【证明】两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后方程的类型不会改变
 
首先，二阶线性方程的一般形式如下：
 $$a_{11}{u}_{xx}+2a_{12}{u}_{xy}+a_{22}{u}_{yy}+b_1{u}_x+b_2{u}_y+cu=f\text{\hspace{1em}(1)}$$
 经可逆变换后得：
 $$\begin{gathered} \xi =\xi (x,y) \\ \eta =\eta (x,y)\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$
 其中：
 $$\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}\ne 0\text{\hspace{1em}(3)}$$
 于是$(1)$化为：
 $$\overline{a_{11}}{u}_{\xi \xi }+2\overline{a_{12}}{u}_{\xi \eta }+\overline{a_{22}}{u}_{\eta \eta }+\overline{b_2}{u}_{\eta }+\overline{c}u=f\text{\hspace{1em}(4)}$$
 其中：
 $$\begin{gathered} \overline{a_{11}}=a_{11}{\xi }_x^2+2a_{12}{\xi }_x{\xi }_y+a_{22}{\xi }_y^2 \\ \overline{a_{12}}=a_{11}{\xi }_x{\eta }_x+a_{12}({\xi }_x{\eta }_y+{\xi }_y{\eta }_x)+a_{22}{\xi }_y{\eta }_y \\ \overline{a_{22}}=a_{11}{\eta }_x^2+2a_{12}{\eta }_x{\eta }_y+a_{22}{\eta }_y^2\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$
 对于经可逆变换之后的方程的判别式：
 $$\overline{\Delta }={\overline{a_{12}}}^2-\overline{a_{11}}\overline{a_{22}}\text{\hspace{1em}(6)}$$
 经过整理得：
 $$\overline{\Delta }=\Delta \cdot [\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}]\text{\hspace{1em}(7)}$$
 因为上式中，$[\frac{\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}]>0$，所以$\overline{\Delta }$与$\Delta$同号，即类型不变。
 证毕。

 
想求解含有未知数x2 x3 x4 x6 l5 l6的矩阵方程，代码如下：
 
syms x2 x3 x4 x6 l5 l6
 
a=[cosd(-90) sind(-90) 0 -100;-sind(-90)*cosd(90) cosd(-90)*sind(90) sind(90) -60*sind(90);sind(-90)*sind(90) -cosd(-90)*sind(90) cosd(90) -60*cosd(90);0 0 0 1]
 
b=[cos(x2) sin(x2) 0 -70;-sin(x2)*cosd(-120) cos(x2)*sind(-120) sind(-120) 40*sind(-120);sin(x2)*sind(-120) -cos(x2)*sind(-120) cosd(-120) 40*cosd(-120);0 0 0 1]
 
c=[cos(x3) sin(x3) 0 60;-sin(x3)*cosd(90) cos(x3)*sind(90) sind(90) -140*sind(90);sin(x3)*sind(90) -cos(x3)*sind(90) cosd(90) -140*cosd(90);0 0 0 1]
 
d=[cos(x4) sin(x4) 0 -50;-sin(x4)*cosd(-90) cos(x4)*sind(-90) sind(-90) -15*sind(-90);sin(x4)*sind(-90) -cos(x4)*sind(-90) cosd(-90) -15*cosd(-90);0 0 0 1]
 
e=[cosd(30) sind(30) 0 -110;-sind(30)*cosd(145) cosd(30)*sind(145) sind(145) -l5*sin(145);sind(30)*sind(145) -cosd(30)*sind(145) cosd(145) -l5*cosd(145);0 0 0 1]
 
f=[cos(x6) sin(x6) 0 -130;-sin(x6)*cosd(90) cos(x6)*sind(90) sind(90) -l6*sind(90);sin(x6)*sind(90) -cos(x6)*sind(90) cosd(90) -l6*cosd(90);0 0 0 1]
 
g=a*b*c*d*e*f
 
i=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]
 
h=g'-i';%h=0
 
k=solve('h(1,1)','h(1,2)','h(1,3)','h(1,4)','h(2,1)','h(2,2)','h(2,3)','h(2,4)','h(3,1)','h(3,2)','h(3,3)','h(3,4)',x2,x3,x4,x6,l5,l6);
 
x2=eval(k.x2)
 
x3=eval(k.x3)
 
x4=eval(k.x4)
 
x6=eval(k.x6)
 
l5=eval(k.l5)
 
l6=eval(k.l6)
 
求解后matlab显示：
 
Warning: 12 equations in 6 variables.
 
> In solve at 113
 
In sym.solve at 49
 
Warning: Explicit solution could not be found.
 
> In solve at 140
 
In sym.solve at 49
 
??? Access to an object's fields is only permitted within its methods.
 
