，到车尾离桥止，火车所行距离等于桥长加上车长，列车过桥问题的基本数量关系为：
车速×过桥时间=车长+桥长．
题型五、工程问题
工作总量=工作时间×工作效率
各部分工作量之和=1
题型六、商品销售问题
在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
利润=售价－进价               
利润=进价×利润率                    
实际售价=标价×打折率
题型七、方案决策问题
在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案。
题型八、积分问题
比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分。
题型九、配套问题
“配套”型应用题中有三组数据：
(1)车间工人的人数；
(2)每人每天平均能生产的不同的零件数；
(3)不同零件的配套比。
一般地说，(2)、(3)两个数据可以预先给定．例如，在给出(2)、(3)两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解。
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方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
1、二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个公共解，叫做一组二元一次方程组的解。
二元一次方程有无数个解，除非题目中有特殊条件。
但二元一次方程组只有唯一的一组解，即x,y的值只有一个。也有特殊的，例如无数个解：
2、二元一次方程应用题
1)A、B两地相距500千米，甲、乙两车由两地相向而行，若同时出发则5小时相遇；若乙先出发5小时，则甲出发后3小时与乙相遇。求甲乙两车速度。
解： 设甲车速度为X km/h，乙车速度为Y km/h，列方程
答：甲车速度为60km/h，乙车速度为40km/h。
2)两个物体在周长等于100米的圆上运动，如果同向运动，那么它们每隔20秒相遇一次；如果相向运动，那么它们每隔5秒相遇一次。求每个物体的速度。
解：设速度快的速度为Xm/s，慢的为Y m/s，列方程
答：速度快的为12.5m/s，速度慢的为7.5m/s。

在初中，方程的定义是“含有未知数的等式”，解方程也就是求未知数。比如：

　　　　3＋x＝5

　　是方程，x＝2是这个方程的解。

　　在立方程和解方程中，我们把自然数扩展成有理数，得到包含自然数的最小数域——有理数域。

　　在解方程过程中，引进了同解方程概念，即如何使两个方程的解完全相同，或者方程间的等价变形。

　　对方程概念的另一个发展，是引入方程组概念。就是有几个方程联立，并且方程中含有多个未知数。而解方程组就是求出能满足全部这些等式的未知数值。

　　一个方程组中，说其中一个方程是独立的。就是这个方程，不能由其它方程等价变形得到。一个方程组如果每一个方程都是独立的，而未知数个数和方程个数相等，一般能求出通常意义的解；否则如果未知数个数多于方程个数，一般说来，可得到无穷多解；如果未知数个数少于方程个数，一般说来，可能无解。

　　从函数图象角度来看，方程组中每个方程表示一个函数图象。求方程组的解，就是求出全部这些图象的交集。

　　这是最初数学对方程的理念，现在我们把这样的方程叫做数值方程。一般来说，数值方程总能求近似解，所以现在求解数值方程已引不起数学家多大的兴趣。数学家把兴趣转向函数方程。

　　如果某些条件确定了一个函数关系，我们把这个关系表示出来，就是解函数方程。

　　最初解函数方程是把含有隐函数的等式，化为显函数的形式。

　　但是数学家很块对此兴趣索然，理由同样是我们总可以求出近似解。

　　现在数学家感兴趣的是微分方程。微分方程同样是一些能确定函数关系的等式，但是变量间的关系包含了相互间变化率的关系，也就是包含了导数关系或微分关系。解微分方程就是把变量间的关系，用不包含变化率的形式表示出来，即使是隐函数形式也可。

　　只含有两个变量的微分方程叫常微分方程，一般常微分方程都能求近似解。

　　三个或三个以上变量的微分方程叫偏微分方程，现在我们对偏微分方程所知有限。在方程中，数学家也对偏微分方程最感兴趣。

　　一般说来，物理学家对怎么立方程较感兴趣，而数学家对怎么解方程更感兴趣。

　　最后介绍一个从生物学中发现的一个函数。

　　问题的起源来自研究澳大利亚兔子的繁殖：

　　每一对小兔过一月长成大兔，每一对大兔过一月产下一对小兔。问题是，从一对小兔开始，一年后会有多少对兔子？当然，在过程中，我们假设兔子不会死亡。

　　我们看下表；



月份

1

2

3

4

5

6

7

……

小兔

1

0

1

1

2

3

5

……

大兔

0

1

1

2

3

5

8

……

总数

1

1

2

3

5

8

13

……

　　每一对大兔过一月产下一对小兔，所以每个月的小兔数和上个月的大兔数相同；
　　每一对小兔过一月长成大兔，所以每个月增加的大兔数和上个月的小兔数相同，也就和前个月的大兔数相同；
　　这就是说，每个月的大兔数等于上个月的大兔数和前个月的大兔数之和；
　　而每个月的大兔数又等于上个月的总数；
　　所以，每个月的总数就等于前两个月的总数之和。
　　这就是著名的费波纳奇数列，从第三项起，每一项都是前两项之和。
　　而数列，就是定义域为正整数的函数。
　　在上表中，我们没有列出全部12个月的兔子数。但是了解了这个函数关系，谁都可以轻易地算出第12月的兔子数，这就是函数。我们的问题确定了这样一个函数，这就是方程。