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  • 【证明】两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后方程的类型不会改变 首先,二阶线性方程的一般形式如下: a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f(1) a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f \...

    【证明】两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后方程的类型不会改变

    首先,二阶线性方程的一般形式如下:
    a 11 u x x + 2 a 12 u x y + a 22 u y y + b 1 u x + b 2 u y + c u = f (1) a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_1u_x+b_2u_y+cu=f \tag 1 a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f(1)
    可逆变换后得:
    ξ = ξ ( x , y ) η = η ( x , y ) (2) \xi=\xi(x,y) \\ \eta=\eta(x,y) \tag 2 ξ=ξ(x,y)η=η(x,y)(2)
    其中:
    ∂ ( ξ , η ) ∂ ( x , y ) ≠ 0 (3) \frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)} \not=0 \tag 3 (x,y)(ξ,η)=0(3)
    于是 ( 1 ) (1) (1)化为:
    a 11 ‾ u ξ ξ + 2 a 12 ‾ u ξ η + a 22 ‾ u η η + b 2 ‾ u η + c ‾ u = f (4) \overline{a_{11}}u_{\xi\xi}+2\overline{a_{12}}u_{\xi\eta}+\overline{a_{22}}u_{\eta\eta}+\overline{b_2}u_{\eta}+\overline{c}u=f \tag 4 a11uξξ+2a12uξη+a22uηη+b2uη+cu=f(4)
    其中:
    a 11 ‾ = a 11 ξ x 2 + 2 a 12 ξ x ξ y + a 22 ξ y 2 a 12 ‾ = a 11 ξ x η x + a 12 ( ξ x η y + ξ y η x ) + a 22 ξ y η y a 22 ‾ = a 11 η x 2 + 2 a 12 η x η y + a 22 η y 2 (5) \overline{a_{11}}=a_{11}\xi_x^2+2a_{12}\xi_x\xi_y+a_{22}\xi_y^2 \\ \overline{a_{12}}=a_{11}\xi_x\eta_x+a_{12}(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x)+a_{22}\xi_y\eta_y \\ \overline{a_{22}}=a_{11}\eta_x^2+2a_{12}\eta_x\eta_y+a_{22}\eta_y^2 \tag 5 a11=a11ξx2+2a12ξxξy+a22ξy2a12=a11ξxηx+a12(ξxηy+ξyηx)+a22ξyηya22=a11ηx2+2a12ηxηy+a22ηy2(5)
    对于经可逆变换之后的方程的判别式:
    Δ ‾ = a 12 ‾ 2 − a 11 ‾   a 22 ‾ (6) \overline{\Delta}=\overline{a_{12}}^2-\overline{a_{11}} \ \overline{a_{22}} \tag 6 Δ=a122a11 a22(6)
    经过整理得:
    Δ ‾ = Δ ⋅ [ ∂ ( ξ , η ) ∂ ( x , y ) ] (7) \overline{\Delta}=\Delta·[\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}] \tag 7 Δ=Δ[(x,y)(ξ,η)](7)
    因为上式中, [ ∂ ( ξ , η ) ∂ ( x , y ) ] > 0 [\frac{\partial(\xi,\eta)}{\partial(x,y)}] > 0 [(x,y)(ξ,η)]>0,所以 Δ ‾ \overline{\Delta} Δ Δ \Delta Δ同号,即类型不变。
    证毕。

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  • 想求解含有未知数x2 x3 x4 x6 l5 l6的矩阵方程,代码如下:syms x2 x3 x4 x6 l5 l6a=[cosd(-90) sind(-90) 0 -100;-sind(-90)*cosd(90) cosd(-90)*sind(90) sind(90) -60*sind(90);sind(-90)*sind(90) -cosd(-90)*...

    想求解含有未知数x2 x3 x4 x6 l5 l6的矩阵方程,代码如下:

    syms x2 x3 x4 x6 l5 l6

    a=[cosd(-90) sind(-90) 0 -100;-sind(-90)*cosd(90) cosd(-90)*sind(90) sind(90) -60*sind(90);sind(-90)*sind(90) -cosd(-90)*sind(90) cosd(90) -60*cosd(90);0 0 0 1]

    b=[cos(x2) sin(x2) 0 -70;-sin(x2)*cosd(-120) cos(x2)*sind(-120) sind(-120) 40*sind(-120);sin(x2)*sind(-120) -cos(x2)*sind(-120) cosd(-120) 40*cosd(-120);0 0 0 1]

    c=[cos(x3) sin(x3) 0 60;-sin(x3)*cosd(90) cos(x3)*sind(90) sind(90) -140*sind(90);sin(x3)*sind(90) -cos(x3)*sind(90) cosd(90) -140*cosd(90);0 0 0 1]