请好心高手帮帮忙！多谢！

前言:
 
学习高数多年，昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数，一时间倒也不知道如何回答，发现似乎自己从来没注意过这个问题，因此回炉重造一下，倒是有一些新的收获。
 


 
文章目录
 
一、定义
1、微分方程
2、微分方程的阶
3、微分方程通解
  
二、求导是一种线性函数
三、微分方程与L
四、结语
五、遗憾
六、参考

 
一、定义
 
要解决n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数这个问题，先来回顾一些定义：
 
1、微分方程
 
含有未知函数的导函数的方程称为微分方程。如下图所示:
 
 其中，$y$是关于自变量$x$的函数。特别的，如果$y$只是一个变量$x$的函数，则这类方程称为常微分方程。上图就是一个常微分方程。
 
2、微分方程的阶
 
微分方程中出现的导函数的最高阶数，叫微分方程的阶, 如：
 $$x^3{y}^{(3)}{x}^2{y}^{{}^{\prime \prime }}=3x$$
 是三阶微分方程。一般的:
 
 
3、微分方程通解
 
微分方程通解有如下定义:
 
 好了，观察该定义，我们回到主题：
 
(1): 为什么是$n$个任意常数？
(2): 为什么这几个任意常数是独立的？
 
要回答这两个问题，我们需要引入一些特别观点。
 
二、求导是一种线性函数
 
对函数$f$求导，即求导的$D$算子作用于$f$上，而对$D$算子，有
 $$D(x+y)=D(x)+D(y),D(cx)=cD(x)$$
 因此$D$算子是线性函数，同理有
 $$D^n(x+y)=D^n(x)+D^n(y),D^n(cx)=c{D}^n(x)$$
 因此$D^n$算子也是线性函数，因此不同阶导数的$D$算子组合$\mathcal{L}$是一种线性函数
 
$$\mathcal{L}=a_0{D}^0+a_1{D}^1+a_2{D}^2+...+a_n{D}^n$$
 
三、微分方程与L
 
为了简单期间，我们这里只讨论线性微分方程。
 
对于任意的齐次线性微分方程，我们都可以找到对应的$\mathcal{L}$, 并将其表示为$\mathcal{L}(y)=0$。比如$$x^2{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime }+y=0$$, 我们可以有:
 $$\mathcal{L}=x^2{D}^2-x{D}^1+1D^0$$
 
由于$\mathcal{L}$是线性函数，这样要求解$y$, 就可以放在线性空间中进行讨论。这样微分方程的通解就对应了$\mathcal{L}(y)=0$的解空间。经过高等代数的讨论（笔者现在也看不懂），$y$存在的解空间是$n$维的，因此由$n$个常数决定，而不同维度的空间坐标一定是独立的。
 
如果是非齐次线性微分方程$\mathcal{L}(y)=f(x)$, 从矩阵角度理解，其实也就相当于从解$Ax=0$到解$Ax=b$的过渡，也是同样的结论。
 
这样我们就能理解【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。
 
而在笔者和朋友的讨论过程中，朋友给出了一个很精辟的直观理解:
 【n阶微分方程其实等价于一个n元线性微分方程组，相当于给了n维空间一个质点速度和位移满足的关系，需要确定的只是初始位置，是个n维向量】 本质上也就是这个意思。
 
四、结语
 
本文纯属自己理解，很不严谨，但是思想是没问题的。核心思想就是:
 【求导，就是一个线性函数】 所以最后$D，D^2,...,D^n$的组合$\mathcal{L}$也是线性函数，而线性微分方程可以等价表示为$\mathcal{L}(y)$，这就可以把解线性微分方程放到线性函数的范畴里面去讨论。最后就能理解为什么【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。
 
五、遗憾
 
笔者不是数学专业，只是恰巧一个朋友问到这个问题，因此查了查资料，结合自己对线性代数的理解写下这篇文章，只是说明了【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】。如果把线性去掉， 就不知道怎么理解了。有点虎头蛇尾的意思，不过目前水平有限，只能到这里了。
 
六、参考
 
[1] 马同学：高等数学
 [2] 代数学引论（第二卷） （俄罗斯）斯科特利金。P274-P276

 
Python | 含多个未知参数方程的曲线绘制
 
1 背景
2 代码解决
3 参考

 
1 背景
 
前几天，一位高中同（ji）学（you）给我发来一个问题，具体见下面图片：
 
 
上述除了Vo和fu，其余字母均已知，而且fu并不是u的函数，就是一个符号。
现在的问题是希望得到Vo和fu的关系： 
  
最简单的方法当然是直接解出Vo=XXXfu，即类似于y=f(x)，但是上述方程过于复杂，无法直接求解得到，或者说很难得到！
那具体该如何处理呢？退而求其次，我不需要求出两者具体的一个关系，而是直接画出图像来，通过图形直观得出两者关系！
上述简化的思路我同学也是这么想的，现在的关键问题就是：如何画出两者的图形来呢？
 
绘制两个变量的关系图，最简单的方式就是类似于y=f(x)，然后对x取一个范围的值，y也就有了，然后直接画散点图。但没有这个形式是否可以绘制呢？当然是可以的！只不过需要花一点功夫！下面具体解析
 
2 代码解决
 
将上述的问题进行简化，简化后的问题为：
 
绘制f = 2v + f(v-1) 的图像
即f=2v/(2-v)
 
代码思路：
 
首先通过描点法得到两个变量的一一对应关系
首先给定一个变量值，然后通过solve函数反解出另一个变量值
solve函数两个参数：第一个参数方程，另其为0。第二个参数是需要求的变量值
代码加入异常体
 
f_list = []
v_list = []
from sympy import *
for f in range(-100,100):
    f_list.append(f)
    # 设v为自变量
    v = Symbol('v')
    f = v * 2 + f * (v-1)
    # solve第一个参数是方程，另其为0，求解solve的第二个参数
    res = solve(f - v * 2 - f * (v-1) ,v)
#     print(res)
    try:
        v_list.append(res[1]) # 其中res结果为列表，第一个值都是1，取第二个值
    except Exception as e:
        print(e)
        v_list.append(0)

# 绘图
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(v_list, f_list)
plt.show()
 
list index out of range
list index out of range
 
 
3 参考
 
http://www.cocoachina.com/articles/89264