    d=[cos(x4) sin(x4) 0 -50;-sin(x4)*cosd(-90) cos(x4)*sind(-90) sind(-90) -15*sind(-90);sin(x4)*sind(-90) -cos(x4)*sind(-90) cosd(-90) -15*cosd(-90);0 0 0 1]

    e=[cosd(30) sind(30) 0 -110;-sind(30)*cosd(145) cosd(30)*sind(145) sind(145) -l5*sin(145);sind(30)*sind(145) -cosd(30)*sind(145) cosd(145) -l5*cosd(145);0 0 0 1]

    f=[cos(x6) sin(x6) 0 -130;-sin(x6)*cosd(90) cos(x6)*sind(90) sind(90) -l6*sind(90);sin(x6)*sind(90) -cos(x6)*sind(90) cosd(90) -l6*cosd(90);0 0 0 1]

    g=a*b*c*d*e*f

    i=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]

    h=g'-i';%h=0

    k=solve('h(1,1)','h(1,2)','h(1,3)','h(1,4)','h(2,1)','h(2,2)','h(2,3)','h(2,4)','h(3,1)','h(3,2)','h(3,3)','h(3,4)',x2,x3,x4,x6,l5,l6);

    x2=eval(k.x2)

    x3=eval(k.x3)

    x4=eval(k.x4)

    x6=eval(k.x6)

    l5=eval(k.l5)

    l6=eval(k.l6)

    求解后matlab显示:

    Warning: 12 equations in 6 variables.

    > In solve at 113

    In sym.solve at 49

    Warning: Explicit solution could not be found.

    > In solve at 140

    In sym.solve at 49

    ??? Access to an object's fields is only permitted within its methods.

    请好心高手帮帮忙!多谢!

    展开全文
  • <p>s=tf('s') Gop1=1.3/(1+s*2)*exp(-1.8*s) GCL1=Gop1/(1+Gop1);...<p>syms x y z real ...这个方程组中的另外两个方程是根据虚部=0,实部=-1得到的</p>
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  • 学习高数多年,昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n独立任意常数,一时间倒也不知道如何回答,发现似乎自己从来没注意过这问题,因此打算好好思考一下。 文章目录一、定义1、微分方程2、微分方程的阶3、...

    前言:

    学习高数多年,昨天被朋友问到n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数,一时间倒也不知道如何回答,发现似乎自己从来没注意过这个问题,因此回炉重造一下,倒是有一些新的收获。

    一、定义

    要解决n阶微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数这个问题,先来回顾一些定义:

    1、微分方程

    含有未知函数的导函数的方程称为微分方程。如下图所示:
    在这里插入图片描述
    其中, y y y是关于自变量 x x x的函数。特别的,如果 y y y只是一个变量 x x x的函数,则这类方程称为常微分方程。上图就是一个常微分方程。

    2、微分方程的阶

    微分方程中出现的导函数的最高阶数,叫微分方程的阶, 如:
    x 3 y ( 3 ) x 2 y ′ ′ = 3 x x^3 y^{(3)}x^2y^{''} = 3 x x3y(3)x2y=3x
    是三阶微分方程。一般的:
    在这里插入图片描述

    3、微分方程通解

    微分方程通解有如下定义:
    在这里插入图片描述
    好了,观察该定义,我们回到主题:

    • (1): 为什么是 n n n个任意常数?
    • (2): 为什么这几个任意常数是独立的?

    要回答这两个问题,我们需要引入一些特别观点。

    二、求导是一种线性函数

    对函数 f f f求导,即求导的 D D D算子作用于 f f f上,而对 D D D算子,有
    D ( x + y ) = D ( x ) + D ( y ) , D ( c x ) = c D ( x ) D(x+y)=D(x)+D(y), D(cx)=cD(x) D(x+y)=D(x)+D(y),D(cx)=cD(x)
    因此 D D D算子是线性函数,同理有
    D n ( x + y ) = D n ( x ) + D n ( y ) , D n ( c x ) = c D n ( x ) D^n(x+y)=D^n(x)+D^n(y), D^n(cx)=cD^n(x) Dn(x+y)=Dn(x)+Dn(y),Dn(cx)=cDn(x)
    因此 D n D^n Dn算子也是线性函数,因此不同阶导数的 D D D算子组合 L \mathcal{L} L是一种线性函数

    L = a 0 D 0 + a 1 D 1 + a 2 D 2 + . . . + a n D n \mathcal{L}=a_0D^0+ a_1D^1+a_2D^2+ ... + a_nD^n L=a0D0+a1D1+a2D2+...+anDn

    三、微分方程与L

    为了简单期间,我们这里只讨论线性微分方程

    对于任意的齐次线性微分方程,我们都可以找到对应的 L \mathcal{L} L, 并将其表示为 L ( y ) = 0 \mathcal{L}(y)=0 L(y)=0。比如 x 2 y ′ ′ − x y ′ + y = 0 x^2y''-xy'+y=0 x2yxy+y=0, 我们可以有:
    L = x 2 D 2 − x D 1 + 1 D 0 \mathcal{L}=x^2D^2-xD^1+1D^0 L=x2D2xD1+1D0

    由于 L \mathcal{L} L是线性函数,这样要求解 y y y, 就可以放在线性空间中进行讨论。这样微分方程的通解就对应了 L ( y ) = 0 \mathcal{L}(y)=0 L(y)=0的解空间。经过高等代数的讨论(笔者现在也看不懂), y y y存在的解空间是 n n n维的,因此由 n n n个常数决定,而不同维度的空间坐标一定是独立的。

    如果是非齐次线性微分方程 L ( y ) = f ( x ) \mathcal{L}(y)=f(x) L(y)=f(x), 从矩阵角度理解,其实也就相当于从解 A x = 0 Ax=0 Ax=0到解 A x = b Ax=b Ax=b的过渡,也是同样的结论。

    这样我们就能理解【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

    而在笔者和朋友的讨论过程中,朋友给出了一个很精辟的直观理解:
    【n阶微分方程其实等价于一个n元线性微分方程组,相当于给了n维空间一个质点速度和位移满足的关系,需要确定的只是初始位置,是个n维向量】 本质上也就是这个意思。

    四、结语

    本文纯属自己理解,很不严谨,但是思想是没问题的。核心思想就是:
    【求导,就是一个线性函数】 所以最后 D , D 2 , . . . , D n D,D^2, ..., D^n DD2,...,Dn的组合 L \mathcal{L} L也是线性函数,而线性微分方程可以等价表示为 L ( y ) \mathcal{L(y)} L(y),这就可以把解线性微分方程放到线性函数的范畴里面去讨论。最后就能理解为什么【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】了。

    五、遗憾

    笔者不是数学专业,只是恰巧一个朋友问到这个问题,因此查了查资料,结合自己对线性代数的理解写下这篇文章,只是说明了【n阶线性微分方程的通解为什么含有n个独立任意常数】。如果把线性去掉, 就不知道怎么理解了。有点虎头蛇尾的意思,不过目前水平有限,只能到这里了。

    六、参考

    [1] 马同学:高等数学
    [2] 代数学引论(第二卷) (俄罗斯)斯科特利金。P274-P276

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  • Python | 未知参数方程的曲线绘制1 背景2 代码解决3 参考 1 背景 前几天,一位高中同(ji)学(you)给我发来一问题,具体见下面图片: 上述除了Vo和fu,其余字母均已知,而且fu并不是u的函数,就是一...

    Python | 含多个未知参数方程的曲线绘制

    1 背景

    前几天,一位高中同(ji)学(you)给我发来一个问题,具体见下面图片:
    在这里插入图片描述

    • 上述除了Vo和fu,其余字母均已知,而且fu并不是u的函数,就是一个符号。
    • 现在的问题是希望得到Vo和fu的关系
      • 最简单的方法当然是直接解出Vo=XXXfu,即类似于y=f(x),但是上述方程过于复杂,无法直接求解得到,或者说很难得到!
      • 那具体该如何处理呢?退而求其次,我不需要求出两者具体的一个关系,而是直接画出图像来,通过图形直观得出两者关系
      • 上述简化的思路我同学也是这么想的,现在的关键问题就是:如何画出两者的图形来呢?
    • 绘制两个变量的关系图,最简单的方式就是类似于y=f(x),然后对x取一个范围的值,y也就有了,然后直接画散点图。但没有这个形式是否可以绘制呢?当然是可以的!只不过需要花一点功夫!下面具体解析

    2 代码解决

    将上述的问题进行简化,简化后的问题为:

    • 绘制f = 2v + f(v-1) 的图像
    • 即f=2v/(2-v)

    代码思路:

    • 首先通过描点法得到两个变量的一一对应关系
    • 首先给定一个变量值,然后通过solve函数反解出另一个变量值
    • solve函数两个参数:第一个参数方程,另其为0。第二个参数是需要求的变量值
    • 代码加入异常体
    f_list = []
    v_list = []
    from sympy import *
    for f in range(-100,100):
        f_list.append(f)
        # 设v为自变量
        v = Symbol('v')
        f = v * 2 + f * (v-1)
        # solve第一个参数是方程,另其为0,求解solve的第二个参数
        res = solve(f - v * 2 - f * (v-1) ,v)
    #     print(res)
        try:
            v_list.append(res[1]) # 其中res结果为列表,第一个值都是1,取第二个值
        except Exception as e:
            print(e)
            v_list.append(0)
    
    # 绘图
    import matplotlib.pyplot as plt
    plt.plot(v_list, f_list)
    plt.show()
    
    list index out of range
    list index out of range
    

    在这里插入图片描述

    3 参考

    • http://www.cocoachina.com/articles/89264
    展开全文
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含有两个x的方程